Phương pháp xấp xỉ điểm bất điểm của ánh xạ không giãn và nửa nhóm không giãn trong không gian hilbert

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN ĐỨC LẠNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ii LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Thầy GS TS Nguyễn Bường Các kết luận án chưa công bố cơng trình khác Các kết cơng bố chung đồng tác giả cho phép sử dụng luận án Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng iii LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu sinh Nguyễn Đức Lạng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học GS TS Nguyễn Bường, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, định hướng nghiên cứu cho nghiên cứu sinh, bảo ân cần thầy GS TS Nguyễn Bường giúp cho nghiên cứu sinh có ý thức trách nhiệm tâm cao suốt trình làm luận án Nghiên cứu sinh xin bày tỏ lòng biết ơn đến nhà khoa học thầy: GS TSKH Phạm Kỳ Anh, GS TSKH Lê Dũng Mưu, GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TS Trần Vũ Thiệu, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TS Cung Thế Anh, PGS TS Hà Tiến Ngoạn, PGS TS Phạm Hiến Bằng, PGS TS Phạm Việt Đức, PGS TS Đỗ Văn Lưu, PGS TS Trần Diên Hiển, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, TS Nguyễn Công Điều, PGS TS Phạm Ngọc Anh, PGS TS Nông Quốc Chinh, PGS TS Lê Lương Tài, PGS TS Hà Trần Phương, TS Trương Minh Tuyên, TS Ngô Văn Định, TS Nguyễn Thanh Sơn, TS Vũ Vinh Quang, TS Nguyễn Đình Dũng, TS Vũ Mạnh Xuân, TS Đào Thị Liên, v.v cho ý kiến đóng góp q báu suốt thời gian nghiên cứu sinh học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc, Ban Đào tạo (Bộ phận Sau đại học) Đại học Thái Nguyên; Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo (Bộ phận Sau đại học), Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, Bộ mơn Giải tích trường Đại học Sư phạm; Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học; thầy cô, bạn bè đồng nghiệp chia sẻ, giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn kính tặng bố , mẹ, vợ, người thân yêu gia đình niềm vinh hạnh to lớn Nghiên cứu sinh: Nguyễn Đức Lạng iv Mục lục Trang bìa phụ LỜI CAM ĐOAN i ii LỜI CẢM ƠN iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu chữ viết tắt vi Mở đầu Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm, phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 1.1.1 Một số khái niệm tính chất khơng gian Hilbert 1.1.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 10 1.2 Nửa nhóm khơng giãn số phương pháp tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn 14 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 18 Chương Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động v ánh xạ không giãn 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết cải biên 22 2.2 Phương pháp lặp Mann - Halpern cải biên 30 2.3 Phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp cho ánh xạ không giãn 36 2.4 Điểm bất động chung cho hai ánh xạ không giãn hai tập 38 2.5 Ví dụ tính tốn minh họa 44 Chương Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 55 3.1 Điểm bất động nửa nhóm khơng giãn 55 3.2 Điểm bất động hai nửa nhóm không giãn 64 3.3 Ví dụ tính tốn minh họa 70 Kết luận chung đề xuất 75 Danh mục cơng trình công bố liên quan đến luận án 76 Tài liệu tham khảo 77 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT , tích vơ hướng x chuẩn phần tử x H ∅ tập rỗng ∀x x ∃x tồn x I ánh xạ đồng ∩ phép giao D(A) miền xác định toán tử A inf A cận tập hợp A sup A cận tập hợp A max A số lớn tập hợp A N tập hợp số tự nhiên N∗ tập hợp số tự nhiên khác M số nút chia R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm E không gian Banach H không gian Hilbert PC (x) hình chiếu x lên tập hợp C x := y x định nghĩa y lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x n→∞ vii xn F (T ) x dãy {xn } hội tụ yếu tới x tập điểm bất