Luận văn thạc sĩ bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt thuần nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MƠNG THỊ NGUYỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MƠNG THỊ NGUYỆT BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN NHẤT Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS PHẠM THỊ THỦY THÁI NGUYÊN - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Mơng Thị Nguyệt ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Thủy Nhân dịp em xin cám ơn Cô hướng dẫn nhiệt tình truyền thụ kinh nghiệm q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Thái Nguyên đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tơi mặt q trình học tập hoàn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 Tác giả luận văn Mông Thị Nguyệt iii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng 1.1.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Phép biến đổi Fourier L (Rn ) 1.2.1 Biến đổi Fourier L (Rn ) 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier L (Rn ) Phép biến đổi Fourier L (Rn ) 12 1.3.1 Biến đổi Fourier L (Rn ) 12 1.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier L (Rn ) 15 1.4 Các công thức đơn giản biến đổi Fourier 17 1.5 Biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản 20 1.2 1.3 1.5.1 Biến đổi Fourier hàm f (x) = e−x R1 −ax2 20 1.5.2 Biến đổi Fourier hàm số f (x) = e (a > 0) R1 22 1.5.3 Biến đổi Fourier hàm f (x) = e−a|x| (a > 0) 23 n − ∑ j xi x j 1.5.4 Biến đổi Fourier hàm f (x) = e i, j=1 BÀI TỐN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN 23 iv NHẤT 2.1 26 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 2.2 2.3 26 2.1.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 26 2.1.2 Tìm nghiệm toán (2.1.1),(2.1.2) 27 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số Rn 31 2.2.1 Bài toán Cauchy 31 2.2.2 Nghiệm tốn (2.2.1), (2.2.2) cơng thức Poisson 31 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn 2.4 34 2.3.1 Bài toán Cauchy 34 2.3.2 Tìm nghiệm tốn (2.3.1), (2.3.2), cơng thức Poisson suy rộng 34 Một vài ví dụ 37 2.4.1 Phương trình với hệ số 37 2.4.2 Phương trình với hệ số trường hợp A = a2 E 38 2.4.3 Trường hợp biến không gian 38 2.4.4 Trường hợp biến không gian 39 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trình dạng parabolic lớp phương trình mơ tả q trình truyền nhiệt, khuyếch tán Bài tốn nghiên cứu từ lâu lý thuyết đến tương đối hồn chỉnh Khi nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà tốn học Pháp Poisson thiết lập cơng thức tính nghiệm, mang tên ơng có nhiều ứng dụng.Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp biến đổi Fourier áp dụng kết đạt việc nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt nhất, chúng tơi chọn " Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt nhất" làm đề tài nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp biến đổi Fourier áp dụng việc giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan phương trình đạo hàm riêng biến đổi Fourier L (Rn ), L (Rn ), với tính chất chúng - Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 , Rn hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn - Trình bày cơng thức Poisson cho nghiệm tường minh tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt thơng qua số ví dụ Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp biến đổi Fourier, phương pháp giải tích để nghiên cứu tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức chuẩn bị để thực nội dung chương sau: phân loại phương trình đạo hàm riêng, trình bày hệ thống phép biến đổi Fourier L (Rn ), L (Rn ), công thức đơn giản biến đổi Fourier, biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản Chương 2: Là nội dung luận văn Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 Rn Tiếp đến việc mở rộng tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số phụ thuộc biến thời gian Rn giải số ví dụ Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, ta nhắc lại số kiến thức quan trọng làm tảng để nghiên cứu chương sau Đó kiến thức phương trình đạo hàm riêng biến đổi Fourier Các nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] 1.1 1.1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Định nghĩa 1.1.1.1 Giả sử u = u(x1 , x2 , , xn ) hàm xác định Rn Một phương trình liên hệ ẩn hàm u(x1 , x2 , , xn ), biến độc lập x1 , x2 , , xn đạo hàm riêng gọi phương trình đạo hàm riêng Phương trình có dạng: F(x1 , ., xn , u, ∂u ∂ ku ∂u , , , , k , ) = ∂ x1 ∂ xn ∂ x ∂ xnkn Định nghĩa 1.1.1.2 Giả sử u = u(x, y) hàm xác định R2 , a(x, y), b(x, y), c(x, y) ∈ R2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến phương trình có dạng: a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F(x, y, u, ux , uy ) = a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực auxx + 2buxy + cuyy + F(x, y, u, ux , uy ) = Xét điểm (x0 , y0 ) cố định Phương trình (1.1.1) điểm (x0 , y0 ) gọi là: (1.1.1) - Thuộc loại elliptic điểm đó: b2 − ac < - Thuộc loại hyperbolic điểm đó: b2 − ac > - Thuộc loại parabolic điểm đó: b2 − ac = Nếu phương trình (1.1.1) điểm miền G thuộc loại ta nói phương trình thuộc loại miền G b) Dạng tắc phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hai biến Ta đưa phương trình (1.1.1) dạng tắc sau: - Với b2 − ac > dạng tắc phương trình loại hyperbolic là: uxx − uyy = φ hay uxx = φ - Với b2 − ac < dạng tắc phương trình loại elliptic là: uxx + uyy = φ - Với b2 − ac = dạng tắc phương trình loại parabolic là: uxx = φ 1.1.2 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Định nghĩa 1.1.2.1 Giả sử u = u(x1 , x2 , , xn ) hàm xác định Rn Phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp n - biến phương trình có dạng: n ∑ j uxi x j + F(x1 , , xn , u, ux1 , , uxn ) = (1.1.2) i, j=1 với j = a ji hàm biến x1 , , xn Ký hiệu x = (x1 , , xn ) điểm không gian Ơ – clit n chiều a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp nhiều biến Xét ma trận : A(x) = j (x) (1.1.3) Coi (1.1.3) ma trận đối xứng Ta cố định điểm x0 = (x10 , , xn0 ) Khi ma trận A(x) trở thành ma trận A(x0 ) 28 Cơng thức (2.1.7) cho ta tích phân hàm u0 (x) tích phân Fourier Ta có cơng thức tính hệ số A(λ ) B(λ ) sau: A(λ ) = 2π B(λ ) = 2π +∞ u0 (ξ ) cos(λ ξ )dξ −∞ +∞ u0 (ξ ) sin(λ ξ )dξ (2.1.9) −∞ Thay hàm A(λ ) B(λ ) vào (2.1.6)  +∞ +∞ −a2 λ 2t  u(x,t) = e u0 (ξ ) cos(λ ξ )dξ cos(λ x) + 2π 2π −∞ (2.1.8) −∞  +∞ u0 (ξ ) sin(λ ξ )dξ sin(λ x)dλ −∞ Do u(x,t) = 2π  +∞ λ 2t e−a u0 (ξ ) cos λ (ξ − x)dξ dλ  −∞  +∞ (2.1.10) −∞ Đổi thứ tự lấy tích phân bên vế phải (2.1.10) ta có   +∞ +∞ 2 u0 (ξ )  e−a λ t cos λ (ξ − x)dξ dλ u(t, x) = 2π −∞ (2.1.11) −∞ √ Ta tính tích phân bên với phương pháp đổi biến aλ t = z +∞ −a2 λ 2t e −∞ cos λ (ξ − x)dλ = √ a t = √ a t +∞ e−z cos −∞ +∞ ξ −x √ z dz a t e−z cos (az)dz với α = −∞ ξ −x √ a t Đặt +∞ e−z cos (αz)dz I(α) = −∞ +∞ −z2 I (α) = − e −∞ z sin(αz)dz =  = 1 sin(αz) e−z +∞ −∞ +∞ − −∞ +∞ sin(αz)d(e−z ) −∞  e−z cos(αz)dz = − αI(α) 29 Mặt khác +∞ e−z dz = I0 = √ π (2.1.12) −∞ α2 √ √ −(ξ − x)2 Do I(α) = π.e = π.e 4a2t − +∞ −a2 λ 2t ⇒ e −∞ √ π −(ξ − x)2 cos λ (ξ − x)dx = √ e 4a2t a t Thay giá trị tích phân vào (2.1.11) ta cơng thức Poisson cổ điển sau u(x,t) = √ 2a πt +∞ u0 (ξ )e −|ξ −x|2 4a2 t dξ (2.1.13) −∞ b) Kiểm tra điều kiện ban đầu Giả sử u0 (x) giới nội liên tục đường thẳng u(x,t) xác định công thức (2.1.11) Khi lim u(x,t) = u0 (x) (2.1.14) t→0+ Ta chứng minh (2.1.14) Giả sử x0 điểm bất kỳ, ta chứng minh đẳng thức (2.1.13) với x = x0 Ta dùng phương pháp đổi biến √ ξ = x0 + 2a tz vế phải (2.1.13) ta có u(x0 ,t) = √ π +∞ √ u0 (x0 + 2a tz).e−z dz (2.1.15) −∞ Mặt khác từ (2.1.14) ta suy 1= √ π +∞ e−z dz −∞ Nhân vế với u0 (x0 ) ta có u0 (x ) = √ π +∞ u0 (x0 )e−z dz −∞ (2.1.16) 30 Do u(x ,t) − u0 (x ) = √ π +∞ √ u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 ) e−z dz −∞ ⇒ với ∀R > u(x ,t) − u0 (x ) ≤ √ π +R +√ π +√ π −R −R −∞ +∞ √ u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 ) e−z dz √ u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 ) e−z dz √ u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 ) e−z dz (2.1.17) +R Do tính giới nội ϕ(ξ ) ta có với x0 ,t, z : √ √ |u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 )| ≤ |u0 (x0 + 2a tz)| + |u0 (x0 )| ≤ 2M Giả sử ε > số dương tùy ý Do hội tụ tích phân √ π chọn số dương R đủ lớn cho 2M √ π −R −∞ 2M e−z dz = √ π +∞ e−z dz ≤ R ε +√ π +∞ +∞ −z2 dz = 1, −∞ e e−z dz −∞ Từ (2.1.17),(2.1.18) (2.1.19), ta có |u0 (x0 ,t) − u0 (x0 )| ≤ 2ε +√ π +R −R √ |u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 )|e−z dz Do tính liên tục u0 (x0 ), với |z| ≤ R t gần 0, ta có √ ε |u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 )| ≤ , tức t gần +R 2ε ε e−z dz + √ 3 π −R +∞ 2ε ε 2ε ε ≤ + √ e−z dz = + = ε 3 π −∞ 3 |u0 (x0 ,t) − u0 (x0 )| ≤ Điều cho ta lim u(x0 ,t) = u0 (x0 ) t→0 Vậy điều (2.1.13) chứng minh (2.1.18) ta (2.1.19) 31 2.2 2.2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số Rn Bài tốn Cauchy Tìm u(x,t) nghiệm phương trình truyền nhiệt ut − a2 ∆u = x ∈ Rn ,t > (2.2.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu : x ∈ Rn u(x, 0) = u0 (x), (2.2.2) Trong u0 (x) hàm cho trước : ∆u = ux1 x1 + ux2 x2 + + uxn xn 2.2.2 Nghiệm tốn (2.2.1), (2.2.2) cơng thức Poisson a) Nghiệm toán (2.2.1),(2.2.2) Ta cố định t(t > 0) Áp dụng biến đổi Fourier (2.2.1) F(u1 ) = a2 F(∆a ) = a2 (−ξ )2 F(u) = −a2 ξ F(u) (2.2.3) Mặt khác ta có n n F(u1 ) = (2π)− ut e−i ξ ,x dx = (2π)− Rn ∂ ∂t u.e−i ξ ,x dx = Rn ∂u ∂t (2.2.4) Từ (2.2.3) &(2.2.4) ta có ∂u = −a2 ξ u ˆ ∂t ξ 2t ⇒ u(ξ ˆ ,t) = C(ξ ).e−a Ta sử dụng điều kiện ban đầu (2.2.1) để xác định C(ξ ) Từ (2.2.1) ta có u(ξ ˆ , 0) = F(u, (x, 0)) = F(u0 (x)) = uˆ0 (ξ ) (2.2.5) 32 ξ 2t Theo (2.2.5) ⇒ C(ξ ) = uˆ0 (ξ ) ⇒ u(ξ ˆ ,t) = uˆ0 (ξ ).e−a Dùng phép biến đổi Fourier ngược ta có n u(ξ ,t).e−i ξ ,x dξ u(x,t) = (2π)− Rn n = (2π)− ∂ ∂t u0 (ξ ).e−a iξ ei x,ξ dξ Rn Ta tính trực tiếp từ điều kiện đầu u0 (x) cách thay biểu diễn ảnh uˆ0 (ξ ) n u0 (ξ ) = (2π)− u0 (ω)e−i ω,ξ d(ω) Rn vào công thức u(x,t) Và đổi thứ tự lấy tích phân ta n n ξ 2t u0 (ω)d(ω)(2π)− u(x,t) = (2π)− Rn e−a e−i( ξ ,x − ξ ,ω ) dξ (2.2.6) Rn Ta tính tích phân bên vế phải (2.2.6) ta có n ξ 2t (2π)− e−a √ 2 t) ξ n e−i( ξ ,x − ξ ,ω ) dξ = (2π)− Rn e−(a e−i ξ ,−x+ω dξ (2.2.7) Rn √ t) ξ Vế phải (2.2.7) giá trị điểm −x+ω biến đổi Fourier hàm số e(a Do theo cơng thức (1.5.4) chương ta nhận n − n2 −a2 ξ 2t −i( ξ ,x − ξ ,ω ) (2π) e e Rn (2π)− −x−ω 4a2 t dξ = √ e n 2a2t (2.2.8) Từ (2.2.6)&(2.2.8) ta suy u(x,t) = √ n (2a πt) |x − p|2 u0 (p)e 4a2t d p − (2.2.9) Rn Đây cơng thức Poisson biểu diễn nghiệm toán (2.2.1) (2.2.2) b) Kiểm tra điều kiện ban đầu Giả sử u0 (x) giới nội liên tục Rn u(x,t) xác định công thức √ n u(x,t) = (2a πt) |ξ − x|2 u0 (ξ ).e 4a2t dξ − Rn (2.2.10) 33 Khi lim u(x,t) = u0 (x) (2.2.11) t→o+ Giả sử x0 điểm ta chứng minh đẳng thức (2.2.11) với x = x0 , √ phương pháp thay biến: ξ = x0 + 2a tz vế phải (2.2.10) ta có u(x0 ,t) = √ n ( π) Mặt khác √ u0 (x0 + (2a t)z)e−z dz (2.2.12) Rn √ e−z dz = ( π)n ⇒1= √ n ( π) Rn u0 (x0 )e−z dz Rn Nhân hai vế với u0 (x0 ) ta u(x0 ) = √ n ( π) u0 (x0 )e−z dz (2.2.13) Rn Trừ hai vế (2.2.12) & (2.2.13) ta u(x0 ,t) − u0 (x0 ) = √ n ( π) √ [u0 (x0 + 2a tz) − u0 (x0 )]e−z dz Rn ⇒ với ∀R > |u(x0 ,t) − u0 (x0 )| ≤ √ n ( π) √ |u0 ((x0 ) + (2a t)z) − u0 (x0 )|dz |z| 0, đặt t B(t) = A(s)ds (2.3.5) 35 Khi với t > B(t) ma trận vuông, đối xứng xác định dương Gọi µ j (t) giá trị dương B(t) Khi tồn ma trận G(t) = gi j (t) n i, j=1 ma trận trực giao cho   0  µ1 (t)  B(t) = G(t)  µ2 (t) · · ·   ,,, µn (t)   −1  G (t)   (2.3.6) Định lý 2.3.2.1 Giả sử điều kiện (2.3.6) thỏa mãn Khi nghiệm tốn Cauchy (2.3.1) (2.3.2) là: n u(x,t) = √ π n |B(t)| u0 n − 14 ∑ µ 1(t) ∑ g jk (t)xk (x) ∗ e j=1 j k=1 , (2.3.7) dấu ∗ tích chập theo biến x Để chứng minh định lý ta sử dụng Bổ đề sau: Bổ đề 2.3.2.2 Nếu f (x) hàm chẵn f (x) ∈ L (Rn ) L (Rn ) F( f ) = F −1 ( f ) (2.3.8) Chứng minh Theo công thức (1.2.4) chương phép biến đổi Fourier ta có F( f (x)) = F −1 [ f (−x)] Mặt khác từ cơng thức (1.3.9) chương ta có (FF −1 )( f ) = f , ∀ f ∈ L (Rn ), (2.3.9) từ hai công thức ta suy F ( f ) = f (−x) Vì f hàm chẵn ⇒ f (x) = f (−x) F(F( f )) = F ( f ) = f (x) Từ (2.3.9) (2.3.10) ta suy F(F( f )) = F(F −1 ( f )) (2.3.10) 36 Do hàm chẵn ta có F( f ) = F −1 ( f ) Chứng minh Định lý 1.2.1 Từ (2.3.2) ta có u(ξ ˆ , 0) = F(u(x, 0)) = F(u0 (x)) = uˆ0 (ξ ) Theo (2.3.4) suy C(ξ ) = uˆ0 (ξ ) Vậy (2.3.4) viết t − n ∑ j (s)ξi ξ j ds i, j=1 u(ξ ˆ ,t) = uˆ0 (ξ ).e (2.3.11) Từ công thức (1.3.8), (1.3.9) chương ta suy n F −1 ( fˆ.g) ˆ = (2π)− f ∗ g Do từ (2.3.11) ta suy n u(x,t) = (2π)− u0 (x) ∗ H(x), (2.3.12) biến đổi Fourier H(x) n t − ∑ bi j (t)ξi ξ j ˆ )=e H(ξ i, j=1 , aij (s)ds với bi j (t) = n − ∑ bi j (t)ξi ξ j n Vì − ∑ bi j (t)ξi ξ j dạng tồn phương nên hàm chẵn e i, j=1 hàm i, j=1 chẵn Do theo (2.3.8) ta ˆ = F(H) ˆ F −1 (H) ˆ ta có H = F(H) ˆ Áp dụng công thức (1.5.6) chương Mặt khác H = F −1 (H), ta  n − ∑ bij (t)ξi ξ j F(H) = F e i, j=1  = √ n n |det B(t)| n − 41 ∑ µ 1(t) ∑ gik xk e j=1 j k=1 (2.3.13) 37 Thay (2.3.13) vào(2.3.12) ta n n n u(x,t) = (2π)− u0 (x) ∗ √ − 41 ∑ µ 1(t) ∑ gik xk e j=1 j k=1 n |det B(t)| Như ta nhận công thức Poisson suy rộng sau n u(x,t) = √ π n |B(t)| u0 n − 14 ∑ µ 1(t) ∑ g jk (t)xk (x) ∗ e j=1 j k=1 , (2.3.14) ∗ phép tích chập theo biến x Vậy (2.3.14) nghiệm tốn (2.3.1) (2.3.2) 2.4 2.4.1 Một vài ví dụ Phương trình với hệ số n ut − ∑ aij uxi x j = với x ∈ Rn ,t > (2.4.1) i, j=1 n với j = a ji λ |ξ | ≥ ∑ aij ξi ξ j ≥ λ |ξ |2 i, j=1 Điều kiện ban đầu: x ∈ Rn u(x, 0) = u0 (x), (2.4.2) u0 (x) hàm cho trước Giải Gọi A = j n i, j=1 ma trận vuông đối xứng xác định dương t A(s)ds ⇒ B(t) = At ⇒ det B(t) = t n |A| B(t) = Gọi λ1 , λ2 , , λn giá trị riêng A ⇒ Ax = λ x ⇒ (tA)x = (tλ )x Vậy giá trị riêng B(t) µ j (t) = tλ j ⇒ B(x) = (tλ )x (i = 1, 2, , n) Ta có A = CDC−1 C ma trận trực giao đó, D ma trận đường chéo với 38 phần tử đường chéo λ1 , λ2 , , λn ;  0  tλ1  B(t) = tA = tCDC−1 = C   tλ2 0  0 tλn    −1 C   Điều có nghĩa ma trận G(t) (2.3.6) G(t) = C Vậy áp dụng công thức (2.3.7) ta n u(x,t) = √ π n t n |A| u0 n ⇔ u(x,t) = √ n πt |A| n − 14 ∑ tλ1 ∑ c jk xk (x) ∗ e j=1 j k=1 u0 n − 14 ∑ tλ1 ∑ c jk xk (x) ∗ e j=1 j k=1 (2.4.3) Cơng thức (2.4.3) nghiệm tốn (2.4.1) (2.4.2) 2.4.2 Phương trình với hệ số trường hợp A = a2 E Ta tìm nghiệm toán (2.4.1) (2.4.2) trường hợp A = a2 E (2.4.4) Thay vào công thức (2.4.3) ta u(x,t) = √ 2a πt |x|2 n u0 − (x) ∗ e 4a2t (2.4.5) Đây nghiệm toán (2.4.1) (2.4.2) trường hợp A = a2 E Mặt khác (2.4.5) cơng thức Poisson cổ điển (2.2.10) chương Do công thức Poisson cổ điển trường hợp đặc biệt công thức(2.4.3) 2.4.3 Trường hợp biến không gian Tìm nghiệm tốn: ut − a2 (t)uxx = 0, với x ∈ R, < λ1 ≤ a(t) ≤ λ2 (2.4.6) 39 thỏa mãn điều kiện đầu u(x, 0) = u0 (x), (2.4.7) u0 (x) hàm cho trước Giải Ta có A(t) = a2 (t) t t B(t) = a2 (s)ds ⇔ det B(t) = a (s)ds 0 t a2 (s)dsG(t) = µ(t) = Thay vào cơng thức (2.3.7) ta u(x,t) = − t x √ π u0 (x) ∗ e t a2 (s)ds (2.4.8) a2 (s)ds Đây nghiệm toán (2.4.6) (2.4.7) 2.4.4 Trường hợp biến khơng gian Tìm nghiệm tốn: ut − ∑ λ j (t)ux j x j = x ∈ R2 ,t > (2.4.9) j=1 < m ≤ λ j (t) ≤ M thỏa mãn điều kiện đầu với x ∈ R2 u(x, 0) = u0 (x), (2.4.10) u0 (x) hàm cho trước Giải Từ (2.4.9) ta suy  t  A(s)ds =   t B(t) =  λ12 (s)ds t 0 λ22 (s)ds    40 t t λ12 (s)ds ⇒ det B(t) =  t  B(t) − µE2 =   λ22 (s)ds  λ12 (s)ds − µ1 t 0    λ22 (s)ds − µ2 det [B(t) − µE2 ] = t t λ12 (s)ds; µ2 ⇒ µ1 = λ22 (s)ds = 0    µ1  B(t) =   µ2 G = E2 - ma trận cấp hai Thay vào công thức (2.3.7) ta − 14 |x|2 ∑ µ 1(t) j=1 j u(x,t) = t 4π t λ12 (s)ds λ22 (s)ds u0 (x) ∗ e Tương đương với u(x,t) = t 4π t λ12 (s)ds λ22 (s)ds u0 (x) ∗ e − 14 |x|2 ∑ t j=1 λ (s)ds j Đây cơng thức nghiệm tốn (2.4.9) (2.4.10) (2.4.11) 41 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau: - Lý thuyết biến đổi Fourier không gian hàm số L (Rn ) L (Rn ) - Dẫn dắt công thức Poisson cổ điển biểu diễn nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt với hệ số - Trên sở áp dụng biến đổi Fourier, luận văn đưa công thức Poisson mở rộng biểu diễn nghiệm toán Cauchy phương trình truyền nhiệt với hệ số phụ thuộc vào biến thời gian 42 Tài liệu tham khảo [Tiếng Việt] [1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Minh Chương, Hà Tiến Ngoạn, Nguyễn Minh Trí, Lê Quang Trung (2000), Phương trình đạo hàm riêng , NXB Giáo dục Hà Nội [3] Nguyễn Thừa Hợp (1999), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Phạm Thị Thủy (2001), Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt, Luận văn thạc sĩ Khoa học, Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên [Tiếng Anh] [5] Andre M.,El Badia A (2015), “On an inverse source problem for the heat equation Application to a pollution detection problem II ”,Inverse Probl.Sci Eng 23, pp.389-412 [6] E A Coddington and N Levinson (1995), “ Theory of ordinary differential equations “, McGraw-Hill Book Company, New York, pp.193 [7] Richard E.Ewing (1979), “ The Cauchy Problem for a Linear Parabolic Partial Differential Equation", W.F.Ames [8] Soon-Yeong Chung (1999), “ Uniqueness in the Cauchy Problem for the heat equation,” Proceedings of the Edinburgh Mathematical society [9] Tkachenko D.S.(2004),“On an inverse problem for a parabolic equation”,Math Note 75,pp.676-689 ... BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT THUẦN 23 iv NHẤT 2.1 26 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 2.2 2.3 26 2.1.1 Bài tốn Cauchy. .. 2.1.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Giả sử ta có truyền nhiệt vô hạn, đồng chất đặt lên đường thẳng Ox Gọi u(x,t) nhiệt. .. giản Chương 2: Là nội dung luận văn Tìm nghiệm tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số R1 Rn Tiếp đến việc mở rộng toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt với hệ số phụ thuộc biến