Bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong ………...33 2.3.1... đº nghiên cùu v· phương trình đ¤o hàm riêng tuy¸n tính nhưng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016

Líi cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cùu cõa riêng tôi Các tài li»utrong luªn văn là trung thüc Luªn văn chưa tøng đưñc công bè trongb§t cù công trình nào

Tác gi£ luªn văn

Vũ Thà Thanh Huy·n

Xác nhªn cõa Xác nhªn cõa

Khoa chuyên môn ngưíi hưîng d¨n khoa håc

TS Ph¤m Thà Thõy

Líi c£m ơn

B£n luªn văn đưñc hoàn thành t¤i Trưíng Фi håc Sư ph¤m – Фi håcThái Nguyên dưîi sü hưîng d¨n tªn tình cõa TS Ph¤m Thà Thõy Nhândàp này tôi xin bày tä lòng bi¸t ơn cô v· sü hưîng d¨n hi»u qu£ cùng nhúngkinh nghi»m trong quá trình håc tªp, nghiên cùu và hoàn thành luªnvăn

Xin chân thành c£m ơn Phòng Sau Фi håc, Ban chõ nhi»m Khoa Toán,các th¦y cô giáo Trưíng Фi håc Sư ph¤m – Фi håc Thái Nguyên, Vi»nToán håc và Trưíng Фi håc Sư ph¤m Hà Nëi đã gi£ng d¤y và t¤o đi·u ki»nthuªn lñi cho tôi trong quá trình håc tªp và nghiên cùu khoa håc

B£n luªn văn chc chn s³ không tránh khäi nhúng khi¸m khuy¸t, vì vªyr§t mong nhªn đưñc sü đóng góp ý ki¸n cõa các th¦y cô giáo và cácb¤n håc viên đº luªn văn này đưñc hoàn ch¿nh hơn

Em xin chân thành c£m ơn!

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016

Tác gi£ luªn văn

Vũ Thà Thanh Huy·n

MỤC LỤC

ĐẦU……… 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… 3

1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng……… 3

1.2 Phép biến đổi Fourier trong ………8

1.3 Phép biến đổi Fourier trong ……… 13

1.4 Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier……… 19

1.5 Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản……….22

Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT………29

2.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong ………29

2.1.1 Bài toán Cauchy……… 29

2.1.2 Tìm nghiệm của bài toán (2.1.1), (2.1.2)……… 29

2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong ………31

2.2.1 Bài toán Cauchy……… 31

2.2.2 Tìm nghiệm của bài toán (2.2.1), (2.2.2)……… 31

2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong

……… 33

2.3.1 Bài toán Cauchy……… 33

2.2.2 Tìm nghiệm của bài toán (2.3.1), (2.3.2)……… 34

KẾT LUẬN………39

TÀI LIỆU THAM KHẢO………40

iii

đº nghiên cùu v· phương trình đ¤o hàm riêng tuy¸n tính nhưng phươngpháp bi¸n đêi Fourier trong nhi·u trưíng hñp tä ra r§t quan trång vàhi»u qu£ Phương pháp bi¸n đêi Fourier giúp cho vi»c nghiên cùu các lîpphương trình khác nhau và thi¸t lªp đưñc công thùc biºu di¹n nghi»m cõacác bài toán Không nhúng th¸ phương pháp bi¸n đêi Fourier còn nghiêncùu đưñc tính ch§t cõa các công thùc biºu di¹n nghi»m đó.

Theo hưîng nghiên cùu này chúng tôi chån “ Bài toán Cauchy đèivîi phương trình truy·n nhi»t không thu¦n nh§t ” làm đ· tàinghiên cùu cõa mình

2 Möc đích và nhi»m vö nghiên cùu

2.1 Möc đích nghiên cùu

Nghiên cùu phương pháp bi¸n đêi Fourier và áp döng trong vi»c gi£i bàitoán Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t không thu¦n nh§t

