Giáo án Ngữ Văn 8 cả năm – THCS Mai lâm

+ Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm với đối số t .... Một số ví dụ Trong những ví dụ đầu tiên, ta quan tâm đến những bài toán tìm GTLN, GTN[r]

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Loại Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số A Nguyên tắc chung Để tìm GTLN, GTNN hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: * Quy tắc (Sử dụng định nghĩa): Giả sử f xác định trên D   f  x   M x  D M  max f  x  ( M là GTLN hàm số f trên D )   xD  x  D : f x  M    0 f  x   m x  D m  f  x  ( m là GTNN hàm số f trên D )   xD  x  D : f x  m    0 * Quy tắc (Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn): Để tìm giá GTLN, GTNN hàm số f xác định trên đoạn  a;b  , ta làm sau: Bước 1: Tìm các điểm x1 , x , …, xm thuộc khoảng  a;b  mà đó hàm số f có đạo hàm không có đạo hàm Bước 2: Tính f  x1  , f  x  , …, f  xm  , f  a  , f  b  Bước 3: So sánh các giá trị tìm bước Số lớn các giá trị đó là GTLN f trên đoạn  a;b  ; số nhỏ các giá trị đó là GTNN f trên đoạn  a;b  max f  x   max f  x1  , f  x  , , f  xm  , f  a  , f  b  xa;b  f  x   f  x1  , f  x  , , f  x m  , f  a  , f  b  xa;b  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Quy ước: Khi nói đến GTLN, GTNN hàm số f mà không rõ GTLN, GTNN trên tập nào thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định f Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN hàm số y  2x  3x  trên đoạn  0;2 x1 Giải Ta có y '   4x   x  1   2x  3x  1  x  1  2x  4x   x  1  x   0;2  y đồng biến trên  0;2  y  y     x 0;2   17  max y  y     x 0;2 Nhận xét:  f  x   f  a   x a;b  * f đồng biến trên  a;b     max f  x   f  b   x a;b   f  x   f  b   x a;b  * f nghịch biến trên  a;b    max f x  f a       x a;b  Ví dụ [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN hàm số y  x   x2 Giải +) TXÑ   2;2 +) y '   x  x2   x  x ( x   2;  ) x   2;2  , ta có:  x2 y'    x2  x    x   x2  x   2 4  x  x  x Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Vậy     2;2;2 2  2 , đạt      2;2;2 2  y  y  2  ;y   ;y max y  max y  2  ;y   ;y Ví dụ [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN hàm số y  x1 x  2 , đạt  trên đoạn  1;2 x 1 Giải x2    x  1 y'  x 1 x x 1  1 x  x2   x2  x   1;2  ta có y'   x  Vậy     y   y  1 ;y   ;y  1  0; ;  , đạt  x  1 max y  max y  1 ;y   ;y  1  max 0; ;  , đạt  x  ln x Ví dụ [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN hàm số y  trên đoạn 1;e    x Giải lnxx  x  ln x ln x  ln x  y'   x2   x  1;e , ta có x2 y'   2ln x  ln x   ln x  ln x   x  x  e2 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44    x  e2 (  1;e ) Vậy      0; e93 ; e42   , đạt   y  y  1 ;y e ;y e2 x   4 max y  max y  1 ;y e3 ;y  e   max  0; ;   , đạt  x  e2  e e  e     Ví dụ [ĐHD10] Tìm GTNN hàm số y   x  4x  21   x2  3x  10 Giải   x2  4x  21   3  x  x  TXÑ      2  x   2  x    x2  3x  10  Suy TXÑ=  2;5 y '   y'    x2  x2  4x  21 x2  x2  4x  21 x  4x   x  4x  21    2x   x  3x  10 2x    x  3x  10 4x  12x        x  3x  10    x  3x  10 x  4x    x2  4x  21 4x  12x       x4  7x  6x  28x  40  4x4  28x  27x  216x  189  51x  104x  29   x Thử lại, ta thấy có x  29 x  17 là nghiệm y ' Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  3 y  2   , y    , y   y  , đạt  x  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Tìm GTLN, GTNN các hàm số 1) f  x    x 2) f  x   x  2x  trên đoạn  2;3 3) f  x    x  2x  trên đoạn  2;4 4) f  x   x  3x  trên đoạn  3;  2  5) f  x   x  2x  3x  trên đoạn  4;0 6) f  x   x  3x2  9x  trên đoạn  