Nửa nhóm ma trận Rees trên một nhóm

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU HUYỀN NỬA NHÓM MA TRẬN REES TRÊN MỘT NHÓM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Phản biện : TS Lê Hải Trung Phản biện : PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết nửa nhóm phần tương đối trẻ toán học Như hướng tách biệt đại số với mục tiêu riêng nó, việc xác định rõ toán phương pháp nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm hình thành khoảng cách 70 năm Một động tồn lý thuyết toán học ví dụ thú vị tự nhiên Đối với lý thuyết nửa nhóm, lựa chọn rõ ràng cho ví dụ nửa nhóm phép biến đổi Nhiều phép biến đổi khác tập khác xuất lúc nơi toán học Do hợp thành thông thường phép biến đổi có tính kết hợp, tập phép biến đổi đóng phép hợp thành tạo thành nửa nhóm Khi nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm, giúp tìm hiểu thông tin cần thiết tính chất nhóm chứa nửa nhóm Ngày nay, lý thuyết nửa nhóm có vai trò quan trọng việc nghiên cứu số ngành khoa học như: toán học, vật lý Lý thuyết nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông phần quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm Năm 1940, Rees đưa vào khái niệm nửa nhóm ma trận nhóm với phần tử không, gọi nửa nhóm ma trận Rees Từ lớp nửa nhóm rộng nghiên cứu nửa nhóm đơn, nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, Các lớp nửa nhóm có ảnh hưởng lớn cho phát triển sau lý thuyết nửa nhóm Xuất phát từ nhu cầu phát triển lý thuyết nửa nhóm ứng dụng nó, định chọn đề tài với tên: "Nửa nhóm ma trận Rees nhóm" để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tạo tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết nửa nhóm hy vọng tìm số ví dụ minh họa đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Việc khảo sát nửa nhóm dựa việc nghiên cứu quan hệ Green, iđêan trái phải 0-tối tiểu cấu trúc D-lớp quy Đề tài đề cập đến nửa nhóm mà biểu diễn ma trận nhóm với phần tử không G0 , gọi nửa nhóm ma trận Rees Định lý Rees khẳng định nửa nhóm 0-đơn đầy đủ đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rees nhóm với phần tử không Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài khảo sát nửa nhóm 0-đơn đầy đủ dựa việc nghiên cứu quan hệ Green, iđêan trái phải 0-tối tiểu cấu trúc D-lớp quy nó, đề tài đề cập đến nửa nhóm G0 , gọi nửa nhóm ma trận Rees Phương pháp nghiên cứu • Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến Lý thuyết nửa nhóm nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông • Tham gia buổi seminar hàng tuần để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông nửa nhóm ma trận Rees nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm • Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương Các kiến thức sở Chương Nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông Chương Nửa nhóm ma trận Rees • Trong Chương 1, trình bày kiến thức sở dùng cho chương sau, khái niệm nửa nhóm, iđêan, quan hệ Green D -lớp quy Footer Page of 126 Header Page of 126 • Trong Chương 2, trình bày khái niệm kết iđêan 0-tối tiểu, nửa nhóm 0-đơn, nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông • Nửa nhóm ma trận Rees, định lý Rees, hạng nửa nhóm ma trận Rees toán cực trị chúng trình bày Chương Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Nửa nhóm số khái niệm liên quan 1.2 Các ví dụ nửa nhóm Ví dụ 1.2.1 Cho X = {1, 2, , n}, |X| = n Ký hiệu TX Tn nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ với phép hợp thành ánh xạ, tập tất ánh xạ từ X vào X Khi |TX | = nn Nếu X = {1, 2} T2 = {( 11 22 ) , ( 11 21 ) , ( 12 22 ) , ( 12 21 )}, ( 1i 2j ) thay cho → i, → j với i, j ∈ {1, 2} Ta xem phần tử T2 ma trận nên T2 ={( 10 01 ) , ( 10 10 ) , ( 01 01 ) , ( 01 10 )} Ký hiệu PX Pn nửa nhóm phép biến đổi phận X , gồm tất ánh xạ từ tập X vào tập X Khi |Pn| = (n + 1)n Nếu X = {1, 2} P2 = {0, ( 11 ) , ( 21 ) , ( 12 ) , ( 22 ) , ( 11 22 ) , ( 11 21 ) , ( 12 22 ), ( 12 21 )} Có thể xem P2 = {( 00 00 ) , ( 10 00 ) , ( 00 10 ) , ( 01 00 ) , ( 00 01 ) , ( 10 10 ) , ( 01 01 ) , ( 01 10 ) , ( 10 01 )} Ký hiệu IX In nửa nhóm đối xứng ngược, gồm tất ánh xạ - từ tập X lên tập X n Khi |In | = r=0 ( nr ) r! Nếu X = {1, 2} I2 = {0, ( 11 ) , ( 21 ) , ( 12 ) , ( 22 ) , ( 11 22 ) , ( 12 21 )} Khi xem I2 = {( 00 00 ) , ( 10 00 ) , ( 00 10 ) , ( 01 00 ) , ( 00 01 ) , ( 01 10 ) , ( 10 01 )} Ví dụ 1.2.2 Cho X tập, gọi BX tập tất quan hệ hai X Trên BX phép toán hợp thành ◦ định nghĩa sau: ∀ρ, σ ∈ BX : (a, b) ∈ ρ◦σ ⇔ ∃x ∈ X : (a, x) ∈ ρ (x, b) ∈ σ Khi (BX , ◦) nửa nhóm, gọi nửa nhóm quan hệ hai X Footer Page of 126 Header Page of 126 Ví dụ 1.2.3 Giả sử I iđêan nửa nhóm S Trên S xét quan hệ ρ sau ∀a, b ∈ S : aρb ⇔ a = b a, b ∈ I Khi ρ tương đẳng S gọi tương đẳng Rees theo mod I Các lớp tương đương S theo mod ρ I tập phần tử {a} với a ∈ S \ I Khi ta viết S/I thay cho S/ρ gọi S/I nửa nhóm thương Rees 1.3 Các Quan hệ Green Ví dụ 1.3.1 Cho S nửa nhóm với phép nhân định nghĩa bảng sau: • a b c a a b c b b a b c c c c Khi S a = {a, b, c}, S b = {a, b}, S c = {c}, aS = {a, b, c}, bS = {a, b, c}, cS = {b, c} Do aRb Hơn : La = {a}, Lb = {b}, Lc = {c}, Ra = {a, b} = Rb, Rc = {c} Mệnh đề 1.3.1 (Bổ đề Green) Giả sử a b phần tử R-tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S , tức tồn s, s ∈ S cho as = b, bs = a Khi ánh xạ x → xs(x ∈ La ) y → ys (y ∈ Lb) ngược nhau, bảo toàn R-lớp tương ứng ánh xạ một-một từ La lên Lb từ Lb lên La Mệnh đề 1.3.2 Giả sử a c phần tử D-lớp tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S , tức tồn b ∈ S cho aRb bLc hay tồn s, s , t, t ∈ S thỏa as = b, bs = a, tb = c, t c = b Khi ánh xạ x → txs(x ∈ Ha ) z → t zs (z ∈ Hc ) ngược nhau, tương ứng ánh xạ một-một từ Ha lên Hc từ Hc lên Ha Đặc biệt |Ha| = |Hc| (nghĩa hai ô "hộp trứng" có số phần tử) Ví dụ 1.3.2 Cho S = I3 (Xem Ví dụ 1.2.1) Đặt D2 = {x ∈ S|rank(x) = 2}, rank(x) = |im(x)|, S có 34 phần tử D2 có 18 phần tử Khi D2 D -lớp S , D2 có R-lớp L-lớp "Hộp trứng" D2 cho Hình 1.1 Footer Page of 126 Header Page of 126 1.4 D-lớp qui Bổ đề 1.4.1 Cho S nửa nhóm Khi i) Nếu phần tử a thuộc S qui D -lớp Da qui ii) Trong D-lớp qui S, L-lớp R-lớp chứa lũy đẳng Do L-lớp R-lớp chứa nhóm H-lớp Định lý 1.4.1 (Green) Cho H H-lớp nửa nhóm S Khi đó, H ∩ H = ∅ H = H H nhóm S Đặc biệt, H-lớp chứa lũy đẳng nhóm Ví dụ 1.4.1 Cho S = I3 Đặt D2 = {x ∈ S|rank(x) = 2}, (Xem Hình 1.1) Khi tập phần tử luỹ đẳng D2 E(D2 ) = 000 010 001 , 100 000 001 , 100 010 000 Ta thấy R-lớp L-lớp D2 chứa phần tử E(D2 ) Định lý 1.4.2 Nếu a, b ∈ S ab ∈ Ra ∩ Lb Rb ∩ La nhóm Khi aHb = Ha b = Ha Hb = Hab = Ra ∩ Lb Định lý 1.4.3 Cho a ∈ D -lớp qui D nửa nhóm S Khi i) Nếu a nghịch đảo a a ∈ D hai H-lớp Ra ∩ La , La ∩ Ra chứa phần tử luỹ đẳng aa a a ii) Nếu b ∈ D cho Ra ∩ Lb, La ∩ Rb chứa phần tử luỹ đẳng e, f Khi Hb chứa a∗ nghịch đảo a cho aa∗ = e, a∗ a = f iii) Một H-lớp không chứa phần tử nghịch đảo a Ví dụ 1.4.2 Xét Ví dụ 1.3.2 "hộp trứng" D2 Khi e= 000 010 001 ∈ Ra ∩ L b , a= 010 000 001 ∈ Ra ∩ La = Ha f= 100 000 001 ∈ Rb ∩ La, b= 000 100 001 ∈ Rb ∩ Lb = Hb Dễ dàng tính aba = a bab = b, a b nghịch đảo Hơn nữa, ab = f ba = e Định lý 1.4.4 Nếu H K hai nhóm H-lớp D-lớp qui H K đẳng cấu với Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương NỬA NHÓM 0-ĐƠN ĐẦY ĐỦ LIÊN THÔNG 2.1 Iđêan 0-tối tiểu nửa nhóm 0-đơn Định nghĩa 2.1.1 Một nửa nhóm S gọi đơn (đơn trái, đơn phải) iđêan thực hai phía (trái, phải) Một iđêan I nửa nhóm S gọi tối tiểu không chứa thực iđêan khác S Một iđêan I nửa nhóm S với phần tử không gọi iđêan 0-tối tiểu nếu: i) I = {0}, ii) {0} iđêan S mà {0} ⊂ I Nếu I iđêan 0-tối tiểu nửa nhóm S I ⊆ I nên I = I I = {0}, I = I I nửa nhóm với phép nhân không Nửa nhóm S với phần tử không gọi nửa nhóm 0-đơn (0-đơn trái, 0-đơn phải) nếu: i) S = {0} ii) S có iđêan hai phía (trái, phải) {0} S Ví dụ 2.1.1 Gọi J2 = {x ∈ M3 (K)|rank(x) = 2} Khi J20 nửa nhóm 0-đơn Ở đây, M3 (K) vành ma trận vuông cấp lấy hệ số K Bổ đề 2.1.1 Nếu S nửa nhóm 0-đơn phải (trái) S \ {0} nửa nhóm đơn phải (trái) S Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Bổ đề 2.1.2 Nửa nhóm S với phần tử không 0-đơn SaS = S với a thuộc S \ {0}, nghĩa với a, b ∈ S \ {0} tồn x, y ∈ S cho xay = b Bổ đề 2.1.3 Giả sử L iđêan 0-tối tiểu nửa nhóm S L2 = {0} L nửa nhóm 0-đơn Bổ đề 2.1.4 Giả sử L iđêan trái 0-tối tiểu nửa nhóm S với phần tử không u ∈ S Khi Lu {0} iđêan trái 0-tối tiểu S Định lý 2.1.1 Giả sử S nửa nhóm với phần tử không I iđêan 0-tối tiểu S chứa iđêan trái 0-tối tiểu S Khi I hợp tất iđêan trái 0-tối tiểu S chứa I Định nghĩa 2.1.2 Cho S nửa nhóm Ta gọi chuỗi S chuỗi iđêan S = In ⊃ In−1 ⊃ ⊃ I1 ⊃ I0 ⊃ ∅ cho với j = 1, 2, , n Ij−1 cực đại Ij Ta gọi thương chuỗi (2.1) nửa nhóm thương Rees Ij /Ij−1 , (j = 1, 2, , n) Khi S hợp của (In \ In−1), (In−1 \ In−2), , (I1 \ I0), (I0 \ ∅) Ij /Ij−1 = Ij \Ij−1 ∪ {0} Ví dụ 2.1.2 Cho S = M3 (K) Khi M3 (K) = I3 ⊃ I2 ⊃ I1 ⊃ I0 ⊃ ∅, I0 = {0}, I1 = {x ∈ S|rank(x) ≤ 1}, I2 = {x ∈ S|rank(x) ≤ 2} chuỗi iđêan với thương Rees J30 = I3/I2 = {x ∈ S|rank(x) = 3} ∪ {0}, J20 = I2/I1 = {x ∈ S|rank(x) = 2} ∪ {0}, J10 = I1/I0 = {x ∈ S|rank(x) = 1} ∪ {0}, J00 = I0/∅ = {x ∈ S|rank(x) = 0} 2.2 Nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Định nghĩa 2.2.1 Một nửa nhóm không đơn (0-đơn) đầy đủ nửa nhóm đơn (0-đơn) chứa luỹ đẳng nguyên thuỷ Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 i) Ri ∩ Rj = Lλ ∩ Lµ = ∅, với i = j λ = µ ii) Với tập Hiλ khác rỗng iii) S = i∈I Ri ∪{0} = λ∈Λ Lλ ∪{0} = i∈I,λ∈Λ Hiλ ∪{0} iv) |Hiλ | = |Hjµ | với i, j ∈ I λ, µ ∈ Λ v) Bất kỳ i ∈ I λ ∈ Λ, Hiλ nhóm S với phần tử đơn vị ký hiệu eiλ Hiλ ∪ {0} nửa nhóm với phép nhân không vi) Nếu Hiλ Hjµ nhóm Hiλ ∼ = Hjµ vii) Mỗi Ri chứa nhóm Hiµ , Lλ chứa nhóm Hjλ viii) Cho s1 ∈ Hiλ s2 ∈ Hjµ , s1 s2 ∈ Hiµ Hjλ nhóm s1 s2 = trường hợp lại ix) Cho s ∈ Hiλ Nếu tồn j ∈ I mà Hjλ nhóm, sRj = Ri sHjµ = Hiµ với µ ∈ Λ Nếu Hiµ nhóm Lµ s = Lλ Hjµ s = Hjλ với