Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach ( luận văn thạc sĩ toán học)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QT VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QT VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020 ii Lời cảm ơn Luận văn hồn thành Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên TS Phạm Hồng Trường, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3 tạo điều kiện tốt tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Tơi xin chân thành cảm ơn Hội đồng quản trị, Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh, thành phố Cẩm Phả, tỉnh Quảng Ninh tạo điều kiện giúp đỡ suốt thời gian học Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Sau tơi xin kính chúc tồn thể q thầy trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dồi sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực sứ mệnh cao đẹp truyền đạt tri thức cho hệ mai sau Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt iv Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman số lớp ánh xạ Bregman không giãn 1.2.1 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.2 Phép chiếu Bregman 20 1.2.3 Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 24 Chương Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ toán cân hỗn hợp tổng quát toán điểm bất động 29 2.1 Tốn tử giải hỗn hợp tính chất 29 2.2 Phát biểu toán phương pháp lặp 33 2.3 Sự hội tụ mạnh phương pháp 33 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 iv Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T v ∂f vi phân hàm lồi f f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X khơng gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước Trong thời gian gần đây, lớp toán cân mà tổng quát toán cân hỗn hợp tổng quát không gian Hilbert hay Banach thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Một khó khăn nghiên cứu toán xấp xỉ điểm bất động tốn cân khơng gian Banach ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu không gian Ta biết trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu khó xác định ngồi khơng có tính chất tuyến tính Do việc tìm dạng tường minh tốn tử giải tương ứng với tốn tử đơn điệu khơng gian Banach “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng khoảng cách Bregman để thay cho khoảng cách thông thường thay ánh xạ đối ngẫu gradient phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích luận văn trình bày lại kết Darvish cộng báo [14] phương pháp chiếu (kết hợp phương pháp chiếu lai ghép chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung họ Θ thỏa mãn dom ResfΘ,ϕ,Ψ = E (xem [13], Bổ đề 4.14) Tính chất tốn tử giải hỗn hợp mô tả mệnh đề Mệnh đề 2.1.1 (xem [13], Bổ đề 2.15) Cho f : E −→ (−∞, ∞] hàm Legendre C tập lồi, đóng khác rỗng E Nếu song hàm Θ : C × C −→ R thoả mãn điều kiện A1)-A4) thì: i) ResfΘ,ϕ,Ψ hàm đơn trị; ii) ResfΘ,ϕ,Ψ toán tử BFNE; iii) tập điểm bất động ResfΘ,ϕ,Ψ tập nghiệm toán cân hỗn hợp tổng quát, có nghĩa F (ResfΘ,ϕ,Ψ ) = GM EP (Θ, ϕ, Ψ); iv) GM EP (Θ, ϕ, Ψ) tập lồi, đóng C; v) với x ∈ E u ∈ F (ResfΘ,ϕ,Ψ ) ta có Df (u, ResfΘ,ϕ,Ψ (x)) + Df (ResfΘ,ϕ,Ψ (x), x) ≤ Df (u, x) Ví dụ 2.1.2 Giả sử Θ(x, y) = y − x2 , ϕ(x) = x2 Ψ(x) = exp(x), với x, y ∈ R Dễ thấy Θ thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4), ϕ hàm lồi, liên tục Ψ hàm liên