động ánh xạ T {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn F tập điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động không gian mêtric thực lôi quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước hàng chục năm qua Điều khơng lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng tốn học mà cịn ứng dụng lý thuyết bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, mơ hình tốn học lý thuyết kinh tế Nhiều nhà toán học tên tuổi Brower E., Banach S., Bauschke H H., Moudafi A., Xu H K., Schauder J., Browder F E., Ky Fan K., Kirk W A., Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Lê Dũng Mưu, v.v mở rộng kết toán điểm bất động ánh xạ co không gian hữu hạn chiều cho toán điểm bất động ánh xạ liên tục Lipschitz, ánh xạ giả co, ánh xạ không giãn, v.v không gian Hilbert, không gian Banach Những kết mở rộng không đề cập đến tồn điểm bất động mà đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động ánh xạ Gần nghiên cứu tốn tìm điểm bất động lớp ánh xạ không giãn trở thành hướng nghiên cứu sơi động giải tích phi tuyến Một số phương pháp xấp xỉ điểm bất động kinh điển phải kể đến phương pháp lặp Krasnosel’skii [20], phương pháp lặp Mann [22], phương pháp lặp Halpern [16], phương pháp lặp Ishikawa [17], v.v Một số nhà nghiên cứu nước có cơng trình thú vị tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn không gian Hilbert không gian Banach (xem [3] - [5], [36] - [43], v.v ) Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H, T : C → C ánh xạ không giãn Năm 2003, Nakajo K Takahashi W [27] đề xuất cải biên phương pháp lặp Mann dựa phương pháp lai ghép qui hoạch toán học (được đề xuất lần vào năm 2000 Solodov M V., Svaiter B F [32]) dạng  x0 ∈ C phần tử bất kỳ,        yn = αn xn + (1 − αn )T (xn ), (0.1) Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z },     Qn = {z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ 0},    xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), n ≥ Họ chứng minh dãy {αn } ⊂ [0, a] với a ∈ [0, 1) dãy {xn } xác định (0.1) hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ) n → ∞, u0 = PF (T ) (x0 ) hình chiếu x0 tập điểm bất động F (T ) ánh xạ không giãn T Năm 2000 Moudafi A [26] đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết   x0 ∈ C phần tử bất kì, (0.2) λn  xn = T (xn ) + f (xn ), n ≥ 0, + λn + λn   x0 ∈ C phần tử bất kì, λn  xn+1 = T (xn ) + f (xn ), + λn + λn n ≥ 0, (0.3) tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T , f : C → C ánh xạ co với hệ số co α ˜ ∈ [0, 1) {λn } dãy số dương Ông chứng minh rằng: 1) Nếu λn → n → ∞ dãy lặp (0.2) hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ F(T ) cho (I − f )(x∗ ), x∗ − x ≤ 0, ∞ ∀x ∈ F(T ) (0.4) = 0, dãy lặp n→∞ n→∞ λn+1 λn n=1 (0.3) hội tụ mạnh nghiệm bất đẳng thức biến phân (0.4) 2) Nếu lim λn = 0, λn = +∞ lim − Năm 2007, Alber Y I [2] đề xuất phương pháp dạng đường dốc lai ghép xn+1 = PC xn − µn [xn − T (xn )] , n ≥ 0, (0.5) chứng minh dãy {µn }, µn > 0, chọn cho µn → n → ∞ dãy {xn } bị chặn, điểm tụ yếu dãy {xn } thuộc tập điểm bất động T Mở rộng cho tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t ≥ 0}, năm 2003, Nakajo K Takahashi W [27] đề xuất phương pháp   x0 ∈ C phần tử bất kì,    tn    yn = αn xn + (1 − αn ) tn T (s)xn ds, (0.6) Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z },    Qn = {z ∈ C : xn − x0 , z − xn ≥ 0},     xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), n ≥ 0, {αn } ⊂ [0, a] với a ∈ [0, 1) tn → +∞ Với số điều kiện thích hợp cho dãy {αn } {tn }, dãy {xn } xác định (0.6) hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), F = ∩t>0 F (T (t)) giả thiết khác rỗng Năm 2008, Takahashi W cộng [35] đề xuất dạng đơn giản (0.6) sau   x0 ∈ H, C1 = C, x1 = PC1 (x0 ),     y = α x + (1 − α )T (x ), n n n n n n  Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z },    x =P (x ), n ≥ n+1 Cn+1 (0.7) Họ [35] ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ≥ λn → ∞, dãy {xn } xác định (0.7) hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ) Cũng thời điểm đó, Saejung S [29] xét trình lặp tương 68 nên PCi (xn ) − tn tn tn ˜ ˜ Ti (s)xn ds = PCi (xn ) − PCi Ti (s)xn ds tn tn ˜ ≤ xn − Ti (s)xn ds , tn từ (3.25) kéo theo lim PCi (xn ) − n→∞ tn tn T˜i (s)xn ds = 0, i = 1, (3.27) Vì dãy {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } dãy {xn } hội tụ yếu tới phần tử q ∈ H j → ∞ Từ (3.25), (3.27), ta nhận uinj := PCi (xnj ) → q j → ∞ Có nghĩa q ∈ C1 ∩ C2 Do vậy, với h > 0, ta có: Ti (h)uin − uin tn Ti (s)uin ds − Ti (h) tn tn 1 tn i Ti (h) Ti (s)un ds − Ti (s)uin ds tn tn tn Ti (s)uin ds − uin tn tn Ti (s)uin ds − uin tn tn tn i Ti (s)un ds − Ti (s)uin ds T (h) tn tn (3.28) Ti (h)uin ≤ + + ≤2 + Cho C0i = {z ∈ Ci : z − u0 ≤ x0 − u0 } Bởi u0 = PF (x0 ) ∈ Ci nên uinj − u0 = PCi (xnj ) − PCi (u0 ) ≤ xnj − u0 ≤ x0 − uo Do vậy, C0i tập lồi, đóng, khác rỗng, bị chặn Dễ thấy {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C0i Từ Bổ đề 3.1, suy tn tn i lim Ti (h) T (s)un ds − T (s)uin ds = 0, n→∞ tn tn 69 với h > cố định, từ (3.27), (3.28) ta nhận lim Ti (h)uinj − uinj = 0, j→∞ với h > Từ Bổ đề 1.1 suy q ∈ F (Ti (h)) với h > Điều có nghĩa q ∈ F Theo chứng minh định lý 2.5 sử dụng (3.12), (3.23), (3.26) ta nhận dãy {xn }, {yn } {zn } xác định (3.1) hội tụ mạnh tới u0 n → ∞ Định lý chứng minh ✷ Ta có hệ sau Hệ 3.3 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C với F = ∩t≥0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn βn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định    x0 ∈ H phần tử bất kì,     t   yn = βn x0 + (1 − βn ) t1n n T (s)PC (xn )ds,   Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )},      Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0},     x n ≥ 0, n+1 = PHn ∩Wn (x0 ), hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Trong định lý 3.4, lấy T1 (s) = I với s ≥ 0, C1 = H, C2 = C T2 (s) = T (s), ta nhận điều phải chứng minh ✷ Hệ 3.4 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn C với F = ∩t≥0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {αn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → Khi đó, dãy {xn } {yn } xác định 70    x0 ∈ H phần tử bất kì,      tn  y =  n tn T (s) PC (xn ) − µn xn −   tn tn T (s)PC (xn )ds ds, Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z },       Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0},     x (x ), n ≥ 0, =P n+1 Hn ∩Wn hội tụ mạnh tới u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh Trong định lý 3.4, lấy βn ≡ 0, C2 = H, C1 = C, T2 (s) = I T1 (s) = T (s) với s ≥ 0, ta nhận điều phải chứng minh ✷ 3.3 Ví dụ tính tốn minh họa Ví dụ 3.1 Trong khơng gian R2 , với t ≥ 0, xét ánh xạ T (t) : R2 → R2 xác định T (t)x = cos(t) − sin(t) sin(t) cos(t) x1 , x2 với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 Ta có T (t)x − T (t)y ≤ x − y Suy ra, T (t) ánh xạ khơng giãn Ngồi ra, T (θ) = I T (t + s) = T (t) ◦ T (s), t, s ≥ Do đó, {T (t) : t ≥ 0} nửa nhóm khơng giãn R2 Dễ dàng kiểm tra F = ∩t≥0 F (T (t)) = {(0, 0)} Xét dãy lặp (3.1) cho nửa nhóm khơng giãn C = R Trước hết ta t tính tích phân n T (t)xdt theo cơng thức Simpson sau Ta có tn T (t)xdt = tn tn C1 (t)dt C2 (t)dt = a , b C1 (t) = x1 cos(t) − x2 sin(t) C2 (t) = x1 sin(t) + x2 cos(t) 1 Chọn x0 = (−1, 1), αn = − , βn = , tn = nπ tính n+1 n 71 xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), việc tính siêu phẳng Hn , Wn hình chiếu x0 siêu phẳng làm tương tự ví dụ 2.2 Kết tính tốn bước lặp thứ 500 trình bày bảng sau Bảng 3.1 Nghiệm x1 x2 0 xn yn zn x1n x2n yn1 yn2 zn1 zn2 -0.031259 -0.031259 -0.014563 -0.014563 -0.031230 -0.031230 Ngoài ra, hội tụ dãy lặp {xn }, {yn } {zn } nghiệm (0, 0) thể rõ nét qua hình