j ∈ I x) Nếu Hiλ nhóm eiλ đơn vị trái Ri đơn vị phải Lλ Hiλ ∪ {0} = eiλ Seiλ với i ∈ I λ ∈ Λ xi) Nếu Hiλ Hjµ nhóm s ∈ Hjλ tồn s ∈ Hiµ cho ss s = s s ss = s ; ss = ejµ s s = eiλ , ánh xạ x → s xs đẳng cấu từ Hjµ lên Hiλ Ví dụ 2.2.2 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ với "hộp trứng" cho Hình 2.1, ô có gạch chéo nhóm Ta có s1 ∈ H17, s2 ∈ H45 Vì H47 nhóm nên s1s2 ∈ H15 s2s1 = H15 nhóm Do H32 H64 nhóm nên với phần tử tuỳ ý t ∈ H62 , có phần tử nghịch đảo t ∈ H34 thoả e64 = tt e32 = t t Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 s1 s2 s1 R1 R2 e32 = t tt R3 s2 R4 R5 e64 = tt R6 t = s2 s1 Hình 2.1: Mô tả "hộp trứng" S 2.3 Nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông Bổ đề 2.3.1 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Khi i) Nếu x ∈ Hiλ y ∈ Hjµ xy = Hjλ nhóm, lúc xy ∈ Hiµ ii) Nếu tồn x ∈ Lλ cho xa = ya = với y ∈ Lλ Đối ngẫu ta có, tồn x ∈ Ri cho ax = ay = với y ∈ Ri iii) x1 x2 xn = tích x1x2, x2x3, , xn−1xn iv) Nếu p ∈ F (S) phần tử nghịch đảo p thuộc F (S) Định nghĩa 2.3.1 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ tuỳ ý Đồ thị S , ký hiệu Γ(S), gồm tập đỉnh cạnh nối cặp đỉnh; đó, tập đỉnh Γ(S) {(i, λ) ∈ I × Λ|Hiλ nhóm} Hai đỉnh (i, λ) (j, µ) gọi kề i = j λ = µ đây, Γ(S) đơn đồ thị vô hướng Đồ thị Γ(S) gọi liên thông với hai đỉnh phân biệt (i, λ) (j, µ) Γ(S) có đường nối hai đỉnh (i, λ) (j, µ) Một nửa nhóm 0-đơn đầy đủ gọi liên thông đồ thị gọi liên thông Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 Định lý 2.3.1 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Các điều kiện sau tương đương: i) Γ(S) liên thông ii) Lλ F (S)Ri = S với i ∈ I với λ ∈ Λ iii) F (S) ∩ Hiλ = ∅ với i ∈ I với λ ∈ Λ iv) Với i, j ∈ I λ, µ ∈ Λ tồn phần tử p(i, λ, j, µ), q(i, λ, j, µ) ∈ F (S) cho ánh xạ φ(i, λ, j, µ) :Hiλ −→ Hjµ x −→ p(i, λ, j, µ)xq(i, λ, j, µ) song ánh Nếu Hiλ Hjµ nhóm, phần tử p(i, λ, j, µ), q(i, λ, j, µ) chọn cho φ(i, λ, j, µ)−1 = φ(j, µ, i, λ) với φ(i, λ, j, µ) đẳng cấu nhóm Ví dụ 2.3.1 Nếu S nửa nhóm đơn đầy đủ tất Hiλ với i ∈ I, λ ∈ Λ nhóm S Do nhóm phần tử luỹ đẳng phần tử không phần tử đơn vị nên eiλ ∈ F (S) ∩ Hiλ với i ∈ I, λ ∈ Λ Theo Định lý (2.3.1)(ii) ta có Γ(S) liên thông tập đỉnh Γ(S) toàn tập I × Λ Ví dụ 2.3.2 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ với "hộp trứng" S cho Hình 2.4, ô gạch chéo nhóm Khi đó, đồ thị Γ(S) S cho Hình 2.5 Rõ ràng Γ(S) liên thông (1,1) (6,4) (1,2) L1 L2 L3 L4 (6,3) R1 (2,1) R R3 R4 R5 R6 (5,4) (2,3) (5,2) (4,1) Hình 2.4: Mô tả "hộp trứng" S Footer Page 14 of 126 (3,2) (3,3) (4,4) Hình 2.5: Đồ thị S 13 Header Page 15 of 126 2.4 Hạng nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông Bổ đề 2.4.1 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, gọi T nửa nhóm S , giả sử tồn i0 ∈ I, λ0 ∈ Λ cho Hi0 λ0 nhóm Nếu ∈ T, Hi0 λ0 ⊆ T T ∩ Hiλ = ∅ với i ∈ I, λ ∈ Λ, T = S Định lý 2.4.1 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, giả sử tồn i0 ∈ I, λ0 ∈ Λ cho Hi0λ0 nhóm Nếu A ∈ Hi0λ0 sinh Hi0λ0 nửa nhóm, bλ ∈ Hi0 λ , λ ∈ Λ \ {λ0 } ci ∈ Hiλ0 , i ∈ I \ {i0 } phần tử tuỳ ý tập X = A ∪ {bλ|λ0 = λ ∈ Λ} ∪ {ci|i0 = i ∈ I} ∪ {0} tập sinh S Hệ 2.4.1 Nếu S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, max(|I|, |Λ|) ≤ rank(S) ≤ rank(G) + |I| + |Λ| − G nhóm Schutzenberger S Ví dụ 2.4.1 Cho nửa nhóm S có phần tử với phép nhân cho bảng sau: • a b c d a b c d 0 0 0 a a c c b b d d 0 a c 0 b d Rõ ràng S 0-đơn, hữu hạn nên 0-đơn đầy đủ S có R-lớp khác không R1 = {a, b}, R2 = {c, d} có L-lớp khác không L1 = {a, c}, L2 = {b, d} Mặt khác, S sinh tập {b, c} Suy rank(S) = = max(|I|, |Λ|) Ví dụ 2.4.2 Cho G nhóm Đặt S = G ∪ {0}, S nửa nhóm gọi 0-nhóm Ta có, nửa nhóm S 0-nhóm aS = Sa = S, ∀a ∈ S \ {0} Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 Vậy S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ với |I| = |Λ| = Khi đó, tập sinh S có dạng A ∪ {0}, A tập sinh nhóm G, rank(S) = rank(G) + = rank(G) + |I| + |Λ| − Khi xét đến nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông, ta giả sử phần tử p(i, λ, j, µ), q(i, λ, j, µ) ánh xạ φ(i, λ, j, µ) đề cập đến Định lý (2.3.1) Bổ đề 2.4.2 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông Khi với i, j ∈ I; λ, µ ∈ Λ với a ∈ Hiλ a ∈ F (S)[φ(i, λ, j, µ)(a)]F (S) Bổ đề 2.4.3 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Nếu Hiλ nhóm eiλF (S)eiλ \ {0} = Hiλ ∩ F (S) Bổ đề 2.4.4 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông, giả sử A = {a1, a2, , at} ⊆ S với as ∈ Hisλs , s = 1, 2, , t giả sử Hiλ nhóm với i ∈ I, λ ∈ Λ Nếu đặt B = {φ(i1, λ1, i, λ)(a1), φ(i2, λ2, i, λ)(a2), , φ(it, λt, i, λ)(at)} ⊆ Hiλ F (S) ∪ A ∩ Hiλ = (F (S) ∩ Hiλ) ∪ B Bổ đề 2.4.5 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông i, j ∈ I; λ, µ ∈ Λ Nếu Hiλ Hjµ nhóm tồn đẳng cấu φ(i, λ, j, µ) : Hiλ → Hjµ cho φ(i, λ, j, µ)(F (S) ∩ Hiλ) = F (S) ∩ Hjµ Định nghĩa 2.4.1 Cho S nửa nhóm T nửa nhóm S Hạng S modulo T , ký hiệu rank(S : T ), lực lượng nhỏ tất tập A ⊆ S mà thỏa mãn A ∪ T = S rank(S : T ) = min{|A| : A ⊆ S, A ∪ T = S} Nhận xét: i) rank(S : S) = 0, rank(S : ∅) = rank(S) ii) rank(S : T ) = rank(S : T ), T Footer Page 16 of 126 rank(S : T ) = ⇔ S = 15 Header Page 17 of 126 Bổ đề 2.4.6 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông với Hiλ nhóm H-lớp S U ⊆ F (S) Khi rank(S : U ) ≥ rank(Hiλ : Hiλ ∩ F (S)) Hệ 2.4.2 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông Nếu Hiλ nhóm H-lớp rank(S) ≥ rank(Hiλ : Hiλ ∩ F (S)) Bổ đề 2.4.7 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ hữu hạn, giả sử Hiλ nhóm, đặt m = max(|I|, |Λ|, rank(Hiλ : Hiλ ∩ F (S))) Khi tồn A ⊆ S với |A| = m cho S\{0} = A Định lý 2.4.2 Cho S nửa nhóm 0-đơn liên thông hữu hạn, gọi {Ri|i ∈ I} {Lλ|λ ∈ Λ} tập tất R-lớp L-lớp khác không S , Hiλ = Ri ∩ Lλ nhóm H-lớp khác không S Khi (i) Nếu S có ước không rank(S) = max(|I|, |Λ|, rank(Hiλ : Hiλ ∩ F (S))) (ii) Nếu S ước không rank(S) = max(|I|, |Λ|, rank(Hiλ : Hiλ ∩ F (S))) + Hệ 2.4.3 Nếu S nửa nhóm đơn hữu hạn rank(S) = max(|I|, |Λ|, rank(Hiλ : Hiλ ∩ F (S))), |I| |Λ| số iđêan phải tối tiểu iđêan trái tối tiểu S ; Hiλ giao iđêan phải trái tối tiểu Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 Chương NỬA NHÓM MA TRẬN REES 3.1 Nửa nhóm ma trận Rees Định nghĩa 3.1.1 Giả sử I Λ tập tùy ý Một I × Λ ma trận Rees G0 I × Λ ma trận G0 có không phần tử khác không Nếu a ∈ G, i ∈ I, λ ∈ Λ ta ký hiệu A = (a)iλ I × Λ ma trận Rees G0 có phần tử a nằm dòng i cột λ A, chỗ khác Với i ∈ I, λ ∈ Λ, ký hiệu = (0)iλ I × Λ ma trận không Giả sử P = (pλi ) Λ × I ma trận cố định G0 Đặt S = {A = (a)iλ|a ∈ G0, i ∈ I, λ ∈ Λ} Trên S ta xác định phép toán ◦ sau: ∀A, B ∈ S : A ◦ B = AP B Cụ thể là: + Với A = (a)iλ , B = (b)jµ ∈ S : (a)iλ ◦ (b)jµ = (apλj b)iµ ∈ S, ∀a, b ∈ G + Với A, B, C ∈ S : A ◦ (B ◦ C) = AP (BP C) = (AP B)P C = (A ◦ B) ◦ C Vậy (S, ◦) nửa nhóm, gọi nửa nhóm I × Λ ma trận Rees nhóm với phần tử không G0 với ma trận đệm P , ký hiệu M0(G; I, Λ; P ) G gọi nhóm sở M0 Ta xây dựng nửa nhóm ma trận Rees theo cách sau: Đặt S = {G × I × Λ) ∪ {0} = {(a; i; λ)|a ∈ G, i ∈ I, λ ∈ Λ} ∪ {0} Trên S xác định phép toán ◦ sau: (a; i; λ) ◦ (b; j; µ) = Footer Page 18 of 126 (apjλb; i; µ) pλj = 0, pλj = 17 Header Page 19 of 126 ◦ (a; i; λ) = (a; i; λ) ◦ = ◦ = Khi (S, ◦) gọi nửa nhóm ma trận Rees M0 (G; I, Λ; P ) Nửa nhóm M0 (G; I, Λ; P )\{0} gọi nửa nhóm I × Λ ma trận Rees không chứa phần tử không nhóm G với ma trận đệm P , ký hiệu M(G; I, Λ; P ) Ta dùng hai ký hiệu (a)iλ (a; i; λ) tùy theo trường hợp cụ thể mà không phân biệt "ma trận Rees" "bộ ba"; đồng phần tử không S với tất ba dạng (0; i; λ) ký hiệu (0)iλ Để khỏi phức tạp, ta sử dụng lại ký hiệu đây, giống ký hiệu Chương nửa nhóm ma trận Rees M0(G; I, Λ; P ): - Ri = {(a)iλ |a ∈ G, λ ∈ Λ} Ri0 = Ri ∪ {0} - Lλ = {(a)iλ |a ∈ G, i ∈ I} L0λ = Lλ ∪ {0} - Hiλ = Ri ∪ Lλ = {(a)iλ |a ∈ G} Từ trở sau, nhắc đến nửa nhóm 0-đơn đầy đủ S ký hiệu Ri , Lλ , Hiλ S cho Định lý (2.2.6) Bổ đề 3.1.1 Nửa nhóm ma trận Rees M0 (G; I, Λ; P ) nửa nhóm qui dòng cột P chứa phần tử khác không Ví dụ 3.1.1 (Nửa nhóm 0-băng chữ nhật) Cho G = {1} nhóm, I = {1, , m}, Λ = {1, , n} P = (pλi ) Λ × I ma trận quy {0, 1} Đặt S = (I × Λ) ∪ {0} với phép toán ◦ xác định sau: (i, λ) ◦ (j, µ) = (i, µ) pλj = ngược lại, (i; λ) ◦ = ◦ (i; λ) = ◦ = 0, ∀(i, λ) ∈ I × Λ Khi (S, ◦) nửa nhóm, gọi nửa nhóm 0-băng chữ nhật Bổ đề 3.1.2 Cho M0 (G; I; Λ; P ) nửa nhóm ma trận Rees G0 với ma trận đệm P Khi i) Ri0 iđêan phải M0 với i ∈ I ; hai phần tử R-tương đương M0 \ {0} thuộc Ri với i thuộc I ii) Nếu P qui i ∈ I, Ri0 iđêan phải 0-tối tiểu M0 Ri R-lớp Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 iii) Nếu tồn i ∈ I thỏa pλi = với λ ∈ Λ Ri0 iđêan hai phía M0 cho M0 ◦ Ri0 = {0}; đặc biệt (Ri0 )2 = {0} iv) Tập Hiλ (i ∈ I, λ ∈ Λ) chứa lũy đẳng pλi = Nếu pλi = Hiλ H-lớp M0 nhóm −1 M0 với phần tử đơn vị eiλ = (p−1 λi )iλ Ánh xạ a → (apλi )iλ đẳng cấu từ G lên Hiλ v) Với i, j ∈ I λ, µ ∈ Λ ta có Hiλ ◦ Hjµ = Hiµ pλj = 0, {0} pλj = Định lý 3.1.1 Nửa nhóm ma trận Rees M0 (G; I, Λ; P ) 0-đơn đầy đủ qui 3.2 Định lý Rees Định lý 3.2.1 Mỗi phần tử thuộc D biểu diễn cách dạng ri aqλ với a ∈ H11 , i ∈ I, λ ∈ Λ Ánh xạ ϕ : M0 → T xác định riaqλ, a = 0, ϕ[(a)iλ] = 0, a = đẳng cấu Đặc biệt ϕ : M0 \{0} → D đẳng cấu, ϕ [(a)iλ ] = ri aqλ Định lý 3.2.2 (Định lý Rees) Nửa nhóm S 0-đơn đầy đủ đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rees qui M0(G; I, Λ; P ) Hệ 3.2.1 Cho S nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, với ký hiệu cho Định lý (2.2.6) Giả sử Hi0 λ0 nhóm Với i ∈ I λ ∈ Λ chọn si ∈ Hiλ0 tλ ∈ Hi0 λ , đặt P = (tλsi)λ∈Λ,i∈I Khi P qui S ∼ = M0(Hi0λ0 ; I, Λ; P ) Ví dụ 3.2.1 Cho S = I3 Ta có J20 = {x ∈ S|rank(x) = 2} ∪ {0} nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Do ta tìm nửa nhóm ma trận Rees đẳng cấu với J20 Đặt G = H11 , theo Ví dụ (1.3.2) ta có: H11 = e = Footer Page 20 of 126 000 010 001 ,a = 000 010 010 , I = {1, 2, 3}, Λ = {1, 2, 3} 19 Header Page 21 of 126 e00 0e0 00e P = ∼ = 100 010 001 Vậy J20 ∼ = M0(H11; I, Λ; P ) Định lý 3.2.3 Cho S nửa nhóm đơn đầy đủ, với i0 ∈ I, λ0 ∈ Λ tùy ý Với i ∈ I λ ∈ Λ chọn si ∈ Hiλ0 tλ ∈ Hi0 λ , đặt P = (tλsi)λ∈Λ,i∈I Khi S ∼ = M(Hi0λ0 ; I, Λ; P ) Đặc biệt, nửa nhóm đơn đầy đủ đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rees M(G; I, Λ; P ) Định lý 3.2.4 Hai nửa nhóm ma trận Rees qui S = M0(G; I, Λ; P ) T = M0(K; J, M ; Q) đẳng cấu tồn đẳng cấu θ : G → K , song ánh ψ : I → J, χ : Λ → M phần tử ui (i ∈ I), vλ (λ ∈ Λ) K cho θ(pλi) = vλqχ(λ)ψ(i)ui Định lý 3.2.5 Hai nửa nhóm ma trận Rees nhóm G0 S = M0(G; I, Λ; P ) T = M0(G; I, Λ; P ) đẳng cấu với nên tồn ánh xạ i → ui từ I vào G ánh xạ λ → υλ từ Λ vào G cho pλi = υλpλiui với i ∈ I λ ∈ Λ, P = (pλi ) P = (pλi ) Ví dụ 3.2.2 Cho G = a = {a0 , a1 , a2 , a3 , a4 } nhóm xyclic cấp sinh phần tử a với phép toán nhân Cho S = M0 (G; {1, 2}, {1, 2}; P ) với P = a Khi S đẳng cấu với nửa nhóm T = M0(G; {1, 2}, {1, 2}; Q), Q = 1 Định nghĩa 3.2.1 Một Λ × I ma trận P = (pλi ) nhóm G gọi có dạng chuẩn pλ1 = p1i = 1G với i ∈ I λ ∈ Λ Định lý 3.2.6 Nếu S nửa nhóm đơn đầy đủ S đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rees M(G; I, Λ; P ) với P có dạng chuẩn 3.3 Hạng nửa nhóm ma trận Rees Định nghĩa 3.3.1 Cho S = M0 (G; I, Λ; G) nửa nhóm ma trận Rees qui Đồ thị phân đôi S , ký hiệu Γ(P ), đồ thị gồm tập đỉnh I ∪ Λ (giả sử I Λ rời nhau) hai đỉnh i ∈ I λ ∈ Λ gọi kề pλi = Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 Hai đỉnh x, y ∈ Γ(P ) gọi liên thông, ký hiệu x y có đường x kết thúc y Nếu π = z1 → z2 → → zt đường Γ(P ) giá trị π định nghĩa V (π) = φ(z1, z2).φ(z2, z3) φ(zt−1, zt), φ(i, λ) = p−1 λi , φ(λ, i) = pλi (i ∈ I, λ ∈ Λ) Qui ước giá trị đường z → z 1G (đơn vị G) Ký hiệu Pxy tập tất đường liên thông x y , đặt tập giá trị đường là: Vxy = {V (π)|π ∈ Pxy } Qui ước: Nếu x không liên thông với y Vxy = ∅ Λ I S = M0(G; I, Λ; P ) Γ(P ) Hình 3.1: Đồ thị Γ(P ) S liên thông Định lý 3.3.1 Cho S = M0 (G; I, Λ; P ) nửa nhóm 0-đơn đầy đủ Khi nửa nhóm sinh tập phần tử lũy đẳng S F (S) = {(a)iλ ∈ S|i λ, a ∈ Viλ} ∪ {0} Định lý 3.3.2 Cho S nửa nhóm ma trận Rees M0 (G; I, Λ; P ) Khi S liên thông đồ thị Γ(P ) liên thông Ví dụ 3.3.1 Cho G = a = {a0 , a1 , a2 , a3 , a4 } nhóm xyclic cấp sinh phần tử a Gọi S = M0 (G; {i1 , i2 , i3 }, {λ1 , λ2 , λ3 }; P ) đó: P = Footer Page 22 of 126 a0 a3 0 a4 a1 a0 21 Header Page 23 of 126 Khi đó, đồ thị Γ(P ) S liên thông (xem Hình 3.2) λ1 λ2 i1 i2 λ3 i3 Hình 3.2: Đồ thị Γ(P ) S liên thông Ví dụ 3.3.2 Cho G = {1, a} nhóm xyclic cấp 2, cho S = M0(G; {1, , 4}, {1, , 4}; P )  a a P =0 0 0 0 a  0 Khi đó, đồ thị Γ(P ) S không liên thông (xem Hình 3.3) S∼ = Hình 3.3: Đồ thị Γ(P ) S không liên thông Bổ đề 3.3.1 Ánh xạ ψ : H11 −→ G (g)11 −→ gp11 đẳng cấu nhóm ψ(H11 ∩ F (S)) = V11 p11 Bổ đề 3.3.2 Nếu π = 1I → λ1 → i2 → λ2 → i3 → λ3 → → λs−1 → is → 1Λ đường P1I 1Λ Khi V (π)p11 = qλ−111I qλ1i2 qλ−12i2 qλ2i3 qλ−13i3 qλs−1is q1−1 Λ is Bổ đề 3.3.3 V1I 1Λ p1Λ 1I sinh tập A = {qλi |i ∈ I, λ ∈ Λ} Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 Định lý 3.3.3 Cho S = M0 (G; I, Λ; P ) nửa nhóm ma trận Rees hữu hạn liên thông, với ma trận P qui, p11 = tồn j ∈ I, µ ∈ Λ : pµj = Gọi πi πλ (i ∈ I, λ ∈ Λ) đường nối i 1Λ , 1I λ với π1I = π1Λ = 1I → 1Λ , đặt qλi = V (πλ)pλiV (πi)p11 Nếu H nhóm G sinh tập A = {qλi |λ ∈ Λ, i ∈ I, qλi = 0} rank(S) = max(|I|, |Λ|, rank(G : H)) Nếu pµj = với j ∈ I µ ∈ Λ rank(S − {0}) = max(|I|, |Λ|, rank(G : H)) Định lý 3.3.4 Cho S = M(G; I, Λ; P ) nửa nhóm ma trận Rees hữu hạn với P có dạng chuẩn Khi rank(S) = max(|I|, |Λ|, rank(G : H)) H nhóm G sinh tập A = {pλi |1 = i ∈ I, = λ ∈ Λ} 3.4 Bài toán cực trị nửa nhóm ma trận Rees Ví dụ 3.4.1 Cho G nhóm hữu hạn sinh phần tử a1 , , a9 Gọi S nửa nhóm ma trận Rees M(G; I, Λ; P ) I = Λ = {1, 2, 3, 4}   1  1  P =  1   1 1  a1 a2 a3    a4 a5 a6   a7 a8 a9 Khi nhóm H G sinh tập A = {pλi |1 = i ∈ I, = λ ∈ Λ} G, nên rank(S) = max(|I|, |Λ|, rank(G : G)) = max(4, 4, 1) = < = rank(G) Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 Như vậy, cho nhóm hữu hạn G giá trị nhỏ hạng nửa nhóm ma trận Rees (0-) đơn M(G; I, Λ; P ) (M0 (G; I, Λ; P )) gì? Định lý 3.4.1 Nếu G nhóm hữu hạn có rank(G) = r với nửa nhóm ma trận Rees M(G; I, Λ; P ) với P có dạng chuẩn, ta có: √ 4r − Ngoài ra, tồn nửa nhóm M(G; J, K; Q) có hạng rank(M(G; I, Λ; P )) ≥ 1+ √ 1+ 4r−3 Hệ 3.4.1 Nếu G nhóm hữu hạn có rank(G) = r với nửa nhóm ma trận Rees 0-đơn đầy đủ M0 (G; I, Λ; P ), ta có rank(M0(G; I, Λ; P )) ≥ Footer Page 25 of 126 1+ √ 4r − 24 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, nửa nhóm có tầm quan trọng phát triển lý thuyết nửa nhóm Việc khảo sát nửa nhóm dựa việc nghiên cứu quan hệ Green, iđêan trái phải 0-tối tiểu cấu trúc D -lớp quy Thông thường nửa nhóm biểu diễn phép biến đổi tập Trong luận văn này, đề cập đến nửa nhóm mà biểu diễn ma trận nhóm với phần tử không G0 , gọi nửa nhóm ma trận Rees Định lý Rees khẳng định nửa nhóm 0-đơn đầy đủ đẳng cấu với nửa nhóm ma trận Rees nhóm với phần tử không, định lý có ảnh hưởng lớn đến phát triển sau lý thuyết nửa nhóm Luận văn cho thấy tính chất liên thông nửa nhóm 0-đơn đầy đủ nửa nhóm ma trận Rees thể thông qua đồ thị Nửa nhóm liên thông đồ thị liên thông Những kết quan trọng luận văn tìm kiếm tập sinh tốt có thể, từ thiết lập công thức tính hạng cho nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông nửa nhóm ma trận Rees Ngoài ra, luận văn giải vấn đề toán cực trị cho hạng nửa nhóm ma trận Rees nhóm G Kết cho thấy cho G nhóm hữu hạn hạng nửa nhóm ma trận Rees G lớn số m, m biểu diễn thông qua hạng G Khi tồn nửa nhóm ma trận Rees G có hạng m Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, chưa nghiên cứu sâu tính chất khác nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông thông qua nửa nhóm ma trận Rees Và hướng để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau Footer Page 26 of 126 ... khái niệm kết iđêan 0-tối tiểu, nửa nhóm 0-đơn, nửa nhóm 0-đơn đầy đủ, nửa nhóm 0-đơn đầy đủ liên thông • Nửa nhóm ma trận Rees, định lý Rees, hạng nửa nhóm ma trận Rees toán cực trị chúng trình... toán cực trị cho hạng nửa nhóm ma trận Rees nhóm G Kết cho thấy cho G nhóm hữu hạn hạng nửa nhóm ma trận Rees G lớn số m, m biểu diễn thông qua hạng G Khi tồn nửa nhóm ma trận Rees G có hạng m Trong... B) ◦ C Vậy (S, ◦) nửa nhóm, gọi nửa nhóm I × Λ ma trận Rees nhóm với phần tử không G0 với ma trận đệm P , ký hiệu M0(G; I, Λ; P ) G gọi nhóm sở M0 Ta xây dựng nửa nhóm ma trận Rees theo cách sau: