Bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy THÁI NGUYÊN - 2016 Líi cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cùu cõa riêng tơi Các tài li»u luªn văn trung thüc Luªn văn chưa tøng đưđc cơng bè bĐt cự cụng trỡnh no Tỏc giÊ luên V Thà Thanh Huy·n Xác nhªn cõa Khoa chun mơn Xác nhên cừa ngới hợng dăn khoa hồc TS PhÔm Th Thõy i Líi c£m ơn B£n luªn văn đưđc hồn thnh tÔi Trớng Ôi hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn dợi sỹ hợng dăn tên tỡnh cừa TS PhÔm Th Thừy Nhõn dp ny tụi xin by tọ lũng biát n cụ vã sỹ hợng dăn hiằu quÊ nhúng kinh nghi»m q trình håc tªp, nghiên cùu hồn thành luªn văn Xin chân thành c£m n Phũng Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm Khoa Toỏn, cỏc thƯy cụ giỏo Trớng Ôi hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn, Viằn Toỏn hồc v Trớng Ôi hồc S phÔm H Nởi ó giÊng dÔy v tÔo đi·u ki»n thuªn lđi cho tơi q trình håc tªp nghiên cùu khoa håc B£n luªn văn chc chn s khụng trỏnh khọi nhỳng khiám khuyát, vỡ vêy rĐt mong nhên ủc sỹ úng gúp ý kián cừa cỏc thƯy cụ giỏo v cỏc bÔn hồc viờn luªn văn đưđc hồn ch¿nh Em xin chân thành c£m ơn! Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016 Tác gi£ luªn văn Vũ Thà Thanh Huy·n ii MỤC LỤC Lời cam đoan…………………………………………………………………i Lời cảm ơn……………………………………………………………… .ii MỤC LỤC……………………………………………….………………… iii MỞ ĐẦU…………………………………………………………………… Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ………………………… 1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng……………………… 1.2 Phép biến đổi Fourier ………………………………8 1.3 Phép biến đổi Fourier …………………………… 13 1.4 Các công thức đơn giản biến đổi Fourier………………… 19 1.5 Biến đổi Fourier vài hàm số đơn giản………………….22 Chƣơng BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT…………………………………………29 2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không với hệ số …………………………………………29 2.1.1 Bài tốn Cauchy………………………………………… 29 2.1.2 Tìm nghiệm toán (2.1.1), (2.1.2)………………… 29 2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số …………………………………………31 2.2.1 Bài tốn Cauchy………………………………………… 31 2.2.2 Tìm nghiệm toán (2.2.1), (2.2.2)………………… 31 2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số phụ thuộc biến thời gian ……………… 33 2.3.1 Bài tốn Cauchy………………………………………… 33 2.2.2 Tìm nghiệm toán (2.3.1), (2.3.2)………………… 34 KẾT LUẬN…………………………………………………………………39 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………40 iii MÐ Đ†U Lý chån đ· tài Trong số lợp phng trỡnh Ôo hm riờng tuyán tớnh, phng trình parabolic lỵp phương trình mơ t£ q trình truy·n nhi»t, khuy¸ch tán Các tốn có chùa phương trình parabolic đưđc nghiên cùu tø r§t lâu lý thuy¸t cõa phương trình đ¸n tương đèi hồn ch¿nh Khi nghiên cùu tốn Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t, nhà tốn håc Pháp Poisson thiát lêp cụng thực tớnh nghiằm, hiằn mang tờn ơng có nhi·u ùng dưng Ngày có r§t nhiãu phng phỏp nghiờn cựu vã phng trỡnh Ôo hàm riêng tuy¸n tính phương pháp bi¸n đêi Fourier nhi·u trưíng hđp tä r§t quan trång hi»u qu£ Phương pháp bi¸n đêi Fourier giúp cho vi»c nghiờn cựu cỏc lợp phng trỡnh khỏc v thiát lêp ủc cụng thực biu diạn nghiằm cừa cỏc bi tốn Khơng nhúng th¸ phương pháp bi¸n đêi Fourier nghiên cùu đưđc tính ch§t cõa cơng thùc biºu diạn nghiằm ú Theo hợng nghiờn cựu ny chỳng tụi chån “ Bài tốn Cauchy đèi vỵi phương trình truy·n nhiằt khụng thuƯn nhĐt lm ã ti nghiờn cựu cõa Mưc đích nhi»m vư nghiên cùu 2.1 Mưc đích nghiên cùu Nghiên cùu phương pháp bi¸n đêi Fourier áp dưng vi»c gi£i tốn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt 2.2 Nhi»m vư nghiên cùu Luªn văn tªp trung vào nhi»m vư sau - Trình bày têng quan vã phng trỡnh Ôo hm riờng, phộp bián ời Fourier L1 (Rn ), L2 (Rn ), tính ch§t cõa chúng - Tìm nghi»m cõa tốn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt vợi h» sè h¬ng R1 , h» sè h¬ng Rn h» sè ch¿ phư thc bi¸n thíi gian Rn Phương pháp nghiên cùu Sû dửng phng phỏp phng trỡnh Ôo hm riờng, phng phỏp gi£i tích, sû dưng h» thèng phép bi¸n đêi Fourier, cơng thùc Poisson đº nghiên cùu tốn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt Bố cửc luên Nởi dung luên gỗm 41 trang có ph¦n mð đ¦u, hai chương nëi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo Chng Trỡnh by mởt số kián thực chuân bà đº thüc hi»n nëi dung cõa chương sau: Phân loÔi phng trỡnh Ôo hm riờng, trỡnh by hằ thống v· phép bi¸n đêi Fourier L1 (Rn ), L2 (Rn ), cơng thùc đơn gi£n cõa bi¸n đêi Fourier, bi¸n đêi Fourier cõa mët vài hàm sè đơn gi£n Chương Là nëi dung cõa luªn văn, trình bày k¸t qu£ nghiên cùu v· toỏn Cauchy ối vợi phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng R1 , hằ số hơng Rn v hằ số ch phử thuởc bián thới gian Rn Cuối cựng l phƯn kát luên trỡnh by túm tt kát quÊ Ôt ủc Chương MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ Trong chương ny, ta s nhc lÔi mởt số kián thực quan trång làm n·n t£ng đº nghiên cùu chương sau, l cỏc kián thực vã phng trỡnh Ôo hm riờng bi¸n đêi Fourier Các nëi dung chương đưđc trớch dăn tứ cỏc ti liằu tham khÊo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11] 1.1 1.1.1 Phõn loÔi phng trỡnh Ôo hm riờng Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trớng hủp hai bián nh ngha 1.1.1.1 Cho k mët sè nguyên dương U mët tªp mð Rn Mët biºu thùc cú dÔng k F x, u (x) , Du (x) , , D u (x) = 0, xU (1.1.1) ủc gồi l mởt phng trỡnh Ôo hm riờng bêc k vợi n F :Uì Rì R ì ãããì R n k R, l hm cho trợc, u : U → R hàm c¦n tìm Phng trỡnh Ôo hm riờng (1.1.1) ủc gồi l giÊi ủc náu tỡm ủc tĐt cÊ cỏc hm số u thoÊ (1.1.1) nh ngha 1.1.1.2 Phng trỡnh Ôo hm riêng (1.1.1) đưđc gåi tuy¸n tính n¸u phương trình ú cú dÔng X a (x)D u = f (x) , |α|≤k aα (x), f (x) hàm sè cho Phương trình tuy¸n tính ủc gồi l thuƯn nhĐt náu f Đành nghĩa 1.1.1.3 Gi£ sû u = u (x, y) hàm xác đành R2 , a (x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 Phng trỡnh Ôo hm riờng tuyán tớnh cĐp hai trớng hủp hai bián l phng trỡnh cú dÔng