(Sáng kiến kinh nghiệm) những cách giải khác nhau cho một bài toán hình học khá quen thuộc

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Để đáp ứng nhu cầu phát triển xó hội, đổi giáo dục xem vấn đề quan trọng Từ quan niệm chất lượng giáo dục, xây dựng nhân cách người học, đến cách tổ chức trỡnh hệ thống giỏo dục Nhà giỏo thay vỡ truyền đạt tri thức chuyển sang cung cấp cho người học phương pháp thu nhận thông tin cách hệ thống, có tư phân tích tổng hợp Đầu tư cho Giáo dục từ chổ xem phúc lợi xó hội chuyển sang đầu tư cho phát triển Trong giỏo dục, quy trỡnh đào tạo bao gồm yếu tố: Mục tiêu, chương trỡnh đào tạo, nội dung, hỡnh thức tổ chức dạy học, phương pháp dạy học Phương pháp dạy học khâu quan trọng lẽ phương pháp dạy học có phù hợp thỡ hiệu việc dạy học cao, phương pháp có phù hợp thỡ cú thể phỏt huy khả tư sáng tạo người học Bởi việc đổi giáo dục trước hết việc đổi phương pháp dạy học Trong trình giảng dạy người giáo viên biết cách gợi mỡ khéo léo, hướng giúp học sinh cách suy nghĩ tìm thêm pháp pháp chứng minh nhiều cách khác em nhanh chóng tìm cách chứng minh mà cảm thấy thú vị, có giúp cho người thầy giáo có thêm cách giải ngắn gọn mà hay Khi giải tốn nói chung hình học nói riêng khơng học sinh nào, giáo viên nói cách giải nhất, ngắn gọn Nếu người giáo viên nhận xét sai lầm, sẻ làm cho người học tư sáng tạo, lòng đam mê học, giải tốn Trong đề tài tơi xin nêu “những cách giải khác cho tốn hình học quen thuộc II SỐ LIỆU ĐIỀU TRA Mẫu phiếu điều tra Bài toán 1: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân Phạm vi điều tra: - Điều tra 36 em học sinh lớp - Điều tra 20 em học sinh lớp Thời gian điều tra: Tháng năm 2013 Kết điều tra: * Đối với 36 em học sinh lớp 7: - Có 27 em làm theo cách giải trở lên chiếm 75% - Có em làm theo cách giải trở lên chiếm 25% * Đối với 20 em học sinh lớp - Có 18 em làm theo cách giải trở lên chiếm 90% - Có em làm theo cách giải trở lên chiếm 20 % B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Bài toán 1: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân Lời giải: Xét ∆ABC có đường trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Ta sẻ chứng minh ∆ABC cân A, cách chứng minh: AB = AC ∠B = ∠C Cách 1: Trên tia đối tia AM lấy điểm A / cho A / M = AM Khi đó: A ∆ABM = ∆A / CM (c.g.c) = ⇒ AB = A / C (1) ∠BAM = ∠CA / M / M B = Mặt khác: ∠BAM = ∠CAM ⇒ ⇒ ∠CAM = ∠CA / M ∆ACA / cân C / C A/ ⇒ AC = A / C (2) Từ (1) (2) suy AB = AC (đ.p.c.m) Cách 2: Giả sử AB > AC Đương thẳng qua M vng góc với AM cắt AB, A AC F E Khi đó: ∆AEM = ∆AFM (g.c.g) ⇒ EM = FM ⇒ ∆BMF = ∆CME (c.g.c) C / F E M / ⇒ ∠BFM = ∠CEM mà hai góc có vị trí so le trong, suy BE // CE Điều có lý BF cắt CE A B ⇒ AB ≤ AC (3) Tương tự: AB < AC vô lý (chứng minh trên) Kết hợp số (3) suy ra: AB = AC (đ.p.c.m) A Cách 3: Giả sử AB > AC cạnh = AB lấy điểm H cho AH = AC = H B / / Khi đó: ∆AHM = ∆ACM (c.g.c) ⇒ MC = MH ∠AHM = ∠ACM Mà MC = MB, suy MB = MH C M ⇒ ∆MBH cân M ⇒ ∠MHB = ∠MBH ⇒ ∠ABC + ∠ACB = ∠MBH + ∠ACM = ∠MHB + ∠MHA = 180 (vơ lý) ∠ABC ; ∠ACB hai góc ∆ABC Tiếp tục lý luận cách 2, suy (đ.p.c.m) Cách 4: Kẻ MN ⊥ AB( I ∈ AB) A MK ⊥ AC ( K ∈ AC ) ⇒ ∆AMI = ∆AMK (cạnh huyền- góc nhọn) I K ⇒ AI = AK ; MI = MK / Mặt khác MB = MC ⇒ ∆IBM = ∆KCM (cạnh huyền – cạnh góc vng) / B C M ⇒ BI = CK ⇒ BI + AI = CK + AK ⇒ AB = AC (đ.p.c.m) Cách 5: Cũng cách ∆IBM = ∆KCM ⇒ ∠IBM = ∠KCM ⇒ ∠ABC = ∠ACB ⇒ ∆ABC cân A Cách 6: Trên tia đối tia AB lấy điểm P cho AP = AB ⇒ AM đường trung bình ∆BCP P ⇒ AM // PC ⇒ ∠BAM = ∠APC ; ∠CAM = ∠ACP Mà ∠BAM = ∠CAM ⇒ ∠APC = ∠ACP A ⇒ ∆APC cân A B / M / C ⇒ AC = AP = AB ⇒ ∆ABC cân tai A (đ.p.c.m) Cách 7: Giả sử AB > AC Trên AB lấy điểm Q cho AQ = AC; QC cắt AM N A ⇒ ∆AQN = ∆ACN (c.g.c) ⇒ NQ = NC ⇒ MN đường trung bình = ∆CBQ( MB = MC ) = Q ⇒ MN // BQ, vơ lý MN cắt BQ A / B N M / C Tiếp tục lý luận cách suy (đ.p.c.m) A Cách 8: Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA ⇒ B / = ABDC hình bình hành, có đường chéo AD C D đường phân giác ∠BAC nên = M/ ABDC hình thoi ⇒ AB = AC (đ.p.c.m) Cách 9: Ta thấy ∆ABM ∆ACM có chung đường cao A xuất phát từ đỉnh A, có hai đáy BM = CM nên có I diện tích nhau, suy AB MI = AC MK mà MI = MK (tính chất tia phân giác góc) B ⇒ AB = AC (đ.p.c.m) K / M Cách 10: Vì AM phân giác ∠BAC ∠ABC , nên theo tính chất đường phân giác tam giác / C Ta có: AB MB = = AC MC (MB = MC) ⇒ AB = AC (đ.p.c.m) Bài toán 2: Cho ∆ABC , cạnh BC lấy điểm D, E Sao cho BD = CE Chứng minh ∠BAD = ∠CAE ∆ABC tam A giác cân Cách 1: Từ D vẽ DF //AC Từ E vẽ EG //AB G F Ta chứng minh được: DF AC = (1) EG AB / B / E D C ∆ADF ~ ∆AEG (g.g) ⇒ DF AD = EG AE (2) Từ (1) (2) có AC AD = AB AE ⇒ ∆ADC ~ ∆AEB (c.g.c) ⇒ ∠ABC = ∠ACB ⇒ ∆ABC cân A (đ.p.c.m) Cách 2: Giả sử ∠B > ∠C ⇒ AC > AB ⇒ AC = AB A Vẽ M ∈ AD cho ∠ABM = ∠ACE Có ∠M = ∠E1 ⇒ ∠M ∠E ; ∠D1 > ∠E = ∠M ⇒ BM > BD ⇒ BD 1 BM BM AB -/ AM 2 E D (2) / - C A (1) (2) mâu thuẩn từ ta có (đ.p.c.m) Cách 3: Từ D E vẽ G F B / D E / C DF ⊥ AB( F ∈ AB ); EG ⊥ AC (G ∈ AC ) BD = CE ⇒ S ∆ABD = S ∆ACE ⇒ AB.DF = AC.EG ⇒ DF AC = EG AB (1) ∆ADF ~ ∆AEG ⇒ DF AD = EG AE Từ (1) (2) suy (2) AC AD = AB AE ⇒ ∆ABE ~ ∆ACD ⇒ ∠ABE = ∠ACD ⇒ ∆ABC cân A (đ.p.c.m) Cách 4: Vẽ hình bình hành ABEF ⇒ BE = AF chứng minh tứ giác ADCF hình bình hành A F ⇒ ∠EFC = ∠BAD = ∠EAC (gt) ∆AEG ~ ∆FCG ⇒ Do ⇒ AG EG = FG CG (g.g) G (1) B AG FG = ( AF // EC ) GC GE AG EG = FG CG / D E / C (2) Từ (1) (2) có EG = GC ⇒ ∆GAEC cân G ⇒ ∠FEC = ∠ACE ⇒ ∠ABC = ∠ACB ⇒ ∆ABC cân A (đ.p.c.m) A Cách 5: Vẽ BH ⊥ AD; CK ⊥ AE BD = CE ⇒ S ∆ABD = S ∆ACE B / D H E / K C ⇒ BH AE = CK AD ∆ABH ~ ∆ACK ⇒ BH AB = CK AC ⇒ ∆ABE ~ ∆ACD (∠BAE = ∠CAD; AB AE = ) AC AD ⇒ ∠ABE = ∠ACD ⇒ ∆ABC cân A (đ.p.c.m) Cách 6: Qua B vẽ đường thẳng song song với AD cắt AD M Qua C vẽ đường thẳng song song với AB cắt E N ∆ABM ~ ∆ACN (g.g) ⇒ AB BM = AC CN A (1) ∆ADC có BM // AC ⇒ AC BC = BM BD B AB BE = ∆ABE có CN // AB ⇒ CN EC Do có AB CN = AC BM Từ (1) (2) có / D / E M C N (2) AB AB BM CN AB = ⇒ = ⇒ AB = AC AC AC CN BM AC ⇒ ∆ABC cân A (đ.p.c.m) Bài toán 3: Cho ∆ABC cân A trung tuyến CD tia đối tia BA lấy A điểm K cho BK = BA D Chứng minh rằng: CD = CK - B CK Cách 1: Gọi I trung điểm CK CI = + Ta có BI // AC (BI đường trung bình ∆ACK ) K + I C ⇒ ∠IBC = ∠ABC = ∠ACB Mặt khác: BI = 1 AC BD = AB = AC 2 ⇒ BI = BD A Suy ra: ∆BCI = ∆BCD (c.g.c) ⇒ CD = CI Mà CI = D CK ⇒ CD = CK (đ.p.c.m) 2 - - - - B Cách 2: Gọi E trung điểm AC E C Ta có: BE = CK K (BE đường trung bình ∆ACK ) Ta chứng minh BE = CD (∆BCE = ∆CBD) (c.g.c ⇒ CD = CK (đ.p.c.m) Cách 3: Trên tia đối tia CB lấy điểm M cho CM = CB ⇒ AM = 2CD (CD đường trung bình ∆ABM ) A Xét ∆BCK ∆CMA có: _ AC = BK (đều AB) ∠ACM = ∠CBK (do ∠ACM + ∠ACB = 180 Còn ∠CBK + ∠ABC = 180 mà ∠ABC = ∠ACB ∆ABC cân A) K CM = CB ⇒ ∆ACM = ∆KBC (c.g.c) ⇒ AM = KC D _ B // C // M Suy CK = 2CD ⇒ CD = CK (đ.p.c.m) A _ Cách 4: Trên tia đối tia CA lấy N cho: CN = CA ⇒ BN = 2CD (CD đường trung bình ∆ABN ) B D _ + C Mặt khác ta xét ∆ABN ∆ACK có: AB = AC (gt) ∠A chung + N K AN = AK ; (2 AC = AB) Suy ra: ∆ABN = ∆ACK (c.g.c) ⇒ BN = CK Do đó: CK = 2CD ⇒ CD = CK (đ.p.c.m) Cách 5: Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho DE = DC E ⇒ ∆ADC = ∆BDE (c.g.c) A _ + ⇒ BE // AC D _ B Dễ dàng chứng minh + C ∆BCE = ∆BCK (c.g.c) ⇒ CE = CK K Mà CD = CE ⇒ CD = CK (đ.p.c.m) C KẾT QUẢ SAU KHI THỰC HIỆN Sau thời gian hướng dẫn, gợi ý cho học sinh giải theo nhiều cách, em có hứng thú việc tìm thêm nhiều cách giải Kết em giải 10 làm nhiều cách giải khác Đặc biệt số em cịn tìm nhiều lời giải hay ngắn gọn Ví dụ: + Bài tốn * Đối với 36 em học sinh lớp 7: - Có 27 em làm theo cách giải trở lên chiếm 75% - Có em làm theo cách giải trở lên chiếm 25% * Đối với 20 em học sinh lớp - Có 18 em làm theo cách giải trở lên chiếm 90% - Có em làm theo cách giải trở lên chiếm 30 % Các em làm giáo viên tổng hợp cách giải D KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Tơi khơng có tham vọng nêu hết tất dạng toán có nhiều cách giải mà nêu lên phương pháp chung, sử dụng số dạng tập quen thuộc sở thực hành, kiểm nghiệm trình giảng dạy với hỗ trợ đồng nghiệp trường cơng tác Tìm nhiều cách giải toán yếu tố quan trọng giúp học sinh giải tập Hình học mà tạo cho em sáng