tục, đơn điệu Khi f (x) = x2 /2 với x ∈ R, từ định nghĩa ResfΘ,ϕ,Ψ , với x ∈ R, ta có ResfΘ,ϕ,Ψ (x) ={z ∈ R : (y − z ) + y + exp(x)(y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z , ∀y ∈ R} Bất đẳng thức (y − z ) + y + exp(x)(y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z , ∀y ∈ R viết dạng tương đương sau 2y + [exp(x) + (z − x)]y − [3z + exp(x)z − xz] ≥ 0, ∀y ∈ R (2.6) 32 Ta biết bất đẳng thức (2.6) với y ∈ R ∆ = [exp(x) + (z − x)]2 + 8[3z + exp(x)z − xz] ≤ Điều tương đương với [exp(x) − x + 5z]2 ≤ Suy z = x − exp(x) Do đó, ta nhận ResfΘ,ϕ,Ψ (x) = x − exp(x) Chú ý 2.1.3 Trong Ví dụ 2.1.2, ta có F (ResfΘ,ϕ,Ψ ) = ∅ từ Mệnh đề 2.1.1, ta nhận GM EP (Θ, ϕ, Ψ) = ∅ Ví dụ 2.1.4 Với số nguyên dương i, giả sử Θi (x, y) = i(y − x2 ), ϕi (x) = x2 Ψi (x) = x3 /i, với x, y ∈ R Dễ thấy Θi thỏa mãn điều kiện A1)-A4), ϕi hàm lồi, liên tục Ψi hàm liên tục, đơn điệu Khi f (x) = x2 /2 với x ∈ R, từ định nghĩa ResfΘi ,ϕi ,Ψi , với x ∈ R, ta có ResfΘi ,ϕi ,Ψi (x) ={z ∈ R : i(y − z ) + y + x3 (y − z) i + (z − x)(y − z) ≥ z , ∀y ∈ R} Bất đẳng thức i(y − z ) + y + x3 (y − z) + (z − x)(y − z) ≥ z , ∀y ∈ R i viết dạng tương đương sau (i2 + i)y + [x3 + i(z − x)]y − [(i2 + 2i)z + x3 z − ixz] ≥ 0, ∀y ∈ R (2.7) Ta biết bất đẳng thức (2.7) với y ∈ R ∆ = [x3 + i(z − x)]2 + 4(i2 + i)[i2 + 2i)z + x3 z − ixz] ≤ ix − x3 Điều tương đương với [x − ix + (2i + 3i)z] ≤ Suy z = Do 2i + 3i đó, ta nhận ix − x3 ResfΘi ,ϕi ,Ψi (x) = 2i + 3i 2 Chú ý 2.1.5 Trong Ví dụ 2.1.4, ta có F (ResfΘi ,ϕi ,Ψi ) = {0} từ Mệnh đề 2.1.1, ta nhận GM EP (Θi , ϕi , Ψi ) = {0} 33 2.2 Phát biểu tốn phương pháp lặp Cho E khơng gian Banach phản xạ, C tập lồi, đóng khác rỗng E Cho f : E → R hàm đồng bức, bị chặn, khả vi Fréchet đều, lồi hoàn toàn tập bị chặn E ∇f ∗ bị chặn tập bị chặn E ∗ Cho Ti : C → C, i = 1, 2, , N họ hữu hạn ánh xạ Bregman khơng giãn tương đối yếu, Θj : C × C → R thỏa mãn điều kiện (A1 )-(A4 ), ϕj : C → R hàm lồi Ψj : C → E ∗ ánh xạ liên tục, M đơn điệu j ∈ {1, 2, M } Giả sử ∩N i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) tập khác rỗng Trong tài liệu [14], tác giả Darvish cộng nghiên cứu tốn sau: M Tìm phần tử x† ∈ S = ∩N i=1 F (Ti ) ∩ ∩j=1 GM EP (Θj , ϕj , Ψj ) (2.8) Để xấp xỉ nghiệm Bài toán (2.8), họ đề xuất phương pháp lặp xoay vòng sau: Cho {xn } dãy xác định x0 ∈ C, C0 = Q0 = C N ∗ zn = ∇f (βn γi,n ∇f (Ti (xn )) + (1 − βn )∇f (xn )), i=1 yn = ∇f ∗ (αn ∇f (x0 ) + (1 − αn )∇f (zn )), un = ResfΘM ,ϕM ,ΨM ◦ ◦ ResfΘ2 ,ϕ2 ,Ψ2 ◦ ResfΘ1 ,ϕ1 ,Ψ1 (yn ), Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, un ) ≤ αn Df (z, x0 ) + (1 − αn )Df (z, xn )}, Qn+1 = {z ∈ Qn : ∇f (x0 ) − ∇f (xn ), z − xn ≤ 0}, xn+1 = projfCn+1 ∩Qn+1 x0 , ∀n ≥ 0, (2.9) {αn } ⊂ [0, 1), {βn } ⊂ (0, 1) {γi,n } ⊂ [a, b] ⊂ (0, 1) cho N i=1 γi,n 2.3 = 1, với i = 1, 2, , N Sự hội tụ mạnh phương pháp Trước hết, ta có mệnh đề Mệnh đề 2.3.1 Dãy {xn } (2.9) hoàn toàn xác định Chứng minh Từ Mệnh đề 2.1.1 Mệnh đề 1.2.33 suy F (Ti ) GM EP (Θj , ϕj , Ψj ), j ∈ {1, 2, M } tập lồi đóng E ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành:... nước Trong thời gian gần đây, lớp toán cân mà tổng quát toán cân hỗn hợp tổng quát không gian Hilbert hay Banach thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước Một khó khăn nghiên cứu toán. .. xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có