Đang tải... (xem toàn văn)
hạn hoặc vô hạn P(X=a)=0 với mọi a.. Xác suất bắn trúng của mỗi phát đều bằng p. Tìm qui luật ppxs của số viên đạn được sử dụng.. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm loại A[r]
(1)CHƯƠNG 2
(2)Định nghĩa
• Biến ngẫu nhiên X đại lượng nhận giá trị
đó phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên
• Ký hiệu: chữ hoa X, Y, Z …
• Giá trị bnn: chữ thường x, y, z, …
• Với số thực x ta có {X<x} biến cố
(3)Ví dụ 1
• X: Lượng khách vào cửa hàng ngày • Y: Tuổi thọ iphone 6
• Trả ngẫu nhiên mũ bảo hiểm cho người Gọi
Z: số mũ bảo hiểm trả người
• T: Số sản phẩm hỏng 100 sản phẩm
nhập
• U: Chiều cao sinh viên gọi ngẫu nhiên
(4)Ví dụ 2
• Tung đồng xu Ta có biến cố sau: – Đồng xu ngửa : “N”
– Đồng xu sấp: “S” Đặt
Khi X biến ngẫu nhiên
Lưu ý: “X=1” hay “X=0” biến cố
0
neu Sap X
neu Ngua
(5)Ví dụ 3
• Hộp có viên bi gồm trắng vàng Lấy
ngẫu nhiên viên bi từ hộp Đặt Y số viên bi vàng có viên lấy
• Khi Y biến ngẫu nhiên. • Ta có:
• “Y=0”, “Y=1”, “Y<2” biến cố nào??? 2; ;
(6)Phân loại bnn
Rời rạc
Có hữu hạn giá trị
Có vơ hạn đếm giá trị
Bnn X
Liên tục
Giá trị lấp đầy hay vài khoảng hữu
(7)Hai biến ngẫu nhiên độc lập
• Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập hai biến
cố:
• Độc lập với giá trị x, y.
• Nói cách khác biến cố liên quan đến hai
biến ngẫu nhiên X, Y độc lập
(8)Luật phân phối xác suất
• Biểu diễn quan hệ giữa giá trị của biến ngẫu nhiên xác suất tương ứng.
– Xác suất để bnn nhận giá trị bất kì
– Xác suất để bnn nhận giá trị
khoảng
• Dạng thường gặp: cơng thức, bảng ppxs,
(9)Hàm ppxs
• Hàm phân phối xác suất hay hàm phân bố, ký
hiệu F(x), định nghĩa sau:
• Hay
( ) x
F x P X
( ) t
(10)• Là xác suất để X nhận giá trị nhỏ x, x
giá trị
• Cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị X nằm bên
trái số x
• Xác suất X thuộc [a,b)
Hàm ppxs
)
( b F ( ) ( )a
(11)(12)(13)Công thức ppxs
(14)Bảng ppxs
• Ví dụ Một hộp có 10 sản phẩm có
(15)Bảng ppxs
• Bảng phân phối xác suất X.
• xi : giá trị có bnn X
• pi : xác suất tương ứng; pi=P(X=xi).
• Chú ý:
X x1 … x2 … xn P p1 … p2 … pn
1
n
i
p
(16)Hàm khối xác suất
• Probability mass function
• Tính chất:
• Dạng bảng • Dạng đồ thị
f x P X x
) ) ) x
i f x
ii f x
iii P A f x
(17)Bảng ppxs
Ví dụ. Có kiện hàng Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Kiện có sản phẩm tốt, sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ kiện sản phẩm từ kiện sản phẩm
a) Lập bảng phân phối xác suất số sản phẩm tốt sản phẩm lấy ra?
(18)Hàm ppxs
• Cho X bnn rời rạc có tập giá trị sắp
• Khi đó:
và
1
x x x P X xi pi
1
1
1 2
1 1
0 ,
, ,
k , k k
x x
p x x x F x p p x x x
p p x x x
(19)Biến ngẫu nhiên liên tục
• Cho X bnn liên tục • Ta có:
• Để thể xác suất ta sử dụng hàm số • Hàm mật độ xác suất hay mật độ xác suất
0 )
)
(X a) , a
ii P a X b P a X b P X b P a X b i P
(20)Hàm mật độ xác suất
• Giả sử bnn liên tục X có hàm ppxs F(x) Nếu tồn
tại hàm f(x) cho:
• Thì f(x) gọi hàm mật độ bnn X
• Viết tắt là: PDF (prob density function)
,
x
F x f t dt x R
(21)Hàm mật độ xác suất
• Nếu X liên tục thì:
f x
x
(22)Tính chất
iv) Tại điểm mà f(x) liên tục ta có:
) ) ) b a
i f x x R ii f x dx
iii P a X b f x dx
'
(23)Hàm mật độ xác suất
Hàm mật độ xác suất f(x) thỏa mãn điều kiện:
) ,
)
i f x x R
ii f x dx
(24)(25)Ví dụ
• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
• A) Tìm k để f(x) hàm mật độ xác suất • B) Tính xác suất P(1<X<1,25)
,1
0 , 1,2
kx x f x x 2 kx
(26)Ví dụ
• Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
• A) Xác định hàm F(x)
• B) Tính xác suất P(0<X<1)
2
1
x
(27)CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG
• Kỳ vọng (Expected Value) E(X)
• Phương sai (Variance) V(X), Var(X) • Độ lệch chuẩn (Standard Error)
• Trung vị (Median) me • Mốt (Mode) m0
• Hệ số biến thiên (Coefficient of Variation) CV
• Hệ số bất đối xứng (Skewness) • Hệ số nhọn (Kurtosis)
(28)(29)• Tung cục xúc sắc nhiều lần Về lâu dài (in a
long run) giá trị trung bình lần tung bao nhiêu?
• Giả sử ta có kết tung sau:
•
(30)Chú ý
• Trong q trình lâu dài mặt có tỷ lệ xuất
hiện 1/6
• Giá trị trung bình trung bình số học có
trọng số X (trọng số tỷ lệ, khả xuất hiện)
• Giá trị trung bình X, ghi E(X), hay viết tắt
(31)Kỳ vọng (Expected Value)
• Ký hiệu: E(X) • Định nghĩa:
• E(X) trung bình theo xác suất X • Có đơn vị với X
-,với X rời rạc ( ) ,với X liên tục
i i i
x p E X
x f x dx
(32)Ví dụ 1
• Một nhân viên bán hàng có hẹn
(33)Ví dụ 2
• Nhu cầu hàng ngày loại thực phẩm tươi sống khu vực bnn rời rạc có ppxs:
• Giả sử khu vực có cửa hàng cửa hàng nhập ngày 100kg thực phẩm
• Giá nhập 40 ngàn/kg; bán 60 ngàn/kg Nếu thực phẩm khơng bán ngày phải bán với giá 20/kg ngàn hết hàng
• Muốn có lãi trung bình cao cửa hàng có nên
X 80 100 120 150
(34)Ví dụ 2
• X tuổi thọ loại thiết bị điện tử
• Tìm tuổi thọ trung bình loại thiết bị này.
20.0003 100
f x x
x
(35)Hàm bnn
• Cho bnn X có ppxs:
• Đặt (X)=X2 Phân phối xác suất (X)
Hướng dẫn
• Giá trị (X)
• Xác suất nhận giá trị đó
X -1
(36)Kỳ vọng (tt)
• Cho bnn X
• Kỳ vọng tốn học hàm (X):
i i i x p E X
x f x dx
(37)Tính chất
1)Tính chất 1: E(C)=C với C số 2)Tính chất 2: E(C+X)=C+E(X)
3)Tính chất 3: E(C.X)=C.E(X)
4)Tính chất 4: E(X Y)=E(X) E(Y)
(38)Ví dụ 3
• Tính kỳ vọng bnn X rời rạc có hàm mật độ:
2
C
P X k k
k
(39)Ví dụ 4
• Vịng quay roulett có 38 số 00, 0, … 36 • Gọi X số mà bóng rơi vào
• Y số tiền phải trả cho người chơi
• Nhà phải thu tiền người chơi
để có lợi
(40)Ví dụ 5
• Cho X biến ngẫu nhiên Đặt Y=(X-c)2
• Giả sử E(Y) tồn Tìm c cho E(Y) nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Đặt g(c)=E(Y) Đáp số: c=E(X)
(41)Ví dụ
• Xét hai bnn sau:
• So sánh E(X) E(Y)
• Vẽ đồ thị nhận xét mức độ biến thiên
X
P 0,3 0,4 0,3
Y
(42)Phương sai (Variance)
• Ký hiệu: V(X); Var(X) • Định nghĩa:
2
Var X E X E X E X
2 2 i i i
E X x p
E X x f x dx
(43)Phương sai (Variance)
• Là kỳ vọng bình phương sai lệch bnn so
với kỳ vọng tốn
• Đơn vị phương sai trùng với đơn vị X2
• Phương sai đặc trưng cho mức độ rủi ro
2 2 i i i
x p E X
Var X
x f x dx E X
(44)Phương sai hàm bnn
X
V X E X
2 X x X
V X x P X x
V X x f x dx
(45)Tính chất phương sai
1 i
1)Tính chất 1: V(C)=0 với C số 2)Tính chất 2: V(C+X)=V(X)
3)Tính chaát 3: V(C.X)=C V(X)
4) X Y độc lập
nếu X độc lập toa
V(X Y)=V(X) V(Y)
V n i = n i øn phaàn
i i
X V X
(46)Ví dụ 1
• Tiền lãi đầu tư tỷ đồng vào ngành A, B bnn độc lập X, Y:
• Muốn lãi trung bình cao đầu tư vào ngành nào?
• Muốn rủi ro thấp đầu tư vào ngành nào?
• Muốn rủi ro thấp chia vốn đầu tư theo tỷ lệ nào?
X 15 30
P 0,3 0,5 0,2
(47)Ví dụ 1
• Đầu tư a tỷ vào ngành A b tỷ vào ngành B
tháng Tìm trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng?
• Đầu tư tỷ vào ngành A tháng Tìm trung bình
và phương sai tiền lãi thu
• Mỗi tháng đầu tư vào ngành A tỷ, độc lập Tìm
trung bình phương sai tổng tiền lãi tháng Tính xác suất tổng tiền lãi không 50 triệu
X 15 30
P 0,3 0,5 0,2
(48)Độ lệch chuẩn
• V(X) đo độ dao động, phân tán, đồng đều, tập
trung X
• V(X) có đơn vị bình phương đơn vị X
• (X) có đơn vị đơn vị X
X Var X
(49)Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa
• Cho X bnn có kỳ vọng độ lệch chuẩn >0. • Đặt:
• Ta có:
• Biến Z gọi bnn chuẩn hóa bnn X.
X
Z
0 1
(50)Tuổi thọ loại côn trùng M biến ngẫu nhiên X (đơn vị: tháng) với hàm mật độ sau:
• Tìm số k?
• Xác định hàm ppxs?
• Tính tuổi thọ trung bình loại trùng trên.
Ví dụ 4
, 0, 4
(51)Hệ số biến thiên
• Kí hiệu: CVx
• Đo mức độ bnn CVx nhỏ bnn
• So sánh độ phân tán bnn khơng có
đơn vị, khơng có kỳ vọng
0
X X
CV E X
E X
(52)Median (Trung vị)
• Ký hiệu MedX, me giá trị chia đơi hàm phân phối • Hay 0,5 0,5 e e
P X m P X m
e 0,5 e
(53)Median (Trung vị)
• Nếu X liên tục thì:
0,5
e
m
f x dx
1 0,5
(54)Median (Trung vị)
• Nếu X rời rạc thì:
1
1
, , neu 0,5
neu 0,5
i i i i
e
i i i
m m x x F x F x m
x F x F x
1
0 F x F x i F x i1
0,5
e i
m x
0,5
, 1
e i i
(55)ModX
Ký hiệu:
Nếu X rời rạc:
Nếu X liên tục:
x R
f m max f x
i i
P X m max P x x
0
(56)Ví dụ 1
Cho bnn X
Ta có:
Vậy
X 1 2 3 4 5
P 0,1 0,2 0,15 0,3 0,25
X 1 2 3 4 5
F(X) 0 0,1 0,3 0,45 0,75
4
(57)Ví dụ 4
• Cho bnn X có hàm mật độ xác suất
• Tìm MedX ModX?
3
2 ,0
4
0 , 0,2
x x x
f x
x
(58)Hệ số bất đối xứng
• Kí hiệu:
• Đo mức độ bất đối xứng luật phân bố
3
3 3 ;
E X
E X X
(59)Hệ số bất đối xứng
• Đồ thị đối xứng
3
(60)Hệ số bất đối xứng
• Hàm mật độ lệch bên trái.
3
(61)Hệ số bất đối xứng
• Hàm mật độ lệch bên phải.
3
(62)Hệ số nhọn
• Kí hiệu:
• Đặc trưng cho độ nhọn hàm mật độ so với
đồ thị phân bố chuẩn
• Biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn 4=3
4
4 4
E X X
(63)Hệ số nhọn
• 4>3 đồ thị hàm mật độ nhọn so với phân phối chuẩn
(64)Hệ số nhọn
• Đồ thị hàm mật độ bnn pp chuẩn
4
4
4
2
2
1
x
f x e
(65)Hệ số nhọn
• Đồ thị hàm mật độ bnn pp chuẩn
3
3
2
2
1
x
f x e
(66)Bài tập
1 Gieo đồng thời hai xúc xắc cân đối đồng chất Gọi X tổng số nốt xuất xúc sắc Tìm luật phân phối xác suất X? Tính E(X), V(X)
(67)Bài tập
4 Tuổi thọ loại côn trùng X (tháng) có hàm mật độ
a) Tìm số k b) Tìm Mod(X)
c) Tìm xác suất trùng chết trước tháng tuổi
, 0;4
(68)Bài tập
• Cho bnn X có hàm mật độ
và E(X)=0,6; V(X)=0,06 a) Tìm a,b,c?
b) Đặt Y=X3 Tính E(Y)
2 , 0;1
0 , 0;1
ax bx c x
f x
x
(69)Bài tập 5
• Giả sử cửa hàng sách định nhập số
cuốn truyện trinh thám Nhu cầu hàng năm loại sách sau:
• Cửa hàng mua sách với giá 7USD cuốn, bán
ra với giá 10USD đến cuối năm
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
(70)Bài tập 5
• Nếu nhập 32 lợi nhuận bán
trung bình bao nhiêu?
• Xác định số lượng nhập cho lợi nhuận kì
vọng lớn
Nhu cầu (cuốn) 30 31 32 33
(71)Bài tập 7
Cho bnn X có hàm mật độ:
a) Tìm MedX, ModX
b) Tìm E(X), Var(X) có
1
sin , 0,
0 , 0,