Phương pháp lặp loại mann halpern cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN TÀI GIÁP PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN - HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã ngành: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Số hóa Trung tâm Học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Lời nói đầu Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn trình bày hướng dẫn tận tình đạo nghiêm khắc thầy giáo GS.TS Nguyễn Bường Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 – 2013, người đem tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn – Tin trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K5A quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, ngày 06 tháng 05 năm 2013 Tác giả Nguyễn Tài Giáp Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NĨI ĐẦU Rất nhiều toán nảy sinh lĩnh vực khác tốn học tối ưu, giải tích biến phân phương trình đạo hàm riêng mơ tả dạng phương trình x = T x, T tốn tử phi tuyến xác định không gian metric X Nghiệm phương trình gọi điểm bất động ánh xạ T Nếu T ánh xạ co khơng gian metric đầy đủ X, Ngun lý ánh xạ co Banach đảm bảo ánh xạ T có điểm bất động dãy lặp Picard {T n x} hội tụ mạnh điểm bất động ánh xạ T Tuy nhiên T ánh xạ không giãn, tức d(T x, T y) ≤ d(x, y), ∀x, y ∈ X, ta phải thêm số giả thiết đặt lên ánh xạ T số không gian định để đảm bảo cho tồn điểm bất động ánh xạ T Từ năm 60, nghiên cứu toán điểm bất động lớp ánh xạ không giãn trở thành hướng nghiên cứu sơi động giải tích phi tuyến mối liên hệ với tính chất hình học khơng gian Banach với tính chất tương ứng loại ánh xạ không giãn với lý thuyết toán tử đơn điệu toán tử J-đơn điệu Mối liên hệ lý thuyết toán tử đơn điệu lý thuyết ánh xạ khơng giãn chủ yếu dựa hai tính chất: (1) T ánh xạ khơng giãn ánh xạ bù I − T đơn điệu (2) toán tử giải tốn tử đơn điệu A khơng giãn Hơn hai trường hợp tập điểm bất động ánh xạ không giãn trùng với tập khơng gian điểm tốn tử đơn điệu Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một hướng nghiên cứu quan trọng toán điểm bất động xây dựng phương pháp lặp cho tốn Tuy nhiên, T ánh xạ khơng giãn, T có điểm bất động, dãy lặp Picard {T n x} không hội tụ trường hợp tổng qt Chính lý này, thập niên gần đây, phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach nhận quan tâm đặc biệt Những phương pháp lặp tiếng cần phải kể đến phương pháp lặp Mann phương pháp lặp Halpern Thuật toán lặp Mann đề xuất năm 1953 với dãy lặp xác định sau xn+1 = αn xn + (1 − αn )T xn , (0.1) x0 điểm C, {αn }∞ n=0 ⊂ (0, 1) Ông chứng minh hội tụ yếu dãy lặp (0.1) tới điểm bất động ánh xạ T , với T ánh xạ không giãn từ tập lồi đóng C khơng gian Hilbert vào với điều kiện dãy tham số {αn } ⊂ (0, 1) thỏa mãn điều kiện ∞ αn (1−αn ) = ∞ Năm 1967, Brower Petryshyn người đầu n=0 tiên vận dụng thuật toán lặp Mann để có hội tụ mạnh dãy lặp {xn } tới điểm bất động toán tử giả co chặt khơng gian Hilbert Thuật tốn lặp Halpern đề xuất vào năm 1967 với dãy lặp {xn } xác định sau: xn+1 = βn u + (1 − βn )T xn , n ≥ 0, u, x0 điểm cố định C dãy {βn } ⊂ (0, 1) với điều kiện ∞ βn = ∞ Tác giả chứng minh hội tụ mạnh lim βn = n→∞ n=0 phương pháp đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn T tập lồi đóng bị chặn C khơng gian Hilbert Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Đã có