Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình đường cong đi qua các điểm CĐ và CT của đồ thị hàm số: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu có 3 cực trị.. Từ đó suy ra các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn ph[r]
(1)TuÇn (Từ ngày 21/9/2009 đến ngày 26/9/2009) cùc trÞ hµm sè ®a thøc A KiÕn thøc c¬ b¶n Điều kiện cần: Hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm điểm x0 và đạt cực trị t¹i ®iÓm x0 th× f’(x0) = Điều kiện đủ: Nếu hàm số f(x) liên tục trên lân cận điểm x0 và đổi dấu x qua x0 thì f(x) đạt cực trị x0 Quy t¾c 1: LËp b¶ng biÕn thiªn Quy tắc 2: Sử dụng đạo hàm cấp B Các dạng toán thường gặp I D¹ng I: T×m cùc trÞ cña hµm sè ®a thøc * KÜ n¨ng tÝnh nhanh cùc trÞ cña hµm sè y f ( x) ax3 bx cx d ;(a 0) - Nếu hàm số đạt cực trị các điểm x1;x2 thì ta có f’(x1) = f’(x2) = nên ta chia đa thức f(x) cho f’(x) ta y = f’(x).q(x) + r(x) Từ đó suy giá trị cực trị Tìm khoảng đơn điệu và cực trị các hàm số sau: a y x3 x x b y x x3 22 x 24 x 10 c y x x d y x3 x 1 e y x3 x x f y x x 2 T×m cùc trÞ cña c¸c hµm sè sau: a y x x x x3 c y x2 b y x x x x x 1 d y x2 x e y x x f y x 10 x II Dạng II: Điều kiện để hàm số có cực trị * Cho hµm sè y f ( x) ax3 bx cx d ;(a 0) , ta cã: f '( x) 3ax 2bx c a Hàm số không có cực trị và f’(x) không đổi dấu: +/ a = b = vµ c kh¸c a +/ b Hàm số có đúng cực trị: f’(x)= có nghiệm nhất: a = và b khác c Hµm sè cã hai cùc trÞ (cã C§ vµ CT): f’(x) = cã hai nghiÖm ph©n biÖt d Hàm số có CĐ và CT với các hoành độ thỏa mãn điều kiện K: - Điều kiện để hàm số có CĐ và CT: f’(x) = có hai nghiệm x1; x2 phân biệt - Vận dụng định lí Viet và kiểm tra điều kiện K Lop12.net (2) e Hàm số có CĐ và CT khoảng I: Phương trình f’(x) = có hai nghiệm ph©n biÖt kho¶ng I f Hàm số có CĐ (hoặc CT) khoảng I: Lập BBT để suy các điểm cực trị Điều kiện để hàm số có CĐ (hoặc CT) khoảng I là xCĐ (hoặc xCT) thuộc I g Hµm sè cã C§ vµ CT tháa m·n xC§ < xCT a > vµ Hµm sè cã C§ vµ CT tháa m·n xC§ > xCT a < vµ f '( x0 ) h Hàm số đạt CĐ (hoặc CT) điểm x0: f "( x0 ) 0;( f "( x) 0) 1 Cho hàm số y f ( x) mx3 (m 1) x 3(m 2) x Tìm m để: 3 a Hµm sè cã cùc trÞ b Hàm số đạt CĐ và CT x1; x2 thỏa mãn x1+ 2x2 = c Hàm số đạt CĐ và CT các điểm có hoành độ dương d Hàm số đạt CĐ và CT thỏa mãn xCĐ < xCT e Hàm số đạt CĐ điểm x0 = Cho hµm sè y f ( x) x3 3mx 3(m 1) x m3 3m Cmr với m hàm số đã cho luôn có CĐ và CT; đồng thời m thay đổi thì c¸c ®iÓm C§, CT lu«n ch¹y trªn hai ®êng th¼ng ph©n biÖt Hướng dẫn: - Chứng minh phương trình f’(x) = luôn có hai nghiệm pb - Tìm y1 = f(x1) và y2 = f(x2) sau đó rút gọn m để tìm quỹ tích Cho hµm sè y f ( x) x3 (cos a 3sin a ) x 8(cos 2a 1) x a Cmr hàm số đã cho luôn có CĐ, CT b Giả sử hàm số đạt cực trị các điểm x1 và x2 Cmr: x12 x22 18 Cho hµm sè y f ( x) x3 2(cos a sin a ) x sin 2a x a Tìm a để hàm số có cực trị b Giả sử hàm số đạt cực trị các điểm x1 và x2 Tìm a để: x1 x2 x12 x22 Cho hàm số y f ( x) x 8mx3 3(1 2m) x Tìm m để: a Hàm số có cực đại và cực tiểu với tổng bình phương các hoành độ 27 b Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm c Hµm sè chØ cã CT mµ kh«ng cã C§ Hướng dẫn: x Ta cã: f '( x) x(2 x 12mx 3(1 2m)) g ( x) x 12mx 3(1 2m) a Hµm sè cã C§ vµ CT (cã cùc trÞ) f’(x) = cã ba nghiÖm ph©n biÖt §iÒu kiÖn lµ g(x) = cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c Gäi x1; x2 lµ c¸c nghiÖm cña phương trình g(x) = thì điều kiện bài toán là: Lop12.net (3) b Hàm số có CĐ, CT với các hoành độ không âm g(x) = có hai nghiệm 1 dương phân biệt ĐS: m c Hµm sè chØ cã CT mµ kh«ng cã C§ khi: 1 1 m +/ g ( x) 0; x ' 6 +/ g(x) = có hai nghiệm phân biệt đó có nghiệm 0: ' m g (0) x12 x22 27 m m Cho hàm số y f ( x) x 2mx 2m m Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ và CT là các đỉnh tam giác Hướng dẫn: - Hµm sè cã C§, CT f’(x) = cã ba nghiÖm ph©n biÖt ( m > 0) - Khi đó ta có các điểm cực trị là: A(0; m 2m); B( m ; m m 2m); C ( m ; m m 2m) - Điều kiện để tam giác ABC là: AB AC m(m3 3) m 3 AB BC Cho hµm sè y f ( x) x mx3 mx mx Chứng minh với m hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT Hướng dẫn: 4 x3 - Ta cã f '( x) g ( x) m 3x x - Số nghiệm phương trình f’(x) = là số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = g(x) 4 x 2( x 1) x 1 0; x nªn hµm sè y = g(x) lu«n nghÞch - Ta cã: g '( x) (3 x x 1) biến Suy phương trình g(x) = m có đúng nghiệm, tức là f’(x) = có đúng nghiệm Vậy, hàm số không thể đồng thời có CĐ và CT Cho hàm số y f ( x) x x x Chứng minh đồ thị hàm số luôn có điểm cực trị và gốc tọa độ O là trọng tâm tam giác tạo điểm cực trị đó Hướng dẫn: - Ta cã: f '( x) x3 12 x - Nhận xét: f’(-2) = - 4; f’(-1) = 12; f’(1) = - 4; f’(2) = 12 Từ đó suy phương trình f’(x) = luôn có ba nghiệm phân biệt với m Vậy đồ thị hàm số luôn có ba ®iÓm cùc trÞ víi mäi m Lop12.net (4) - Gi¶ sö c¸c ®iÓm cùc trÞ lµ A( x1; y1 ); B( x2 ; y2 ); C ( x3 ; y3 ) th× ta cã: +/ x1 x2 x3 y1 y2 y3 3 ( x12 x1 2) ( x22 x2 2) ( x32 x3 2) 3 ( x1 x2 x3 ) 2( x1 x2 x2 x3 x3 x1 ) 2( x1 x2 x3 ) 3 2(3) 6 Suy O(0; 0) lµ träng t©m tam gi¸c ABC III D¹ng III: §êng th¼ng (®êng cong) ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ * Bài toán 1: Cho hàm số y f ( x) ax3 bx cx d Viết phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ và CT đồ thị hàm số: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu - Giả sử A( x1; y1 ); B( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị đồ thị hàm số Khi đó ta cã f '( x1 ) f '( x2 ) (*) - Chia y cho y’ ta ®îc: y f '( x) q ( x) r ( x) Do ®iÒu kiÖn (*) nªn ta có: y1 r ( x1 ); y2 r ( x2 ) Từ đó suy các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng y r ( x) * Bài toán 2: Cho hàm số y f ( x) ax bx3 cx dx e Viết phương trình đường cong qua các điểm CĐ và CT đồ thị hàm số: - Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (có cực trị) - Giả sử A( x0 ; y0 ) là điểm cực trị đồ thị hàm số Khi đó f '( x0 ) (*) - Chia y cho y’ ta ®îc: y f '( x) q ( x) r ( x) Do ®iÒu kiÖn (*) nªn ta cã: y0 r ( x0 ) Từ đó suy các điểm cực trị có tọa độ thỏa mãn phương trình đường cong y r ( x) Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị đồ thị các hàm số sau: a y x3 x 94 x 95 b y x3 x x Tìm tham số m để đồ thị các hàm số sau có CĐ, CT và viết phương trình đường thẳng ®i qua c¸c ®iÓm cùc trÞ: a y x3 3(m 1) x 2(m m 2) x 2m(m 2) b y x3 3(m 3) x 11 3m c y x3 mx x d y x3 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) e y x3 3(3m 1) x 12(m m) x Cho hàm số y f ( x) x3 3mx 4m3 Tìm m để các điểm CĐ, CT đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng () : y x Hướng dẫn: Lop12.net (5) m 1 - Ta cã: y ' x 6mx vµ y x y ' 2m x 4m3 3 3 - Điều kiện để hàm số có CĐ, CT là y’ = có hai nghiệm phân biệt m - Gi¶ sö A( x1; y1 ); B( x2 ; y2 ) lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ Ta cã: x1 x2 2m; x1 x2 0; y1 2m x1 4m3 ; y2 2m x2 4m3 Suy phương trình đường thẳng AB là: y 2m x 4m3 - Gọi I là trung điểm đoạn AB Khi đó, điều kiện để A và B đối xứng qua đường th¼ng () : y x lµ: 2m 1 AB y y m x x 2 I 2 2 Cho hàm số y x x m x m Xác định m để các điểm CĐ, CT đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng () : x y Cho hàm số y x3 mx m Xác định m để các điểm CĐ, CT đồ thị hàm số n»m vÒ hai phÝa cña ®êng th¼ng () : x y Cho hàm số y mx3 3mx (2m 1) x m Xác định m để hàm số có CĐ, CT Cmr đường thẳng qua các điểm cực trị hàm số luôn qua điểm cố định Chứng minh đồ thị các hàm số sau có ba điểm cực trị cùng nằm trên Parabol: a y x x3 x 1 b y x x3 x x c y x x x Cho hµm sè y x (m 1) x a Tìm m để hàm số có CĐ, CT b Xác định phương trình đường cong qua các điểm cực trị đồ thị hàm số Cho hµm sè y x x3 (m 2) x (m 6) x a Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị b Xác định phương trình đường cong qua các điểm cực trị đồ thị hàm số Lop12.net (6)