SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm trong đề minh họa và đề thi chính thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua các năm

A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Môn Tốn trường phổ thơng giữ vai trị, vị trí quan trọng, mơn học cơng cụ Nếu học tốt mơn Tốn tri thức Toán với phương pháp làm việc Toán trở thành công cụ để học tốt môn học khác Hơn nữa, mơn Tốn cịn góp phần phát triển nhân cách học sinh Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, mơn Tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động như: Tính cẩn thận, tính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo… Do q trình dạy học địi hỏi đội ngũ thầy, giáo phải tích cực học tập, khơng ngừng nâng cao lực chuyên môn, đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, bồi dưỡng khả tự học, khả vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại say mê, hứng thú học tập cho học sinh Trong trình thực tế giảng dạy học sinh khối 12 trường THPT Thạch Thành năm học qua đặc biệt năm học 2020-2021 , tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng việc giải tốn hình học nói chung đặc biệt tốn “Hình học giải tích khơng gian” nói riêng Bài tốn hình học giải tích khơng gian dạng tốn thường xun có mặt kỳ thi tốt nghiệp THPT gây khó khăn cho học sinh Đây phần tiếp nối hình học khơng gian nhìn quan điểm đại số giải tích Như tốn hình học giải tích không gian mang chất tốn hình học khơng gian Tuy nhiên nhiều học sinh cịn có tâm lý “bỏ ln, khơng đọc đề” với toán Một số khác quan tâm tới việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu chất hình học Chính em khơng phân loại dạng toán chất nên nhiều toán tương tự xuất nhiều đề thi cách cho khác mà học sinh khơng nhận dạng làm Có thể có nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học hình học, học sinh khơng để ý đến các định nghĩa, định lý tính chất hình học Các phương pháp giải cịn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp tốn trọng tìm cách giải riêng cho tốn mà khơng có cách nhìn tổng qt Chính dẫn đến tình trạng em bị lúng túng trước cách hỏi toán Với vai trị giáo viên dạy Tốn qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi thầy đồng nghiệp với mong muốn tìm hướng giải đơn giản cho toán, làm cho học sinh nhớ kiến thức sở để sáng tạo Tơi xin trình bày kinh nghiệm việc giải tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” đề minh họa đề thi thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua năm Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm phương pháp dạy học phù hợp cho đối tượng học sinh, để từ tạo hứng thú học tập cho em, giúp cho em hiểu rõ dạng toán định hướng cách giải cho tốn, từ giáo viên rút kết luận đề xuất số biện pháp cụ thể tiến hành giúp đỡ đối tượng học sinh, nhằm nâng cao chất lượng dạy học Đối tượng nghiên cứu + Các phương pháp giải tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” + Các tập hình học giải tích khơng gian từ đề minh họa đề thi thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua năm Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến việc sử dụng phương pháp tọa độ, nghiên cứu chương trình giáo khoa môn + Phương pháp nghiên cứu thực tế: Thông qua việc dạy học mơn hình học trường THPT Thạch Thành 2, từ rút số nhận xét phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ giải toán + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: Tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh khối 12 B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận Trong học tập mơn Tốn hoạt động chủ đạo thường xun học sinh hoạt động tư giải tập, thơng qua hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ Vì vậy, quan tâm nhiều dạy học Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến trình đào tạo thành trình tự đào tạo vấn đề cần thiết Đối với mơn Tốn, việc rèn luyện khả tư trìu tượng, tư logic, khả phân tích tổng hợp, dự đốn, tương tự hóa, khái quát hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức góp phần định việc tìm lời giải tập hình học nói chung tập phần phương pháp tọa độ khơng gian nói riêng Do q trình hướng dẫn học sinh làm tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khả tư độc lập, định hướng tìm lời giải cho toán đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư sáng tạo cho em Thực trạng vấn đề Sau nhiều năm dạy học mơn Tốn phần hình học giải tích không gian trường THPT Thạch Thành 2, nhận thấy số vấn đề thực trạng sau: + Trường THPT Thạch Thành trường đóng địa bàn miền núi, học sinh đại đa số em nơng thơn có đời sống khó khăn Điểm chuẩn đầu vào trường thấp, học sinh có học lực trung bình yếu chiếm 60% nên việc học tốn em cịn nhiều hạn chế Bên cạnh cịn có nhiều học sinh học với tâm lý để thi tốt nghiệp, không tham gia xét tuyển vào trường ĐH, cao đẳng… + Khi gặp tốn hình học, em thường lúng túng việc định hướng tìm lời giải đa số lựa chọn "con đường" mò mẫm, thử nghiệm, đơi việc thử nghiệm đến kết không đưa kết quả, rõ ràng nhiều thời gian khơng nhận chất tốn + Bài tập phần hình học giải tích khơng gian đa dạng khó nên học sinh thường lúng túng làm tập phần + Khi dạy xong nội dung phương pháp tọa độ không gian thấy đa số học sinh làm số dạng tập đơn giản, tập mang tính suy luận, địi hỏi khả vận dụng, vận dụng cao em khơng tự tìm lời giải trước giáo viên tiến hành giảng dạy tiết chữa tập em tỏ hiểu Trong đó, toán liên quan đến phần đề thi minh họa đề thi thức kỳ thi tốt nghiệp qua năm gần lại đòi hỏi tính suy luận cao Để giải tốn học sinh nắm kiến thức hình học giải tích mà cịn phải phát “điểm nút” tốn, tính chất hình học ẩn chứa tốn Điều dẫn đến kết làm học sinh chưa tốt + Khi dạy dạng tập phần này, thực tế thường xảy nhiều giáo viên theo lối mòn như: Nêu dạng tốn, phương pháp giải chưa phân tích cho học sinh thấy toán lại phải tìm toạ độ điểm trước, điểm sau, ưu tiên đường trước, đường sau, tính độ dài đoạn thẳng , tính góc để làm gì? Tại lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì? Các giải pháp thực Để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn hình học giải tích khơng gian, đặc biệt tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét tốn nhiều góc độ, khai thác yếu tố đặc trưng liên hệ tính chất hình học khơng gian Trong việc hình thành cho học sinh khả tư theo kiến thức hình học khơng gian điều cần thiết Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn giúp học sinh hồn thiện kỹ định hướng giải toán Thực theo bước sau: Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua buổi học có hướng dẫn giáo viên Tổ chức rèn luyện khả phân tích, định hướng giải tốn học sinh Tổ chức kiểm tra, đánh giá để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh Trong toán hình học giải tích khơng gian u cầu học sinh thực phân tích chất hình