2.2 Nhi»m vö nghiên cùu

Luªn văn tªp trung vào các nhi»m vö chính sau đây

- Trình bày têng quan v· phương trình đ¤o hàm riêng, phép bi¸n đêi

Fourier trong L1 (Rn), trong L2 (Rn), và các tính ch§t cõa chúng

- Tìm nghi»m cõa bài toán Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t khôngthu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng trong R1, h» sè h¬ng trong Rn và h» sè ch¿phö thuëc bi¸n thíi gian trong Rn

3 Phương pháp nghiên cùu

Sû döng phương pháp phương trình đ¤o hàm riêng, phương phápgi£i tích, và sû döng h» thèng các phép bi¸n đêi Fourier, công thùc Poisson

đº nghiên cùu bài toán Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t khôngthu¦n nh§t

Chương 2 Là nëi dung chính cõa luªn văn, trình bày các k¸t qu£ nghiêncùu v· bài toán Cauchy đèi vîi phương trình truy·n nhi»t không thu¦nnh§t vîi h» sè h¬ng trong R1, h» sè h¬ng trong Rn và h» sè ch¿ phö thuëcbi¸n thíi gian trong Rn

Cuèi cùng là ph¦n k¸t luªn trình bày tóm tt k¸t qu£ đ¤t đưñc

tø các tài li»u tham kh£o [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11].

1.1 Phân lo¤i phương trình đ¤o hàm riêng

1.1.1 Phân lo¤i phương trình tuy¸n tính c§p hai trong trưíng hñp hai bi¸n

Đành nghĩa 1.1.1.1 Cho k là mët sè nguyên dương và U là mët tªp

mð trong Rn Mët biºu thùc có d¤ng

F x, u (x) , Du (x) , , Dk u (x) = 0, x ∈ U (1.1.1)đưñc gåi là mët phương trình đ¤o hàm riêng bªc k vîi

Đành nghĩa 1.1.1.3 Gi£ sû u = u (x, y) là hàm xác đành trong R2, a(x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 Phương trình đ¤o hàm riêng tuy¸n tínhc§p hai trong trưíng hñp hai bi¸n là phương trình có d¤ng

- Thuëc lo¤i elliptic n¸u như t¤i điºm đó b2 − ac < 0

- Thuëc lo¤i hypecbolic n¸u như t¤i điºm đó b2 − ac > 0

- Thuëc lo¤i parabolic n¸u như t¤i điºm đó b2 − ac = 0

N¸u t¤i måi điºm trong mët mi·n G mà phương trình (1.1.2) thuëc cùng mët lo¤i thì ta nói r¬ng phương trình (1.1.2) thuëc lo¤i đó trong mi·n G b) D¤ng chính tc cõa phương trình tuy¸n tính c§p hai trong trưíng hñp hai bi¸n

Ta đưa phương trình (1.1.2) v· các d¤ng chính tc sau

- Vîi b2 − ac > 0 thì d¤ng chính tc cõa phương trình lo¤i hypecbolic là

trình có d¤ng

vîi aij = aji và là hàm cõa các bi¸n x1, , xn.

a) Phân lo¤i phương trình tuy¸n tính c§p hai trong trưíng hñp nhi·u bi¸n

Ta ký hi»u x = (x1, x2, , xn) là điºm trong không gian Ơ – clit n chi·u vîi các tåa đë là x1, , xn

Xét ma trªn

A(x) = kaij(x)k (1.1.4)Coi (1.1.4) là mët ma trªn đèi xùng

Ta cè đành mët điºm x0 = x10, , xn0 Khi đó ma trªn A(x) trð thành

ma trªn h¬ng A(x0)

Phương trình

det(A(x0) − λE) = 0, (1.1.5)trong đó E là ma trªn đơn và, λ là mët vô hưîng, đưñc gåi là phươngtrình đ°c trưng t¤i điºm x0 cõa phương trình (1.1.3) Tø đó ta có

- Phương trình (1.1.3) đưñc gåi là thuëc lo¤i elliptic t¤i điºm x0 = x10, , xn0n¸u như t¤i điºm đó, t§t c£ n nghi»m đèi vîi λ cõa phương trình đ°c trưng (1.1.5) đ·u khác không và cùng mët d§u

