Điều kiện tối ưu và tính đối ngẫu cho bài toán tối ưu đa mục tiêu không trơn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ LAN HƯƠNG ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU VÀ TÍNH ĐỐI NGẪU CHO BÀI TỐN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHƠNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ 1.2 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường cô lập 1.3 Đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường 18 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu không trơn 24 2.1 Các kết bổ trợ 24 2.2 Điều kiện tối ưu 28 2.3 Các định lý đối ngẫu 38 2.3.1 Đối ngẫu kiểu Wolfe 38 2.3.2 Đối ngẫu kiểu Mond - Weir 44 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 50 Mở đầu Lí chọn đề tài Điều kiện tối ưu đối ngẫu hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Với tốn tối ưu khơng trơn, người ta thường dùng khái niệm vi phân để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối ngẫu vi phân lồi, Clarke, Michel Penot, Mordukhovich, vi phân suy rộng T.D Chuong [2], 2013 sử dụng giải tích biến phân, dạng không trơn quy tắc Fermat vi phân Mordukhovich để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối ngẫu kiểu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu lập tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức T.D Chuong - D.S Kim [3], 2014 thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối ngẫu kiểu Wolfe Mond - Weir cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tốn Đây đề tài nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho toán tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Mục đích đề tài Luận văn trình bày kết điều kiện tối ưu đối ngẫu T.D Chuong đăng tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104 cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu lập tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, T.D Chuong - D.S Kim đăng tạp chí Annals of Operations Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu tốn Nội dung luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu thường địa phương lập địa phương tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức cách sử dụng cơng cụ giải tích biến phân vi phân suy rộng như: Quy tắc Fermat khơng trơn, vi phân Mordukhovich (hay cịn gọi vi phân giới hạn) hàm max, quy tắc tổng cho vi phân Fréchet giới hạn Các điều kiện đủ tối ưu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngôn ngữ vi phân giới hạn hàm Lipschitz địa phương Các định lý đối ngẫu yếu, mạnh trình bày chương Các kết trình bày chương tham khảo [2], [1], [7], [8] Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức cơng cụ giải tích biến phân như: Nguyên lý cực trị xấp xỉ, quy tắc tổng mờ cho vi phân Fréchet, quy tắc tổng cho vi phân giới hạn cơng thức vơ hướng hóa đối đạo hàm Các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu yếu nghiệm hữu hiệu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngơn ngữ vi phân giới hạn Các định lý đối ngẫu Wolfe Mond - Weir trình bày chương Các kết trình bày chương tham khảo [3], [7], [1] Luận văn thực Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác nghiên cứu thân Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, Cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường phịng chức Trường; Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian nghiên cứu học tập Thái Nguyên, ngày 05 tháng năm 2017 Tác giả luận văn Trần Thị Lan Hương Chương Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu khơng trơn Chương trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu thường địa phương lập địa phương T.D Chuong [2], 2013 cho toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức cách sử dụng cơng cụ giải tích biến phân vi phân suy rộng Các điều kiện đủ tối ưu trình bày với giả thiết tính lồi suy rộng ngơn ngữ vi phân giới hạn hàm Lipschitz địa phương Các định lý đối ngẫu Wolfe trình bày chương 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ Nón cực Ω ⊂ Rn tập Ωo := {v ∈ Rn | v, x 0, ∀ x ∈ Ω} (1.1) Cho ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rn , ta kí hiệu: Lim sup F (x) := {v ∈ Rn : ∃xn → x → v với ∈ F (xn ), ∀n ∈ N} x→x giới hạn (ngoài) Painlevé - Kuratowski dãy F x → x Một tập Ω ⊂ Rn gọi đóng xung quanh x ∈ Ω có lân cận U x cho Ω ∩ clU tập đóng Ta nói Ω đóng địa phương Ω đóng xung quanh x với x ∈ Ω Cho Ω ⊂ Rn tập đóng xung quanh x ∈ Ω Nón pháp tuyến Fréchet Ω x ∈ Ω định nghĩa N (x, Ω) := x∗ , x − x x ∈ R | Lim sup ≤0 , x − x Ω x−→x ∗ n (1.2) Ω x −→ x nghĩa x → x với x ∈ Ω Nếu x ∈ / Ω ta đặt N (x, Ω) = ∅ Nón pháp tuyến Mordukhovich N (x, Ω) Ω x ∈ Ω nhận từ nón pháp tuyến Fréchet việc lấy giới hạn Painlevé Kuratowski dãy sau N (x, Ω) := Lim sup N (x, Ω) Ω (1.3) x−→x Nếu x ∈ / Ω ta đặt N (x, Ω) := ∅ Đặc biệt, Ω tập lồi địa phương xung quanh x, nghĩa có lân cận U ⊂ Rn x cho Ω ∩ U tập lồi ta có N (x, Ω) := {x∗ ∈ Rn | x∗ , x − x ≤ 0, ∀x ∈ Ω ∩ U } (1.4) Với hàm giá trị thực mở rộng ϕ : Rn → R := Rn ∪ {∞}, ta đặt domϕ := {x ∈ Rn | ϕ(x) < ∞} epiϕ := {(x, µ) ∈ Rn × R | µ ≥ ϕ(x)} Dưới vi phân Modukhovich vi phân Fréchet ϕ x ∈ domϕ định nghĩa tương ứng ∂ϕ(x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((x, ϕ(x); epiϕ)} (1.5) ∂ϕ(x) := {x∗ ∈ Rn | (x∗ , −1) ∈ N ((x, ϕ(x); epiϕ)} (1.6) Nếu x ∈ / domϕ, ta đặt ∂ϕ(x) = ∂ϕ(x) := ∅ Từ (1.3), (1.5) (1.6), ta có ∀ x ∈ Rn , ∂ϕ(x) ⊂ ∂ϕ(x) Đặc biệt, ϕ hàm lồi vi phân định nghĩa (1.5) (1.6) trùng với vi phân giải tích lồi cổ điển Xét hàm δ(., Ω) định nghĩa δ(x, Ω) = với x ∈ Ω δ(x, Ω) := ∞ x ∈ / Ω Ta có mối quan hệ nón pháp tuyến Mordukhovich vi phân Mordukhovich hàm sau (xem [7]): N (x, Ω) := ∂δ(x, Ω), ∀ x ∈ Ω (1.7) Dạng không trơn quy tắc Fermat (xem [7]) quan trọng cho nhiều ứng dụng phát biểu sau: Nếu x cực tiểu địa phương ϕ ∈ ∂ϕ(x) ⊂ ∂ϕ(x) (1.8) Trong chương ta xét vi phân Fréchet ϕ x với |ϕ(x)| < ∞, định nghĩa ∂ + ϕ(x) := −∂(−ϕ)(x) (1.9) Quy tắc tổng cho vi phân Fréchet sau: Bổ đề 1.1 [8] Cho ϕi : Rn → R hữu hạn x ∈ Rn với i := 1, Nếu ∂ + ϕ2 (x) = ∅ ∂ϕ1 (x) + x∗ ∂(ϕ1 + ϕ2 )(x) ⊂ x∗ ∈∂ + ϕ2 (x) Bổ đề 1.2 [7] Cho ϕi : Rn → R, i = 1, 2, , n, n ≥ nửa liên tục quanh x ∈ Rn tất hàm này, ngoại trừ hàm liên tục Lipschitz quanh x Khi đó, ∂(ϕ1 + ϕ2 + + ϕn )(x) ⊂ ∂ϕ1 (x) + ∂ϕ2 (x) + + ∂ϕn (x) 1.2 (1.10) Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập Cho Ω tập đóng địa phương = ∅ Rn cho K := {1, 2, , m}, I := {1, 2, , p} ∪ ∅, J := {1, 2, , q} ∪ ∅ tập số Giả sử f := (fk ), k ∈ K, g := (gi ), i ∈ I, h := (hj ), j ∈ J hàm vectơ với thành phần Lipschitz địa phương xác định Rn Xét toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc sau: {f (x)|x ∈ C} m R+ (1.11) Tập chấp nhận C định nghĩa C := {x ∈ Ω| gi (x) ≤ 0, i ∈ I, hj (x) = 0, j ∈ J} (1.12) Định nghĩa 1.1 (i) Ta nói x ∈ C nghiệm hữu hiệu địa phương toán (1.11) tồn lân cận U x cho ∀x ∈ U ∩ C, f (x) − f (x) ∈ / −Rm + {0} (ii) [4] Điểm x ∈ C gọi nghiệm hữu hiệu lập địa phương tốn (1.11) tồn lân cận U x số ν > cho ∀x ∈ U ∩ C, max {fk (x) − fk (x)} ≥ ν x − x 1≤k≤m (iii) Điểm x ∈ C gọi nghiệm hữu hiệu thường địa phương toán (1.11) tồn lân cận U x λ ∈ intRm + cho ∀x ∈ U ∩ C, λ, f (x) ≥ λ, f (x) 37 γj ∈ R, j ∈ J Để ý µi gi (x) = 0, µi gi (x) ≤ i ∈ I ωj hj (x) = 0, hj (x) = 0, j ∈ J Vì vậy, ta có đó, σj = λk fk (x) = k∈K λk fk (x) + µi gi (x) + i∈I k∈K ≤ j∈J λk fk (x) + µi gi (x) + i∈I k∈K ≤ σj hj (x) σj hj (x) j∈J λk fk (x) k∈K Do đó, tồn k0 ∈ K cho (2.26) fk0 (x) ≤ fk0 (x), λ ∈ Rm + \ {0} Kết hợp (2.26) với (2.25) dẫn đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ (i) / S(P ) Điều có nghĩa Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, x ∈ tồn x ∈ C cho f (x) − f (x) ∈ −Rm + \ {0} (2.27) Theo định nghĩa nón cực (f, g, h) L - lồi bất biến chặt, o λ ∈ Rm + \ {0}, ta suy từ (2.24) với x vậy, tồn v ∈ N (x; Ω) cho 0≤ k∈K λk zk∗ , v + µi x∗i , v + j∈J i∈I λk [fk (x) − fk (x)]+ < γj yj∗ , v µi [gi (x) − gi (x)]+ i∈I k∈K j∈J γj [hj (x) − hj (x)] ωj Do đó, λk fk (x)+ k∈K µi gi (x)+ i∈I σj hj (x) < j∈J λk fk (x)+ k∈K µi gi (x)+ i∈I σj hj (x), j∈J γj ∈ R, j ∈ J Ta có µi gi (x) = 0, µi gi (x) ≤ i ∈ I ωj hj (x) = 0, hj (x) = j ∈ J Vì vậy, ta có đó, σj = 38 λk fk (x) = λk fk (x) + i∈I k∈K k∈K µi gi (x) + < j∈J σj hj (x) µi gi (x) + λk fk (x) + j∈J i∈I k∈K ≤ σj hj (x) λk fk (x) k∈K Điều kéo theo tồn k0 ∈ K cho fk0 (x) < fk0 (x) Cùng với (2.27) ta đẫn đến mâu thuẫn Do (ii) Định lý chứng minh 2.3 Các định lý đối ngẫu Trong phần ta xây dựng đối ngẫu kiểu Wolfe [9] toán (Dw ) đối ngẫu kiểu Mond - Weir [6] toán (DM W ) định lý đối ngẫu mạnh yếu toán tương ứng 2.3.1 Đối ngẫu kiểu Wolfe p Cho z ∈ X, λ := (λ1 , , λm ) ∈ Rm + , µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ , γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ e := (1, , 1) ∈ Rm Trong toán (P), ta xem xét toán tối ưu đa mục tiêu đối ngẫu kiểu Wolfe toán (P): max {f (z, λ, µ, γ) := f (z)+ µ, g(z) e+ γ, h(z) e | (z, λ, µ, γ) ∈ Cw } (Dw ) m R+ Ở đây, tập ràng buộc Cw xác định p q Cw := (z, λ, µ, γ) ∈ Ω × Rm + × R+ × R+ | ∈ λk ∂fk (z) k∈K + γj (∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z)) + N (z, Ω), (2.28) µi ∂gi (z) + i∈I j∈J λ, e = 1, h(z) ∈ (γ − S(0, γ ))o 39 S(0, γ )) := {σ ∈ Rq | σ = γ } Một nghiệm hữu hiệu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán "max" đối ngẫu (Dw ) định nghĩa tương tự Định nghĩa 2.1 m m m cách thay −Rm + (-intR+ ) R+ (intR+ ) Ta kí hiệu tập nghiệm hữu hiệu (nghiệm hữu hiệu yếu) toán (Dw ) S(Dw ) ( S w (Dw )) Sau đây, để thuận tiện ta sử đụng kí hiệu sau: u ≺ v ⇔ u − v ∈ -intRm + , u ⊀ v phủ định u ≺ v, u v ⇔ u − v ∈ −Rm + \ {0}, u v phủ định u v Định lý sau mơ tả mối quan hệ tính đối ngẫu yếu toán xuất phát (P) toán (Dw ) Định lý 2.3 (Đối ngẫu yếu) Giả sử x ∈ C cho (z, λ, µ, γ) ∈ Cw (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z f (x) f (z, λ, µ, γ) Chứng minh Do (z, λ, µ, γ) ∈ Cw , tồn λ := (λ1 , , λm ) ∈ Rm + , µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ Rp+ , γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ , zk∗ ∈ ∂fk (z), k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi (z), i ∈ I yj∗ ∈ ∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z), j ∈ j, cho  γj yj∗  ∈ N (z; Ω) (2.29) λ, e , γ − σ, h(z) ≤ 0, ∀ σ ∈ Rq , σ = γ (2.30) − k∈K λk zk∗ + µi x∗i +  i∈I j∈J Đầu tiên ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại, f (x) ≺ f (z, λ, µ, γ) 40 Vì thế, λ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) < Điều tương đương với bất đẳng thức sau: λ, f (x) − f (z) − µ, g(z) − γ, h(z) < (2.31) Theo định nghĩa nón cực tính chất L - lồi bất biến (f, g, h) Ω z, từ (2.29) ta suy với x, tồn v ∈ N (z, Ω)o cho 0≤ k∈K λk zk∗ , v + ≤ µi x∗i , v + j∈J i∈I λk [fk (x) − fk (z)]+ k∈K γj yj∗ , v µi [gi (x) − gi (z)]+ j∈J i∈I γj ∈ R, j ∈ J, ta có Đặt σj := ωj γj [hj (x) − hj (z)] ωj ≤ λ, f (x) − f (z) + µ, g(x) − g(z) + σ, h(x) − h(z) , (2.32) đó, σ := (σ1 , , σq ) ∈ Rq Do x ∈ C nên ta có µ, g(x) ≤ 0, σ, h(x) = Vì vậy, (2.32) dẫn đến ≤ λ, f (x) − f (z) − µ, g(z) − σ, h(z) (2.33) Vì σ = γ , kết hợp (2.30), (2.31) (2.33) ta dẫn đến mâu thuẫn Vì (i) chứng minh Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, f (x) f (z, λ, µ, γ) (2.34) Vì thế, λ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) ≤ tương đương với bất đẳng thức sau λ, f (x) − f (z) − µ, g(z) − γ, h(z) ≤ (2.35) Từ (2.34) ta có x = z Thật vậy, x = z f (x) − f (z, λ, µ, γ) = − µ, g(x) e − γ, h(x) e Do x ∈ C, µ, g(x) ≤ γ, h(x) = Vì vậy, (2.34) kéo theo − µ, g(x) e ∈ −Rm + \ {0} Điều xảy Vậy x = z Từ định nghĩa nón cực tính chất L - lồi bất biến chặt (f, g, h) Ω 41 z từ (2.29) suy với x, tồn v ∈ N (z, Ω)o cho 0≤ k∈K λk zk∗ , v + µi x∗i , v + i∈I j∈J λk [fk (x) − fk (z)]+ < γj yj∗ , v µi [gi (x) − gi (z)]+ i∈I k∈K γj Đặt σj := ∈ R, j ∈ J, ta có ωj j∈J γj [hj (x) − hj (z)] ωj < λ, f (x) − f (z) + µ, g(x) − g(z) + σ, h(x) − h(z) , (2.36) đó, σ := (σ1 , , σq ) ∈ Rq Do x ∈ C nên ta có µ, g(x) ≤ 0, σ, h(x) = Vì vậy, từ (2.36) suy < λ, f (x) − f (z) − µ, g(z) − σ, h(z) (2.37) Vì σ = γ , kết hợp (2.30), (2.35) (2.37) dẫn đến mâu thuẫn Do (ii) Vậy định lý chứng minh Ví dụ sau cho thấy tính chất L - lồi bất biến (f, g, h) định lý cốt yếu Cụ thể kết luận định lý không tính chất bị bỏ qua Ví dụ 2.3 Cho f : R → R2 xác định f (x) = (f1 (x), f2 (x)), với f1 (x) = f2 (x) := x3 , x ∈ R g, h : R → R xác định g(x) := −|x|, h(x) := x2 + x, x ∈ R Xét toán (P) với m = 2, Ω = R Khi đó, C = {−1, 0} chọn x = −1 ∈ C Ta xét toán đối ngẫu 1 (Dw ) Bằng cách chọn z := ∈ Ω, λ := , , µ := 1, γ := 1, ta 2 có (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Để ý (f, g, h) không L - lồi bất biến Ω z Ta có f (x) = (−1, −1) ≺ (0, 0) = f (z, λ, µ, γ) Điều có nghĩa kết luận Định lý 2.3 không Nhận xét 2.1 Không giống số kết trước đối ngẫu toán tối ưu, ta có quan hệ h(z) ∈ (γ − S(0, γ )o (2.38) 42 tập ràng buộc Cw toán đối ngẫu (Dw ) Mối quan hệ khơng xuất tốn xuất phát khơng có ràng buộc đẳng thức, tức J = ∅ Đối với tốn có ràng buộc đẳng thức, mối quan hệ (2.38) tự động thỏa mãn h = Nếu không, điều kiện điều kiện cần thiết Cụ thể, ta khơng có điều kiện trên, trường hợp lồi, quan hệ đối ngẫu yếu toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc h = Cw không thỏa mãn (2.38) Để minh họa điều ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 2.4 Cho f : R → R2 xác định f (x) = (f1 (x), f2 (x)), với f1 (x) = f2 (x) := x, x ∈ R g : R → R xác định g(x) := |x|, x ∈ R, h : R → R2 xác định h(x) = (h1 (x), h2 (x)), h1 (x) := x, h2 (x) := −x, x ∈ R Xét toán (P) với m = 2, Ω = R Ta có C = {0} chọn x = ∈ C 1 , Ta xét toán đối ngẫu (Dw ) Chọn z := ∈ Ω, λ := , µ := 0, 2 γ := (1, 0) Khi đó, (z, λ, µ, γ) thỏa mãn tất điều kiện Cw (2.28), ngoại trừ điều kiện (2.38) áp dụng cho z := Ta có f (x) = (0, 0) ≺ (2, 2) = f (z, λ, µ, γ) Điều cho thấy kết luận Định lý 2.3 không đúng, (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z Lý h(z) ∈ / (γ − S(0, γ )o Định lý thể mối quan hệ đối ngẫu mạnh toán (P) toán đối ngẫu (Dw ) Định lý 2.4 (Đối ngẫu mạnh) Cho x ∈ S w (P ) thỏa mãn điều kiện (CQ) p q Khi tồn (λ, µ, γ) ∈ Rm + × R+ × R+ cho (x, λ, µ, γ) ∈ Cw f (x) = f (x, λ, µ, γ) Hơn nữa, 43 (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z ∈ Ω (x, λ, µ, γ) ∈ S w (Dw ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z ∈ Ω (x, λ, µ, γ) ∈ S(Dw ) Chứng minh Theo Định lý 2.1, x thỏa mãn điều kiện (KKT), nghĩa tồn p λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + \ {0}, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ cho 0∈ λk ∂fk (x) + k∈K γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) µi ∂gi (x) + (2.39) j∈J i∈I) + N (x; Ω), µi gi (x) = 0, i ∈ I Đặt λk := λk , k ∈ K, µi := λk k∈K µi , i ∈ I, γ j := λk k∈K γj , j ∈ J λk k∈K Khi ta có λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + , λ, e = 1, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ Rp+ γ := (γ , γ , , γ q ) ∈ Rq+ Hơn nữa, khẳng định (2.39) λk , µi , γj thay tương ứng λk , µi , γ j Ngồi ra, x ∈ C, ta có hj (x) = với j ∈ J Điều nghĩa γ−σ, h(x) = với σ ∈ Rq với σ = γ nghĩa h(x) ∈ (γ − S(0, γ )o Vì vậy, (x, λk , µi , γ j ) ∈ Cw Do µ, g(x) = γ, h(x) = ta nhận f (x) = f (x) + µ, g(x) e + γ, h(x) e = f (z, λ, µ, γ) Chứng minh (i) Khi (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z ∈ Ω, sử dụng (i) Định lý 2.3 ta nhận f (z, λ, µ, γ) = f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ) 44 với (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Điều có nghĩa (z, λ, µ, γ) ∈ S w (Dw ) Chứng minh (ii) Khi (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z ∈ Ω, sử dụng (ii) Định lý 2.3 ta nhận f (z, λ, µ, γ) f (z, λ, µ, γ), với (z, λ, µ, γ) ∈ Cw Do đó, (z, λ, µ, γ) ∈ S(Dw ) Định lý chứng minh Chú ý điều kiện (CQ) Định lý 2.4 đóng vai trị quan trọng Nói xác, x nghiệm hữu hiệu yếu tốn xuất phát, mà điều kiện (CQ) khơng thỏa mãn, ta khơng tìm p q (λ, µ, γ) ∈ Rm + × R+ × R+ cho (x, λ, µ, γ) thuộc tập chấp nhận toán đối ngẫu Trong trường hợp này, tất nhiên ta khơng có quan hệ đối ngẫu mạnh (xem Ví dụ 2.1) 2.3.2 Đối ngẫu kiểu Mond - Weir p Cho z ∈ X, λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + , µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ , γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ e := (1, 1, , 1) ∈ Rm Xét toán đối ngẫu kiểu Mond - Weir: max {f (z, λ, µ, γ) := f (z) | (z, λ, µ, γ) ∈ CM W } m (DM W ) R+ Ở đây, tập ràng buộc CM W xác định p q CM W := (z, , à, ) ìRm + ×R+ ×R+ | ∈ λk ∂fk (z)+ k∈K µi ∂gi (z) i∈I γj (∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z)) + N (z, Ω), + j∈J λ, e = 1, µ, g(z) + σ, h(z) ≥ ∀ σ ∈ S(0, γ ) , S(0, γ )) := {σ ∈ Rq | σ = γ } Quan hệ đối ngẫu yếu toán (P) toán đối ngẫu (DM W ) sau: 45 Định lý 2.5 (Đối ngẫu yếu) Cho x ∈ C (z, λ, µ, γ) ∈ CM W (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z f (x) f (z, λ, µ, γ) Chứng minh Do (z, λ, µ, γ) ∈ CM W , tồn λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm +, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ Rp+ , γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ , zk∗ ∈ ∂fk (z), k ∈ K, x∗i ∈ ∂gi (z), i ∈ I, yj∗ ∈ ∂hj (z) ∪ ∂(−hj )(z), j ∈ J, cho   − λk zk∗ + µi x∗i + i∈I k∈K γj yj∗  ∈ N (z; Ω) (2.40) j∈J λ, e = 1, µ, g(z) + σ, h(z) ≥ 0, ∀ σ ∈ Rq , với σ = γ (2.41) Trước hết ta chứng minh (i) Giả sử ngược lại f (x) ≺ f (z, λ, µ, γ) Do đó, λ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) < Nhưng (2.42) λ, f (x) − f (z) < Theo định nghĩa nón cực (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z, từ (2.40) ta suy với x vậy, tồn v ∈ N (x; Ω)o cho 0≤ k∈K λk zk∗ , v + µi x∗i , v + j∈J i∈I λk [fk (x) − fk (z)]+ ≤ k∈K γj yj∗ , v i∈I γj ∈ R, j ∈ J, ta có Đặt σj = ωj µi [gi (x) − gi (z)]+ j∈J γj [hj (x) − hj (z)] ωj ≤ λ, f (x) − f (z) + µ, g(x) − g(z) + σ, h(x) − h(z) (2.43) 46 σ := (σ1 , σ2 , , σq ) ∈ Rq Bởi x ∈ C, ta suy µ, g(x) ≤ σ, h(x) = Vì vậy, từ (2.43) ta có ≤ λ, f (x) − f (z) − ( µ, g(z) + σ, h(z) ) (2.44) Chú ý σ = γ Kết hợp (2.41) với (2.42) (2.44) ta đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ (i) Giờ ta chứng minh (ii) Giả sử ngược lại, f (x) (2.45) f (z, λ, µ, γ) Do đó, λ, f (x) − f (z, λ, µ, γ) ≤ Điều tương đương với bất đẳng thức sau: (2.46) λ, f (x) − f (z) ≤ Hơn nữa, từ (2.45) suy x = z Theo định nghĩa nón cực (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z, từ (2.40) ta suy với x vậy, tồn v ∈ N (z; Ω)o cho 0≤ k∈K λk zk∗ , v + i∈I j∈J λk [fk (x) − fk (z)]+ < γj yj∗ , v µi x∗i , v + µi [gi (x) − gi (z)]+ i∈I k∈K γj Đặt σj = ∈ R, j ∈ J, ta có ωj j∈J γj [hj (x) − hj (z)] ωj < λ, f (x) − f (z) + µ, g(x) − g(z) + σ, h(x) − h(z) (2.47) σ := (σ1 , σ2 , , σq ) ∈ Rq Mà x ∈ C, µ, g(x) ≤ σ, h(x) = Vì vậy, từ (2.47) ta có < λ, f (x) − f (z) − ( µ, g(z) + σ, h(z) ) (2.48) Chú ý σ = γ Kết hợp (2.41) với (2.46) (2.48) ta đến mâu thuẫn Điều chứng tỏ (ii) Vậy định lý chứng minh Đinh lý sau trình bày quan hệ đối ngẫu mạnh toán (P) toán đối ngẫu (DM W ) 47 Định lý 2.6 (Đối ngẫu mạnh) Cho x ∈ S w (P ) thỏa mãn điều kiện (CQ) p q điểm Khi tồn (λ, µ, γ) ∈ Rm + ìR+ ìR+ cho (x, , à, ) CM W f (x) = f (x, λ, µ, γ) Hơn nữa, (i) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z (x, λ, µ, γ) ∈ S w (DM W ) (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z (x, λ, µ, γ) ∈ S(DM W ) Chứng minh Theo Định lý 2.1, x thỏa mãn điều kiện (KKT), nghĩa tồn p λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + \ {0}, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ γ := (γ1 , γ2 , , γq ) ∈ Rq+ cho 0∈ λk ∂fk (x) + k∈K γj (∂hj (x) ∪ ∂(−hj )(x)) µi ∂gi (x) + (2.49) j∈J i∈I) + N (x; Ω), µi gi (x) = 0, i ∈ I Đặt λk := λk , k ∈ K, µi := λk k∈K µi , i ∈ I, γ j := λk k∈K γj , j ∈ J λk k∈K p Ta có λ := (λ1 , λ2 , , λm ) ∈ Rm + , λ, e = 1, µ := (µ1 , µ2 , , µp ) ∈ R+ , γ := (γ , γ , , γ q ) ∈ Rq+ Hơn nữa, khẳng định (2.49) λk , µi , γj thay tương ứng λk , µi , γ j Vì thế, µ, g(x) = Ngoài ra, x ∈ C, hj (x) = với j ∈ J Khi đó, µ, g(x) + σ, h(x) = với σ ∈ S(0, γ ) Vì vậy, ta có (x, λ, µ, γ) ∈ CM W Rõ ràng theo định nghĩa ta có f (x) = f (x, λ, µ, γ) (i) Khi (f, g, h) L - lồi bất biến Ω z theo (i) Định lý 2.5 ta có f (x, λ, µ, γ) = f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ) với (z, λ, µ, γ) ∈ CM W Điều có nghĩa (x, λ, µ, γ) ∈ S w (DM W ) 48 (ii) Nếu (f, g, h) L - lồi bất biến chặt Ω z ∈ Ω theo (ii) Định lý 2.5 ta có f (x, λ, µ, γ) = f (x) ⊀ f (z, λ, µ, γ), với (z, λ, µ, γ) ∈ CM W Do đó, (x, λ, µ, γ) ∈ S(DM W ) Định lý chứng minh 49 Kết luận Luận văn trình bày kết điều kiện tối ưu đối ngẫu T.D Chuong đăng tạp chí Nonlinear Analysis 76 (2013), 93 - 104 cho nghiệm hữu hiệu thường nghiệm hữu hiệu lập tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức, T.D Chuong - D.S Kim đăng tạp chí Annals of Operations Research 217 (2014), 117 - 136 cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán Nội dung luận văn bao gồm: - Các khái niệm vi phân Fréchet vi phân Mordukhovich Các quy tắc tính vi phân Fréchet giới hạn - Điều kiện tối ưu đối ngẫu Wolfe cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu không trơn - Điều kiện tối ưu đối ngẫu Wolfe Mond- Weir cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu không trơn Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu toán tối ưu đa mục tiêu đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), "Giải tích lồi", NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tiếng Anh [2] T.D Chuong (2013), "Optimality and duality for proper and isolated efficiencies in multiobjective opmization", Nonlinear Analysic, 76, pp 93 - 104 [3] T.D Chuong, D.S Kim (2014), "Optimality conditions and duality in nonsmooth multiobjective optimization problems", Annals of Operations Research, 217, pp 117 - 136 [4] I Ginchev, A Gueraggio, M Rocca (2006), "From scalar to vector optimization", Appl.Math, 51, pp - 36 [5] D.S Kim, S Schaible (2004), "Optimality and duality for invex nonsmooth multiobjective programming problems", Optimization, 53, pp 165 - 176 [6] B Mond, T Weir (1981), "Generalized concavity and duality in", S Schaible, W.T Ziemba (Eds), "Generalized concavity in optimization and economics", New York: Academic Press, pp 263 - 279 51 [7] B.S Mordukhovich (2006), "Variational analysis and generalized differentiation, I: Basic theory", Berlin: Springer [8] B.S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen (2006), "Fréchet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferentiable programming", Optimization, 55, pp 685 - 708 [9] P Wolfe (1961), "A duality theorem for nonlinear programming", Quarterly of Applied Mathematies, 19, pp 239 - 244 ... Chương "Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu khơng trơn" Trình bày điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu với... 2017 i Mục lục Mở đầu 1 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm hữu hiệu thường lập tốn tối ưu đa mục tiêu không trơn 1.1 Các định nghĩa kết bổ trợ 1.2 Điều kiện tối ưu đối ngẫu cho nghiệm... tài Điều kiện tối ưu đối ngẫu hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết tối ưu đa mục tiêu Với toán tối ưu không trơn, người ta thường dùng khái niệm vi phân để thiết lập điều kiện tối ưu định lý đối