Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ

Sáng kiến kinh nghiệm: Phân loại bài tập giải phương trình và bất phương trình vô tỷ đưa ra những giải pháp nhằm giúp cho các em học sinh sinh lớp 10 biết cách phân loại và nhận dạng các phương trình và bất phương trình vô tỷ. Với các bạn chuyên ngành Sư phạm Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -A ĐẶT VẤN ĐỀ I XUẤT PHÁT ĐIỂM VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình, hệ phương trình bất phương trình phần kiến thức trọng tâm then chốt chương trình đại số lớp 10 bậc THPT Ở đây, em học sinh trang bị cách đầy đủ, hoàn chỉnh chi tiết khái niệm phương trình , bất phương trình hình thành kỹ giải phương trình, bất phương trình đại số,vơ tỷ Việc giải phương trình bất phương trình vơ tỷ giúp phát triển tư học sinh đặc biệt tư lý luận tư giải vấn đề học sinh Đây lớp tốn hay, khó đem lai nhiều hứng thú cho học sinh đồng thời đem lại nhiều khó khăn bỡ ngỡ như: phức tạp khơng có bước giải mẫu mực sẵn có; tìm nghiệm mà khơng biết trình bầy, giải sai, giải thiếu nghiệm khơng tìm lời giải II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực tế cho thấy, nhiều năm qua để đánh giá khả tư phẩm chất trí tuệ học sinh thông qua kỳ thi chọn học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng người đề chọn phương trình, hệ phương trình bất phương trình vô tỷ phần chung, bắt buộc cho tất thí sinh Đây đề tài mà nhiều người quan tâm xong chưa có hệ thống đầy đủ đa dạng tập phương pháp giải khiến cho học sinh không khỏi khó khăn vướng mắc đứng trước dạng tập Kiến thức giảng dạy cho em học sinh khối lớp 10 lần tiếp cận với phương pháp học với yêu cầu đòi hỏi cao học sinh THCS khả tự học, tự nghiên cứu mà hệ thống tập sách giáo khoa lại không nhiều III GIẢ THIẾT KHOA HỌC Nếu xây dựng hệ thống tập cách hợp lý, lồng ghép vào câu hỏi, tình gợi vấn đề trình giảng dạy để học sinh chủ động tiến hành hoạt động tư tương tự hóa, tổng qt hóa … tốn với trợ giúp thích hợp giúp em phân loại, nhận dạng giải phương trình bất phương trình vơ tỷ hệ phương trình vơ tỷ đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh THPT B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHẦN 1:MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU I MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu Trước thực tế đặt trên, ta cần hướng dẫn cho em học sinh lớp 10 biết cách phân loại nhận dạng phương trình bất phương trình vơ tỷ nhằm vào mục đích sau: 1.1 Thứ nhất: giúp em giải tốt tốn giải phương trình, bất phương trình vơ tỷ, hệ phương trình vơ tỷ tốn có liên quan Hình thành hệ thống kiến thức tổng hợp vững lĩnh vực -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -1.2 Thứ hai: củng cố khắc sâu kiến thức đại số có liên quan phương trình bất phương trình bậc nhất, bậc hai, phương trình bất phương trình quy bậc hai Rèn luyện kỹ biến đổi, tính tốn 1.3 Thứ ba: rèn luyện tư linh hoạt, sáng tạo; tư giải vấn đề tư biện chứng; xây dựng phát triển lịng say mê u thích tốn học nói riêng khoa học nói chung Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích đặt trên, đề tài xác định giải nhiệm vụ sau: 2.1 Nhiệm vụ 1: Nghiên cứu sở lí luận thực tiễn việc giải tốn giải phương trình hệ phương trình bất phương trình vô tỷ 2.2 Nhiệm vụ 2: Xây dựng hệ thống tập phân dạng tập giải phương trình hệ bất phương trình vơ tỷ II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Với mục đích nhiệm vụ đặt trên, sau nhiều năm nghiên cứu thực nghiệm hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “ Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ” việc phối hợp phương pháp nghiên cứu sau: Nghiên cứu lí luận: Hình thức chủ yếu dùng nghiên cứu tài liệu lí luận phân tích tiên nghiệm Sử dụng kiến thức có sách giáo khoa theo chương trình Bộ Giáo Dục Đào Tạo, kết có số tài liệu có liên quan sở kế thừa hay, phê phán dở, bổ sung hoàn chỉnh tri thức đạt Đồng thời dựa vào yếu tố lịch sử, cách tiếp cận khác lí thuyết nghiệm phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai phương trình bất phương trình quy bậc hai để dự kiến quan niệm có học sinh tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỷ hệ phương trình tốn có liên quan Quan sát điều tra: Tiến hành theo dõi trình phát lĩnh hội kiến thức để giải tốn có liên quan đến việc giải phương trình bất phương trình vơ tỷ theo trình tự thời gian lớp đối tượng em học sinh lớp 10 lớp 11 lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc Tổng kết kinh nghiệm: Đánh giá khái quát kinh nghiệm q trình thực Từ khám phá mối liên hệ có tính quy luật vấn đề đặt Thực nghiệm giáo dục: Từ việc tạo nên loạt tác động sư phạm lên lớp đối tượng gồm em học sinh lớp10 THPT nhằm xác định đánh giá kết tác động Lấy học sinh lớp 11 12 để so sánh hiệu tác động giáo dục lên tư phẩm chất trí tuệ lực tư em giải vấn đề khác vấn đề có liên quan III tỉ chøc nghiªn cøu Thời gian nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu từ tháng năm 2011 đến tháng năm 2013 theo giai đoạn sau: -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -* Giai đoạn 1: Từ tháng năm 2011 đến tháng 10 năm 2011 Đây giai đoạn thu thập tài liệu, xác định phương pháp, nhiệm vụ vấn đề cần thiết trình nghiên cứu đề tài Lập đề cương nghiên cứu * Giai đoạn 2: Từ tháng 10 năm 2011 đến tháng 02 năm 2012 thu thập tài liệu chuyên mơn, tìm hiểu sở lí luận thực tiễn đề tài Tiến hành phân dạng tập Sau giải nhiệm vụ mang tính chất lí luận tơi xây dựng hệ thống tập mẫu có tính chất khái qt vấn đề đặt Và ứng dụng thực tiễn giảng dạy, kết hợp đồng thời với việc quan sát theo dõi trình phát hiện, lĩnh hội kiến thức học sinh * Giai đoạn 3: Từ tháng năm 2012 đến tháng năm 2012 Tiến hành thu thập kết trình thực nghiệm giáo dục lần * Giai đoạn 4: Từ tháng năm 2012 đến tháng năm 2013 Dựa kết thu thập trình thực nghiệm giáo dục lần 1, điều chỉnh tiến hành thực nghiệm lần 2, kiểm nghiệm so sánh kết lớp đối tượng học sinh thực nghiệm khơng thực nghiêm Sau tổng kết đánh giá khái quát kinh nghiệm trình thực nhằm đúc kết mối liên hệ có tính quy luật vấn đề Cuối bổ sung hoàn thiện tri thức đạt tiến hành viết sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu thực nghiệm đồng thời hai nhóm đối tượng học sinh Nhóm 1: Các em học sinh lớp 10A3,10A7 trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ xây dựng cho em sở lí luận thực tiễn việc phân loại giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Nhóm 2: Các em học sinh lớp 12A1, 12A4 trường THPT Vĩnh Lộc với nhiệm vụ ứng dụng việc giải phân loại giải phương trình bất phương trình vơ tỷ vào việc giải tốn đại số giải tích có liên quan như: giải phương trình lượng giác có chứa căn, giải phương trình hệ phương trình bất phương trình mũ, logarit có chứa PHẦN 2: CƠ SỞ LÝ LUẬN I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Khái niệm phương trình ẩn a Các định nghĩa Cho hai hàm số y= f  x  y= g  x  có tập xác định D f , D g Đặt D  D f  D g Mệnh đề chứa biến “ f  x   g  x  ’’ gọi phương trình ẩn; x gọi ẩn số (hay ẩn) D tập xác định Số x0  D gọi nghiệm phương trình “ f  x0   g  x0  ’’ mệnh đề Tập hợp tất nghiệm gọi tập nghiệm Giải phương trình tìm tập nghiệm Hai phương trình ẩn gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm b Các phép biến đổi tương đương phương trình Định lí: Phương trình f  x   g  x  có tập xác định D ; h x  hàm số xác định D ( h x  số) Khi D , f  x   g  x  tương đương với -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -f  x   h  x   g  x   h x  1) f  x  h x   g  x  h x  h x  0 với x  D 2) Hệ quả: Cho phương trình f  x   g  x  có tập xác định D 1) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f  x   g  x    f  x   n1  g  x   n1 ; n  N * 2) Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc hai: Nếu f  x  g  x  dấu x  D f  x   g  x    f  x  2n  g  x   ; n  N * 2n Khái niệm bất phương trình ẩn 2.1 Các định nghĩa Cho hai hàm số y= f  x  y= g  x  có tập xác định D f , D g Đặt D  D f  D g Mệnh đề chứa biến có dạng f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x   g  x  , f  x   g  x  gọi bất phương trình ẩn; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định Số x0  D gọi nghiệm “ f  x0   g  x0  ’’ mệnh đề Tập hợp tất nghiệm gọi tập nghiệm Giải bất phương trình tìm tập nghiệm bất phương trình Hai bất phương trình ẩn gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương phép biến đổi bất phương trình thành bất phương trình tương đương với 2.2 Các phép biến đổi tương đương bất phương trình Định lí: Cho f  x   g  x  có tập xác định D ; h x  hàm số xác đinh D ( h x  số) Khi D , f  x   g  x  tương đương với f  x   h x   g  x   h  x  1) f  x  h x   g  x  h x  h x   với x  D 2) f  x  h x   g  x  h x  h x   với x  D 3) Hệ quả: Cho bất phương trình f  x   g  x  có tập xác định D Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc lẻ: f  x   g  x    f  x   n1   g  x   n 1 ; n  N * Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc chẵn: Nếu f  x  g  x  khơng âm x  D f  x   g  x    f  x  2n   g  x ; n  N * 2n II PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Phương trình bậc ẩn Phương trình bậc ẩn có dạng ax  b 0(a 0) nghiệm là: x  b a Định nghĩa phương trình bậc hai ẩn cơng thức nghiệm Phương trình bậc hai phương trình có dạng: ax  bx  c 0 ( a 0 ) (1) b Biệt thức Denta:  b  4ac Biệt thức: ' b'  ac ; b'  Nếu   (1) vơ nghiệm Nếu ' (1) vơ nghiệm b b' Nếu  0 (1) có nghiệm kép: x  2a Nếu '0 (1) có ghiệm kép: x  a Nếu   phương trình (1) có Nếu '  phương trình (1) có nghiệm phân biệt: x1,   b  2a nghiệm phân biệt: x1,   b'  a -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -3 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh tính nghiệm phương trình a Định nghĩa: Hàm số y  f  x  hàm đồng biến khoảng (a;b) x1 , x   a; b  : x1  x  f  x1   f  x  Hàm số y  f  x  hàm nghịch biến khoảng (a;b) x1 , x   a; b  : x1  x  f  x1   f  x  Hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a;b) gọi hàm đơn điệu khoảng (a;b) b Ứng dụng: Ứng dụng 1: Cho hàm số y  f  x  đơn điệu khoảng (a;b) Khi x1 , x   a; b  : f  x1   f  x   x1  x Ứng dụng 2:Đồ thị hàm đồng biến đường lên từ trái sang phải Đồ thị hàm nghịch biến đường xuống từ trái sang phải Do hai đồ thị hàm số y  f  x  đồng biến y  g  x  nghịch biến khoảng (a;b) cắt (a;b) cắt điểm Khi phương trình f  x   g  x  có nghiệm khoảng (a;b) nghiệm Điều hai hàm đơn điệu, hàm lại hàm Chú ý: Khẳng định không y  f  x  y  g  x  hàm đồng biến nghịch biến III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Nhị thức bậc định lí dấu nhị thức bậc Nhị thức bậc là: f  x  ax  b; a, b  R, a 0 Nghiệm nhị thức x  b a Định lí: Nhị thức bậc f  x  ax  b dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm Định lí thuận dấu tam thức bậc hai Định lí: Cho tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c ( a 0 ) Nếu   tam thức f  x  dấu với a với x  R b   2a   Nếu  0 tam thức f  x  dấu với a với x  R \   Nếu   tam thức f  x  có hai nghiệm x1 ; x và: Tam thức f  x  dấu với a với x    ; x1    x ; Tam thức f  x  trái dấu với a với x   x1 ; x  Cách lấy nghiệm bất phương trình bậc hai Xét bất phương trình bậc hai: ax  bx  c 0; a 0 Dựa vào định lí thuận dấu tam thức bậc hai ta có trường hợp sau:   0 tập nghiệm bất phương trình cho Tx  R a    0  b Th2: Nếu  tập nghiệm bất phương trình cho Tx     2a  a  Th1: Nếu  -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -  tập nghiệm bất phương trình cho Tx  a     Th3:Nếu  tập nghiệm bất phương trình cho a  Tx   ; x1    x ; , x1 ; x hai nghiệm phương trình Th2: Nếu  ax  bx  c 0; a 0   Th4: Nếu  tập nghiệm bất phương trình cho Tx  x1 ; x  , a   x1 ; x hai nghiệm phương trình ax  bx  c 0; a 0 Với phương pháp tư tương tự học sinh suy cách lấy nghiệm bất phương trình dạng lại: ax  bx  c  0; a 0 ; ax  bx  c 0; a 0 ; ax  bx  c  0; a 0 Cách giải bất phương trình tích thương nhị thức tam thức Cho bất phương trình: f  x  0 ( f  x  0; f  x   0; f  x   ) f  x  tích thương nhị thức tam thức ta có hai cách giải sau: Cách 1: Lập bảng xét dấu nhị thức, tam thức có f  x  dấu f  x  sau chọn miền nghiệm bất phương trình là miền giá trị biến số làm dấu f  x  phù hợp với dấu bất phương trình Cách 2: Sử dụng phương pháp khoảng Bước 1: Tìm tất nghiệm nhị thức, tam thức có f  x  biểu diễn nghiệm bội lẻ f  x  trục số theo chiều tăng dần (nghiệm bội lẻ nghiệm lặp lại số lẻ lần ) Khi nghiệm chia trục số thành nhiều khoảng khác Bước 2: Lấy giá trị x0 trục số thuộc tập xác định không trùng với f  x  khoảng chứa x0 Dấu f  x  bị đổi dấu qua nghiệm bội lẻ xếp trục số Bước 3: Chọn miền nghiệm bất phương trình miền giá trị biến x làm dấu f  x  dấu với bất phương trình PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa thức hai vế Khi giải phương trình ta phải khử thức để đưa phương trình biết cách giải như: Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình tích… Tùy vào đặc điểm cụ thể phương trình mà ta sử dụng phương pháp thích hợp để biến đổi khử thức Để học sinh dễ tiếp cận rèn luyện kỹ biến đổi, nhận dạng phương trình, tơi thiết lập hệ thống tập từ dễ đến khó phân dạng theo phương pháp biến đổi xử lý thức sau: Dạng tập giải phương pháp biến đổi tương đương Đây dạng phương trình vơ tỷ đơn giản -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Để giải cần vận dụng số phép biến đổi tương đương thông thường