- Phương trình (1.1.3) đưñc gåi là thuëc lo¤i hypecbolic t¤i điºm

x0 = x10, , xn0 n¸u như t¤i điºm đó, t§t c£ n nghi»m đèi vîi λ cõaphương trình đ°c trưng (1.1.5) đ·u khác không và trong đó có n − 1 nghi»mcùng mët d§u, còn nghi»m cuèi cùng còn l¤i có d§u khác

- Phương trình (1.1.3) đưñc gåi là thuëc lo¤i parabolic t¤i điºm

x0 = x10, , xn0 n¸u như t¤i điºm đó, trong n nghi»m đèi vîi λ cõaphương trình đ°c trưng (1.1.5) có mët nghi»m b¬ng không, còn n − 1nghi»m còn l¤i đ·u khác không và cùng mët d§u

N¸u t¤i måi điºm trong mët mi·n Ω cõa không gian E mà phương trình

(1.1.3) thuëc cùng mët lo¤i, thì ta nói r¬ng phương trình (1.1.3) thuëc lo¤i

đó trong Ω

b) D¤ng chính tc cõa phương trình tuy¸n tính c§p hai trong trưíng hñp nhi·u bi¸n

Xét phương trình tuy¸n tính c§p hai (1.1.3)

Dùng phương pháp đêi bi¸n

ξ1 = ξ1 (x1, , xn) (1.1.6)

ξn = ξn (x1, , xn) Gi£ thi¸t trong mët lân cªn nào đó cõa điºm (x1, x2, , xn), các hàm

ξr = ξr (x1, , xn) , r = 1, , n,liên töc và có các đ¤o hàm riêng tîi c§p hai liên töc vîi

D ( ξ 1 , , ξ n )

D (x1, , xn) = 0 (1.1.7)Phép bi¸n đêi (1.1.6) thäa mãn đi·u ki»n (1.1.7) đưñc gåi là phép bi¸n đêikhông suy di¹n Ta có

n

X a˜rsuξ

∂xj ∂xi = a˜sr .Khi đó, phương trình d¤ng

λi = υ2.Vªy (1.1.10) có d¤ng

n

i uξi ξi + Φ (ξ1, , ξn, u, uξ1 , , uξn ) = 0 (1.1.11)

i=1

B¬ng cách co giãn tåa đë ξi = υiξ0 Tø (1.1.11) ta có

- Gi£ thi¸t t¤i x0 = x10, , xn0 phương trình (1.1.9) thuëc lo¤i hypecbolic,thì trong n nghi»m λ cõa phương trình đ°c trưng có n − 1 nghi»m cùng d§u

- Gi£ thi¸t t¤i x0 = x10, , xn0 phương trình (1.1.9) thuëc lo¤i parabolicthì trong n nghi»m đèi vîi λ cõa phương trình đ°c trưng có mët nghi»mb¬ng không, còn n − 1 nghi»m còn l¤i đ·u khác không và cùng mët d§u,nên tø (1.1.10) ta có

(1.1.14) đưñc gåi là d¤ng chính tc cõa phương trình lo¤i parabolic

Như vªy, rõ ràng ta th§y

- Phương trình Laplace uxx +uyy +uzz = ∆u = 0 là phương trình lo¤i eliiptic

- Phương trình truy·n nhi»t ut−a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuëc lo¤i parabolic

- Phương trình truy·n sóng utt − a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuëc lo¤i hypecbolic

1.2 Phép bi¸n đêi Fourier trong L1(Rn)

1.2.1 Bi¸n đêi Fourier trong L1 (Rn )

Gi£ sû f (x) = f (x1, x2, , xn) ∈ L1(Rn) là hàm kh£ tích trong toàn bë không gian Rn

Đành nghĩa 1.2.1.1 Bi¸n đêi Fourier cõa hàm sè f (x), ký hi»u là (F f ) (ξ)ho°c f (ξ), là hàm sè cõa bi¸n ξ = (ξ1, ξ2, , ξn) ∈ Rn và đưñc tính theo công thùc

∧ n Z

Vîi f (x) ∈ L1(Rn), ∀ξ ∈ Rn ta có

n

Z(F f ) (ξ) = (2π)− 2

R n n

Vªy vîi |ξ| > σ

Z Z Z

M»nh đ· 1.2.2.5 (Bi¸n đêi Fourier cõa đ¤o hàm)

Gi£ sû f (x) và Dxj f thuëc không gian L

N¸u c∃σ > 0, ε > 0 sao cho

Chùng minh.

Theo đành nghĩa bi¸n đêi Fourier trong L1(Rn) ta có

n

Z

α = (α1, α2, , αn) , αi ≥ 0 và αi ∈ Z, |α| = α1 + α2 + +

αn D = (Dx1 , Dx2 , , Dxn ) , ξ = (ξ1, ξ2, , ξn)

Dα = Dα1 , Dα2 , , Dαn , ξα = (ξα1 , ξα2 , , ξαn )

Theo đành nghĩa tích chªp ta có

Z Z(f ∗g)(x) =

Thªt vªy

Z Z

1.3.1 Đành nghĩa bi¸n đêi Fourier trong L2 (Rn )

Đành nghĩa 1.3.1.2 (Đành nghĩa bi¸n đêi Fourier trong L2 (Rn))

∨ ∨ ∨

f k − f j = fk − fj = kfk − fj kL2 ( R n ),

trong L2 (Rn).

2 2

Thªt vªy, cho f, g ∈ L2 (Rn) và α ∈ C , khi đó

∧ 2

kf + αgk2 = f +αg (1.3.9)Khai triºn (1.3.9) ta đưñc

Suy ra

∃σ {fm} , fm ∈ C ∞ (Rn) mà fm → fm ∈ L2 (Rn)

Dαfm → Dαf ∈ L2 (Rn)

F (f ∗g) = (2π) 2 F (f ) F (g) Trong trưíng hñp chung, n¸u g (x) ∈ L2 (Rn), ta chån dãy {gk } sao cho

1.4 Các công thùc đơn gi£n cõa bi¸n đêi Fourier

Gi£ sû đi·u ki»n đº tçn t¤i các bi¸n đêi Fourier g°p dưîi đây đ·u thäa mãn Khi đó ta có các công thùc sau

n

Đ°t αx = t ⇒ d (αx) = dt ⇒ αndx = dt ⇒ dx = 1 dt

f (x) = g (−x) ⇒ F (f ) (ξ) = g∧

ξ

VªyF (f ) (ξ) = g∧ (−ξ) Công thùc 1.4.4

Gi£ sû g (x) ∈ L1 (Rn) và f (x) = g (x − β) , β ∈ Rn Khi đó

(F f ) (ξ) = g∧ (ξ) e−iξβ (1.4.4)

e−ihx,ξif (x)dx

R

RR

Công thùc 1.4.5

N¸u g (x) ∈ L1 (Rn) và f = g(x) eiγx thì

(F f ) (ξ) = g∧ (ξ − γ) (1.4.5)Chùng minh

Ta có

n

Z(F f ) (ξ) = (2π)− 2

N¸u f (x) là hàm ch®n và f (x) ∈ L1(Rn) ∩ L2(Rn) thì

F (f ) (ξ) = F −1 (f ) (ξ) (1.4.6)

Chùng minh.

Theo M»nh đ· 1.2.2.2 đèi vîi phép bi¸n đêi Fourier ta có

F (f (x)) (ξ) = F −1 [f (−x)] (ξ) (1.4.7) Tø công thùc (1.3.8) ta có

Vªy F (f ) (ξ) = F −1(f ) (ξ) 1.5 Bi¸n đêi Fourier cõa mët vài hàm sè đơn gi£n

1.5.1 Bi¸n đêi Fourier cõa hàm f (x) =e−x2 trong R1

Theo đành nghĩa cõa bi¸n đêi Fourier trong R1 ta có

+∞ +∞

2 1 2

Z

√2π

Đưíng th¯ng ∆ song song vîi tröc hoành Ox Ta có

e−(x+ iξ)

2

2

2 2

= π.