học không gian đưa hướng khai thác mở rộng cho toán Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện Sau xin giới thiệu số phương pháp giải tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng phương pháp vào việc ôn tập, giải đề minh họa đề thi thức kỳ thi tốt nghiệp qua năm Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng d , biết d qua điểm M cắt đường thẳng 1 ,  Phương pháp: Cách 1: + Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A B + Bước 2: Sử dụng điều kiện phương để tìm tọa độ điểm A : A, B, M thẳng uuuu r uuuu r hàng nên AM  k BM uuuu r + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M có VTCP AM Cách 2: + Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa 1 qua điểm M + Bước 2: Tìm tọa độ điểm B   P  � + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M B Cách 3: + Bước 1: Gọi  P  ,  Q  mặt phẳng qua M chứa 1  uu r uuur uuur n P  , n Q  � + Bước 2: Tìm tọa độ vectơ ud  � � � uu r + Bước 3: Lập PT đường thẳng d qua M nhận ud làm VTCP Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Cho hai đường thẳng x 1 y  z  x  y 1 z 1   1 :    : Viết phương trình đường 2 1 2 thẳng d qua điểm M  0;2;   cắt hai đường thẳng 1  �x  t A �y   2t � �z  4  3t � �x  t B �y   2t � �z  4  3t � �x  t C �y   2t � �z  4  3t � �x  t D �y   2t � �z  4  3t � Lời giải Cách 1: Gọi A, B giao điểm d với hai đường thẳng 1  � A   2t ;1  2t ; 1  4t  , B  1  2t ';3  3t '; 2  t '  � 2  2t  k   2t '  uuuu r uuuu r �  2t  k  1  3t ' Vì A, B, M thẳng hàng nên AM  k BM � � � 3  4t  k  2  t ' � uuu r A  1;4;  B 1;0;      � AB   2; 4;6    1; 2;3 Giải hệ PT ta tìm , Đường thẳng d qua điểm M  0; 2;   có vectơ phương �x  t uu r � ud   1;  2;3 nên có phương trình �y   2t �z  4  3t � Cách 2: ur Đường thẳng 1 qua A  2;1; 1 có VTCP u1   2; 2;4  uuur Gọi  P  mặt phẳng chứa 1 qua điểm M  0;2;   � MA   2; 1;3 r uuur ur x yz20 n� MA, u1 � � �  2;  2;     1; 1; 1 Phương trình mp  P  �x  1  2t � Phương trình tham số  : �y   3t Gọi B   P  � Tọa độ B �z  2  t � �x  1  2t �x  �y   3t �y  uuur � � �� nghiệm hệ � hay B  1;0; 1 � MB   1; 2;3 �z  2  t �z  1 � � t  1 �x  y  z   � Đường thẳng d qua điểm M  0; 2;   có vectơ phương �x  t uu r uuur � ud  MB   1;  2;3 nên có phương trình �y   2t �z  4  3t � ur Cách 3: Đường thẳng 1 qua A  2;1; 1 có VTCP u1   2; 2;4  uuur � MA   2; 1;3 uu r uuur ur MA, u1 � Gọi  P  mp qua M chứa 1 �  P  có VTPT nP  � � �  2;  2;   uu r Đường thẳng  qua B  1;3; 2  có VTCP u2   2;3; 1 uuur � MB   1;1;2  uuur uuur uu r �  7;  5;  1 MB , u Gọi  Q  mp qua M chứa  �  Q  có VTPT n Q   � 2� � Đường thẳng d qua điểm M  0; 2;   có vectơ phương �x  t uu r uuur uuur � ud  � n P  , n Q  � 8  1;  2;3  nên có phương trình �y   2t � � �z  4  3t � Nhận xét: Qua VD1, ta nhận thấy ba cách giải trên, cách có nét đặc trưng riêng Cách dễ hiểu hai cách cịn lại, song lại có khó khăn học sinh, việc em phải giải hệ phương trình phức tạp mà khơng phải em giải Chính vậy, ta nên định hướng cho học sinh áp dụng cách cách để giải Bài tốn 2: Viết phương trình đường thắng d , biết d song song với  d cắt đường thẳng 1 ,  Phương pháp: Cách 1: + Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A B + Bước 2: Sử dụng điều kiện phương để tìm tọa độ điểm A : d P uuu r r nên AB  ku r + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u Cách 2: + Bước 1: Viết PT mặt phẳng  P  chứa 1 song song (hoặc chứa)  + Bước 2: Tìm tọa