nói Phần 2, mục I.1.2 để đưa phương trình cho phương trình tích phương trình hữu tỷ biết cách giải Các phép biến đổi tương đương để làm thức chủ yếu phép cô lập thức nâng lũy thừa hai vế lên bậc với bậc thức Thơng thường chúng có đặc điểm nhận dạng cách giải sau bậc hai : Dạng 1: Dạng 3: Dạng 4:  f  x  0 f  x  g  x   ; Dạng 2:  f  x g  x f  x  g x   f  x  0   h x    g  x  0  f  x     f  x   f  x  0  g  x  0  g  x   h x    h  x  0   f  x     g  x  0 f  x g  x    f  x g  x g  x g  x    h x  h  x  Tương tự ta có dạng phương trình vơ tỷ ứng với thức bậc chẵn cao bậc 4… vế trái tổng nhiều thức bậc Chú ý với dạng bậc ba bậc lẻ thuộc dạng nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện bậc chẵn Và ban đầu phương trình cho chưa dạng sau vài phép biến đổi tương đương đơn giản học sinh biến đổi dạng phương trình tích biểu thức dạng mà có vế Hệ thống tập: Bài Giải phương trình sau 1) x  3x  2 2) x  3x  2 x  3) 16 x  17 8 x  23 4) x  x  2 x  5) x   2  x 5 6) x   x  4 7) x   x    x 8) x   x  x  9) x  x   x  x   10) x   x  3 12) x   x  5 x   x  3 x  13) x  x   x  2 x  15) x2 3x  x  1  x  11) 17) x  x   x  2 x  19) x x  1  x x  2 2 x x 3 7 x  12 x  12 64 16)   x 12 14) x  x   x  x   18) x   x   2 x  3  2 x  1 20) x  x    x  1 x  x  x 0 Ví dụ: Giải phương trình sau 20) x  x    x  1 x  x  x 0 Giải: 20)   x  1  x     x  1 x  x x  1 0   -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -   x 1  x x  1   x   0  x   0 *    x    x x  1 x   0  x     x  1 x 0 * * Giải (*)  x  1  x  1  x 2  x  0  Giải (**)  x  1   x  1 x   x x  1 0   x  1  x x  1  x  x      x 1  x 1 (vô nghiệm)     x  x  x  x   x  x   x  1    Kết luận: Tập nghiệm phương trình Tx  2 Dạng tập giải phương pháp đặt ẩn phụ Sau dạng phương trình vơ tỷ không Để giải sử dụng số phép biến đổi tương đương thông thường nói biến đổi nhận phương trình phức tạp khơng giải Vì đòi hỏi học sinh phải quan sát thật tinh tế biểu thức có phương trình biến đổi chúng thành biểu thức chung, giống sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình cho phương trình hệ phương trình biết cách giải Như tơi chia lớp toán thành ba dạng đặt ẩn phụ khác tùy vào đặc điểm nhận dạng cách giải cụ thể chúng sau: a Đặt ẩn phụ đưa phương trình dễ giải Đặc điểm nhận dạng: Quan sát phương trình ta thấy biến đổi biểu thức chứa ẩn phương trình biểu thức giống Khi ta thực bước giải sau: Các bước giải: Bước 1: Quan sát phương trình biến đổi để tìm biểu thức giống k  x  đặt biểu thức lầm ẩn mới: t k  x  Bước 2: Tìm điều kiện ẩn sở điều kiện ẩn cũ (nếu có) Đây tốn tìm miền giá trị hàm số t k  x  ( tốn tìm max, hàm số ) Bước 3: Biến đổi phương trình cho phương trình (chỉ chứa ẩn mới, khơng cịn chứa ẩn cũ) Bước 4: Biến đổi yêu cầu toán cũ thành toán cho phù hợp với yêu cầu phương trình Giải tốn mới, tìm nghiệm ẩn Bước 5: Thay nghiệm ẩn vừa giải vào cách đặt bước để tìm nghiệm biến cũ Hệ thống tập: Bài Giải phương trình sau -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -1) x  3 x  2) x    x 3) x   x  4) 5) x  x  x  x  12 6) x   x   10 0 x x  x x 56 7) x  x  5 8) x x  1  x  x  25  x 9)  x  5 x  1  4 x  3 x 1  0 x 10) x    x  x  x  11 11) 12) x   x  x  x 3 x  x   x  x 35  x x2 13)  x   x 2  14) x    x 5   x  1  x   x  1 16) 15) x    x  17) x   x 2  x  x 2 3 x x2 3 4 x2 3 x 18) x  x   x  20) x   x3 16  x  1 a 19) x   x 2  3x  x 21)  10  x  22) x   x  2 x   x  23)  10  x  1 x  x2  x  1 x 24) x   x  x  0 25)  x  5  x  3 x  3x 26)  x 1  x  x 35 x  ; 2 x   27) x  28) 29) 2x x x  12 4x x  4 x x  30) x    x   4x 2 Ví dụ 1: Giải phương trình sau 15/ x    x   x  1 2  3 ;  2  Đặt t  x    x  t    x    3x   x  x  t t2 t4 2    x  1    (đk: t 2 )   x  1 2t  Giải: Đk: x   Thay vào phương trình 16) ta được: t4 2t 2t   t  8t  8t 0   t 0   t  8t  0 Với t=2 thay vào cách đặt được:  x  1 t 0 l  t   t     t     l  t  2t  0   x  2 4     x    x 2   x    1 Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm là: Tx  ;  2 2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau 26)  x 1  x  -Ths Phạm Thị Nga Trang Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Giải: Đk: x 1 Đặt  x a  a 2  x  x 2  a Thay vào phương trình 27) ta được:  a 1  a 1 a 1   a   a 1  a      2  1  a   2a  a 0  1  a  1  a 3    a 0  a 1   a  Với a=0 thay vào cách đặt được: x=2 (thỏa mãn) Với a=1 thay vào cách đặt x=1 (thỏa mãn) Với a=-2 thay vào cách đặt x=10 (thỏa mãn) Kết luận: Tập nghiệm phương trình Tx 1;2;10 Ví dụ 3: Giải phương trình sau 28) x  x x2   35 12 Giải: Nhận thấy điều kiện xác định có nghiệm phương trình là: x2    x  1;  x  Khi ta có : x    x x2    35 x2 2x 1225  x2    12 x 1 x  144 x2 x2   x2 x2 1225 x4    2 x2  x2  x  144 x2 1225  144 x 1 Đặt x2 x2  t  t    25 t  12  tm  1225   Khi phương trình cho trở thành: t  2t  144 t  49  l   12 x 25 25   12 x 25 x  Với t  thay vào cách đặt được: 12 x  12  25  x   x 3    144 x 625 x   144 x  625 x  625 0    x  25  x 5   16    5 Đối chiếu với điều kiện ta có tập nghiệm phương trình là: Tx  ;   4 b Đặt ẩn phụ đưa phương trình chứa hai ẩn Phương pháp giải: Ngồi dạng phương trình vơ tỷ nói trên, ta cịn gặp phương trình mà biến đổi biểu thức chứa ẩn biểu thức giống Ta đặt thức làm ẩn biến đổi phương trình cho phương trình mà có chứa hai ẩn cũ Lúc ta coi hai ẩn làm tham số, giải phương trình với ẩn cịn lại thay kết vừa tìm vào cách đặt để tìm ẩn ban đầu Về thực chất phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ xong ta không rõ hệ mà Đặc điểm nhận dạng: phương trình thường xuất biểu thức tích thức với đa thức chứa ẩn, đồng thời xuất đa thức bậc hai đa thức có bậc với bậc đa thức -Ths Phạm Thị Nga Trang 10 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vô tỷ -Hệ thống tập: Bài Giải phương trình sau 1)  x  1 x  2 x  x  2) 21  x  x  x   x  x  3) x  3x   x  3 x  4)  x  1 x  2 x  x  5)  x  3 10  x  x  x  12 6) x  x x   2 x  1 0 Ví dụ: Giải phương trình: 1)  x  1 x  2 x  x  Giải: Đặt t  x  1 t 1  t  x   x t  Thay vào phương trình 1) ta được:  x  1t 2t  1  x   2t   x  1t  x  0* Nhận thấy phương trình (*) có:  t  x  3 t  x  nên ln có hai nghiệm là:  t  l   Với t 2 x  thay vào cách đặt ta được:  x     x  0 x  x  2 x         x 0  x  2 x   x  x    x  x 0    x    4 Kết luận: Tập nghiệm phương trình Tx    3 c Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Có nhiều phương trình vơ tỷ khơng thể xử lí phương pháp đặt ẩn phụ ta đặt thêm hai ẩn biến đổi thành hệ phương trình hai ẩn để giải Sau tìm nghiệm hệ thay vào cách đặt ta phương trình Giải phương trình tìm ghiệm phương trình cho.Hệ thống tập: Bài Giải phương trình sau 1) x  23 x  2) x  43 x  5)  x 1  x  3) x   x  4) x  10  x  6)  x  23  x 3 7) x  x  3 8) 8  x     x  x  27    x  27  7 Ví dụ: Giải phương trình sau: 1) x  23 x  Giải: Đặt y 3 x   y 2 x  (*) Thay vào 1) ta được: x  2a (**)  y 2 x   y  x 2 x  y    Từ (*) (**) ta có hệ:   x 2 y   x 2 y   x y  x y     x  xy  y  0 vn    x  x      x 2 y  Vậy tập nghiệm phương trình là:  x 1  x      1  Tx  1;    -Ths Phạm Thị Nga Trang 11 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Ví dụ 2: Giải phương trình sau: Giải: Đặt 8) 8  x     x  x  27    x  27  7  a 3  x  a 8  x   a  b 35   3  b  x  27  b  x  27  Thay a, b vào phương trình 11) ta được: a  ab  b 7 Do ta có hệ phương trình:    a  b 35   a  b  a  ab  b 35  a  b 5  a  b 5        2 2  a  ab  b 7  a  ab  b 7  ab 6   a  b   3ab 7  a 2  a 3   Thay vào cách đặt ta được:  b 3  b 2   x 2 3  x  27 3   x 3 3  x  27 2  x 0 x  19 Kết luận: Tập nghiệm phương trình là: Tx  0; 19 Dạng tập giải phương pháp nhân liên hợp Ngoài hai phương pháp khử thức phương trình vơ tỷ tùy vào đặc điểm cụ thể biểu thức phương trình mà ta sử dụng đẳ thức sau để tạm thời phá biến đổi tương đương phương trình cho phương trình tích:  a  b  a  b  a  b ;  a  b a  ab  b  a  b ;  a  b a  ab  b  a 3b Khi ta gọi  a  b   a  b  ;  a  b   a  ab  b  ;  a  b   a  ab  b  biểu thức liên hợp Và gọi phương pháp biến đổi phương pháp nhân liên hợp Chú ý: 1> Khi sử dụng phương pháp nên tìm điều kiện xác định phương trình trước 2> Khi nhân hai vế phương trình với biểu thức liên hợp phải ý điều kiện khác biểu thức 3> Chỉ sử dụng phương pháp sau nhân liên hợp làm xuất biểu thức giống phương trình để đưa phương trình cho phương trình tích Hệ thống tập Bài Giải phương trình sau 1) 4x 1  4) 21  x  21  x 21  x  21  x 6)  1 x Ví dụ 1:  3x   1 1 x x 3 2) 32  x   2 x  x   21 x 5)   x     x  x  27    x  27  7  x 7) x  13x   x  0 Giải phương trình sau: 1) Giải: Điều kiện 3)  x   x  x x 4x 1  3x   x 3 Khi nhân hai vế 1) với x   3x   ta được: -Ths Phạm Thị Nga Trang 12 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -1)     4x 1   x 3  x 3  3x    x 3  x   3x    x   x    x  3   4x 1   x  0  x 3 l    x   x    x  1 3x  2 25  12 x  x  26  x x   x    26 2 26 2  x   x     3    x 2 x 2  x  344 x  684 0       x 324 Kết luận: Tập nghiệm phương trình Tx  2 Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 5)   x     x  x  27    x  27  7 Giải: Nhận thấy 3  x  x  27  0x  R Nhân hai 5) với 3  x  x  27  Ta được: 2 5)  3  x  x  27    x     x  x  27    x  27  73  x  x  27        3   x  x  27 7  x  x  27    x  x  27    125 8  x  x  27  33   x  x  27   x  x  27   8  x  x  27  6  x 0   x  19 x 0    x  19 Kết luận: Tập nghiệm phương trình Tx  0; 19 Dạng tập giải phương pháp đánh giá Khi gặp phương trình vơ tỷ mà không sử dụng ba phương pháp ta nghĩ đến phương pháp đánh giá để giải phương trình Và đơi lại phương pháp giải ngắn gọn độc đáo Tuy nhiên giải phương pháp mà phải dựa vào đặc điểm riêng biệt loại phương trình Thơng thường loại phương trình hay vơ nghiệm có nghiệm Do ta thường nhẩm lấy nghiệm dùng hàm số bất đẳng thức để đánh giá chứng minh tính nghiệm Do ta có hai kiểu đánh sau: Kiểu 1: Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hai vế phương trình vế trái (VT) vế phải (VP) sau: VT a  VT a  Nếu VP a  VT VP   VP a   Kiểu 2: Dùng hàm số để đánh giá Cụ thể dùng tốn tìm giá trị lớn nhỏ để đánh giá hai vế sử dụng tính đơn điệu hàm số đế chứng minh tính nghiệm trình bầy Phần mục III.3 Hệ thống tập Bài Giải phương trình sau 1) x  x  12 x  36 2) x    x  x  x  11 3) 2 4) x   x  1 x  15 3 x   x  5) x  x   x  2  x    x 6) x  11x  25 x  12  x  x  -Ths Phạm Thị Nga Trang 13 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -  x  1 x   y  3  y 0 1  7)  x   4   x   8)  2 x x   x  y   x 7 9) 3x  x   x  10 x  14 4  x  x Ví dụ 1:Giải phương trình 1) x  x  12 x  36 Giải: Đk: x  Cách 1: Nhận thấy phương trình 1) có nghiệm x=3 Ta chứng minh nghiệm Thật vậy: x2  Với x>3  x 3 x    12     VT  x  x  12  x   24 x   36 VP nên phương trình 1) khơng có nghiệm x>3 x2  Với   x     x 3   VT  x  x  12 x   36 VP  x    12 x   24 nên phương trình 1) khơng có nghiệm x0 ( Chú ý: Học sinh lớp 10 xét tính đơn điệu sách giáo khoa 10 hướng dẫn) Do ta có: -Ths Phạm Thị Nga Trang 14 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -5)  f  x  3  f 1   x   x  1   x  x   x   x   x 3         x 1    x 1  x  x  0   x  x     x 3  Kết luận: Tập nghiệm phương trình Tx 1;3 II PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Bất phương trình vơ tỷ bất phương trình có chứa thức hai vế Vì bất phương trình vơ tỷ ta áp dụng cách phân loại tập phương pháp giải Tuy nhiên phương pháp biến đổi tương đương việc biến đổi bất phương trình đỡ phức tạp ta chia giải thành trường hợp nhỏ Hơn nữa, phương pháp đặt ẩn phụ để giải bất phương trình phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình chứa hai ẩn đặt ẩn phụ đưa hệ bất phương trình lại tỏ khơng hiệu việc đánh giá xét dấu với hai ẩn khó khăn nên hạn chế dùng Dạng tập giải phương pháp biến đổi tương đương Đây dạng bất phương trình vơ tỷ đơn giản Để giải cần vận dụng số phép biến đổi tương đương thông thường nói Phần 2, mục I.2.2 để đưa bất phương trình cho bất phương trình tích bất phương trình hữu tỷ biết cách giải Các phép biến đổi tương đương để làm thức chủ yếu phép cô lập thức nâng lũy thừa hai vế lên bậc với bậc thức Thơng thường chúng có đặc điểm nhận dạng cách giải sau bậc hai :  g  x   f  x  0  Dạng 1: f  x   g  x        Dạng 2: f  x   g  x    f  x  0  f  x  g  x f x g x   g  x  0  g x  Dạng 3: f  x   g  x        f x 0  f  x  g  x Dạng 4: f  x   h x    f  x  0  g  x   h x    g  x  0   f  x    Dạng 5: f  x   h  x  0  f  x  0  g  x   h x    g  x  0   f  x    g x g x    h  x h  x   h x     f  x  0  g  x  0  Đối với bất phương trình có đấu ;  phương pháp biến đổi tương tự khác điều kiện xác định không ngặt nghèo mà hàm số dấu điều kiện cần không âm Tương tự ta có dạng bất phương trình vơ tỷ ứng với thức bậc chẵn cao bậc 4… vế trái tổng nhiều thức bậc -Ths Phạm Thị Nga Trang 15 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Chú ý với dạng bậc ba bậc lẻ thuộc dạng nâng lũy thừa hai vế ta không cần nhiều điều kiện bậc chẵn Hệ thống tập: Bài 1: phương pháp biến đổi tương đương a Phương pháp luỹ thừa hai vế 1) x   2)  x  x 3) x   x  x  4) 3x    x 5) x  x   x  6)  x  x    x 7)  x  5 3x  4  4 x  1 8)  x  1  x   x  9) x  x   10) x   x   x 11) x    x  x 12) x  x  1  x 13) x   x   x  14) x  13  3x   x  27 15) x   x    x 16) x   x  3 x 17) x  x   x  x   b Phương pháp chia khoảng Để trình biến đổi đỡ phức tạp biến đổi bất phương trình cho dạng tích cần quy đồng hai vế bất phương trình vơ tỷ ta chia thành trường hợp để giảm bớt phức tạp cho việc giải bất phương trình 1)  x  5  x  4 x  x  15 2) x  3x   x  x  2 x  x  3)  7) 1 4x2 3 x 4)   x2 3x 1 x2 5)  24  x  x 1 x 12  x  x  x  11 6) 12  x  x 2x  2x  8) x  x   x  3x   x  Dạng tập giải phương pháp đặt ẩn phụ Bài 2: ( Phương pháp đặt ẩn phụ ) 2 x  3x   1) x  10 x  7  x  x 4 2x 4) x 7) x  x   x  x  44  x x  2x  x 1 x 1  3 x x 2) 5) x x 8)  2x  7 2x  x   x 2  3) 6) x  x2 x  x x  x   x   x   12  2x  9) x  x  x   10 x 15 10) x  x  3  x  x  11) x   x   49 x  x  42  181  14 x 12) 2 x x    x  x   x    13)  x 1   x  1  3x x   14) x   x   2 x  3  2 x  1 15) x   x  x  3 x (KB-2012) 16) Với giá trị m bất phương trình: 1  x   x   m   x  x  3 1 thỏa mãn x  [ ;3] Dạng tập giải phương pháp nhân liên hợp Bài 3: ( Phương pháp nhân liên hợp) 1)  1 4x 3 x 2)  x   x  x  4) 4 x  1   x  10  6)  x 5    2x   x   x  x  15 8 4x2 3)  1 5) x   7) 3  2x 1 2x   2x  x2  x 2  2x   x  21 -Ths Phạm Thị Nga Trang 16 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -4 Dạng tập giải phương pháp đánh giá Bài 4: ( Phương pháp đánh giá)  x x  x   x  4 x  x    2 2 1)  x   x 3 , 2) x  x   x  x  2 ,3)  x  1  2   3 x2 x Một số toán tốn chứa tham số Bài Tìm m để phương trình,hệ phương trình sau có nghiệm thực x 1 m ; x a)  x   x    x   x  m ; b)  x  3 x  1  4 x  3  x 1 y 1  2   x y c)  (HSG-2010)   m  x  y   y  y  x  x 3  x d)   y   y m  x  Bài Giải biện luận phương trình sau a/ x  a  a  x m e/ x   a  x b/ x  x a  x c/ x  2ax  a  x  2ax  a  2a c/ a  x x  b  a  x  a III HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CỦA HỆ THỐNG BÀI TẬP Hướng dẫn đáp án tập phương trình hệ phương trình vô tỷ  21 Bài 1: 1) Tx  0,3 , 2) Tx  5 ,3) Tx  4 ,4) Tx 1 ,5) Tx  ,6) T   7) Tx  5;6 x 8)   Tx    3 , 9)  5 Tx  ,   10) Tx   6;1 , 11) 14) Tx 1;5 ,15) Tx 1 ,16)  7.12  Tx  7    256  3  Tx  1;2;  2  12) Tx  , 13) Tx   1;1 , , 17) Tx  1 ,18) Bài 2: 1) Tx  0, 1 , 2) Tx  1 , 3) Tx  7 , 4) Tx 1024 ,5)   21   17  ; ,   7) Tx   17  Tx   ,  2  37 Tx   3 ;  ,16) Tx   2;0;2  2 1     18) a    ;   Tx ; a   ;  Tx  a  a  , 19)    t   4x Bài 4:  9  3     13  2) Tx 1;  ,3) Tx  27  ,4)      841     137  ,17) T x  1   ;   2  2  Tx     ,29) HD: x2   Tx   ;2 ,5) Tx   3 ,     10  55  Tx      3     Tx  ;      3  Tx      Bình phương hai vế, chia hai vế cho x , đặt t 4 x  Bài 3: 2) Tx   1 6 , 3) Tx   8 , 4) x  3     1 T x  ;  ,20) Tx  0; ;  ,21) Tx   2   22) Tx  2 , 23) Tx  0;1 , 24) Tx 1;2  2 25) Tx   4;1 , 27) 30) HD:Bình phương hai vế, đặt  9 Tx  0,   8 , 6) Tx   3;24 8) Tx   2;5 , 9) Tx 1  5;1  13 , 10) Tx  3 ,11) T  12) Tx 1 ,13) Tx  0 ,14) Tx  0;3 ,15) Tx   19) 6)   29  Tx   ;2    25  ,5) Tx 1;2;10 ,6) Tx  0 ,7) T x   13  1;2;    -Ths Phạm Thị Nga Trang 17 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Bài 5: 2)  11 3  T x  3; ,    1 3) Tx  0 , 4) Tx  21 , 6) Tx   ,7) T x  23  17   0;     4 Bài 6: 2) HD:dùng Bunhiaccôpxki đánh giá vế trái, VP  x  3   Tx  3 3) Tx 1 , 6)HD sử dụng Côsi cho vế trái  Tx 1;7 , 7) dùng Bunhiaccôpxki Tx 1 , 8)     x   x   y   y   x  y   x 7        Dùng hàm số T x;y    ;2  , 9) Tx   1 Hướng dẫn, đáp án tập bất phương trình,hệ bất phương trình vơ tỷ Bài 1a: 1) T  5) Tx   ;  x 3    3  ;4  ,2) Tx 1;     2 7    3; ,6) Tx   ,3) T x     57    65     65     ; ; ,4) Tx  ;2  ,   2         7  ;4  \ 1 ,8) Tx   1;2   ; ,   2   ,7) Tx   ; 5   9)    12   16  ; 11) Tx  ,12) Tx   ; 2   0; ,13) Tx   ; 4    3;2 , Tx 3;  ,10) Tx   5   14)  458  10521  Tx   ;23 , 118   15) Tx  4;5   6;7 , 1  Tx   ; ,   16)   13  11   1 ; 2   2; ,2) Tx   ; ,3) Tx   ;  \  0  2 2    Bài 1b:1) Tx  ,4 T x 17) Tx  R   1    ; ;    2  5 1  5) Tx   6;4 \  0;3 ,6) Tx  ,7) Tx  2; ,8) Tx   ;  2   3  1 Bài 2:1) Tx   ; 3  1; ,2) Tx  0;  ,3) Tx   1;0  1;2 ,4) Tx   ; 8  5) T x  16  252   16  252     0; ;   4      ,6) Tx   2;4 \ 1  5;1  5 ,7) Tx  ,8) Tx   1;1 ,9 T 10) Tx   3;1 ,12) Tx  ;2   ,13) Tx   1; ,14) Bài 3:1) T x  1  ;  \  0 ,2) Tx  2 Bài 4:1) T x  ,2) T x x  32       '       55    55   ; ;  2       17  Tx      4   ,15) Tx 0;    4;  45 17     1;0 ,3) Tx  ;  \  0 ,4) Tx  ;3  5) Tx  ,6) Tx  4; ,7) Tx  ; 18  1  0;  ,2)HD:  8       dùng Côsi Tx 1 ,3) HD: dùng Côsi Tx VI Thực nghiệm kết thực nghiệm Kết đạt trình nghiên cứu Trên tơi vừa trình bầy nội dung sang kiến kinh nghiệm phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ Tồn kiến thức sử dụng viết trang bị đầy đủ chi tiết chương trình học tập học sinh lớp 10 lớp 12 theo chương trình sách giáo khoa biên soạn Bộ Giáo Dục đào Tạo Kết đạt là: 1.1 Kết thứ nhất: Tìm bốn cách giải tốn giải phương trình bất phương trình bậc hai -Ths Phạm Thị Nga Trang 18 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -1.2 Kết thứ hai: Ứng dụng toán để giải số vấn đề đại số giải tích có liên quan đến phương trình bất phương trình vơ tỷ 1.3 Kết thứ ba: Rèn luyện tư linh hoạt sáng tạo, tư giải vấn đề, tư biện chứng, xây dựng phát triển say mê u thích tốn học Kết thực nghiệm cho thấy tiến em học sinh thể rõ rệt Các em giải tốt toán đặt cách linh hoạt sáng tạo Đứng trước toán em tỏ tự tin, chủ động linh hoạt để phân tích nhận định tốn nhằm lựa chọn cách giải thích hợp ngắn gọn Giờ học tốn tiết kiểm tra em hào hứng chờ đợi, đặc biệt luyện tập em thi đua tìm lời giải hay, cách giải đẹp làm khơng khí học tập lớp sôi Phương pháp đánh giá Để đánh giá hiệu sau 24 tuần giảng dạy học tập tiến hành kiểm tra đánh giá hai thời điểm sau 12 tuần sau 24 tuần kiểm tra đánh giá chuyên môn 2.1 Bài số 1- Lớp 10: Bài kiểm viết tra chương 3, Phương trình số phương trình quy bậc hai - Lớp 12: Bài kiểm tra chương 1:Ứng dụng đạo hàm hàm số 2.2 Bài số Lớp 10: Bài kiểm tra viết chương 4, Một số phương trình bất phương trình quy bậc hai Lớp 12: Bài kiểm tra chương 2, phương trình, bất phương trình mũ logarit Kết thực nghiệm Kết kiểm tra lớp không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp 10A7 Sĩ số 42 Lớp 12A1 Sĩ số 44 Số lượng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) Kết ban đầu 5% 17 Bài kiểm tra số Bài kiểm tra số Kết ban đầu Bài kiểm tra số Bài kiểm tra số 2 3 5% 7% 5% 7% 7% 18 19 17 18 19 Số lượng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) 41% 20 48% 4% 2% 43% 45% 38% 41% 43% 45% 43% 50% 48% 48% 2 1 5% 2% 5% 2% 2% 1 1 2% 2% 2% 2% 0% 19 18 22 21 21 Kết kiểm tra lớp áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 10A3 Sĩ số 45 Kết ban đầu Bài kiểm tra số Bài kiểm tra số Kết ban đầu Kém Số lượ ng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) Số lượng Phần trăm(%) 4% 11% 20% 7% 18 19 20 16 40% 42% 44% 36% 20 20 16 22 45% 45% 36% 50% 7% 2% 0% 5% 0 4% 0% 0% 2% -Ths Phạm Thị Nga Trang 19 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Bài kiểm Lớp 14% 19 43% 18 41% 2% 0% tra số 12A4 Bài kiểm 11 25% 19 43% 14 32% 0% 0% Sĩ số tra số 44 Thông qua hai kết ta thấy thành tích học tập em học sinh hai khối lớp có thực nghiệm khơng thực nghiệm có tăng trưởng đáng kể Tuy nhiên mức độ tăng trưởng nhóm khác Đối với khối lớp khơng có thực nghiệm giáo dục, tăng trưởng chậm, chủ yếu diễn số học sinh khá, số học sinh yếu có giảm khơng đáng kể Cịn khối lớp có thực nghiệm q trình tăng trưởng có nhiều bước đột phá, đặc biệt số học sinh giỏi, số yếu khơng cịn C KÕt ln I GIÁ TRỊ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Do hệ thống tập phân loại từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nên dễ dàng sử dụng giảng để giảng dạy cho tất em học sinh từ học lực yếu, trung bình đến học sinh giỏi luyện thi đại học Giúp em nhận thức đầy đủ kiến thức, phương pháp có nhiều hội để rèn luyện kỹ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình Mặt khác với hệ thống tập ví dụ minh họa hướng dẫn, đáp án kèm theo nên sử dụng sáng kiến kinh nghiệm để làm tài liệu tham khảo cho em học sinh tự học, tự rèn luyện II Đề xuất kiến nghị ti ny cịn khai thác mở rộng thêm lớp toán giải biện luận phương trình, hệ phương trình bất phương trình vơ tỷ Đây lớp tốn lớn có phương pháp giải vấn đề Thông qua sáng kiến kinh nghiệm, thực muốn chia sẻ kinh nghiệm nhỏ thân với đồng nghiệp Rất mong có quan tâm góp ý Tôi xin chân thành cảm ơn! Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa ngày 10 tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm khơng chép nội dung người khác Người viết PHẠM THỊ NGA -Ths Phạm Thị Nga Trang 20 Phân loại tập giải phương trình bất phương trình vơ tỷ -Ths Phạm Thị Nga Trang 21 ... dấu với bất phương trình PHẦN 3: PHÂN LOẠI BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa thức hai vế Khi giải phương trình ta... Tập nghiệm phương trình Tx 1;3 II PHÂN LOẠI BÀI TẬP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ Bất phương trình vơ tỷ bất phương trình có chứa thức hai vế Vì bất phương trình vơ tỷ ta áp dụng cách phân loại. .. thuyết nghiệm phương trình bất phương bậc nhất, bậc hai phương trình bất phương trình quy bậc hai để dự kiến quan niệm có học sinh tốn giải phương trình bất phương trình vơ tỷ hệ phương trình tốn