Phương pháp lặp loại mann halpern cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TÀI GIÁP PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN - HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được trình bày dưới sự hướng dẫn tận tình và sự chỉ đạo nghiêm khắc của thầy giáo GS.TS. Nguyễn Bường. Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy. Tơi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cơ giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 – 2013, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho tơi nhiều kiến thức cơ sở. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn – Tin trường ĐHKH, Đại học Thái Ngun đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt q trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học tốn K5A đã ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập và q trình làm luận văn. Tuy bản thân có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc. Thái Ngun, ngày 06 tháng 05 năm 2013 Tác giả Nguyễn Tài Giáp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3 LỜI NĨI ĐẦU Rất nhiều bài tốn nảy sinh trong các lĩnh vực khác nhau của tốn học như tối ưu, giải tích biến phân và phương trình đạo hàm riêng có thể mơ tả dưới dạng phương trình x = Tx, trong đó T là một tốn tử phi tuyến xác định trên một khơng gian metric X. Nghiệm của phương trình này được gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Nếu T là ánh xạ co trên khơng gian metric đầy đủ X, khi đó Ngun lý ánh xạ co Banach đảm bảo rằng ánh xạ T có duy nhất điểm bất động và dãy lặp Picard {T n x} hội tụ mạnh về điểm bất động của ánh xạ T . Tuy nhiên nếu T là ánh xạ khơng giãn, tức là d(T x, T y) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X, thì ta phải thêm một số giả thiết đặt lên ánh xạ T trong một số khơng gian nhất định để đảm bảo cho sự tồn tại của điểm bất động của ánh xạ T . Từ những năm 60, những nghiên cứu về bài tốn điểm bất động của lớp các ánh xạ khơng giãn đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu chính hết sức sơi động của giải tích phi tuyến do mối liên hệ với các tính chất hình học của khơng gian Banach cùng với các tính chất tương ứng của các loại ánh xạ khơng giãn với các lý thuyết về tốn tử đơn điệu và tốn tử J-đơn điệu. Mối liên hệ giữa lý thuyết tốn tử đơn điệu và lý thuyết về ánh xạ khơng giãn chủ yếu dựa trên hai tính chất: (1) nếu T là ánh xạ khơng giãn thì ánh xạ bù I − T là đơn điệu và (2) tốn tử giải của tốn tử đơn điệu A là khơng giãn. Hơn nữa trong cả hai trường hợp tập điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trùng với tập các khơng gian điểm của tốn tử đơn điệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4 Một hướng nghiên cứu rất quan trọng của bài tốn điểm bất động là xây dựng các phương pháp lặp cho bài tốn. Tuy nhiên, khi T là ánh xạ khơng giãn, ngay cả khi T có điểm bất động, thì dãy lặp Picard {T n x} khơng hội tụ trong trường hợp tổng qt. Chính vì lý do này, trong những thập niên gần đây, các phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert hoặc khơng gian Banach đã và đang nhận được sự quan tâm đặc biệt. Những phương pháp lặp nổi tiếng cần phải kể đến là phương pháp lặp Mann và phương pháp lặp Halpern. Thuật tốn lặp Mann được đề xuất năm 1953 với dãy lặp được xác định như sau x n+1 = α n x n + (1 − α n )T x n , (0.1) ở đây x 0 là điểm bất kì trên C, {α n } ∞ n=0 ⊂ (0, 1). Ơng đã chứng minh sự hội tụ yếu của dãy lặp (0.1) tới điểm bất động của ánh xạ T , với T là ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng C trong khơng gian Hilbert vào chính nó với điều kiện dãy tham số {α n } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện ∞  n=0 α n (1−α n ) = ∞. Năm 1967, Brower và Petryshyn là những người đầu tiên vận dụng thuật tốn lặp Mann để có được sự hội tụ mạnh của dãy lặp {x n } tới điểm bất động của tốn tử giả co chặt trong khơng gian Hilbert. Thuật tốn lặp Halpern được đề xuất vào năm 1967 với dãy lặp {x n } được xác định như sau: x n+1 = β n u + (1 − β n )T x n , n ≥ 0, ở đây u, x 0 là 2 điểm cố định trên C và dãy {β n } ⊂ (0, 1) với điều kiện lim n→∞ β n = 0 và ∞  n=0 β n = ∞. Tác giả đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của phương pháp đến điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T trên tập con lồi đóng bị chặn C trong khơng gian Hilbert. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 5 Đã có rất nhiều các kết quả cơng bố về các phương pháp lặp cho bài tốn điểm bất động của ánh xạ khơng giãn dựa trên ý tưởng về các phương pháp lặp Mann và Halpern. Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho bài tốn điểm bất động của ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn trong khơng gian Hilbert dựa trên bài báo của GS.TS. Nguyễn Bường năm 2011. Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh sách tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản và các vấn đề liên quan đến luận văn. Chương 2: Trình bày phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho ánh xạ và nửa nhóm khơng giãn. Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh xạ khơng giãn và phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung của nửa nhóm khơng giãn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 6 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H khơng gian Hilbert thực R n tập hợp số thực x ∈ D x thuộc tập D x ∈ D x khơng thuộc tập D ∀x với mọi x ∃x tồn tại x ∅ tập hợp rỗng ∩ phép giao các tập hợp ∪ phép hợp các tập hợp x := y x được định nghĩa bằng y X ∗ khơng gian liên hợp của X int X phần trong của tập X x, y tích vơ hướng của x và y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 7 Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương này trình bày một số định nghĩa, các tính chất về giải tích hàm và hai phương pháp lặp cổ điển là phương pháp lặp Mann - Halpern cho ánh xạ và nửa nhóm khơng giãn. 1.1 Khơng gian Hilbert, khơng gian định chuẩn và khơng gian Banach Định nghĩa 1.1: Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một tích vơ hướng trong X là một ánh xạ ., . : X × X → R thoả mãn các điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X. Khơng gian tuyến tính X cùng tích vơ hướng ., . được gọi là khơng gian tiền Hilbert. Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng gian Hilbert. Định nghĩa 1.2: Khơng gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số  x  gọi là chuẩn của x, thoả mãn các điều kiện: 1.  x > 0, ∀x = 0,  x = 0 ⇔ x = 0; 2.  αx = α  .  x , ∀x ∈ X, α ∈ R; 3.  x + y ≤ x  +  y , ∀x, y ∈ X. Một khơng gian định chuẩn đầy đủ là khơng gian Banach. Định nghĩa 1.3: Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương trong X là một ánh xạ φ : X × X → K thỏa mãn các điều kiện: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 8 a)φ (x + y, z) = φ (x, z) + φ (y, z) (∀x, y, z ∈ X) ; b)φ (λx, y) = λφ (x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K) ; c)φ (y, x) = φ (x, y) (∀x, y ∈ X) ; trong đó φ (x, y) là số phức liên hợp của số φ (x, y) d) φ (x, x) = (x, y) Khi đó ta ký hiệu φ (x, x) = (x, y) . Điều sau đây là hiển nhiên. Định lý 1.1: Nếu x → x là một chuẩn trên E thì d(x, y) = x − y là một mêtric trên E, mêtric này thỏa mãn d(x+z,y+z) = d(x,y) và d(λx, λy) = λd (x, y) với mọi x, y, z ∈ E, λ ∈ K. Một khơng gian định chuẩn là một khơng gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó. Khơng gian định chuẩn là khơng gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Định lý 1.2: Chuẩn x → x là hàm liên tục đều từ E vào R. Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2 |x − y| ≤ x − y và y ≤ x − y + x từ đó |x − y| ≤ x − y . Vậy chuẩn là hàm liên tục đều. Định lý 1.3: Giả sử E là một khơng gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ (x, y) → x + y từ E × E vào E và (λ, x) → λx từ K × E vào E là liên tục. Chứng minh: Giả sử (x, y) và (x 0 , y 0 ) ∈ E × E Ta có : (x + y) − (x 0 + y 0 ) = (x − x 0 ) + (y + y 0 ) ≤ (x − x 0  + (y + y 0 ) Điều này cho ta tính liên tục của ánh xạ (λ, x) → λx tại điểm (λ 0 , x 0 ) . Định lý 1.4: Giả sử E là khơng gian định chuẩn. Khi đó với mọi a ∈ E ánh xạ x → a + x là phép đồng phơi đẳng cự (tức là bảo tồn khoảng cách) từ E lên E và với mọi λ ∈ K, λ = 0 ánh xạ x → λx là Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 9 phép đồng phơi đều E lên E. Chứng minh: Dễ thấy các ánh xạ này là những song ánh. Kết luận về tính liên tục hai chiều được suy ra từ các đẳng thức : (a + x) − (a + y) = x − y , λx − λy = |λ| x − y . Hệ quả 1.1: Giả sử E là khơng gian định chuẩn. Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương a.U là lân cận của điểm 0 ∈ E, b.αU là lân cận của 0 với mọi α = 0, c.a + U là lân cận của a với mọi a ∈ E. Khơng gian Banach là khơng gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh bởi chuẩn). Ví dụ 1.1: Khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach a) Xét khơng gian vectơ K n . Với mỗi x = (x 1 , x n ) đặt: x =  n  i=1 |x i | 2  1/2 , x 1 = n  i=1 |x i | , x 2 = sup 1≤i≤n |x i | . Ta nhận được ba chuẩn khác nhau trên K n . Các chuẩn này tương đương với nhau ( tức là cùng sinh ra một tơpơ trên K n ). K n với chuẩn đầu tiên gọi là khơng gian Euclide. b) Kí hiệu C [a, b] là khơng gian vectơ các hàm liên tục từ đoạn [a, b] ⊂ R vào K ( đây là K – khơng gian vectơ với phép tốn hàm). C [a, b] là khơng gian định chuẩn với chuẩn f 2 = sup x∈[a,b] |f(x)| . Dãy f n → g trong C [a, b] có nghĩa là f n − g → 0 hay sup x∈[a,b] |f(x) − g(x)| = C n → 0. Theo giải tích cổ điển điều này có nghĩa Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tìm hiểu và trình bày lại phương pháp lặp loại MannHalpern cho ánh xạ và nửa nhóm khơng giãn Trong luận văn này tơi đã trình bày được các vấn đề sau: - Trình bày những định nghĩa và tính chất cơ bản về khơng gian Hilbert, khơng gian định chuẩn và khơng gian Banach, tập lồi và tập bị chặn, tốn tử đơn điệu - Trình bày phương pháp lặp Mann- Halpern cổ điển để tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn - Trình... Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN – HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN [8] 2.1 Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh xạ khơng giãn Bổ đề 2.1 [5] Cho H là một khơng gian Hilbert thực, khi đó ta có đồng nhất thức: x−y 2 = x 2 2 − y − 2 x − y, y Bổ đề 2.2 [3] .Cho C là một tập hợp con đóng lồi khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H Với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử z ∈ C sao cho z − x... ∈ D Ánh xạ PD được gọi là phép chiếu Mêtric của H lên D, tức là: PD (x) − PD (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H Phép chiếu PD được xác định bởi PD (x) ∈ D và x − PD (x), PD (x) − y ≥ 0, ∀x ∈ H, ∀y ∈ D và có tính chất x−y 2 ≥ x − PD (x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu 2 + y − PD (x) 2 , ∀x ∈ H, ∀y ∈ D http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 1.6 Phương pháp lặp Mann, Halpern cho ánh xạ khơng giãn 1.6.1 Phương pháp lặp Mann. .. lặp Mann Năm 1953, Mann [1] đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), x1 ∈ C, n ≥ 1, và gọi là dãy lặp Mann chuẩn tắc Ơng đã chứng minh rằng, nếu dãy ∞ {αn } được chọn sao cho αn (1 − αn ) = ∞ thì dãy {xn } sẽ hội tụ yếu n=1 về một điểm bất động của ánh xạ T , với T : C → C là một ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert H vào chính nó Tuy... bất động của ánh xạ khơng giãn - Trình bày lại phương pháp lặp loại Mann- Halpern để tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn T và điểm bất động chung của nửa nhóm khơng giãn {T (t) : t > 0} Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 25 Tài liệu tham khảo [1] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4: 506-510 (1953) [2] B Halpern, Fixed points of nonexpanding mapps,... gian Hilbert vơ hạn chiều thì dãy lặp chỉ hội tụ yếu mà khơng hội tụ mạnh 1.6.2 Phương pháp lặp Halpern Tiếp theo, trong mục này chúng tơi đề cập đến phương pháp lặp của Halpern [2] được đề xuất năm 1967 dạng xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0, (1.1) trong đó u, x0 ∈ C, {αn } ⊂ [0, 1] và T là một ánh xạ khơng giãn từ tập con lồi đóng C của khơng gian Hilbert H và C Ơng đã chứng minh nếu αn = n−α... : t > 0} là một nửa nhóm các ánh xạ khơng giãn trên C với F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {αn } và {βn } là các dãy số trong [0,1] thỏa mãn αn → 1 và βn → 0, và {tn } là dãy số thực dương phân kì Khi đó, các dãy {xn }, {zn } và {yn }, xác định bởi (2.9) cùng hội tụ về u0 = PF (x0 ), khi n → ∞ Chứng minh: Với mỗi p ∈ F, ta có p = PC (p) = T (s)PC (p), với mỗi s > 0, và do đó từ (2.1) và tính chất lồi... )), Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z }, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh về u0 = PF (T ) (x0 ), và n → ∞ 2.2 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung của nửa nhóm khơng giãn Ta chứng minh kết quả dãy lặp của nửa nhóm khơng giãn sau: x0 ∈ H bất kỳ, 1 tn zn = αn PC (xn ) + (1 − αn ) T (s)PC (xn )ds, tn 0 1 tn yn = βn x0 + (1 − βn ) T (s)zn ds, tn 0 Hn = {z ∈... Bổ đề 2.5 [7] Cho C là một tập con lồi đóng bị chặn khác rỗng của khơng gian Hibert thực H và {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm các ánh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 xạ khơng giãn trên C Khi đó, với mỗi h > 0 thì t 1 lim sup sup T (h) t t→∞ y∈C 0 1 T (s)yds − t t T (s)yds = 0 0 Định lý 2.2 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H và {T (t) : t... Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Định lý 2.1 Cho C là một tập hợp con lồi đóng khác rỗng của khơng gian Hilbert thực H và cho T là một ánh xạ khơng giãn trên C với F (T ) = ∅ Giả sử {αn } và {βn } là các dãy số trong [0,1] sao cho αn → 1 và βn → 0 Khi đó, dãy {xn }, {yn } và {zn } được định nghĩa bởi (2.1) hội tụ mạnh về u0 = PF (T ) (x0 ), khi n → ∞ Chứng minh: Trước hết, ta có bất đẳng thức yn . các phương pháp lặp cho bài tốn điểm bất động của ánh xạ khơng giãn dựa trên ý tưởng về các phương pháp lặp Mann và Halpern. Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp loại Mann- Halpern. http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN – HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN [8] 2.1. Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh xạ khơng giãn Bổ đề 2.1 [5]. Cho H là một khơng gian. phương pháp lặp cổ điển là phương pháp lặp Mann - Halpern cho ánh xạ và nửa nhóm khơng giãn. 1.1 Khơng gian Hilbert, khơng gian định chuẩn và khơng gian Banach Định nghĩa 1.1: Cho X là một khơng gian