a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = a) Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trớng hủp hai bián Xột phng Ôo hm riờng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai vợi h» sè thüc auxx + 2buxy + cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.1.2) có bi»t thùc ∆ = b2 − ac Xét mët điºm (x0 , y0 ) cè đành Phương trình (1.1.2) tÔi im (x0 , y0 ) ủc gồi l - Thuởc loÔi elliptic náu nh tÔi im ú b2 ac < - Thuởc loÔi hypecbolic náu nh tÔi im ú b2 ac > - Thuởc loÔi parabolic náu nh tÔi im ú b2 ac = Náu tÔi mồi im mởt miãn G m phng trỡnh (1.1.2) thuởc cựng mởt loÔi thỡ ta núi rơng phng trỡnh (1.1.2) thuởc loÔi ú miãn G b) DÔng chớnh tc cừa phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trớng hủp hai bián Ta a phng trỡnh (1.1.2) vã cỏc dÔng chớnh tc sau - Vợi b2 ac > thỡ dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi hypecbolic l uxx uyy = hay uxy = Φ - Vỵi b2 − ac < thỡ dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi elliptic uxx + uyy = Φ - Vỵi b2 − ac = thỡ dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi parabolic l uxx = 1.1.2 Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trớng hủp nhiãu bián Đành nghĩa 1.1.2.1 Gi£ sû u = u (x1 , x2 , , xn ) hàm xác đành Rn Phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trớng hủp n bián l phng LĐy (2.2.15) trứ (2.2.16) ta đưñc wt − a ∆w = g (x, t, t) Theo (2.2.6) suy g (x, t, t) = f (x, t) wt − a2 ∆x w = f (x, t) Vªy nghi»m cõa tốn (2.2.14) c) Nghi»m cõa toán (2.2.1), (2.2.2) Nghi»m cõa toán (2.2.1) (2.2.2) u (x, t) = v (x, t) + w (x, t) Z −|y −x| √ u(x, t) = u0 (y) e 4a t dy+ n 2a πt n R √ + n (2a π) Zt Z Rn f (y, τ ) (t − τ ) n − |y −x| 4a2 (t−τ ) e dτ dy 2.3 Bài tốn Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t khụng thuƯn nhĐt vợi hằ số ch phử thuởc bián thíi gian Rn 2.3.1 Bài tốn Cauchy Tìm nghi»m u(x, t) cõa phương trình ut − n X aij (t)ux xi j = f (x, t), n x ∈ R , t > 0, (2.3.1) i,j=1 vỵi aij (t) = aji (t) λ1 |ξ| ≥ n P i,j=1 aij (t)ξi ξj ≥ λ2 |ξ| thäa mãn đi·u ki»n ban đ¦u u(x, 0) = u0 (x), u0 (x), f (x, t) hàm cho trưỵc n x∈R , (2.3.2) 2.3.2 Tìm nghi»m cõa tốn (2.3.1), (2.3.2) Đº tìm nghi»m cõa Bài tốn (2.3.1), (2.3.2) ta tìm nghi»m cõa hai tốn sau a)Bài tốn Tìm nghi»m v (x, t) cõa phương trình n vt − X aij (t)vx xi j n = 0, x ∈ R , t > 0, (2.3.3) i,j=1 n P vỵi aij (t) = aji (t), λ1 |ξ| ≥ i,j=1 aij (t)ξi ξj ≥ λ2 |ξ| Thäa mãn đi·u ki»n ban đ¦u n v(x, 0) = u0 (x), x∈R , (2.3.4) u0 (x) hàm cho trưỵc Đº tìm nghi»m cõa tốn ta áp dưng bi¸n đêi Fourier theo bi¸n x lên phương trình (2.3.3) ta đưđc   n X Xn F (vt ) = F  aij (t)vx x i = − aij (t)ξi ξj F (v) (2.3.5) j i,j=1 i,j=1 M°t khác ta có F (vt ) = (2π) −2 Z n −i vt e dx = (2π) −2 Rn Vªy n ∂ ∂t Z Rn ∂v −i ve dx = ∂t ∧ ∧ ∂v F (vt ) = ∂t Tø (2.3.5) suy n ∂∧ X ∧ v∂t =− aij (t)ξi ξj v (2.3.6) i,j=1 Vì (2.3.6) phương trình vi phân tuy¸n tớnh cĐp mởt thuƯn nhĐt theo bián t nờn t n ∧ v (ξ, t) = C (ξ) e R P − aij (s)ξi ξj ds i,j=1 n Gåi A = kaij (t)ki,j=1 ma trªn vng, đèi xùng xác đành dương (2.3.7) Vỵi t > 0, đ°t Zt B(t) = A(s)ds Khi vỵi t > B (t) ma trªn vng, đèi xùng xác đành dương Gåi µj (t) nhúng giỏ tr riờng dng cừa B (t) Khi ú tỗn tÔi ma n G(t) = kgij (t) ki,j=1l ma trỹc giao cho à1 (t)  µ2 (t)  − B(t) = G(t)  (2.3.8)  G (t) 0 µn (t) Tø (2.3.4) ta có ∧ ∧ v (ξ, 0) = F (v(x, 0)) = F (u0 (x)) = u (ξ) Theo (2.3.7) suy ∧ C (ξ) = u (ξ) Khi (2.3.7) có thº vi¸t thành ∧ v (ξ, t) = ∧ u0 n Rt P − (ξ) e aij (s)ξi ξj ds i,j=1 (2.3.9) Tø công thùc (1.3.7), (1.3.8) Chương suy ∧ ∧ − 2n F −1 f g = (2π) f ∗ g Do tø cơng thùc (2.3.10) suy − 2n v(x, t) = (2π) u0 (x) ∗ H (x), (2.3.10) bi¸n đêi Fourier cõa H (x) ∧ H (ξ) = e Vì − n P i,j=1 − n P i,j=1 bij (t)ξi ξj , vỵi bij (t) = Rt aij (s)ds bij (t)i j l dÔng ton phng nờn nú hàm ch®n e hàm ch®n Theo cơng thùc (1.4.6) Chương ta đưđc F −1 ∧ ∧ ( H ) = F (H ) n P i,j=1 bij (t)ξi ξj ∧ ∧ M°t khác H = F −1 ( H) , vªy ta có H = F (H ) Áp dưng cơng thùc (1.5.5) Chương ta đưñc − ∧ e F (H ) = F = √ np e ( 2) |det B(t)| ! n P i,j=1 −1 bij (t)ξi ξj n P j=1 Pn µj (t) k=1 gjk (t)xk (2.3.11) Thay (2.3.11) vào (2.3.10) ta đưñc − 2n v(x, t) = (2π) − 14 u0 (x) ∗ √ n p e ( 2) |det B(t)| n P j=1 µj (t) Pn k=1 gjk (t)xk Như vªy ta nhªn đưđc cơng thùc Poisson suy rëng sau v(x, t) = p u (x) ∗ |B(t)| √ (2 e −1 n P Pn µj (t) j=1 k=1 gjk (t)xk , (2.3.12) n ) ú l phộp tớch chêp theo bián x Vªy (2.3.12) nghi»m tốn b) Bài tốn Tìm nghi»m w (x, t) cõa toán wt − n X aij (t)wx xi n j = f (x, t), x ∈ R , t > 0, (2.3.13) i,j=1 vỵi aij (t) = aji (t), λ1 |ξ| ≥ n P i,j=1 aij (t)ξi ξj ≥ λ2 |ξ| , thäa mãn đi·u ki»n ban đ¦u n w(x, 0) = x∈R (2.3.14) Ta gi£i tốn (2.3.13), (2.3.14) b¬ng phương pháp Duamel Xét hàm sè g(x, t, τ ) phö thuëc tham sè τ , thäa mãn g(x, t, τ ) − Xn aij (t)gx xi i,j=1 j = 0, n x ∈ R , t > (2.3.15) g(x, t, τ ) |t=τ = f (x, τ ), n x∈R (2.3.16) Đ°t t0 = t − τ ⇒ gt = gt0 g(x, t, τ ) = g(x, t0 + τ, τ ) Ta đưa Bài toán (2.3.15), (2.3.16) v· toán sau gt0 − Xn n aij (t + τ )gx xi j = 0, x ∈ R , t > (2.3.17) n (2.3.18) i,j=1 g(x, t + τ, τ ) |t0 =0 = f (x, τ ), x∈R f (x, τ ) hm cho trợc vá phÊi cừa (2.3.1) Bi toỏn (2.3.17), (2.3.18) Bài tốn (2.3.3), (2.3.4) Do vªy áp dưng cơng thùc (2.3.12) ta có g(x, t + τ, τ ) = (2 √ p f (x, τ ) e ∗ |B1 (t0 , τ )| −1 n P j=1 µj (t0 ) Pn k=1 gjk (t0 )xk Zt0 B1 (t , τ ) = (2.3.19) n π) Zτ +t0 A(τ + s) ds = A(s) ds τ Zτ +t0 Zτ = A(s) ds − A(s) ds = B(τ + t ) − B(τ ), 0 Zt B(t) = A(s) ds Gi£ sû µ1 (t, τ ), µ2 (t, τ ) µn (t, τ ) nghi»m đ°c trưng cõa ma trªn B (t) − n B (τ ), G(t, τ ) = kgjk (t, τ ) kjk=1là ma trªn trüc giao cho " # µ1 −1 µ2 B(t) − B(τ ) = G(t, τ ) G (t, τ ) 0 µn Suy nghi»m cõa Bài toán (2.3.15), (2.3.16) g(x, t, τ ) = (2 √ n π) p f (x, τ ) e ∗ |B(t) − B(τ )| −1 n P j=1 µj (t,τ ) Pn gjk (t,τ )xk k=1 (2.3.20) Ta chùng minh nghi»m cõa Bài tốn (2.3.13), (2.3.14) đưđc biºu di¹n bði cơng thùc Duamel Zt w(x, t) = g(x, t, τ )dτ Zt w(x, t) = √ n (2 π) − 41 f (x, τ ) p ∗ |B(t) − B(τ )| e n P j=1 µj (t,τ ) n P k=1 gjk (t,τ )xk dτ (2.3.21) Thªt vªy, w (x, 0) = Zt wt = g(x, t, t) + gt (x, t, τ )dτ (2.3.22) n X Zt aij wx xi n X aij gxi x j (x, t, τ )dτ j = i,j=1 (2.3.23) i,j=1 L§y (2.3.22) trø (2.3.23), tø (2.3.17) suy n X wt − aij wx ix j = g(x, t, t) i,j=1 Theo (2.3.16) suy wt − n X aij wx xi j = f (x, t) i,j=1 Vªy nghi»m cõa tốn (2.3.21) c) Nghi»m cõa toán (2.3.1), (2.3.2) Nghi»m cõa toán (2.3.1), (2.3.2) u (x, t) = v (x, t) + w (x, t) u(x, t) = + √ (2 π) (2 √1 1√ n u0 (x) ∗ e |B(t)| Zt n π) n P j=1 µj (t) f (x, τ ) p ∗ |B(t) − B(τ )| − Pn gjk (t)xk k=1 e − 41 n P j=1 µj (t,τ ) + n P k=1 gjk (t,τ )xk dτ K˜T LUŠN Trong luªn văn trình bày cỏc vĐn ã sau: - Lý thuyát bián ời Fourier không gian hàm sè L1 (Rn ) L2 (Rn ) - Dăn dt cụng thực Poisson cờ in biu diạn nghiằm bi toỏn Cauchy ối vợi phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng - Trờn c s ỏp dửng bián ời Fourier, luên ó trớch dăn cụng thực Pois- son m rởng biu diạn têp nghiằm bi toỏn Cauchy ối vợi phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt vợi hằ sè h¬ng R1 , h» sè h¬ng Rn h» sè ch¿ phư thc bi¸n thíi gian Rn TÀI LI›U THAM KHƒO Ti¸ng Vi»t [1] Đ°ng ỡnh ng, TrƯn Lu Cớng, Hunh Bỏ Lõn, Nguyạn Vn Nhân (2007), “Bi¸n đêi tích phân”, Nxb Giáo Dưc, Hà Nởi [2] Nguyạn Minh Chng, H Tián NgoÔn, Nguyạn Minh Trớ, Lờ Quang Trung (2000), Phng trỡnh Ôo hm riờng, Nxb Giáo dưc, Hà Nëi [3] Nguy¹n Thøa Hđp (1999), Phng trỡnh Ôo hm riờng, Nxb Ôi hồc Quốc gia H Nởi, H Nởi [4] PhÔm Th Thừy (2001), Bi toỏn Cauchy ối vợi phng trỡnh truyãn nhiằt, Luên ThÔc s Khoa hồc, Ôi hồc S phÔm - Ôi hồc Thỏi Nguyờn [5] TrƯn ực Võn (2008), Lý thuyát Phng trỡnh vi phõn Ôo hm riờng, Nxb Ôi hồc Quèc gia Hà Nëi, Hà Nëi Ti¸ng Anh [6] C Fefferman (1971), “On the dive rgence of multiple Fourier series”, Bull Amer Math Soc 77No.2, pp 744 - 745 [7] C Fefferman (1971), “On the divergence of multiple Fourier series”, Bull Amer Math Soc 77No.5, pp 191 - 195 [8] F.John (1971), “Partial Differential Equations”, Springer, USA [9] G.E Shylov (1970), “Mathematical Analysis, Functions of one Variable”, Nauka, Moscow [10] H Brezis and F Browder (1999), “Partial Differential Equations in the 20th Century”, Preprint [11] M Freidlin (1985), “Functional Integration and Partial Differential Equations”, Princeton University Press, New Jersey [12] M G Crandall, H Ishii and P L Lions (1984), “User’s Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations”, Bulletin Amer Math Soc 27, pp 1-67 ... Chƣơng BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT…………………………………………29 2.1 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số …………………………………………29 2.1.1 Bài toán Cauchy ………………………………………... 29 2.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng với hệ số …………………………………………31 2.2.1 Bài toán Cauchy ……………………………………… 31 2.2.2 Tìm nghiệm tốn (2.2.1), (2.2.2)………………… 31 2.3 Bài tốn Cauchy. .. HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THANH HUYỀN BÀI TỐN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: