Phương Pháp Lặp Loại Mann - Halpern Cho Ánh Xạ Và Nửa Nhóm Không Giãn

Header Page of 126 ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TÀI GIÁP PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN - HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 LỜI CẢM ƠN Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình đạo nghiêm khắc thầy giáo GS.TS Nguyễn Bường Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 – 2013, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho tơi nhiều kiến thức sở Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Tốn – Tin trường ĐHKH, Đại học Thái Ngun tạo điều kiện thuận lợi suốt q trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K5A ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi suốt thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Thái Ngun, ngày 06 tháng 05 năm 2013 Tác giả Nguyễn Tài Giáp Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 LỜI NĨI ĐẦU Rất nhiều tốn nảy sinh lĩnh vực khác tốn học tối ưu, giải tích biến phân phương trình đạo hàm riêng mơ tả dạng phương trình x = T x, T tốn tử phi tuyến xác định khơng gian metric X Nghiệm phương trình gọi điểm bất động ánh xạ T Nếu T ánh xạ co khơng gian metric đầy đủ X, Ngun lý ánh xạ co Banach đảm bảo ánh xạ T có điểm bất động dãy lặp Picard {T n x} hội tụ mạnh điểm bất động ánh xạ T Tuy nhiên T ánh xạ khơng giãn, tức d(T x, T y) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X, ta phải thêm số giả thiết đặt lên ánh xạ T số khơng gian định để đảm bảo cho tồn điểm bất động ánh xạ T Từ năm 60, nghiên cứu tốn điểm bất động lớp ánh xạ khơng giãn trở thành hướng nghiên cứu sơi động giải tích phi tuyến mối liên hệ với tính chất hình học khơng gian Banach với tính chất tương ứng loại ánh xạ khơng giãn với lý thuyết tốn tử đơn điệu tốn tử J-đơn điệu Mối liên hệ lý thuyết tốn tử đơn điệu lý thuyết ánh xạ khơng giãn chủ yếu dựa hai tính chất: (1) T ánh xạ khơng giãn ánh xạ bù I − T đơn điệu (2) tốn tử giải tốn tử đơn điệu A khơng giãn Hơn hai trường hợp tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn trùng với tập khơng gian điểm tốn tử đơn điệu Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Một hướng nghiên cứu quan trọng tốn điểm bất động xây dựng phương pháp lặp cho tốn Tuy nhiên, T ánh xạ khơng giãn, T có điểm bất động, dãy lặp Picard {T n x} khơng hội tụ trường hợp tổng qt Chính lý này, thập niên gần đây, phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert khơng gian Banach nhận quan tâm đặc biệt Những phương pháp lặp tiếng cần phải kể đến phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Halpern Thuật tốn lặp Mann đề xuất năm 1953 với dãy lặp xác định sau xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , (0.1) x0 điểm C, {αn }∞ n=0 ⊂ (0, 1) Ơng chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (0.1) tới điểm bất động ánh xạ T , với T ánh xạ khơng giãn từ tập lồi đóng C khơng gian Hilbert vào với điều kiện dãy tham số {αn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện ∞ αn (1−αn ) = ∞ Năm 1967, Brower Petryshyn người đầu n=0 tiên vận dụng thuật tốn lặp Mann để có hội tụ mạnh dãy lặp {xn } tới điểm bất động tốn tử giả co chặt khơng gian Hilbert Thuật tốn lặp Halpern đề xuất vào năm 1967 với dãy lặp {xn } xác định sau: xn+1 = βn u + (1 − βn )T xn , n ≥ 0, u, x0 điểm cố định C dãy {βn } ⊂ (0, 1) với điều kiện ∞ βn = ∞ Tác giả chứng minh hội tụ mạnh lim βn = n→∞ n=0 phương pháp đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn T tập lồi đóng bị chặn C khơng gian Hilbert Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Đã có nhiều kết cơng bố phương pháp lặp cho tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn dựa ý tưởng phương pháp lặp Mann Halpern Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert dựa báo GS.TS Nguyễn Bường năm 2011 Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh sách tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm vấn đề liên quan đến luận văn Chương 2: Trình bày phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H Rn x∈D x∈D ∀x ∃x ∅ ∩ ∪ x := y X∗ int X x, y Footer Page of 126 khơng gian Hilbert thực tập hợp số thực x thuộc tập D x khơng thuộc tập D với x tồn x tập hợp rỗng phép giao tập hợp phép hợp tập hợp x định nghĩa y khơng gian liên hợp X phần tập X tích vơ hướng x y Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương trình bày số định nghĩa, tính chất giải tích hàm hai phương pháp lặp cổ điển phương pháp lặp Mann Halpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn 1.1 Khơng gian Hilbert, khơng gian định chuẩn khơng gian Banach Định nghĩa 1.1: Cho X khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ , : X × X → R thoả mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Khơng gian tuyến tính X tích vơ hướng , gọi khơng gian tiền Hilbert Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.2: Khơng gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thoả mãn điều kiện: x > 0, ∀x = 0, αx = α x+y ≤ x x = ⇔ x = 0; x , ∀x ∈ X, α ∈ R; + y , ∀x, y ∈ X Một khơng gian định chuẩn đầy đủ khơng gian Banach Định nghĩa 1.3: Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương X ánh xạ φ : X × X → K thỏa mãn điều kiện: Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page of 126 a)φ (x + y, z) = φ (x, z) + φ (y, z) (∀x, y, z ∈ X) ; b)φ (λx, y) = λφ (x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K) ; c)φ (y, x) = φ (x, y) (∀x, y ∈ X) ; φ (x, y) số phức liên hợp số φ (x, y) d) φ (x, x) = (x, y) Khi ta ký hiệu φ (x, x) = (x, y) Điều sau hiển nhiên Định lý 1.1: Nếu x → x chuẩn E d(x, y) = x − y mêtric E, mêtric thỏa mãn d(x+z,y+z) = d(x,y) d(λx, λy) = λd (x, y) với x, y, z ∈ E, λ ∈ K Một khơng gian định chuẩn khơng gian vectơ với chuẩn Khơng gian định chuẩn khơng gian mêtric với mêtric sinh chuẩn Định lý 1.2: Chuẩn x → x hàm liên tục từ E vào R Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2 | x − y | ≤ x − y y ≤ x − y + x từ | x − y | ≤ x − y Vậy chuẩn hàm liên tục Định lý 1.3: Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi ánh xạ (x, y) → x + y từ E × E vào E (λ, x) → λx từ K × E vào E liên tục Chứng minh: Giả sử (x, y) (x0 , y0 ) ∈ E × E Ta có : (x + y) − (x0 + y0 ) = (x − x0 ) + (y + y0 ) ≤ (x − x0 + (y + y0 ) Điều cho ta tính liên tục ánh xạ (λ, x) → λx điểm (λ0 , x0 ) Định lý 1.4: Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi với a ∈ E ánh xạ x → a + x phép đồng phơi đẳng cự (tức bảo tồn khoảng cách) từ E lên E với λ ∈ K, λ = ánh xạ x → λx Footer Page of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 10 of 126 phép đồng phơi E lên E Chứng minh: Dễ thấy ánh xạ song ánh Kết luận tính liên tục hai chiều suy từ đẳng thức : (a + x) − (a + y) = x − y , λx − λy = |λ| x − y Hệ 1.1: Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi điều kiện sau tương đương a.U lân cận điểm ∈ E, b.αU lân cận với α = 0, c.a + U lân cận a với a ∈ E Khơng gian Banach khơng gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh chuẩn) Ví dụ 1.1: Khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach a) Xét khơng gian vectơ K n Với x = (x1 , xn ) đặt: 1/2 n |xi | x = , i=1 n x x |xi | , = = sup |xi | i=1 1≤i≤n Ta nhận ba chuẩn khác K n Các chuẩn tương đương với ( tức sinh tơpơ K n ) K n với chuẩn gọi khơng gian Euclide b) Kí hiệu C [a, b] khơng gian vectơ hàm liên tục từ đoạn [a, b] ⊂ R vào K ( K – khơng gian vectơ với phép tốn hàm) C [a, b] khơng gian định chuẩn với chuẩn f = sup |f (x)| x∈[a,b] Dãy fn → g C [a, b] có nghĩa fn − g → hay sup |f (x) − g(x)| = Cn → Theo giải tích cổ điển điều có nghĩa x∈[a,b] Footer Page 10 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 12 of 126 11 λx + (1 − λ)y ≤ λ x + (1 − λ) y < λε + (1 − λ)ε = ε Nên λx + (1 − λ)y ∈ Bε Vậy Bε tập lồi Để xét tính bị chặn Bε ta lấy tùy ý lân cận U điểm Khi tồn n ∈ N để B 0, nε ⊂ U Từ Bε ⊂ nB 0, nε ⊂ nU 1.3 Khơng gian lp Với p ≥ ta ký hiệu lp tập tất dãy x = (xn ) phần ∞ tử K cho |xn |p < ∞ Với dãy n=1 x = (xn ), y = (yn ), λ ∈ K, đặt x + y = (xn + yn ) λx = (λxn ) ta có phép tốn để biến lp thành khơng gian vectơ trường K Định lý 1.6: Với p ≥ 1, lp khơng gian Banach với chuẩn 1/p ∞ x p p |xn | = n=1 Chứng minh: Xét tập X = (0, +∞) ⊂ R Với dãy x = (xn ) ∈ lp đặt tương ứng với hàm: f : X → K, xác định f (x) = xn x ∈ (n − 1, n] Rõ ràng x p = f p xn ∈ lp f ∈ Lp (X) Do lp coi khơng gian Lp (X) Điều cho ta kết luận lp khơng gian định chuẩn với chuẩn Giả sử {fk } dãy Cauchy lp Khi dãy Cauchy Lp (X) fk → f ∈ Lp (X) Bởi fk = const đoạn (n − 1, n] nên f = const đoạn (n − 1, n] Điều có nghĩa f ∈ lp lp đầy đủ Ví dụ 1.2: Trong khơng gian l2 ta đưa vào tích vơ hướng : ∞ (x, y) = ξn η n , n=1 (x = (ξ1 ξ2 , ) ∈ l2 , y = (η1 η2 , ) ∈ l2 Footer Page 12 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 13 of 126 12 ∞ Khi đó: x = ( |ξn |2 )1/2 n=1 Khơng gian l2 đầy đủ chuẩn Vậy l2 khơng gian Hilbert 1.4 Tốn tử đơn điệu Cho X khơng gian Banach thực, A : D(A) → X ∗ tốn tử với miền xác định D(A) = X miền ảnh R(A) nằm X ∗ Định nghĩa 1.5: Tốn tử A gọi 1) Đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); 2) Đơn điệu chặt dấu xảy x = y; 3) Đơn điệu tồn hàm khơng âm δ(t) khơng giảm với t ≤ 0, δ(t) = A(x) − A(y), x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = cA t2 với cA số dương tốn tử A gọi đơn điệu mạnh Chú ý 1.1: Trong trường hợp A tốn tử tuyến tính tính đơn điệu tương đương với tính khơng âm tốn tử 1.5 Ánh xạ chiếu Mêtric Cho H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng , chuẩn , D tập lồi đóng, khác rỗng H Định nghĩa 1.6: Với điểm x ∈ H, tồn điểm gần x D, kí hiệu PD (x) Điểm thỏa mãn x − PD (x) ≤ x − y , ∀y ∈ D Ánh xạ PD gọi phép chiếu Mêtric H lên D, tức là: PD (x) − PD (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H Phép chiếu PD xác định PD (x) ∈ D x − PD (x), PD (x) − y ≥ 0, ∀x ∈ H, ∀y ∈ D có tính chất x−y Footer Page 13 of 126 ≥ x − PD (x) Số hóa Trung tâm Học liệu + y − PD (x) , ∀x ∈ H, ∀y ∈ D http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 14 of 126 13 1.6 Phương pháp lặp Mann, Halpern cho ánh xạ khơng giãn 1.6.1 Phương pháp lặp Mann Năm 1953, Mann [1] nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), x1 ∈ C, n ≥ 1, gọi dãy lặp Mann chuẩn tắc Ơng chứng minh rằng, dãy ∞ {αn } chọn cho αn (1 − αn ) = ∞ dãy {xn } hội tụ yếu n=1 điểm bất động ánh xạ T , với T : C → C ánh xạ khơng giãn từ tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H vào Tuy nhiên, trường hợp H khơng gian Hilbert vơ hạn chiều dãy lặp hội tụ yếu mà khơng hội tụ mạnh 1.6.2 Phương pháp lặp Halpern Tiếp theo, mục chúng tơi đề cập đến phương pháp lặp Halpern [2] đề xuất năm 1967 dạng xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0, (1.1) u, x0 ∈ C, {αn } ⊂ [0, 1] T ánh xạ khơng giãn từ tập lồi đóng C khơng gian Hilbert H C Ơng chứng minh αn = n−α , α ∈ (0, 1) dãy {xn } xác định (1.1) hội tụ yếu điểm bất động T Footer Page 14 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 15 of 126 14 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN – HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN [8] 2.1 Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn Bổ đề 2.1 [5] Cho H khơng gian Hilbert thực, ta có đồng thức: x−y = x 2 − y − x − y, y Bổ đề 2.2 [3].Cho C tập hợp đóng lồi khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Với x ∈ H, tồn phần tử z ∈ C cho z − x ≤ y − x với y ∈ C, z = PC (x) z − x, y − z ≥ với y ∈ C, PC hình chiếu từ H C Bổ đề 2.3 (Ngun lý nửa đóng) [6] Nếu C tập hợp lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H, T ánh xạ khơng giãn C, {xn } dãy C thỏa mãn xn x xn − T xn → 0, x − T x = Bổ để 2.4 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Randon-Riesz tính chất Kadec-Klee, tức với dãy {xn } ⊂ H với xn x xn → x , xn → x Bây giới thiệu chứng minh kết dãy lặp ánh xạ khơng giãn sau x0 ∈ H bất kỳ, zn = αn PC (xn ) + (1 − αn )T PC (xn ), yn = βn x0 + (1 − βn )T zn , Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0; (2.1) Footer Page 15 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 16 of 126 15 Định lý 2.1 Cho C tập hợp lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H cho T ánh xạ khơng giãn C với F (T ) = ∅ Giả sử {αn } {βn } dãy số [0,1] cho αn → βn → Khi đó, dãy {xn }, {yn } {zn } định nghĩa (2.1) hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Trước hết, ta có bất đẳng thức yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z ) tương đương với (1 − βn )xn + βn x0 − yn , z ≤ xn − yn , xn − yn − x n 2 + βn x0 Vì vậy, Hn nửa khơng gian Rõ ràng là: F (T ) = F (T PC ) := {p ∈ H : T PC (p) = p}, với ánh xạ T từ C vào C Như vậy, tính lồi tính chất khơng giãn PC , ta thu với p ∈ F (T ) ta có zn − p = αn PC (xn ) − p + (1 − αn )T PC (xn ) = αn (PC (xn ) − PC (p)) + (1 − αn )[T PC (xn ) − T PC (p)] ≤ αn x n − p + (1 − αn ) PC (xn ) − PC (p) 2 ≤ xn − p Bằng lập luận tương tự Bổ đề 2.1 với x = x0 − p y = xn − p, ta thu được: yn − p Footer Page 16 of 126 = βn x0 + (1 − βn )T zn − p ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) T zn − T p ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) zn − p ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) xn − p = xn − p + βn ( x0 − p = xn − p + βn ( x0 Số hóa Trung tâm Học liệu 2 − xn − p ) + xn − x0 , p ) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 17 of 126 16 Do đó, p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa F (T ) ⊂ Hn với n ≥ Tiếp theo, ta F (T ) ⊂ Hn ∩ Wn với n ≥ Bằng quy nạp Với n = 0, ta có W0 = H, F (T ) ⊂ H0 ∩ W0 Giả sử xi biết F (T ) ⊂ Hi ∩ Wi với i > Tồn phần tử xi+1 ∈ Hi ∩ Wi cho xi+1 = PHi ∩Wi (x0 ) Do đó, theo Bổ đề 2.2 ta có: xi+1 − x0 , p − xi+1 ≥ với p ∈ Hi ∩ Wi Vì F (T ) ⊂ Hi ∩ Wi , nên F (T ) ⊂ Wi+1 Vậy, ta có F (T ) ⊂ Hi+1 ∩Wi+1 Hơn nữa, F (T ) tập lồi, khác rỗng H, nên tồn phân tử u0 ∈ F (T ) cho u0 = PF (T ) (x0 ) Từ xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), ta nhận được: xn+1 − x0 ≤ z − x0 với z ∈ Hn ∩ Wn Từ u0 ∈ F (T ) ⊂ Wn , ta thu được: xn+1 − x0 ≤ u0 − x0 n ≥ (2.2) Điều chứng tỏ {xn } dãy bị chặn Do {PC T PC (xn )}, {zn } {T zn } bị chặn Tiếp theo, ta rằng: lim xn+1 − xn = n→∞ Từ định nghĩa Wn Bổ đề 2.2 dẫn đến xn = PWn (x0 ) Vì xn+1 ∈ Hn ∩ Wn , nên ta có xn+1 − x0 ≥ xn − x0 n ≥ Do đó, { xn − x0 } khơng giảm bị chặn Vậy tồn lim xn − x0 = c Mặt khác, xn+1 ∈ Wn , ta có n→∞ xn − x0 , xn+1 − xn ≥ Footer Page 17 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.3) Header Page 18 of 126 17 xn − xn+1 = xn − x0 − (xn+1 − x0 ) = xn − x0 2 − xn − x0 , xn+1 − x0 + xn+1 − x0 ≤ xn+1 − x0 − xn − x0 2 ∀n ≥ Do vậy, (2.3) suy từ bất đẳng thức lim xn − x0 = c n→∞ Do αn → {xn }, {T PC (xn )} dãy bị chặn, từ (2.1) ta có: lim zn − PC (xn ) = lim (1 − αn ) PC (xn ) − T PC (xn ) = n→∞ n→∞ (2.4) Mặt khác, xn+1 ∈ Hn nên yn − xn+1 ≤ xn − xn+1 + βn ( x0 + xn − x0 , z )} Do đó, từ (2.3), tính bị chặn {xn }, βn → bất đẳng thức kéo theo: lim yn − xn+1 = (2.5) n→∞ Điều với (2.3) dẫn đến lim yn − xn = (2.6) n→∞ Chú ý T zn = yn − βn (xn − T zn ) + βn (xn − x0 ), nên ta có xn − T zn ≤ xn − yn + βn xn − T zn + βn xn − x0 Từ (2.2) bất đẳng thức trên, suy ra: xn − T zn ≤ 1 − βn xn − yn + βn u0 − x0 Do βn → (βn ≤ − β với β ∈ (0, 1)), (2.4) bất đẳng thức cuối ta nhận được: lim xn − T zn = n→∞ Footer Page 18 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.7) Header Page 19 of 126 18 Từ zn ∈ C T : C → C, ta có T zn = PC (T zn ) zn − T zn ≤ zn − PC (xn ) + PC (xn ) − PC (T zn ) ≤ zn − PC (xn ) + xn − T zn Vì từ (2.4), (2.7) bất đẳng thức trên, ta suy ra: lim zn − T zn = (2.8) n→∞ Do {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu tới phân tử p ∈ H j → ∞ Từ (2.7) (2.8), ta có {znj } hội tụ yếu đến p Từ {zn } ⊂ C, thu p ∈ C Do Bổ đề (2.3) (2.8), suy p ∈ F (T ) [4] Từ (2.2) tính nửa liên tục yếu chuẩn dẫn đến x0 −u0 ≤ x0 −p ≤ lim inf j→∞ x0 −xnj ≤ lim sup x0 −xnj ≤ x0 −u0 j→∞ Do vậy, ta nhận lim x0 − xnj = x0 − u0 = x0 − p j→∞ Điều kéo theo xkj → p = u0 Bổ đề 2.4 Do tính hình chiếu u0 = PF (T ) (x0 ), nên ta có xn → u0 Từ (2.6) (2.7)-(2.8), ta thu được: yn → u0 zn → u0 Định lý chứng minh Hệ 2.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hibert thực H T : C → H ánh xạ khơng giãn với F (T ) = Giả sử {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn βn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định : x0 ∈ H phần tử yn = βn x0 + (1 − βn )T PC (xn ), Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, Footer Page 19 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 20 of 126 19 hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Đặt αn ≡ Định lý 2.1, ta điều chứng minh Hệ 2.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hibert thực H T : C → H ánh xạ khơng giãn với F (T ) = ∅ Giả sử {αn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định bởi: x0 ∈ H phần tử yn = T (αn PC (xn ) + (1 − αn )T PC (xn )), Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z }, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ), n → ∞ 2.2 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Ta chứng minh kết dãy lặp nửa nhóm khơng giãn sau: x0 ∈ H bất kỳ, tn zn = αn PC (xn ) + (1 − αn ) T (s)PC (xn )ds, tn tn yn = βn x0 + (1 − βn ) T (s)zn ds, tn Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 (2.9) + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, n ≥ 0, Bổ đề 2.5 [7] Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng khơng gian Hibert thực H {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh Footer Page 20 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 21 of 126 20 xạ khơng giãn C Khi đó, với h > t lim sup sup T (h) t t→∞ y∈C T (s)yds − t t T (s)yds = 0 Định lý 2.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {αn } {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → βn → 0, {tn } dãy số thực dương phân kì Khi đó, dãy {xn }, {zn } {yn }, xác định (2.9) hội tụ u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Với p ∈ F, ta có p = PC (p) = T (s)PC (p), với s > 0, từ (2.1) tính chất lồi , ta thu được: zn − p = αn (PC (xn ) − p) + (1 − αn ) tn tn T (s)PC (xn )ds − p = αn (PC (xn ) − PC (p)) tn + (1 − αn ) tn [T (s)PC (xn ) − T (s)PC (p)]ds tn ≤ αn xn − p + (1 − αn ) T (s)PC (xn ) − T (s)PC (p) ds tn ≤ αn xn − p + (1 − αn ) PC (xn ) − PC (p) 2 ≤ xn − p Bằng cách lập luận tương tự, ta thu yn − p tn = βn (x0 − p) + (1 − βn ) T (s)zn ds − p tn tn ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) [T (s)zn − T (s)p]ds tn ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) zn − p 2 ≤ βn x0 − p Footer Page 21 of 126 + (1 − βn ) xn − p = xn − p + βn ( x0 − p ≤ xn − p + βn ( x0 Số hóa Trung tâm Học liệu 2 − xn − p ) + xn − x0 , p ) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 22 of 126 21 Do đó, p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa F ⊂ Hn với n ≥ Tương tự chứng minh định lý trên, ta nhận tính chất sau: (i) F ⊂ Hn ∩ Wn , xn+1 − x0 ≤ u0 − x0 , u0 = PF (x0 ) với n ≥ Điều kéo theo {xn } bị chặn Do dãy tn tn T (s)PC (xn )ds , {zn } tn tn T (s)zn ds (2.10) bị chặn (ii) lim xn+1 − xn = 0, n→∞ lim zn − PC (xn ) = 0, n→∞ lim yn − xk+1 = 0, n→∞ lim yn − xn = n→∞ lim xn − n→∞ tn tn T (s)zn ds = lim zn − n→∞ tn tn T (s)zn ds = (2.11) Bởi {xn } dãy bị chặn nên tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu đến phần tử p ∈ H j → ∞ Do theo (2.11), dãy {znj } hội tụ yếu đến p p ∈ C Mặt khác, với h > 0, có tn ≤ T (h)zn − T (h) T (s)zn ds tn tn tn + T (h) T (s)zn ds − T (s)zn ds tn tn tn + T (s)zn ds − zn tn T (h)zn − zn ≤2 tn tn T (s)zn ds − zn + T (h) tn Footer Page 22 of 126 tn T (s)zn ds − tn Số hóa Trung tâm Học liệu (2.12) tn T (s)zn ds http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 23 of 126 22 Đặt C0 = {z ∈ C : z − u0 ≤ x0 − u0 } Do u0 = PF (x0 ) ∈ C, từ (2.9) (2.10) suy zn − u0 = αn (PC (xn ) − u0 ) + (1 − αn ) tn tn T (s)PC (xn )ds − u0 = αn [PC (xn ) − PC (u0 )] tn tn + (1 − αn ) T (s)PC (xn )ds − T (s)PC (u0 )ds tn tn ≤ αn xn − u0 tn + (1 − αn ) [T (s)PC (xn ) − T (s)PC (u0 )]ds tn ≤ xn − x0 + x0 − u0 ≤ x0 − u0 Do vậy, C0 tập lồi đóng khác rỗng bị chặn Dễ dàng thấy {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C0 Từ Bổ đề 2.4, ta thu lim T (h) n→∞ tn tn T (s)zn ds − tn tn T (s)zn ds = 0 với h > cố định từ (2.11)-(2.12) ta nhận được: lim T (h)zn − zn = n→∞ với h > từ Bổ đề (2.3), suy p ∈ F (T (h)) với h > Điều có nghĩa p ∈ F Theo chứng minh Định lý 2.1 sử dụng (2.10) (2.11), ta thu {xn }, {yn } {zn }, xác định (2.9) hội tụ mạnh u0 n → ∞ Định lý chứng minh Hệ 2.3 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {βn } dãy [0,1] thỏa Footer Page 23 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 24 of 126 23 mãn βn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định x0 ∈ H phần tử bất kỳ, tn yn = βn x0 + (1 − βn ) T (s)PC (xn )ds, tn Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Đặt αn ≡ Định lý 2.2, ta nhận điều phải chứng minh Hệ 2.4 Cho C tập hợp khơng rỗng đóng lồi khơng gian Hilbert thực H cho {T (t) : t > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {αn } chuỗi [0,1] thỏa mãn αn → Thì {xn } {yn }, xác định x0 ∈ H phần tử bất kỳ, tn yn = T (s) αn PC (xn ) + (1 − αn ) tn tn Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z }, tn T (s)PC (xn )ds ds, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh đến điểm u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Đặt βn ≡ Định lý 2.2, ta nhận điều phải chứng minh Footer Page 24 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 25 of 126 24 KẾT LUẬN Với mục đích tìm hiểu trình bày lại phương pháp lặp loại MannHalpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn Trong luận văn tơi trình bày vấn đề sau: - Trình bày định nghĩa tính chất khơng gian Hilbert, khơng gian định chuẩn khơng gian Banach, tập lồi tập bị chặn, tốn tử đơn điệu - Trình bày phương pháp lặp Mann-Halpern cổ điển để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn - Trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (t) : t > 0} Footer Page 25 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Header Page 26 of 126 25 Tài liệu tham khảo [1] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4: 506-510 (1953) [2] B Halpern, Fixed points of nonexpanding mapps, Bull Am.Math Soc 73: 957-961 (1967) [3] C Martinez-Yanes, H.K Xu, Strong convergence of the CQ method for fixed iteration processes, Nonl Anal 64: 2400-2411 (2006) [4] Nguyen Buong, Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces, Applied Math and Comp 217:322-329(2010) [5] G Marino and H.K Xu, Weak and strong convergence theorems for stric pseudo-contractions in Hilbert spaces, J Math Anal Appl 329: 336-346 (2007) [6] K Goebel and W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math., V 28, Cambridge Univ Press, Cambridge 1990 [7] T Shimizu, W Takahashi, Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings, J Math Anal Appl 211: 71-83 (1997) [8] Nguyen Buong and Nguyen Duc Lang, Hybrid Mann-Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups Applied Mathematics and Computation 218:2459-2466(2011) Footer Page 26 of 126 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Trình bày phương pháp lặp loại Mann- Halpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Footer... đơn điệu - Trình bày phương pháp lặp Mann- Halpern cổ điển để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn - Trình bày lại phương pháp lặp loại Mann- Halpern để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn T điểm... cơng bố phương pháp lặp cho tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn dựa ý tưởng phương pháp lặp Mann Halpern Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp loại Mann- Halpern cho tốn