độ điểm B   P  � + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B song song với  Ví dụ 2: (Đề minh họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai x 1 y  z 1 x 1 y z      đường thẳng 1 : , 2 : Phương trình đường 2 �x  � thẳng d song song với đường thẳng  : �y  1  t cắt hai đường thẳng 1 ,  �z   t � �x  �x  2 �x  2 �x  A �y   t B �y  3  t C �y  3  t D �y  3  t � � � � �z   t �z  3  t �z   t �z  3  t � � � � Lời giải Cách 1: Gọi A  d �1 , B  d � Ta có A �1 � A  1  3a;  a;  2a  , B � � B   b; 2b;   3b  uuur � AB   3a  b  2;  a  2b  2;  2a  3b   uur uuu r uu r u  0; 1; Đường thẳng  có VTCP    Vì d P � AB, u phương 3a  b   3a  b  2 a 1 � � � uuu r uu r � � �  a  2b   k � �  a  2b  k  � � b 1 � AB  ku � � � � 2a  3b   k 2a  3b  k  � k  1 � � � Ta có A  2; 3; 3 , B  2; 2;  Đường thẳng d qua điểm A  2; 3; 3 có vectơ �x  uuu r phương AB   0;  1;  1 nên phương trình � �y   t �z   t � Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng chứa 1 song song  ur Đường thẳng 1 qua M  1;2;1 có vectơ phương u1   3; 1;  uur Đường thẳng  có vectơ phương u   0; 1; 1 r ur uu r � u , u Mặt phẳng  P  qua M  1;2;1 nhận n  � �1  �  1; 3;3 làm VTPT nên có phương trình x  y  3z   Gọi B   P  � � B   2;2;2  �x  � Đường thẳng d qua điểm B song song với  nên phương trình �y   t �z   t � �x  �x  � � ( Hai đường thẳng �y   t ) �y   t trùng ) �z   t �z   t � � Nhận xét: Qua hai cách giải trên, việc sử dụng cách giải để tiếp cận toán tùy thuộc vào cảm nhận học sinh, nhiên ta thấy cách có khó khăn riêng Đối với cách giải học sinh phải đưa điều kiện phương hai vectơ, từ dẫn đến phải giải hệ phương trình ba ẩn Đối với cách giải học sinh khó khăn lập phương trình mặt phẳng  P  , mặt phẳng  P  chứa đường thẳng 1 song song  hay chứa đường thẳng  song song  , để từ lập phương trình đường thẳng d , ta phương trình có sẵn bốn phương án hay phải kiểm tra xem đường thẳng d vừa lập có phương trình trùng với phương trình đáp án Bài tốn 3: Viết phương trình đường thắng d , biết d vng góc với mp  P  cắt đường thẳng 1 ,  Phương pháp: Cách 1: + Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A B + Bước 2: Sử dụng điều kiện phương để tìm tọa độ điểm A uuu r r d   P  nên AB  k n r + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP n Cách 2: + Bước 1: Viết PT mặt phẳng  Q  chứa 1 vng góc với mp  P  + Bước 2: Tìm tọa độ điểm B   Q  � + Bước 3: Viết PT đường thẳng d qua điểm B vng góc với mp  P  Ví dụ 3: (Đề minh họa 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x  y 1 z  x3 y 3 z    1 :   , 2 : mặt phẳng 3 1 2  P  : x  y  3z   Đường thẳng d vng góc với  P  , cắt 1  có phương trình x 1 y 1 z x  y  z 1     A B 3 x 3 y 3 z  x 1 y 1 z     C D 3 Lời giải Cách 1: Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1  A, B �x   t1 �x   3t2 � � Phương trình tham số 1 : �y   2t1  : �y  1  2t2 �z  2  t �z   t � � � A   t1 ;3  2t1; 2  t1  , B   3t2 ; 1  2t2 ;2  t2  Ta có uuu r AB    3t2  t1; 4  2t  2t1;4  t  t1  Vectơ pháp tuyến  P  uuu r r r uuu r n   1;2;3 Do AB nr phương nên AB  k n �2  3t2  t1 4  2t2  2t1  �  3t2  t1 4  2t  2t1  t2  t1 � �� �   �4  2t2  2t1   t2  t1 � t1  � �� Do A  1; 1;0  , B  2;1;3 t  �2 r Đường thẳng d qua A  1; 1;0  có vectơ phương n   1;2;3 nên có phương x 1 y 1 z   trình d : Cách 2: Gọi  Q  mặt phẳng chứa 1 vng góc với mp  P  ur Đường thẳng 1 qua A  3;3; 2  có VTCP u1   1; 2;1 r nP   1;2;3  �  Q  