nhiều kết công bố phương pháp lặp cho tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn dựa ý tưởng phương pháp lặp Mann Halpern Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm không giãn không gian Hilbert dựa báo GS.TS Nguyễn Bường năm 2011 Nội dung luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh sách tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày khái niệm vấn đề liên quan đến luận văn Chương 2: Trình bày phương pháp lặp loại Mann-Halpern cho ánh xạ nửa nhóm không giãn Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ không giãn phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H Rn x∈D x∈D ∀x ∃x ∅ ∩ ∪ x := y X∗ int X x, y không gian Hilbert thực tập hợp số thực x thuộc tập D x không thuộc tập D với x tồn x tập hợp rỗng phép giao tập hợp phép hợp tập hợp x định nghĩa y không gian liên hợp X phần tập X tích vơ hướng x y Số hóa Trung tâm Học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Chương trình bày số định nghĩa, tính chất giải tích hàm hai phương pháp lặp cổ điển phương pháp lặp Mann Halpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn 1.1 Khơng gian Hilbert, không gian định chuẩn không gian Banach Định nghĩa 1.1: Cho X khơng gian tuyến tính R Một tích vơ hướng X ánh xạ , : X × X → R thoả mãn điều kiện sau: i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X; iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R; iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X Khơng gian tuyến tính X tích vơ hướng , gọi khơng gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Định nghĩa 1.2: Không gian định chuẩn thực khơng gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thoả mãn điều kiện: x > 0, ∀x = 0, αx = α x+y ≤ x x = ⇔ x = 0; x , ∀x ∈ X, α ∈ R; + y , ∀x, y ∈ X Một không gian định chuẩn đầy đủ không gian Banach Định nghĩa 1.3: Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương X ánh xạ φ : X × X → K thỏa mãn điều kiện: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ a)φ (x + y, z) = φ (x, z) + φ (y, z) (∀x, y, z ∈ X) ; b)φ (λx, y) = λφ (x, y) (∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K) ; c)φ (y, x) = φ (x, y) (∀x, y ∈ X) ; φ (x, y) số phức liên hợp số φ (x, y) d) φ (x, x) = (x, y) Khi ta ký hiệu φ (x, x) = (x, y) Điều sau hiển nhiên Định lý 1.1: Nếu x → x chuẩn E d(x, y) = x − y mêtric E, mêtric thỏa mãn d(x+z,y+z) = d(x,y) d(λx, λy) = λd (x, y) với x, y, z ∈ E, λ ∈ K Một không gian định chuẩn không gian vectơ với chuẩn Khơng gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn Định lý 1.2: Chuẩn x → x hàm liên tục từ E vào R Chứng minh Theo Định nghĩa 1.2 | x − y | ≤ x − y y ≤ x − y + x từ | x − y | ≤ x − y Vậy chuẩn hàm liên tục Định lý 1.3: Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi ánh xạ (x, y) → x + y từ E × E vào E (λ, x) → λx từ K × E vào E liên tục Chứng minh: Giả sử (x, y) (x0 , y0 ) ∈ E × E Ta có : (x + y) − (x0 + y0 ) = (x − x0 ) + (y + y0 ) ≤ (x − x0 + (y + y0 ) Điều cho ta tính liên tục ánh xạ (λ, x) → λx điểm (λ0 , x0 ) Định lý 1.4: Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi với a ∈ E ánh xạ x → a + x phép đồng phôi đẳng cự (tức bảo tồn khoảng cách) từ E lên E với λ ∈ K, λ = ánh xạ x → λx Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ phép đồng phôi E lên E Chứng minh: Dễ thấy ánh xạ song ánh Kết luận tính liên tục hai chiều suy từ đẳng thức : (a + x) − (a + y) = x − y , λx − λy = |λ| x − y Hệ 1.1: Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi điều kiện sau tương đương a.U lân cận điểm ∈ E, b.αU lân cận với α = 0, c.a + U lân cận a với a ∈ E Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ (với mêtric sinh chuẩn) Ví dụ 1.1: Khơng gian định chuẩn, không gian Banach a) Xét không gian vectơ K n Với x = (x1 , xn ) đặt: 1/2 n |xi | x = , i=1 n x x |xi | , = = sup |xi | i=1 1≤i≤n Ta nhận ba chuẩn khác K n Các chuẩn tương đương với ( tức sinh tôpô K n ) K n với chuẩn gọi khơng gian Euclide b) Kí hiệu C [a, b] không gian vectơ hàm liên tục từ đoạn [a, b] ⊂ R vào K ( K – khơng gian vectơ với phép tốn hàm) C [a, b] không gian định chuẩn với chuẩn f = sup |f (x)| x∈[a,b] Dãy fn → g C [a, b] có nghĩa fn − g → hay sup |f (x) − g(x)| = Cn → Theo giải tích cổ điển điều có nghĩa x∈[a,b] Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 11 λx + (1 − λ)y ≤ λ x + (1 − λ) y < λε + (1 − λ)ε = ε Nên λx + (1 − λ)y ∈ Bε Vậy Bε tập lồi Để xét tính bị chặn Bε ta lấy tùy ý lân cận U điểm Khi tồn n ∈ N để B 0, nε ⊂ U Từ Bε ⊂ nB 0, nε ⊂ nU 1.3 Khơng gian lp Với p ≥ ta ký hiệu lp tập tất dãy x = (xn ) phần ∞ tử K cho |xn |p < ∞ Với dãy n=1 x = (xn ), y = (yn ), λ ∈ K, đặt x + y = (xn + yn ) λx = (λxn ) ta có phép tốn để biến lp thành không gian vectơ trường K Định lý 1.6: Với p ≥ 1, lp không gian Banach với chuẩn 1/p ∞ x p p |xn | = n=1 Chứng minh: Xét tập X = (0, +∞) ⊂ R Với dãy x = (xn ) ∈ lp đặt tương ứng với hàm: f : X → K, xác định f (x) = xn x ∈ (n − 1, n] Rõ ràng x p = f p xn ∈ lp f ∈ Lp (X) Do lp coi không gian Lp (X) Điều cho ta kết luận lp không gian định chuẩn với chuẩn Giả sử {fk } dãy Cauchy lp Khi dãy Cauchy Lp (X) fk → f ∈ Lp (X) Bởi fk = const đoạn (n − 1, n] nên f = const đoạn (n − 1, n] Điều có nghĩa f ∈ lp lp đầy đủ Ví dụ 1.2: Trong khơng gian l2 ta đưa vào tích vơ hướng : ∞ (x, y) = ξn η n , n=1 (x = (ξ1 ξ2 , ) ∈ l2 , y = (η1 η2 , ) ∈ l2 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 12 ∞ Khi đó: x = ( |ξn |2 )1/2 n=1 Không gian l2 đầy đủ chuẩn Vậy l2 khơng gian Hilbert 1.4 Tốn tử đơn điệu Cho X khơng gian Banach thực, A : D(A) → X ∗ toán tử với miền xác định D(A) = X miền ảnh R(A) nằm X ∗ Định nghĩa 1.5: Toán tử A gọi 1) Đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A); 2) Đơn điệu chặt dấu xảy x = y; 3) Đơn điệu tồn hàm không âm δ(t) không giảm với t ≤ 0, δ(t) = A(x) − A(y), x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D(A) Nếu δ(t) = cA t2 với cA số dương tốn tử A gọi đơn điệu mạnh Chú ý 1.1: Trong trường hợp A toán tử tuyến tính tính đơn điệu tương đương với tính khơng âm tốn tử 1.5 Ánh xạ chiếu Mêtric Cho H khơng gian Hilbert với tích vơ hướng , chuẩn , D tập lồi đóng, khác rỗng H Định nghĩa 1.6: Với điểm x ∈ H, tồn điểm gần x D, kí hiệu PD (x) Điểm thỏa mãn x − PD (x) ≤ x − y , ∀y ∈ D Ánh xạ PD gọi phép chiếu Mêtric H lên D, tức là: PD (x) − PD (y) ≤ x − y , ∀x, y ∈ H Phép chiếu PD xác định PD (x) ∈ D x − PD (x), PD (x) − y ≥ 0, ∀x ∈ H, ∀y ∈ D có tính chất x−y ≥ x − PD (x) Số hóa Trung tâm Học liệu + y − PD (x) , ∀x ∈ H, ∀y ∈ D http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 13 1.6 Phương pháp lặp Mann, Halpern cho ánh xạ không giãn 1.6.1 Phương pháp lặp Mann Năm 1953, Mann [1] nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), x1 ∈ C, n ≥ 1, gọi dãy lặp Mann chuẩn tắc Ông chứng minh rằng, dãy ∞ {αn } chọn cho αn (1 − αn ) = ∞ dãy {xn } hội tụ yếu n=1 điểm bất động ánh xạ T , với T : C → C ánh xạ không giãn từ tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H vào Tuy nhiên, trường hợp H khơng gian Hilbert vơ hạn chiều dãy lặp hội tụ yếu mà không hội tụ mạnh 1.6.2 Phương pháp lặp Halpern Tiếp theo, mục đề cập đến phương pháp lặp Halpern [2] đề xuất năm 1967 dạng xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0, (1.1) u, x0 ∈ C, {αn } ⊂ [0, 1] T ánh xạ không giãn từ tập lồi đóng C khơng gian Hilbert H C Ông chứng minh αn = n−α , α ∈ (0, 1) dãy {xn } xác định (1.1) hội tụ yếu điểm bất động T Số hóa Trung tâm Học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN – HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN [8] 2.1 Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ không giãn Bổ đề 2.1 [5] Cho H khơng gian Hilbert thực, ta có đồng thức: x−y = x 2 − y − x − y, y Bổ đề 2.2 [3].Cho C tập hợp đóng lồi khác rỗng không gian Hilbert thực H Với x ∈ H, tồn phần tử z ∈ C cho z − x ≤ y − x với y ∈ C, z = PC (x) z − x, y − z ≥ với y ∈ C, PC hình chiếu từ H C Bổ đề 2.3 (Nguyên lý nửa đóng) [6] Nếu C tập hợp lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H, T ánh xạ không giãn C, {xn } dãy C thỏa mãn xn x xn − T xn → 0, x − T x = Bổ để 2.4 Mọi khơng gian Hilbert thực H có tính chất Randon-Riesz tính chất Kadec-Klee, tức với dãy {xn } ⊂ H với xn x xn → x , xn → x Bây giới thiệu chứng minh kết dãy lặp ánh xạ không giãn sau x0 ∈ H bất kỳ, zn = αn PC (xn ) + (1 − αn )T PC (xn ), yn = βn x0 + (1 − βn )T zn , Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0; (2.1) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 Định lý 2.1 Cho C tập hợp lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H cho T ánh xạ không giãn C với F (T ) = ∅ Giả sử {αn } {βn } dãy số [0,1] cho αn → βn → Khi đó, dãy {xn }, {yn } {zn } định nghĩa (2.1) hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Trước hết, ta có bất đẳng thức yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z ) tương đương với (1 − βn )xn + βn x0 − yn , z ≤ xn − yn , xn − yn − x n 2 + βn x0 Vì vậy, Hn nửa khơng gian Rõ ràng là: F (T ) = F (T PC ) := {p ∈ H : T PC (p) = p}, với ánh xạ T từ C vào C Như vậy, tính lồi tính chất không giãn PC , ta thu với p ∈ F (T ) ta có zn − p = αn PC (xn ) − p + (1 − αn )T PC (xn ) = αn (PC (xn ) − PC (p)) + (1 − αn )[T PC (xn ) − T PC (p)] ≤ αn x n − p + (1 − αn ) PC (xn ) − PC (p) 2 ≤ xn − p Bằng lập luận tương tự Bổ đề 2.1 với x = x0 − p y = xn − p, ta thu được: yn − p = βn x0 + (1 − βn )T zn − p ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) T zn − T p ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) zn − p ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) xn − p = xn − p + βn ( x0 − p = xn − p + βn ( x0 Số hóa Trung tâm Học liệu 2 − xn − p ) + xn − x0 , p ) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 Do đó, p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa F (T ) ⊂ Hn với n ≥ Tiếp theo, ta F (T ) ⊂ Hn ∩ Wn với n ≥ Bằng quy nạp Với n = 0, ta có W0 = H, F (T ) ⊂ H0 ∩ W0 Giả sử xi biết F (T ) ⊂ Hi ∩ Wi với i > Tồn phần tử xi+1 ∈ Hi ∩ Wi cho xi+1 = PHi ∩Wi (x0 ) Do đó, theo Bổ đề 2.2 ta có: xi+1 − x0 , p − xi+1 ≥ với p ∈ Hi ∩ Wi Vì F (T ) ⊂ Hi ∩ Wi , nên F (T ) ⊂ Wi+1 Vậy, ta có F (T ) ⊂ Hi+1 ∩Wi+1 Hơn nữa, F (T ) tập lồi, khác rỗng H, nên tồn phân tử u0 ∈ F (T ) cho u0 = PF (T ) (x0 ) Từ xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), ta nhận được: xn+1 − x0 ≤ z − x0 với z ∈ Hn ∩ Wn Từ u0 ∈ F (T ) ⊂ Wn , ta thu được: xn+1 − x0 ≤ u0 − x0 n ≥ (2.2) Điều chứng tỏ {xn } dãy bị chặn Do {PC T PC (xn )}, {zn } {T zn } bị chặn Tiếp theo, ta rằng: lim xn+1 − xn = n→∞ Từ định nghĩa Wn Bổ đề 2.2 dẫn đến xn = PWn (x0 ) Vì xn+1 ∈ Hn ∩ Wn , nên ta có xn+1 − x0 ≥ xn − x0 n ≥ Do đó, { xn − x0 } không giảm bị chặn Vậy tồn lim xn − x0 = c Mặt khác, xn+1 ∈ Wn , ta có n→∞ xn − x0 , xn+1 − xn ≥ Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.3) 17 xn − xn+1 = xn − x0 − (xn+1 − x0 ) = xn − x0 2 − xn − x0 , xn+1 − x0 + xn+1 − x0 ≤ xn+1 − x0 − xn − x0 2 ∀n ≥ Do vậy, (2.3) suy từ bất đẳng thức lim xn − x0 = c n→∞ Do αn → {xn }, {T PC (xn )} dãy bị chặn, từ (2.1) ta có: lim zn − PC (xn ) = lim (1 − αn ) PC (xn ) − T PC (xn ) = n→∞ n→∞ (2.4) Mặt khác, xn+1 ∈ Hn nên yn − xn+1 ≤ xn − xn+1 + βn ( x0 + xn − x0 , z )} Do đó, từ (2.3), tính bị chặn {xn }, βn → bất đẳng thức kéo theo: lim yn − xn+1 = (2.5) n→∞ Điều với (2.3) dẫn đến lim yn − xn = (2.6) n→∞ Chú ý T zn = yn − βn (xn − T zn ) + βn (xn − x0 ), nên ta có xn − T zn ≤ xn − yn + βn xn − T zn + βn xn − x0 Từ (2.2) bất đẳng thức trên, suy ra: xn − T zn ≤ 1 − βn xn − yn + βn u0 − x0 Do βn → (βn ≤ − β với β ∈ (0, 1)), (2.4) bất đẳng thức cuối ta nhận được: lim xn − T zn = n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (2.7) 18 Từ zn ∈ C T : C → C, ta có T zn = PC (T zn ) zn − T zn ≤ zn − PC (xn ) + PC (xn ) − PC (T zn ) ≤ zn − PC (xn ) + xn − T zn Vì từ (2.4), (2.7) bất đẳng thức trên, ta suy ra: lim zn − T zn = (2.8) n→∞ Do {xn } bị chặn nên tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu tới phân tử p ∈ H j → ∞ Từ (2.7) (2.8), ta có {znj } hội tụ yếu đến p Từ {zn } ⊂ C, thu p ∈ C Do Bổ đề (2.3) (2.8), suy p ∈ F (T ) [4] Từ (2.2) tính nửa liên tục yếu chuẩn dẫn đến x0 −u0 ≤ x0 −p ≤ lim inf j→∞ x0 −xnj ≤ lim sup x0 −xnj ≤ x0 −u0 j→∞ Do vậy, ta nhận lim x0 − xnj = x0 − u0 = x0 − p j→∞ Điều kéo theo xkj → p = u0 Bổ đề 2.4 Do tính hình chiếu u0 = PF (T ) (x0 ), nên ta có xn → u0 Từ (2.6) (2.7)-(2.8), ta thu được: yn → u0 zn → u0 Định lý chứng minh Hệ 2.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hibert thực H T : C → H ánh xạ không giãn với F (T ) = Giả sử {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn βn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định : x0 ∈ H phần tử yn = βn x0 + (1 − βn )T PC (xn ), Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Đặt αn ≡ Định lý 2.1, ta điều chứng minh Hệ 2.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hibert thực H T : C → H ánh xạ không giãn với F (T ) = ∅ Giả sử {αn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định bởi: x0 ∈ H phần tử yn = T (αn PC (xn ) + (1 − αn )T PC (xn )), Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z }, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh u0 = PF (T ) (x0 ), n → ∞ 2.2 Phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Ta chứng minh kết dãy lặp nửa nhóm khơng giãn sau: x0 ∈ H bất kỳ, tn zn = αn PC (xn ) + (1 − αn ) T (s)PC (xn )ds, tn tn yn = βn x0 + (1 − βn ) T (s)zn ds, tn Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 (2.9) + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, n ≥ 0, Bổ đề 2.5 [7] Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng khơng gian Hibert thực H {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 xạ khơng giãn C Khi đó, với h > t lim sup sup T (h) t t→∞ y∈C T (s)yds − t t T (s)yds = 0 Định lý 2.