tạo vận dụng hợp lý kiến thức học vào tập, gây hứng thú, kích 11 thích tính độc lập sáng tạo để tìm nhiều cách giải ngắn gọn, tạo cho em linh hoạt, chủ động học tập cơng việc sống Với kinh nghiệm cịn nghèo nên rút trình giảng dạy học tập cịn có hạn chế kinh nghiệm kiến thức tư sáng tạo Nhưng thân mạnh dạn đưa kinh nghiệm nhỏ để trao đổi với đồng nghiệp Tuy tập đưa cách giải vậy, tin tốn cịn nhiều phương pháp giải nữa, ngắn gọn nữa, hay nữa, mong đóng góp q thầy * Ý kiến đề xuất: - Cần có chuyên đề giải toán theo nhiều cách - Các đề tài hay nên đưa vào chuyên đề để đồng nghiệp trao đổi rút kinh nghiệm Mặc dù thân tơi cố gắng nhiều quỏ trỡnh viết sỏng kiến kinh nghiệm vỡ thời gian cú hạn, quỏ trỡnh cụng tỏc kinh nghiệm cũn ớt nờn khụng thể trỏnh thiếu sút Kinh nghiệm thõn cũn mang nặng tớnh chủ quan phiến diện Rất mong nhận ý kiến đóng góp q thầy đồng nghiệp có tâm huyết để đề tài tơi hồn thiện áp dụng vào thực tiễn Xin chân thành cảm ơn! 12 MỤC LỤC A Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài……… ……………………… …………… II.Số liệu điều tra……………… ………….……………… 1 Mẫu phiếu điều tra…………………………… …………… Phạm vi điều tra………….………………… …………… Thời gian điều tra…………………………… ………………… Kết điều tra………………………………… …… B Phần nội dung………………………………………………… Bài toỏn1………….………………… …… Cỏch giải1-10 Bài toỏn2………….………………… …… Cỏch giải1-6 Bài toỏn3………….………………… …… Cỏch giải1-5 2-4 4-6 6-8 C Kết sau thực D Phần kết luận kiến nghị Mục lục 10 Tài liệu tham khảo 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO 13 1.Một số vấn đề phát triển hỡnh học 2.Kiến thức nâng cao toán 3.Toán nâng cao chuyên đề hỡnh học 4.Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 5.Nõng cao phỏt triển toỏn (tập 1-2) 6.Bồi dưỡng lực tự học toán 7.Vẽ thờm số yếu phụ để giải số toán hỡnh học 8.Một số vấn đề phát triển hỡnh học 9.Kiến thức nâng cao toán 10.Toán nâng cao chuyên đề hỡnh học 11.Nõng cao phỏt triển toỏn 8(tập 1-2) 12.Bồi dưỡng lực tự học toán 13.Tuyển chọn toỏn hay 7-8 14.Các chuyên đề hỡnh học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS 15.Toán tuổi thơ THCS 16.Toỏn tuổi trẻ 14 ... lầm, sẻ làm cho người học tư sáng tạo, lịng đam mê học, giải tốn Trong đề tài xin nêu ? ?những cách giải khác cho tốn hình học quen thuộc II SỐ LIỆU ĐIỀU TRA Mẫu phiếu điều tra Bài toán 1: Chứng... gợi ý cho học sinh giải theo nhiều cách, em có hứng thú việc tìm thêm nhiều cách giải Kết em giải 10 làm nhiều cách giải khác Đặc biệt số em cịn tìm nhiều lời giải hay ngắn gọn Ví dụ: + Bài toán. .. phụ để giải số toán hỡnh học 8 .Một số vấn đề phát triển hỡnh học 9 .Kiến thức nâng cao toán 10 .Toán nâng cao chuyên đề hỡnh học 11.Nõng cao phỏt triển toỏn 8(tập 1-2) 12.Bồi dưỡng lực tự học toán