Vªy F e−x2 (ξ) = e− 4

2 1 2

− ax +2 ihx,ξi√a+( ) −( )

2

√ a

ξ √ e− ξ 24

ξ 2

√ 2

√2π

Z

√2π

0 a

2

r π

J =

aVªy

F e−ax2

(ξ) = 1 √

2a

ξ 2

e− 4a (1.5.2)

1.5.3 Bi¸n đêi Fourier cõa hàm f (x) =e−a|x| (a > 0)

Theo đành nghĩa bi¸n đêi Fourier cõa f (x) ∈ L1 (Rn) ta đưñc

c11 c12 c1n

c21 c22 c2n

cn1 cn2 cnn

ki,j=1N¸u ta đ°t A = kaij n thì A là ma trªn vuông đèi xùng, xác đành dương

⇒ n∃σ giá trà riêng dương λ1, λ2, , λn và tçn t¤i ma trªn C là matrªn trüc giao (tùc là ma trªn có các hàng trüc giao nhau và méi hàng

là mët véctơ đơn và)  

C =    

det C

aijxixj = (Ax, x) = C −1DC x, x = (DC x, C x) = (Dy, y),(đ°t C x = y )

Trong công thùc (1.5.4), đêi bi¸n x = C −1y, det C −1 = ±1 = 0

n

− P

j=1

η24λj 1

Vªy

(1.5.5)

1.5.5 Bi¸n đêi Fourier cõa hàm f (x) =e−α|x|, α > 0 trong R1

Theo Đành nghĩa bi¸n đêi Fourier trong R1, ta có

Chương 2

BÀI TOÁN CAUCHY ĐÈI VÎI

PHƯƠNG TRÌNH TRUY—N NHI›T

KHÔNG THU†N NH‡T

Trong chương này, ta s³ áp döng các ki¸n thùc v· phương trình đ¤o hàmriêng và phép bi¸n đêi Fourier đº tìm nghi»m cõa bài toán Cauchy chophương trình truy·n nhi»t không thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng trong R1,

Rn và h» sè ch¿ phö thuëc bi¸n thíi gian trong Rn Các nëi dung trongchương đưñc trích d¨n tø các tài li»u tham kh£o [3], [4], [7], [8], [9], [12]

2.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t không

thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng trong R1

2.1.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t

Tìm u (x, t) là nghi»m cõa phương trình

∂u ∂2u

= a2 + f (x, t) , x R, t > 0 (2.1.1)

∂t ∂x2Thäa mãn đi·u ki»n ban đ¦u

−∞

(ξ −x)24a2 t f (ξ, τ ) dξ, (2.1.3)

là nghi»m cõa bài toán (2.1.1) và (2.1.2).

Thªt vªy, hàm (2.1.6) thäa mãn đi·u ki»n (2.1.2)

Bây gií ta đi chùng minh hàm (2.1.6) là nghi»m cõa bài toán (2.1.1)

Ta th§y V (x, τ, t) thäa mãn phương trình (2.1.4) thì hàm V (x, τ, t − τ )cũng thäa mãn phương trình đó

2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truy·n nhi»t không

thu¦n nh§t vîi h» sè h¬ng trong Rn

2.2.1 Bài toán Cauchy

Tìm nghi»m u(x, t) cõa phương trình

ut − a2∆u = f (x, t),thäa mãn đi·u ki»n đ¦u

x ∈ Rn, t > 0, (2.2.1)

Trong đó f (x, t), u0(x) là các hàm đã cho và

∆u = ux1 x1 + ux2 x2 + + uxn xn

2.2.2 Tìm nghi»m cõa bài toán (2.2.1, (2.2.2)

Đº tìm nghi»m cõa Bài toán (2.2.1) và (2.2.2) ta tìm nghi»m cõa hai bài toán sau

a) Bài toán 1

Tìm nghi»m v(x, t) cõa bài toán

vt − a2∆v = 0, x ∈ Rn, t > 0, (2.2.3)

− y x

thäa mãn

v(x, 0) = u0(x), x ∈ Rn (2.2.4)Trong đó u0(x) là hàm cho trưîc và

∆v = vx1 x1 + vx2 x2 + + vxn xn .Theo [9] ta có nghi»m cõa bài toán 1 là

v(x, t) = 1

Z2a√πt n u0(y) e

2

| −

| 4a2 tdy (2.2.5)