qua A  3;3; 2  nhận Mặt phẳng  P  có VTPT ur uu r r � nQ  � u , n �1 P � 4  2; 1;0  làm VTPT nên có phương trình x  y   �x   3t �x  �y  1  2t �y  � � �� Gọi B   Q  � Tọa độ B nghiệm hệ � �z   t �z  � � 2x  y   t 1 � � hay B  2;1;3 Đường thẳng d qua điểm B  2;1;3 vng góc với mp  P  nên nhận r nP   1;2;3 làm VTCP , d có phương trình x  y 1 z  x 1 y 1 z     ) ( Trùng với đường thẳng d : 3 Ví dụ 4: (Đề minh họa 2021) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y z 1 ( P ) : x  y  z   hai đường thẳng 1 :   , 2 x  y z 1 2 :   Đường thẳng d vng góc với ( P), đồng thời cắt 1 1  có phương trình x  y  z 1 x 3 y 2 z      A B 2 2 1 x 1 y z 1 x  y 1 z      C D 2 1 2 1 Lời giải �x   2t1 �x   t2 � � Cách 1: Phương trình tham số 1 : �y  t1  : �y  2t2 �z  1  2t �z  1  t � � Giả sử đường thẳng d cắt hai đường thẳng 1  A, B � A   2t1 ; t1 ; 1  2t1  , B   t ;2t2 ; 1  t2  uuu r AB    t2  2t1 ;2t2  t1; t2  2t1  Ta có r Vectơ pháp tuyến  P  n   2;2; 1 uuu r r uuu r r Do AB n phương nên AB  k n t1  �  t2  2t1 2t2  t1 t2  2t1 Do A  1;0; 1 , B  3;2; 2  �� �   t  2 1 �2 r Đường thẳng d qua B  3;2; 2  có vectơ phương n   2;2; 1 nên có x 3 y 2 z 2   phương trình 2 1 Cách 2: Gọi  Q  mặt phẳng chứa 1 vng góc với mp  P  ur Đường thẳng 1 qua A  1;0; 1 có VTCP u1   2;1; 2  r Mặt phẳng  P  có VTPT nP   2;2; 1 ur uu r r � u , n �  Q  qua A  1;0; 1 nhận nQ  � �1 P �  3; 2;2  làm VTPT nên có phương trình 3x  y  z   Gọi B   Q  � �x   t �x  �y  2t �y  � � �� Tọa độ B nghiệm hệ � hay B  3;2; 2  z    t z   � � � � x  y  z   t 1 � � Đường thẳng d qua điểm B  3;2; 2  vng góc với mp  P  nên nhận r x3 y 2 z 2 nP   2;2; 1 làm VTCP , d có phương trình   2 1 10 Bài tốn 4: Viết phương trình đường thắng d , biết d qua điểm M , cắt đường thẳng 1 vng góc với đường thẳng  Phương pháp: Cách 1: + Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A  d �1 + Bước 2: Sử dụng điềuuukiện uu r uu rvng góc để tìm tọa độ điểm A d   nên AM u2  + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A M Cách 2: + Bước 1: Viết PT mặt phẳng  P  qua M vng góc với  + Bước 2: Tìm tọa độ điểm A   P  �1 + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A M Ví dụ 5: (Đề minh họa lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , x  y 1 z 1   , Cho điểm M  1;  1;3 hai đường thẳng 1 : 1 x  y  z 1 2 :   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt 2 đường thẳng 1 vuông góc với đường thẳng  A x  y  z  B x  y  z      4 C x   y   z  D x   y   z  2 1 1 Lời giải Cách 1: Gọi A  d �1 11 �x   t � Phương trình tham số đường thẳng 1 : �y  1  t � A  t  2,  t  1, t  1 �z   t � uuuu r Đường thẳng d có VTCP AM   1  t; t ;2  t  uu r Đường thẳng  có VTCP u2   1;4;   uuuu r uu r Vì d   � AM u2  uuuu r �  1  t   4t    t   � t  � AM   2;1;1  1 2; 1; 1 r Đường thẳng d qua M  1;  1;3 nhận u   2;  1;  1 làm VTCP nên có x 1 y 1 z    phương trình 1 1 Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M  1;  1;3 vng góc với  uu r uu r Đường thẳng  có VTCP u2   1;4;   �  P  có VTPT u2   1;4;   Mặt phẳng  P  có phương trình x  y  z   Gọi A   P  �1 Tọa độ A nghiệm hệ �x   t �x  �y  1  t �y  2 uuur � � � A 3;  2;2  � MA   2;  1;  1 hay  � � �z   t �z  � � t 1 �x  y  z   � uuur Đường thẳng d qua M  1;  1;3 , nhận MA   2;  1;  1 làm VTCP nên có phương x 1 y 1 z    trình 1 1 Ví dụ 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho x  y 1 z    điểm M  1;2;3 đường thẳng  : Đường thẳng d qua 2 M , vng góc với  cắt trục Ox có phương trình �x  1  2t �x   t �x  1  2t �x   t � � � � A �y  2t B �y   2t C �y  2t D �y   2t �z  3t �z   2t �z  t �z   3t � � � � Lời giải uuur Cách 1: Gọi A  d �Ox � A  a, 0,  Ta có MA   a  1; 2; 3 uu r Đường thẳng  có VTCP u   2;1;   uuur uu r Vì d   � MA.u  � 2a     � a  1 hay A  1, 0,  uuur MA   2; 2; 3    2;2;3 12 r Đường thẳng d qua A  1, 0,  nhận u   2;2;3 làm VTCP nên có phương �x  1  2t � trình �y  2t �z  3t � Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M  1;2;3 vng góc với  uu r uu r Đường thẳng  có VTCP u   2;1;   �  P  có VTPT u   2;1;   Mặt phẳng  P  có phương trình x  y  z   Gọi A   P  �Ox Tọa độ A nghiệm hệ �x  t �x  1 �y  �y  uuuu r � � �� hay A  1;0;0  � AM   2;2;3 � �z  �z  � � 2x  y  2z   t  1 � � uuuu r Đường thẳng d qua A  1;0;0  , nhận AM   2;2;3 làm VTCP nên có phương �x  1  2t � trình �y  2t �z  3t � Bài tốn 5: Viết phương trình đường thắng d , biết d qua điểm M , cắt đường thẳng 1 d song song với mặt phẳng  P  Phương pháp: Cách 1: + Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A + Bước 2: Sử dụng điều kiện song song để tìm tọa độ điểm A uuuu rr d P P  nên AM n  + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A M Cách 2: + Bước 1: Viết PT mặt phẳng  Q  qua M song song với mặt phẳng  P  13 + Bước 2: Tìm tọa độ điểm A   Q  �1 + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A M Ví dụ 7: (Đề minh họa 2020) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho x 3 y 3 z   , mặt phẳng  P  : x  y  z   điểm đường thẳng  : M  1;2;  1 Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt  song song với mặt phẳng  P  A x  y  z  B x  y  z      1 2 1 2 1 C x  y  z  D x  y  z      2 1 Lời giải Cách 1: Gọi A  d � �x   t � Phương trình tham số đường thẳng  : �y   3t � A   t ,  3t ,2 t  �z  2t � uuur � MA    t ;1  3t ;2t  1 r Mặt phẳng  P  có VTPT n   1;1; 1 uuur r Vì d P P  nên MA.n  uuur �  t   3t  2t   � t  1 � A  2;0;   � MA   1;  2;  1 uuur Đường thẳng d qua M  1;2;  1 , nhận MA   1;  2;  1 làm VTCP nên có phương x 1 y  z 1   trình 2 1 Cách 2: Gọi  Q  mặt phẳng qua M  1;2;  1 song song với mặt phẳng  P  r P   n Mặt phẳng có VTPT   1;1; 1 Phương trình mặt phẳng  Q  x  y  z   14 �x   t � Phương trình tham số đường thẳng  �y   3t �z  2t � Gọi A   Q  � Tọa độ A nghiệm hệ �x   t �x  �y   3t �y  uuur � � �� hay A  2;0;   � MA   1;  2;  1 � �z  2t �z  2 � t  1 �x  y  z   � � uuur Đường thẳng d qua M  1;2;  1 , nhận MA   1;  2;  1 làm VTCP nên có phương x 1 y  z 1   trình 2 1 Bài tốn 6: Viết phương trình đường thắng d , biết d đường vng góc chung ur hai đường thẳng 1  Đường thẳng 1 có VTCP u1 , đường thẳng  có uu r VTCP u2 Phương pháp: Cách 1: + Bước 1: Tham số hóa tọa độ giao điểm A B r ur uu r � � u  u , u + Bước 2: Tìm tọa độ vectơ �1 �là VTCP đường thắng d + Bước 3: Sử uuu r dụngr điều kiện phương để tìm tọa độ điểm A B AB  ku r + Bước 4: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u Cách 2: r ur uu r uu r � u , u + Bước 1: Viết PT mặt phẳng  P  chứa  có cặp VTCP u2 u  � �1 � 15 + Bước 2: Tìm tọa độ điểm A   P  �1 r + Bước 3: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP u Ví dụ 8: Trong khơng gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo �x   t �x   2t ' � � 1 : �y  1  t ,  : �y   t ' Đường thẳng d đường vng góc chung �z   t �z  2  t ' � � hai đường thẳng 1  có phương trình A x  