4;4 7) f  x   x3  5x  trên đoạn   3;1 8) f  x   x  8x  16 trên đoạn 1;3  9) f  x   x  trên khoảng  0;   x 10) f  x   x  trên khoảng  1;  x 1 11) f  x   x  trên nửa khoảng  0;2 x 12) f  x   x trên nửa khoảng  2;4 x 2 13) f  x   2x  5x  trên đoạn  0;1 x 14) f  x   sin x  cos4 x 15) f  x   sin x  sin x  16) f  x   cos 2x  sin x cos x  17) f  x   cos x  6cos x  cos x  18) f  x   sin x  cos 2x  sin x  19) f  x    sin 3x  3sin x Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 20) f  x   cos  cos x  cos  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A Nguyên tắc chung Việc giải bài toán dạng này gồm các bước sau +) Xác định ẩn phụ t +) Từ giả thiết, tìm miền giá trị t +) Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm với đối số t Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Trong ví dụ đầu tiên, ta quan tâm đến bài toán tìm GTLN, GTNN có đặc điểm sau: +) Vai trò x , y ràng buộc x và y là bình đẳng +) Vai trò x , y biểu thức cần tìm GTLN, GTNN bình đẳng Phương pháp chung +) Chọn ẩn phụ t là biểu thức đối xứng x , y ( t  xy , t  xy , t  x  y , t  x2  y , t  x  y  xy , …) +) Tìm miền giá trị ẩn phụ cách sử dụng các bất đẳng thức bản, chẳng hạn 11 x y  xy  xy  x2  y , x2  y  xy   xy , x2  y  xy  3xy x2  y  xy  xy , x2  y  xy  3xy +) Đưa việc tìm GTLN, GTNN biểu thức cần xét việc tìm GTLN, GTNN hàm với đối số t    Ví dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S  x  y  Giải Đặt t  xy   t  Ta có  x  y 2  S   xy    x  y    x  y   3xy      t   42  3t      t  12t  63 Xét hàm f  t   t  12t  63 , với t   0;4 Ta có f '  t   3t  12  t   0;4   f  t  đồng biến trên  0;4  Do đó +) S  f  t   f  t   f     63 t 0;4 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x  y  Dấu “  ” xảy     x;y    4;0   x;y    0;4   xy   S  63 , đạt   x;y    4;0   x;y    0;4  +) S  f  t   max f  t   f    49 t 0;4  x  y  Dấu “  ” xảy     x;y    2;   xy   max S  49 , đạt   x;y    2;  Ví dụ Cho x , y  thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN x2 y2 S   y 1 x1 x y  Giải  xy   t   xy   t  Đặt t  x  y     t  t  3  t    S  Ta có  x3  y  x2  y   x  1 y  1 x  y   x  y   3xy  x  y    x  y   2xy  xy   x  y   x y3 t3    t  t  t    t    t3 3  t  t   Xét hàm f  t   Ta có f '  t   t 7t t    4 t3 t 7t t    , t   2;3 4 t3 3t  2t  74   t   2; 3  f  1 đồng biến trên  2;3  t  3 11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Do đó +) S  f  t   f     S  , Đạt  x  y  +) S  f  t   f     max S   x  y  xy  Dấu “  ” xảy    x y 1 x  y   x  y  xy  x  x  35 Dấu “  ” xảy      x  y  y  y  x  x  35 , Đạt    y  y  Ví dụ [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  x  y   4xy  Tìm GTNN     A  x4  y  x y  x  y  Giải   Áp dụng bất đẳng thức a  b  ab   a  b  với a  x2 , b  y ta  x4  y4  x2y   34  x2  y2   A x  y  x2  y      Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức 4xy   x  y  , ta có  x  y    x  y 2    x  y  1  x  y 2   x  y      x y  (do  x  y    x  y     x  y  1   x , y )   x  y 2 t   12 2 Đặt t  x  y    A  f  t   t  2t   Xét hàm f  t    ;  2  t  2t  , t  Ta có f '  t   t   t   f  t  đồng biến trên 2  2 f  t   f  t  16 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44  x  y Như S  , dấu “  ” xảy   2  16  x  y   x;y    12 ; 12    x;y    ;  2  (thỏa mãn điều kiện) Vậy S  , đạt  16  x;y    12 ; 12     x;y    ;  2 Ví dụ Cho x , y thỏa mãn x2  xy  y  Tìm GTLN, GTNN S  x2  xy  y Giải Cách 1: Từ giả thiết suy x2  y   xy  S   2xy  x  y    Từ các bất đẳng thức  suy  x  y 2   x  y  xy   xy  1  xy    x  y  xy  3xy Do đó +) S    , dấu “  ” xảy  xy     2  x  xy  y   Vậy S  , đạt   x;y      +) S    , dấu “  ” xảy ; 3  x;y    ;        3   ;   x;y     ;   3 3   xy  1   2  x  xy  y   Vậy max S  , đạt   x;y     x;y    1; 1  x;y    1; 1  x;y    1;1  x;y    1;1 x2  xy  y Cách 2: Ta có S  x  xy  y +) Xét y  : thay y  vào giả thiết ta x  1  S  +) Xét y  : Chia tử và mẫu S cho y và đặt t  x , ta y 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 S t2  t   1 t t1 2t t t 1  t2  2t   Xét hàm f  t    , ta có f '  t   t t1 t t 1  Bảng biến thiên hàm f  t  : t -1 -∞ + f '(t) +∞ _ 0   t lim f  t   lim   t  t   1  t t2  + f(t)       1 Suy ra: +) S  f  1  Dấu “  ” xảy x  y    x  xy  y   Vậy S  , đạt   x;y     +) S  f  1  Dấu “  ” xảy  ; 3 ;   x;y     ;   3 3   x;y    ;        3    x  1 y    x  xy  y   Vậy max S  , đạt   x;y     x;y    1; 1  x;y    1; 1  x;y    1;1  x;y    1;1 Nhận xét: Từ cách giải thứ hai ví dụ trên, ta hình thành bài toán tổng quát sau: 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài toán 3: Cho x , y thỏa mãn ax2  bxy  cy  d Tìm GTLN, GTNN biểu thức S  mx2  nxy  py Cách giải +) Tìm giá trị S y  +) Khi y  , viết S  d mx2  nxy  qy Chia tử và mẫu S cho ax2  bxy  cy S  d Bằng cách khảo sát f  t   mt  nt  p at  bt  c y và đặt t  x , ta y mt  nt  p at  bt  c ta suy S , max S Ví dụ [ĐHA03] Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2  x2  y2   z2  y2 z2  1  82 Giải               Xét : a  x;  , b  y;  , c  z;  thì VT  1  a  b  c  a  b  c tức là:  x  y  z 1 2 VT  1  x   y   z   x y z x  y  z 1 1     x y z Đến đây ta có hai cách tiếp: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : x  y  z  3 xyz , 1 1    33 x y z xyz 2  xyz Do đó: VT  1  9t  với t  xyz , đó :  t     t     15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Xét f  t   9t  9 có f '  t     t  0;   f  t  nghịch biến trên 0;   9 9 t t    1 f  t   f    82  VT  1  f (t)  82 (ĐPCM)  9 2 1 1  1 1 Cách 2:  x  y  z        81  x  y  z        80  x  y  z  x y z x y z 21 1  81  x  y  z       80  x  y  z  x y z  1 1  18  x  y  z       80  x  y  z  x y z  18.9 – 80  82 Từ đó suy điều phải chứng minh Bài toán 4: Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  k ( k  ) Tìm GTLN, GTNN biểu thức f  x;y;z  Cách giải +) Đặt t  xyz   t  xy z k +) Biểu diễn f  x;y;z  theo t để được: f  x;y;z   g  t  +) Việc tìm GTLN, GTNN biểu thức f  x;y;z  quy tìm GTLN, GTNN g t 16 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài [ĐHD09] Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN  S  4x  3y  4y  3x   25xy Bài Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN S x y  y 1 x1 Bài Cho x , y  thỏa mãn x  y  Tìm GTLN, GTNN    S  x2  y   x2  y  Bài Cho x , y  thỏa mãn x  y  xy  Tìm GTLN, GTNN S x y   x y x y1 Bài Cho x , y thỏa mãn x2  y   xy Tìm GTLN, GTNN biểu thức S  x4  y4  x y 2 Bài [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn  x     y    2xy  32 Tìm GTNN A  x  y   xy  1 x  y   Bài [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn x2  y  Tìm GTLN, GTNN biểu thức  x  6xy P   2xy  2y Bài Cho x , y thỏa mãn x2  y  xy  Tìm GTLN, GTNN biểu thức S  x2  2xy  xy Bài Cho x , y thỏa mãn 2x2  y  xy  Tìm GTNN biểu thức S  x2  y Bài 10 Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức 1 S  x2  y  z    x y y z z x 17 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài 11 Cho x , y , z  thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN biểu thức S  x y z 1   x y z Bài 12 [ĐHB10] Cho a , b , c  thỏa mãn a  b  c  Tìm GTNN biểu thức   M  a2b  b2c2  c2a   ab  bc  ca   a  b  a2 18 Lop12.net