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ không giãn C với F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {αn } {βn } dãy số [0,1] thỏa mãn αn → βn → 0, {tn } dãy số thực dương phân kì Khi đó, dãy {xn }, {zn } {yn }, xác định (2.9) hội tụ u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Với p ∈ F, ta có p = PC (p) = T (s)PC (p), với s > 0, từ (2.1) tính chất lồi , ta thu được: zn − p = αn (PC (xn ) − p) + (1 − αn ) tn tn T (s)PC (xn )ds − p = αn (PC (xn ) − PC (p)) tn + (1 − αn ) tn [T (s)PC (xn ) − T (s)PC (p)]ds tn ≤ αn xn − p + (1 − αn ) T (s)PC (xn ) − T (s)PC (p) ds tn ≤ αn xn − p + (1 − αn ) PC (xn ) − PC (p) 2 ≤ xn − p Bằng cách lập luận tương tự, ta thu yn − p tn = βn (x0 − p) + (1 − βn ) T (s)zn ds − p tn tn ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) [T (s)zn − T (s)p]ds tn ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) zn − p 2 ≤ βn x0 − p + (1 − βn ) xn − p = xn − p + βn ( x0 − p ≤ xn − p + βn ( x0 Soá hóa Trung tâm Học liệu 2 − xn − p ) + xn − x0 , p ) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 Do đó, p ∈ Hn với n ≥ Điều có nghĩa F ⊂ Hn với n ≥ Tương tự chứng minh định lý trên, ta nhận tính chất sau: (i) F ⊂ Hn ∩ Wn , xn+1 − x0 ≤ u0 − x0 , u0 = PF (x0 ) với n ≥ Điều kéo theo {xn } bị chặn Do dãy tn tn T (s)PC (xn )ds , {zn } tn tn T (s)zn ds (2.10) bị chặn (ii) lim xn+1 − xn = 0, n→∞ lim zn − PC (xn ) = 0, n→∞ lim yn − xk+1 = 0, n→∞ lim yn − xn = n→∞ lim xn − n→∞ tn tn T (s)zn ds = lim zn − n→∞ tn tn T (s)zn ds = (2.11) Bởi {xn } dãy bị chặn nên tồn dãy {xnj } {xn } hội tụ yếu đến phần tử p ∈ H j → ∞ Do theo (2.11), dãy {znj } hội tụ yếu đến p p ∈ C Mặt khác, với h > 0, có tn ≤ T (h)zn − T (h) T (s)zn ds tn tn tn + T (h) T (s)zn ds − T (s)zn ds tn tn tn + T (s)zn ds − zn tn T (h)zn − zn ≤2 tn tn T (s)zn ds − zn + T (h) tn tn T (s)zn ds − tn Số hóa Trung tâm Học liệu (2.12) tn T (s)zn ds http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 Đặt C0 = {z ∈ C : z − u0 ≤ x0 − u0 } Do u0 = PF (x0 ) ∈ C, từ (2.9) (2.10) suy zn − u0 = αn (PC (xn ) − u0 ) + (1 − αn ) tn tn T (s)PC (xn )ds − u0 = αn [PC (xn ) − PC (u0 )] tn tn + (1 − αn ) T (s)PC (xn )ds − T (s)PC (u0 )ds tn tn ≤ αn xn − u0 tn + (1 − αn ) [T (s)PC (xn ) − T (s)PC (u0 )]ds tn ≤ xn − x0 + x0 − u0 ≤ x0 − u0 Do vậy, C0 tập lồi đóng khác rỗng bị chặn Dễ dàng thấy {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C0 Từ Bổ đề 2.4, ta thu lim T (h) n→∞ tn tn T (s)zn ds − tn tn T (s)zn ds = 0 với h > cố định từ (2.11)-(2.12) ta nhận được: lim T (h)zn − zn = n→∞ với h > từ Bổ đề (2.3), suy p ∈ F (T (h)) với h > Điều có nghĩa p ∈ F Theo chứng minh Định lý 2.1 sử dụng (2.10) (2.11), ta thu {xn }, {yn } {zn }, xác định (2.9) hội tụ mạnh u0 n → ∞ Định lý chứng minh Hệ 2.3 Cho C tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H {T (t) : t > 0} nửa nhóm ánh xạ khơng giãn C với F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {βn } dãy [0,1] thỏa Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 23 mãn βn → Khi đó, dãy {xn } {yn }, xác định x0 ∈ H phần tử bất kỳ, tn yn = βn x0 + (1 − βn ) T (s)PC (xn )ds, tn Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z + βn ( x0 + xn − x0 , z )}, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Đặt αn ≡ Định lý 2.2, ta nhận điều phải chứng minh Hệ 2.4 Cho C tập hợp khơng rỗng đóng lồi khơng gian Hilbert thực H cho {T (t) : t > 0} nửa nhóm khơng giãn C cho F = ∩t>0 F (T (t)) = ∅ Giả sử {αn } chuỗi [0,1] thỏa mãn αn → Thì {xn } {yn }, xác định x0 ∈ H phần tử bất kỳ, tn yn = T (s) αn PC (xn ) + (1 − αn ) tn tn Hn = {z ∈ H : yn − z ≤ xn − z }, tn T (s)PC (xn )ds ds, Wn = {z ∈ H : xn − z, x0 − xn ≥ 0}, xn+1 = PHn ∩Wn (x0 ), n ≥ 0, hội tụ mạnh đến điểm u0 = PF (x0 ), n → ∞ Chứng minh: Đặt βn ≡ Định lý 2.2, ta nhận điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 24 KẾT LUẬN Với mục đích tìm hiểu trình bày lại phương pháp lặp loại MannHalpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn Trong luận văn tơi trình bày vấn đề sau: - Trình bày định nghĩa tính chất không gian Hilbert, không gian định chuẩn không gian Banach, tập lồi tập bị chặn, tốn tử đơn điệu - Trình bày phương pháp lặp Mann-Halpern cổ điển để tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn - Trình bày lại phương pháp lặp loại Mann-Halpern để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn T điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn {T (t) : t > 0} Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 25 Tài liệu tham khảo [1] W.R Mann, Mean value methods in iteration, Proc Amer Math Soc 4: 506-510 (1953) [2] B Halpern, Fixed points of nonexpanding mapps, Bull Am.Math Soc 73: 957-961 (1967) [3] C Martinez-Yanes, H.K Xu, Strong convergence of the CQ method for fixed iteration processes, Nonl Anal 64: 2400-2411 (2006) [4] Nguyen Buong, Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces, Applied Math and Comp 217:322-329(2010) [5] G Marino and H.K Xu, Weak and strong convergence theorems for stric pseudo-contractions in Hilbert spaces, J Math Anal Appl 329: 336-346 (2007) [6] K Goebel and W.A Kirk, Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Studies in Advanced Math., V 28, Cambridge Univ Press, Cambridge 1990 [7] T Shimizu, W Takahashi, Strong convergence to common fixed points of families of nonexpansive mappings, J Math Anal Appl 211: 71-83 (1997) [8] Nguyen Buong and Nguyen Duc Lang, Hybrid Mann-Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups Applied Mathematics and Computation 218:2459-2466(2011) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... động ánh xạ không giãn dựa ý tưởng phương pháp lặp Mann Halpern Trong luận văn này, chúng tơi trình bày lại phương pháp lặp loại Mann- Halpern cho toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn nửa nhóm. .. Trình bày phương pháp lặp loại Mann- Halpern cho ánh xạ nửa nhóm khơng giãn Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ khơng giãn phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn Số hóa... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 14 Chương PHƯƠNG PHÁP LẶP LOẠI MANN – HALPERN CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHÓM KHÔNG GIÃN [8] 2.1 Sự hội tụ mạnh đến điểm bất động ánh xạ không giãn Bổ đề 2.1 [5] Cho H không gian Hilbert thực,