y  z  B x  y  z      2 1 1 1 C x  y  z  D x  y  z      2 1 3 Lời giải Cách 1: Gọi A B giao điểm d với đường thẳng 1  � A   t ; 1  t ;1  t  , B   2t ';4  t '; 2  t '  uuu r � AB   2t ' t ;5  t ' t ; 3  t ' t  ur  u Đường thẳng có VTCP   1;1;1 uu r Đường thẳng  có VTCP u2   2; 1;1 r ur uu r � �u  � u , u �1 �  2;1; 3 Vì d đường vng góc chung hai đường thẳng 1  nên vectơ r ur uu r r uuu r �  2;1; 3 VTCP d Do AB u phương u� u , u � � uuu r r 2t ' t  t ' t 3  t ' t   � t  t '  � A  4;1;3 � AB  ku � 3 r x  y 1 z  A 4;1;3    , có VTCP u  2;1; 3 PT đường thẳng d qua  3 Cách 2: ur Đường thẳng 1 có VTCP u1   1;1;1 uu r Đường thẳng  qua B  2;4; 2  , có VTCP u2   2; 1;1 r ur uu r r r uu r � � � 2; 8; 4   2  1;4;2  �u  � u , u  2;1;  � n  u , u   �1 � � �uu r Gọi  P  mặt phẳng chứa  , nhận nP   1;4;2  làm VTPT Phương trình  P  x  y  z  14  Gọi A   P  �1 Tọa độ A nghiệm hệ �x   t �x  �y  1  t �y  � � �� hay A  4;1;3 � z   t z  � � � � x  y  z  14  t 2 � � 16 r Phương trình đường thẳng d qua A  4;1;3 , có VTCP u  2;1; 3 x  y 1 z    3 Ví dụ 9: (Đề minh họa 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M  1;1;3 x 1 y  z 1 x 1 y z     hai đường thẳng 1 : , 2 : PT 1 2 PT đường thẳng d qua M vng góc với 1 ,  �x  1  t �x  t �x  1  t �x  1  t � � � � A �y   t B �y   t C �y   t D �y   t �z   3t �z   t �z   t �z   t � � � � Lời giải Nhận xét: VD9 đơn giản nhiều so với VD8, đường thẳng d biết điểm qua M  1;1;3 , ta cần yêu cầu HS thực sau ur Đường thẳng 1 có VTCP u1   3;2;1 r ur uu r uu r � u , u Đường thẳng  có VTCP u2   1;3; 2  � u  � �1 �  7;7;7    1;1;1 Vì d qua M  1;1;3 vng góc với hai đường thẳng 1 ,  nên nhận �x  1  t uu r � ud   1;1;1 làm VTCP Phương trình đường thẳng d �y   t �z   t � Trên sáu tốn điển hình nói cách “ lập phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” mà học sinh thường gặp đề minh họa đề thi tốt nghiệp THPT qua năm Khi hướng dẫn học sinh giải toán này, giáo viên cần yêu cầu em nghiên cứu kĩ dạng toán, dạng toán cần phải nghiên cứu kĩ phương pháp, để từ mà vận dụng linh hoạt cho toán tương tự BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: (Mã đề 103 THPT Quốc gia 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường x 1 y z    thẳng  : mặt phẳng ( P ) : x  y  z   Đường thẳng d 1 nằm mặt phẳng ( P) đồng thời cắt vng góc với  có phương trình �x  1  t �x   t �x   t �x   2t � � � � A �y  4t B �y  2  4t C �y  2  4t D �y  2  6t �z  3t �z   t �z   3t �z   t � � � � Bài 2: (Mã đề 102 THPT Quốc gia 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm x 1 y 1 z  M  2;1;3 đường thẳng  :   Đường thẳng d qua M , 2 vng góc với  cắt trục Oy có phương trình 17 �x  2t �x   2t �x   2t �x  2t � � � � A �y  3  4t B �y   t C �y   3t D �y  3  3t �z  3t �z   3t �z   2t �z  2t � � � � Bài 3: (Đề minh họa lần năm 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , x 1 y z 1   cho điểm M  1;0;2  đường thẳng  có phương trình: Viết 1 phương trình đường thẳng d qua M , vng góc cắt  A x   y  z  B x   y  z  1 1 1 x 1 y z  x 1 y z      C D 3 2 Bài 4: (Đề minh họa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm �x   t � x2 y z2 M  1;1;2  hai đường thẳng 1 : �y  1  2t  :   Phương 1 �z  � trình đường thẳng d qua điểm M , cắt hai đường thẳng 1 ,  �x   t �x   t �x   2t �x   2t � � � A y   t B y   t C y   t D �y   t � � � � �z   t �z   t �z   t �z   t � � � � Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x  y  z x  y  z  Đường thẳng song song với d   2 :   2 1  P  : x  y  z   cắt hai đường thẳng 1;  A, B cho AB 1 : ngắn Phương trình đường thẳng d A x   y   z  B x   y   z  1 1 C x   y   z  D x   y   z  1 1 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Việc hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng phương pháp nêu để “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” thân đồng nghiệp đơn vị giảng dạy lớp mũi nhọn em học sinh có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt kết tốt qua đợt thi khảo sát, thi tốt nghiệp THPT qua năm Tuy nhiên với đề tài người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln khơng ngừng tìm tịi, tham khảo tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, 18 xâu chuỗi chúng lại cho học sinh tập định hướng để em học tập, tìm hiểu C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Với mục đích nâng cao lực tư duy, tính sáng tạo giải tốn học sinh Hy vọng với kết nhỏ bổ sung phần kiến thức cho em, giúp em nhận thức đầy đủ rèn luyện tốt kỹ giải tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” hình học giải tích khơng gian Qua thời gian thực tế giảng dạy tốn “Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm” trường THPT Thạch Thành 2, rút số kinh nghiệm sau  Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri học sinh, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng  Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập, nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em  Phải thường xun học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp  Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ em để em không cảm thấy áp lực học tập  Ln tạo tình có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tịi học tập học sinh  Đặt câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh trình giảng dạy Do thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa nhiều nên đề tài không tránh khỏi cịn nhiều hạn chế Rất mong đóng góp đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 17 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người thực Nguyễn Sỹ Thạc 19 TÀI LI ỆU THAM KHẢO Bài tập Hình học 12 - Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Bài tập Hình học 12 - Phan Huy Khải (chủ biên) - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Bài tập Hình học 12 nâng cao - Văn Như Cương (chủ biên) - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Bài tập Hình học 12 nâng cao - Phan Huy Khải (chủ biên) - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam SGK Hình học 11, Hình học 11 nâng cao, Hình học 12, Hình học 12 nâng cao Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Tài liệu tham khảo mạng Internet ……………………………………… 20 ... cứu + Các phương pháp giải toán ? ?Viết phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm? ?? + Các tập hình học giải tích không gian từ đề minh họa đề thi thức kỳ thi tốt nghiệp THPT qua năm Phương. .. phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm? ?? kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 áp dụng phương pháp vào việc ôn tập, giải đề minh họa đề thi thức kỳ thi tốt nghiệp qua năm Bài tốn 1: Viết. .. hình nói cách “ lập phương trình đường thẳng có liên quan đến giao điểm? ?? mà học sinh thường gặp đề minh họa đề thi tốt nghiệp THPT qua năm Khi hướng dẫn học sinh giải toán này, giáo viên cần yêu