sau Hình 3.1 Tiếp theo, thực thử nghiệm số cho toán phương pháp lặp (3.9) tn Giá trị Tn PC (xn ) = T (t)xn dt tính cơng thức Simpson tn 72 giống Khi ta tính yn = (1 − µn )xn + µn Tn PC (xn ) việc tính Hn+1 , Wn PHn+1 (x0 ) tính tương tự ví dụ 2.4 Chọn x0 = (−1, 1), µn = , tn = nπ Kết tính tốn bước lặp thứ 50 thể bảng sau Bảng 3.2 Nghiệm xn yn x1 x2 x1n x2n yn1 yn2 0 −0.735 × 10−3 0.445 × 10−3 0.461 × 10−3 −0.239 × 10−3 Kết tính tốn sau 50 bước lặp cịn thể rõ hình Hình 3.2 Ví dụ 3.2 Trong ví dụ này, xét phương pháp lặp (3.18) giải tốn tìm điểm bất động chung hai nửa nhóm khơng giãn {Tm (t)} với ma cos(mt) − sin(mt) trận cho bởi: , m = 1, sin(mt) cos(mt) 1 Chọn x0 = (−1, 1), µn = , βn = , tn = nπ tính n xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), việc tính siêu phẳng Hn , Wn hình chiếu x0 siêu phẳng làm tương tự ví dụ 2.2 73 Kết tính tốn bước lặp thứ 500 trình bày bảng sau Bảng 3.3 Nghiệm xn yn zn x1 x2 x1n x2n yn1 yn2 zn1 zn2 0 -0.036923 -0.037136 -0.008730 -0.008784 -0.027451 -0.027611 Sự hội tụ phương pháp lặp điểm bất động chung hai nửa nhóm khơng giãn cịn thể thơng qua hình Hình 3.3 Nhận xét 3.1 Qua bảng kết số ta thấy số bước lặp lớn nghiệm xấp xỉ gần nghiệm xác Kết luận Trong chương này, nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp Mann - Halpern phương pháp lai ghép qui hoạch toán học, 74 cải biên phương pháp lặp Nakajo K Takahashi W., đề xuất phương pháp lặp (3.1) "Định lý 3.1" dựa kết Seajung S., đề xuất phương pháp lặp (3.9), (3.10) "Định lý 3.2, Định lý 3.3", cách thay tập lồi, đóng Cn Qn nửa khơng gian, điều giúp xác định xn+1 dễ dàng Ngoài ra, đề xuất phương pháp lặp (3.18), cho tốn tìm điểm bất động chung hai nửa nhóm khơng giãn "Định lý 3.4" Cũng giống Chương luận án, mục cuối chương chúng tơi trình bày ví dụ đơn giản nhằm minh họa thêm cho kết đạt 75 KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT Luận án đề cập đến vấn đề sau Trong luận án cải tiến phương pháp Moudafi, nhằm thu hội tụ mạnh phương pháp lặp ẩn lặp với điều kiện "nhẹ hơn" đặt lên tham số Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp Mann - Halpern phương pháp lai ghép qui hoạch toán học để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập lồi, đóng C hay điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn hai tập lồi, đóng, có giao khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Chứng minh hội tụ mạnh phương pháp dạng đường dốc lai ghép thu hẹp điểm bất động ánh xạ không giãn Nghiên cứu kết hợp phương pháp lặp Mann - Halpern phương pháp lai ghép qui hoạch toán học để tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn tập lồi, đóng C hay điểm bất động chung hai nửa nhóm khơng giãn hai tập lồi, đóng, có giao khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Nghiên cứu hội tụ mạnh phương pháp dạng đường dốc lai ghép cho tốn tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Những vấn đề tiếp tục nghiên cứu Sử dụng kết nhận luận án để toán phức tạp hơn; Mở rộng kết lên khơng gian Banach 76 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN (1) Nguyen Buong, Nguyen Duc Lang (2011), "Shrinking hybrid descentlike methods for nonexpansive mappings and semigroups", Nonlinear Funct Anal Appl., Vol 16, No 3, pp 331-339 (2) Nguyen Buong, Nguyen Duc Lang (2011), "Iteration methods for fixed point of a nonexpansive mapping", Int Math Forum., Vol 6, No 60, pp 2963-2974 (3) Nguyen Buong, Nguyen Duc Lang (2011), "Hybrid Mann - Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups", Appl Math Comput., Vol 218, Issue 6, pp 2459-2466 (4) Nguyen Buong, Nguyen Duc Lang (2012), "Hybrid descent - like halpern iteration methods for two nonexpansive mappings and semigroups on two sets", Theoretical Mathematics & Applications., Vol 2, No 3, pp 23-38 77 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các Định Lí Điểm Bất Động, Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm [2] Alber Ya I (2007), "On the stability of iterative approximations to fixed points of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 328, pp 958-971 [3] Pham Ky Anh, Cao Van Chung (2014), "Parallel Hybrid Methods for a Finite Family of Relatively Nonexpansive Mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization., 35, pp 649-664 [4] P N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl., 154, pp 303-320 [5] P N Anh , L D Muu (2014), "A hybrid subgradient algorithm for nonexpansive mappings and equilibrium problems", Optim Lett., 8, pp 727-738 [6] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications., Springer 78 [7] Bauschke H H (1996), "The approximation of fixed points of compositions of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 202, pp 150-159 [8] Bauschke H H., Combettes P L., Luke D R (2006), "A strongly convergent reflection method for finding the projection onto the intersection of two closed convex sets in a Hilbert spaces", J Approx Theory Appl., 141, pp 63-69 [9] Banach S (1922), "Sur les operations dans les ensembles abstraits et leurs applications", Fund Math., 3, pp 133-181 [10] Nguyen Buong (2010), "Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces", Appl Math Comput., 217, pp 322-329 [11] Nguyen Buong (2010), "Strong convergence theorem for nonexpansive semigroups in Hilbert space", Nonlinear Anal., 72(12), pp 45344540 [12] Nguyen Buong (2011), "Strong convergence of a method for variational inequality problems and fixed point problems of noexpensive semigroup in Hilbert spaces", J Appl Math Inform., 29(1-2), pp 61-74 [13] Nguyen Buong (2011), "Hybrid Ishikawa iterative methods for a nonexpansive semigroup in Hilbert space", Comput Math Appl., 61, pp 2546-2554 [14] Ceng L C., Ansari Q H., Yao J Ch (2008), "Mann-type steepestdescent and modified hybrid steepest-descent methods for variational inequalities in Banach spaces", Numer Funct Anal Optim., 29(910), pp 987-1033 79 [15] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, "Duality Mappings and Nonlinear Problems", Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [16] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Allahabad Math Soc., 73, pp 957-961 [17] Ishikawa S (1974), "Fixed points by new iteration method", Proc Amer Math Soc., 44, pp 147-150 [18] Jung J S (2009), "Strong convergence of viscosity iteration methods for nonexpansive mappings", Abstra Differ Equ Appl., doi: 10.1155/2009/573156 [19] Khan S H., Fukhar-ud-din H (2005), "Weak and strong convergence of a scheme with errors for two nonexpansive mappings", Nonlinear Anal., 61, pp 1295-1301 [20] Krasnosel’skii M A (1955), "Two remarks on the method of successive approximations", Uspekhi Mat Nauk., 10, pp 123-127 [21] Lions P L (1977), "Approximation de points fixes de contractions", C.R Acad Sci Paris Sér., 284, pp 1357-1359 [22] Mann W R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [23] Marino G., Xu H K (2007), "Weak and strong convergence theorems for stric pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 329, pp 336-346 [24] De Marr R (1963), "Common fixed points for commuting contraction mappings", Pacific J Math., 13, pp 1139-1141 [25] Martinez-Yanes C., Xu H K (2006), "Strong convergence of the CQ method for fixed iteration processes", Nonlinear Anal., 64, pp 24002411 80 [26] Moudafi A (2000), "Viscosity approximation methods for fixed-point problems", J Math Anal Appl., 241, pp 46-55 [27] Nakajo K., Takahashi W (2003), "Strong convergence theorem for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl., 279, pp 372-379 [28] O’Hara J G., Pilla P., Xu H K (2003), "Iterative approaches to finding nearest common fixed points of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Nonlinear Anal., 54, pp 1417-1426 [29] Saejung S (2008), "Strong convergence theorems for nonexpansive semigroups without Bochner integrals", FPTA., doi: 10.1155/2008/745010 [30] Shimizu T., Takahashi W (1997), "Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 211, pp 71-83 [31] Shioji N., Takahashi W (1999), "Strong convergence theorems for continuous semigroup in Banach spaces", Math Japonica., 50, pp 57-66 [32] Solodov M V., Svaiter B F (2000), "Forcing strong convergence of proximal point iterations in a Hilbert space", Math Program., 87, pp 189-202 [33] Song Y (2006), "Viscosity approximation for nonexpansive nonselfmappings in Banach spaces", Jrl Syst Sci & E06093., pp 1-7 [34] Song Y (2008), "New strong convergence theorems for nonexpansive nonself-mappings without boundary conditions", J Comput Math., 56, pp 1473-1478 81 [35] Takahashi W., Takeuchi Y., Kubota R (2008), "Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl., 341, pp 276-286 [36] Duong Viet Thong (2011), "An implicit iteration process for nonexpansive semigroups", Nonlinear Anal., 74, pp 6116-6120 [37] Duong Viet Thong (2012), "The comparison of the convergence speed between picard, Mann, Ishikawa and two-step iterations in Banach spaces", Acta Math Vietnam., Volume 37, Number 2, pp 243-249 [38] Duong Viet Thong (2012), "Viscosity approximation method for Lipschitzian pseudocontraction semigroups in Banach spaces", Vietnam J Math., 40:4, pp 515-525 [39] Nguyen Thi Thu Thuy (2013), "A new hybrid method for variational inequality and fixed point problems", Vietnam J Math., 41, pp 353-366 [40] Nguyen Thi Thu Thuy, Pham Thanh Hieu (2013), "Implicit Iteration Methods for Variational Inequalities in Banach Spaces", Bull Malays Math Sci Soc., (2) 36(4), pp 917-926 [41] Nguyen Thi Thu Thuy (2014), "Hybrid Mann-Halpern iteration methods for finding fixed points involving asymptotically nonexpansive mappings and semigroups", Vietnam J Math., Volume 42, Issue 2, pp 219-232 [42] Nguyen Thi Thu Thuy (2014), "An iterative method for equilibrium, variational inequality, and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull Malays Math Sci Soc.,Volume 38, Issue 1, pp 113-130 [43] Nguyen Thi Thu Thuy (2015), "A strongly strongly convergent shrinking descent-like Halpern’s method for monotone variational in- 82 equaliy and fixed point problems", Acta Math Vietnam., Volume 39, Issue 3, pp 379-391 [44] Wattanawitoon K., Kumam P (2010), "Convergence theorems of modified Ishikawa iterative scheme for two nonexpansive semigroups", Fixed Point Theory Appl., Article ID 914702, 12 pages [45] Wittmann R (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Arch Math., 59, pp 486-491 [46] Xu H K (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Optim Theory Appl., 116, pp 659-678 [47] Xu H K (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 298, pp 279-291 [48] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intesection of fixed point sets of nonexpansive mappings", Stud Comput Math., 8, pp 473-504 [49] Zhou H (2008), "Convergence theorems of fixed points for k-strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", Nonlinear Anal., 69, pp 456462 ... 2: Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Chương 3: Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn Ở Chương 1, giới thiệu ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn. .. phương pháp lặp để tìm điểm bất động, điểm bất động chung ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn 21 Chương Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Năm 2000, Moudafi A đề xuất phương. .. số phương pháp lặp tìm điểm bất động loại ánh xạ Trong Chương 2, trình bày kết nghiên cứu xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn điểm bất động chung hai ánh xạ không giãn Mở đầu kết cải biên phương