Phương pháp thu hẹp và loại đường dốc nhất cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thu Tính PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thu Tính PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Không gian Hilbert 1.1.1 Sự hội tụ yếu 1.1.2 Khai triển trực giao Toán tử chiếu 1.1.3 Mối quan hệ chuẩn tích vơ hướng Ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn 1.2.1 Ánh xạ không giãn 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 1.2.3 Một số định lý điểm bất động Phương pháp lai ghép đường dốc tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 10 2.1 Một số phương pháp 11 2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn 11 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc thu hẹp cho ánh xạ không giãn 2.3 16 18 Phương pháp lai ghép đường dốc thu hẹp cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 ii Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cám ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa họcĐại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TS Nguyễn Bường, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán-Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, lãnh đạo quan đơn vị công tác, bạn bè, đồng nghiệp người tạo điều kiện, động viên tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Nguyễn Thị Thu Tính iii Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu H Khơng gian Hilbert thực ∅ Tập rỗng M⊥ Phần bù trực giao M I Toán tử đồng A∗ Toán tử liên hợp tốn tử A N (A) Khơng gian khơng tốn tử A R(A) Miền giá trị toán tử A PC x Phép chiếu phần tử x lên tập C F Tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0} F (T ) Tập điểm bất động ánh xạ T Hội tụ yếu → Hội tụ mạnh iv Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cho C tập không gian X T ánh xạ từ C vào X Có tồn hay không điểm x0 C cho T x0 = x0 ? Và có cách để tìm điểm x0 hay xấp xỉ điểm x0 vậy? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ T Lý thuyết điểm bất động đời từ sớm mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ Lipschitz khác ánh xạ không giãn tiệm cận, ánh xạ Lipschitz (hệ số Lipschitz lớn thực sự) Lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn Brouwer, Bannach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Ky Fan, Có nhiều định lý khơng đề cập đến tồn điểm bất động ánh xạ mà cịn đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động Phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ nói chung kết kinh điển nghiên cứu, có nhiều ứng dụng thực tiễn Các phương pháp nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu cải biên phương pháp đường dốc tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ không giãn, dựa sở báo GS.TS.Nguyễn Bường Đồng thời khái quát lại số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn số phương pháp tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, tổng hợp từ tài liệu công bố Luận văn gồm chương với nội dung sau đây: Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Nhắc lại số kiến thức chuẩn bị làm sở để theo dõi luận văn Chương Trình bày số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, bao gồm số phương pháp số mở rộng chúng Đặc biệt, chương chúng tơi trình bày số cải biên phương pháp đường dốc với số phương pháp biết đến tài liệu Takahashi, Alber, Solodov, Saejung Do thời gian kinh nghiệm nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý từ q thầy bạn đồng nghiệp Tác giả xin trân trọng cảm ơn! Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số định nghĩa, số định lí bổ đề không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1 Giả sử E không gian véc tơ trường K Tích vơ hướng E ánh xạ ϕ:E×E →K thỏa mãn (i) ϕ(x, x) > x = 0; ϕ(x, x) = x = (ii) ϕ(x, y) = ϕ(y, x) (iii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) (iv) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y) Kí hiệu ϕ(x, x) = x, x Khi x = x, x xác định chuẩn E Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.2 Khơng gian E với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Một không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert Một không gian tiền Hilbert không đủ bổ sung thành khơng gian Hilbert Khơng tính tổng qt, luận văn này, chúng tơi thống dùng kí hiệu H để kí hiệu khơng gian Hilbert Ví dụ 1.3 Trong C n , với x = (ξ1 , ξ2 , , ξn ), y = (η1 , η2 , , ηn ), ta đặt: n x, y = ξi η i i=1 Khi đó, C n khơng gian Hilbert Ví dụ 1.4 Trong L2 [a, b] ta đưa vào tích vô hướng: b x(t)y(t)dt, (x(t), y(t) ∈ L2 [a, b] x, y = a L2 [a, b] không gian Hilbert 1.1.1 Sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.5 Dãy {xn } không gian Hilbert H gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H , nếu: lim xn , y = x, y , ∀y ∈ H n→∞ Sau đây, dùng kí hiệu → tương ứng biểu thị cho hội tụ yếu mạnh Mệnh đề 1.6 Giả sử H không gian Hilbert, xn x yn → y Khi đó, xn , yn → x, y Định lý 1.7 Giả sử H khơng gian Hilbert, xn xn → x Khi đó, xn → x Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x H Năm 1974, phương pháp lặp Ishikawa đề xuất Ishikawa Với phương pháp lặp dãy lặp {xn } xác định x1 ∈ C, (2.3) yn = βn + (1 − βn )T (xn ), xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 1, {αn } {βn } dãy số thực đoạn [0, 1] *Chú ý: Trong trường hợp βn = 1, ∀n phương pháp lặp Ishikawa (2.3) trở thành phương pháp lặp Mann (2.1) Tuy nhiên, S.A Mutangadura C E Chidume xây dựng ví dụ cho trường hợp T ánh xạ Lipschitz giả co dãy lặp Ishikawa hội tụ điểm bất động T dãy lặp Mann lại không hội tụ Năm 2006 Yanes Xu cải tiến phương pháp lặp (2.2) sau: x0 ∈ C phần tử bất kì, yn = βn x0 + (1 − βn )T xn , C n = z ∈ C : yn − z ≤ xn − z + β n ( xo + xn − x0 , z ) , Qn = {z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ 0} , xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ) (2.4) Hai tác giả chứng minh T ánh xạ không giãn tập lồi đóng C với F (T ) = ∅ dãy {βn } ⊂ (0, 1) chọn cho lim βn = 0, dãy {xn } xác định (2.4) hội tụ mạnh n→∞ PF (T ) (x0 ) n → ∞ (Xem [4]) Năm 2009, S Y Cho; S M Kang X Qin cải tiến phương pháp 13 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ lặp Ishikawa dạng x1 ∈ C, Zn = pxn + (1 − p)S(xn ), yn = βn xn + (1 − βn )T (zn ), (2.5) xn+1 = αn u + γn xn + µn yn , n ≥ 1, S : C → C ánh xạ giả co chặt T : C → C ánh xạ không giãn Với u phần tử C {αn } , {γn } , {µn } , {βn } dãy số nằm đoạn [0, 1], p số đó.(Xem [4]) Dựa phương pháp lặp Kransnocelskii-Mann tìm điểm bất động ánh xạ không giãn từ tâp lồi, đóng khơng gian Hilbert thực vào nó, Moudafi đưa phương pháp xấp xỉ mềm chứng minh hội tụ mạnh phương pháp sau: Định lý 2.3 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H , T ánh xạ không giãn C thỏa mãn F (T ) = ∅, f ánh xạ co C với số α ˜ ∈ [0, 1) , dãy {xk } dãy sinh bởi: x1 ∈ C, xk = λk λk f (xk ) + T xk , k ≥ 1, + λk + λk λk λk f (xk ) + T xk , k ≥ 1, + λk + λk đó, λk ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau xk+1 = (2.6) (2.7) (M1) lim λk = 0; (M2) (M3) k→∞ ∞ k=1 λk = 0; lim λk1+1 − λ1k k→∞ = Khi dãy {xk } xác định (2.7) hội tụ mạnh tới p∗ ∈ F (T ), đây, p∗ = PF (T ) f (p∗ ) với điều kiện (M1) dãy {xk } xác định (2.6) hội tụ tới p∗ 14 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lưu ý: p∗ = PF (T ) f (p∗ ) tương đương với bất đẳng thức biến phân p∗ ∈ F (T ) : p∗ − f (p∗ ), p − p∗ ≥ 0, ∀p ∈ F (T ) Xu mở rộng (2.6) cho ánh xạ không giãn cho không gian Bannach Gần đây, Ceng, Ansari Yao đưa số cải tiến (2.6) khơng gian Bannach phản xạ mà thừa nhận dãy ánh xạ liên hợp liên tục hay có chuẩn khả vi Gâteaux Jung chứng minh hội tụ mạnh (2.7) không gian Bannach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux với điều kiện (M1)-(M3) Ngồi cịn số mở rộng khác (2.6), (2.7) không giới thiệu luận văn này.(Chi tiết xem [3]-[5]) Năm 2007, Alber [1] đưa phương pháp kiểu đường dốc sau: xn+1 = PC (xn − µn (I − T )xn ), n ≥ 0, x0 ∈ C, (2.8) I ký hiệu cho ánh xạ đồng thức H , chứng minh dãy số thực dương {µn } chọn cho µn → n → ∞ {xn } giới nội, thì: (i) Có tồn điểm hội tụ yếu x ˜ ∈ C {xn }; (ii) Mọi điểm tụ yếu {xn } thuộc F (T ); (iii) Nếu F (T ) điểm, có nghĩa F (T ) = {˜ x}, {xn } hội tụ yếu x ˜ Tiếp đó, dựa theo thuật tốn Solodov Svaiter [11], Nakajo Takahashi [8] đề xuất quy trình lặp hội tụ mạnh sau: x0 ∈ C với phần tử nào, yn = αn xn + (1 − αn )T xn , Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z }, Qn = {z ∈ C : xn − x0 , z − xn ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), n ≥ 0, 15 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.9) {αn } ⊂ [0, a] với a ∈ [0, 1), để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn T C , dãy {xn } xác định (2.1) hội tụ mạnh PF (T ) (x0 ) n → ∞, PF (T ) (x0 ) hình chiếu x0 F (T ) tập điểm bất động T 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Nhắc lại rằng, ta kí hiệu F tập điểm bất động chung nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t > 0}, nghĩa F = ∩t>0 F (T (t)) F tập lồi đóng F = ∅ C compăc (xem [6]) Năm 2003, Dựa theo thuật toán Solodov Svaiter [11], Nakajo Takahashi [8] đề xuất phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0} sau: x0 ∈ C với phần tử nào, yn = αn xn + (1 − αn )Tn xn , Cn = {z ∈ C : yn − z ≤ xn − z }, (2.10) Qn = {z ∈ C : xn − x0 , z − xn ≥ 0}, xn+1 = PCn ∩Qn (x0 ), n ≥ 0, Tn định nghĩa Tn y = λn λn T (s)yds, với y ∈ C , αn ∈ [0, a], với a ∈ [0,1) {λn } dãy số dương tiến tới vô Tiếp theo, năm 2008, Takahashi, Takeuchi đồng nghiệp [12] 16 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đề xuất thuật tốn đơn giản (2.10) có dạng sau: x0 ∈ H, C1 = C, x1 = PC1 x0 , yn = αn xn + (1 − αn )Tn xn , Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z }, (2.11) xn+1 = PCn+1 x0 , n ≥ Họ (ở Định lý 4.4 [12]) ≤ αn ≤ a < 1, < λn < ∞ với n ≥ λn → ∞, {xn } hội tụ mạnh tới u0 = PF x0 Cùng thời gian đó, Saejung [9] xét thuật tốn tương tự mà khơng dùng tới tích phân: x0 ∈ H, C1 = C, x1 = PC1 x0 , yn = αn xn + (1 − αn )T (tn )xn , Cn+1 = {z ∈ Cn : yn − z ≤ xn − z }, (2.12) xn+1 = PCn+1 x0 , n ≥ 1, với ≤ αn ≤ a < 1, lim inf n tn = 0, lim supn tn > 0, với limn (tn+1 − tn ) = Khi {xn } hội tụ mạnh tới u0 = PF x0 Nhận xét Nếu C ≡ H , Cn Qn (2.9)- (2.12) hai nửa khơng gian Vì vậy, điểm chiếu xn+1 lên Cn ∩ Qn hay Cn+1 phương pháp tìm cơng thức [11] Nhưng C tập H , Cn Qn thuật tốn khơng phải hai nửa khơng gian Khi vấn đề đặt là: Xây dựng tập lồi đóng Cn Qn biểu diễn xn+1 thuật tốn nói cơng thức tương tự trình bày [11]? Vấn đề vừa giải gần [3], [4] [5] Trong cơng trình ấy, Cn Qn (2.9) (2.10) thay hai nửa không gian yn vế phải (2.8) với chút cải biên Trong luận văn này, sử dụng ý tưởng đó, chúng tơi giới thiệu phương án (2.11)-(2.12) Cn+1 trở thành nửa 17 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ khơng gian Hn+1 xác định Cụ thể hơn, xét đến thuật tốn trình bày mục 2.2 2.3 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc thu hẹp cho ánh xạ không giãn Trong mục chúng tơi xét đến thuật tốn sau: x0 ∈ H = H0 , yn = xn − µn (I − T PC )xn , Hn+1 = {z ∈ Hn : yn − z ≤ xn − z }, (2.13) xn+1 = PHn+1 x0 , n ≥ 0, để tìm phần tử F (T ) Chúng chứng minh trình lặp (2.13) hội tụ mạnh tới điểm bất động T Trước hết, chúng tơi trích dẫn số điều sau cần thiết cho việc chứng minh kết Bổ đề 2.4 [7] Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Với x ∈ H , tồn z ∈ C cho z − x ≤ y − x với y ∈ C , z = PC x z − x, y − z ≥ với y ∈ C Định lý 2.5 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho T ánh xạ không giãn C cho F (T ) = ∅ Giả sử {µn } dãy (a, 1) với a ∈ (0, 1] Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định (2.13), hội tụ mạnh tới điểm u0 = PF (T ) x0 Chứng minh Trước hết, ý yn − z ≤ xn − z tương đương với yn − xn , xn − z ≤ − yn − xn 18 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do đó, Hn nửa không gian Tiếp theo, F (T ) ⊂ Hn với n ≥ Dễ dàng nhận F (T ) = F (T PC ) := {p ∈ H : T PC p = p} với ánh xạ T từ C đến C Vì có, với p ∈ F (T ) ta có yn − p = (1 − µn )xn + µn T PC xn − p = (1 − µn )(xn − p) + µn (T PC xn − T PC p) ≤ (1 − µn ) xn − p + µn xn − p = xn − p Do đó, p ∈ Hn với n ≥ Mặt khác, từ F (T ) tập lồi đóng khác rỗng H , theo bổ đề 2.4, tồn phần tử u0 ∈ F (T ) cho u0 = PF (T ) x0 Từ xn+1 = PHn+1 x0 , ta thu xn+1 − x0 ≤ z − x0 cho z ∈ Hn+1 Với u0 ∈ F (T ) ⊂ Hn+1 , ta có xn+1 − x0 ≤ u0 − x0 ∀n ≥ (2.14) Bây giờ, ta lim xn+m − xn = 0, n→∞ (2.15) với số nguyên cho trước m > Thật vậy, từ định nghĩa Hn+1 suy Hn+1 ⊆ Hn Do ta có xn − x0 ≤ xn+1 − x0 ∀n ≥ Cho nên, tồn limn xn − x0 = c Mặt khác, theo bổ đề 2.4, xn+m ∈ Hn xn = PHn x0 , ta nhận được: xn − x0 , xn+m − xn ≥ 19 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Do đó, Bất đẳng thức sau xn+m − xn = xn+m − x0 − xn − x0 ≤ xn+m − x0 − xn − x0 − xn − x0 , xn+m − xn Kết hợp với limn xn − x0 = c, ta suy (2.15) Do đó, {xn } dãy Cauchy Ta giả sử xn → p ∈ H Mặt khác, từ (2.15) bất đẳng thức sau xn − T PC xn = yn − x n µn ≤ ( yn − xn+m + xn+m − xn ) a ≤ xn+m − xn , a nhận lim xn − T PC xn = n→∞ Dẫn đến, p = T PC p Điều có nghĩa p ∈ F (T ) Bây giờ, từ (2.14) Bổ đề 2.4 suy p = u0 Vậy hội tụ mạnh dãy {yn } tới u0 suy từ lim yn − xn = lim µn xn − T PC xn = n→∞ n→∞ xn → u0 Điều kết thúc chứng minh định lý 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc thu hẹp cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Trong mục ta xét đến thuật tốn sau: x0 ∈ H = H0 , yn = xn − µn (I − Tn PC )xn ), Hn+1 = {z ∈ Hn : yn − z ≤ xn − z }, xn+1 = PHn+1 x0 , n ≥ 0; 20 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.16) x0 ∈ H = H0 , yn = xn − µn (I − T (tn )PC )xn , Hn+1 = {z ∈ Hn : yn − z ≤ xn − z }, (2.17) xn+1 = PHn+1 x0 , n ≥ 0, để tìm phần tử F Chúng chứng minh phương án đề xuất theo dạng (2.16) (2.17) hội tụ mạnh tới điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ không giãn {T (t) : t > 0} Bổ đề 2.6 [10] Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C Khi đó, với h > 0, ta có lim sup sup T (h) t t→∞ y∈C t T (s)yds − t t T (s)yds = 0 Định lý 2.7 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C cho F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {µn } dãy (a, 1] với a ∈ (0, 1] {λn } dãy số thực dương tiến tới vơ Khi đó, dãy {xn } {yn } định nghĩa (2.16), hội tụ mạnh tới điểm u0 = PF x0 Chứng minh Cho p ∈ F ⊆ C , từ (2.16) p = PC p, ta có λn yn − p = (1 − µn )(xn − p) + µn T (s)PC xn ds − p λn λn ≤ (1 − µn ) xn − p + µn (T (s)PC xn − T (s)PC p)ds λn λn ≤ (1 − µn ) xn − p + µn xn − p ds λn = xn − p Vì vậy, p ∈ Hn Điều có nghĩa F ⊂ Hn với n ≥ 21 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tương tự kết Định lý 2.5, ta có định nghĩa {xn }, dãy hội tụ mạnh tới phần tử p ∈ H , xn+1 −x0 ≤ u0 −x0 , lim xn − n→∞ λn λn T (s)PC xn ds = 0, (2.18) u0 = PF x0 Từ λn λn T (s)PC xn ds ∈ C PC ánh xạ khơng giãn, ta có PC x n − λn λn T (s)PC xn ds = PC xn − PC ≤ xn − λn λn λn T (s)PC xn ds λn T (s)PC xn ds Vì vậy, từ (2.18) ta có lim PC xn − n→∞ λn λn T (s)PC xn ds = (2.19) Kết với (2.18) xn → p dãy {PC xn } hội tụ mạnh tới p Vì C tập đóng, ta có p ∈ C Mặt khác, với h > ta có λn T (h)PC xn − PC xn ≤ T (h)PC xn − T (h) T (s)PC xn ds λn λn λn + T (h) T (s)PC xn ds − T (s)PC xn ds λn λn λn T (s)PC xn ds − PC xn + λn λn ≤2 T (s)PC xn ds − PC xn λn λn λn + T (h) T (s)PC xn ds − T (s)PC xn ds λn λn (2.20) 22 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lấy C0 = {z ∈ C : z − u0 ≤ x0 − u0 } Từ u0 = PF x0 ∈ C, kết hợp với (2.20) PC xn − u0 = PC xn − PC u0 ≤ xn − u0 ≤ xn − x0 + x0 − u0 ≤ x0 − u0 Suy ra, C0 tập lồi đóng giới nội khác rỗng bị chặn Dễ kiểm tra {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ không giãn C0 Theo Bổ đề 2.6, (2.20) PC xn → p, ta có p = T (h)p với h > Vì vậy, p ∈ F Hơn nữa, từ (2.18) p ∈ F , suy p = u0 yn → u0 n → ∞ Điều kết thúc chứng minh Định lý 2.8 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho {T (t) : t > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {µn } dãy (a, 1] với a ∈ (0, 1] {tn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện lim inf n tn = 0, lim supn tn > 0, limn (tn+1 − tn ) = Khi đó, dãy {xn } {yn } định nghĩa (2.17), hội tụ mạnh đến điểm u0 = PF x0 Chứng minh Tương tự phần chứng minh định lý 2.5 2.7, ta có xn+1 − x0 ≤ u0 − x0 , lim xn − T (tn )PC xn = 0, n→∞ lim PC xn − T (tn )PC xn = 0, n→∞ hai dãy {xn } {PC xn } hội tụ mạnh tới p ∈ C 23 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.21) (2.22) Khơng tính tổng qt, [9], cho lim tnj = lim j→∞ j→∞ PC xnj − T (tnj )PC xnj = tnj (2.23) Bây giờ, ta chứng minh p = T (t)p với t cho trước, t > Dễ thấy [t−tnj ]−1 PC xnj − T (t)p ≤ T (ltnj )PC xnj − T ((l + 1)tnj )PC xkj l=0 + T + T ≤ t t PC znj − T tn j t tkj t tnj p p − T (t)p PC xnj − T (tnj )PC xnj + PC xnj − p tnj + T t− t tnj tn j p − p Vì vậy, PC xnj − T (t)p ≤ t tn j PC xnj − T (tnj )PC xnj + PC xnj − p + sup{ T (s)p − p : ≤ s ≤ tnj } Điều với (2.21) tính chất (4) nửa nhóm, suy lim PC xnj − T (t)p = j→∞ Do đó, p ∈ F Vì vậy, từ (2.21), ta có dãy {xn } hội tụ mạnh tới u0 n → ∞ Vậy hội tụ mạnh dãy {yn } (2.17) tới u0 suy từ (2.21), với µn ∈ (a, 1] xn → u0 n → ∞ Định lý chứng minh 24 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi hồn thành cơng việc đọc hiểu trình bày lại số kiến thức giải tích liên quan đến vấn đề tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert Qua đó, làm quen với số mở rộng số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn Ngồi ra, chúng tơi trình bày rõ cải biên phương pháp đường dốc thu hẹp cho ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn biết tới tài liệu GS.TS Nguyễn Bường [3]-[5] Do thời gian kinh nghiệm nhiều hạn chế nên trình viết luận văn trình bày luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện 25 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Ya.I Alber, On the stability of iterative approximations to fixed points of nonexpansive mappings, J Math Anal Appl 328 (2007) 958-971 [2] E.F Browder, Fixed-point theorems for noncompact mappings in Hilbert spaces, Proceed Nat Acad Sci USA, 53 (1965) 1272-1276 [3] Ng Buong, Strong convergence theorem for nonexpansive semigroup in Hilbert space, Nonl Anal 72(12) (2010) 4534-4540 [4] Ng Buong, Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces, Applied Math and Comp., DOI: 10.1016/j.amc.2010.05.064 [5] Ng Buong, Strong convergence of a method for variational inequality problems and fixed point problems of a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, JAMI 2010, accepted [6] R DeMarr, Common fixed points for commuting contraction mappings, Pacific J Math 13 (1963) 1139-1141 [7] K Goebel, W.A Kirk, A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings, Proc Amer Math Soc 35 (1972) 171-174 [8] K Nakajo, W Takahashi, Strong convergence theorem for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroup, J Math Anal Appl 279 (2003) 372-379 26 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [9] S Saejung, Strong convergence theorems for nonexpansive semigroups without Bochner integrals, Fixed Point Theory and Applications, 2008, DOI: 10.1155/2008/745010 [10] T Shimizu, W Takahashi, Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings, J Math Anal Appl 211 (1997) 71-83 [11] M.V Solodov, V.F Svaiter, Forcing strong convergence of proximal point iterations in Hilbert space, Math Program 87 (2000) 189-202 [12] W Takahashi, Y Takeuchi, R Kubota, Strong convergence theorem by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces, J Math Anal Appl 341 (2008) 276-286 27 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... ánh xạ khơng giãn 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc thu hẹp cho ánh xạ không giãn 2.3 16 18 Phương pháp lai ghép đường dốc thu hẹp cho nửa nhóm ánh xạ. .. mềm, phương pháp đường dốc ánh xạ không giãn phương pháp lặp Mann-Halpern nửa nhóm khơng giãn Các chứng minh phương pháp khơng trình bày chi tiết mục 2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ không giãn. .. động cho ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 10 2.1 Một số phương pháp 11 2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn 11 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh