Phương pháp thu hẹp và loại đường dốc nhất cho ánh xạ và nửa nhóm không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thu Tính PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thu Tính PHƯƠNG PHÁP THU HẸP VÀ LOẠI ĐƯỜNG DỐC NHẤT CHO ÁNH XẠ VÀ NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Khơng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Khai triển trực giao. Tốn tử chiếu . . . . . . . . 5 1.1.3 Mối quan hệ giữa chuẩn và tích vơ hướng . . . . 6 1.2 Ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn . . . . . . 7 1.2.1 Ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . 8 2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 10 2.1 Một số phương pháp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 Tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn . . . 11 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 i Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 ii Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cám ơn Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn Bường. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TS. Nguyễn Bường, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn-Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hồn thành bản luận văn. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, lãnh đạo cơ quan đơn vị cơng tác, bạn bè, đồng nghiệp những người đã tạo điều kiện, động viên tác giả hồn thành luận văn này. Tác giả Nguyễn Thị Thu Tính iii Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu H Khơng gian Hilbert thực. ∅ Tập rỗng. M ⊥ Phần bù trực giao của M . I Tốn tử đồng nhất. A ∗ Tốn tử liên hợp của tốn tử A. N(A) Khơng gian con khơng của tốn tử A. R(A) Miền giá trị của tốn tử A. P C x Phép chiếu của phần tử x lên tập C. F Tập các điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0}. F (T ) Tập các điểm bất động của ánh xạ T.  Hội tụ yếu. → Hội tụ mạnh. iv Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Cho C là một tập con của khơng gian X và T là một ánh xạ từ C vào X. Có tồn tại hay khơng một điểm x 0 trong C sao cho T x 0 = x 0 ? Và có thể có những cách nào để tìm ra điểm x 0 hay xấp xỉ điểm x 0 như vậy? Điểm x 0 như vậy được gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Lý thuyết điểm bất động ra đời từ rất sớm và đã được mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ Lipschitz khác nhau như ánh xạ khơng giãn tiệm cận, ánh xạ Lipschitz đều (hệ số Lipschitz lớn hơn 1 thực sự). Lý thuyết điểm bất động gắn liền với tên tuổi nhiều nhà tốn học lớn như Brouwer, Bannach, Schauder, Kakutani, Tikhonov, Browder, Ky Fan, Có nhiều định lý khơng chỉ đề cập đến sự tồn tại điểm bất động của một ánh xạ mà nó còn đề cập đến vấn đề xấp xỉ điểm bất động. Phương pháp tìm điểm bất động của ánh xạ nói chung là một trong những kết quả kinh điển được nghiên cứu, có nhiều ứng dụng thực tiễn. Các phương pháp này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về một cải biên mới trong phương pháp đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, dựa trên cơ sở bài báo của GS.TS.Nguyễn Bường. Đồng thời khái qt lại một số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và một số phương pháp tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, được tổng hợp từ những tài liệu đã được cơng bố. Luận văn gồm 2 chương với những nội dung chính sau đây: 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi luận văn. Chương 2. Trình bày một số phương pháp tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn, bao gồm một số phương pháp cơ bản và một số mở rộng của chúng. Đặc biệt, ở chương này chúng tơi trình bày một số cải biên của phương pháp đường dốc nhất cùng với một số phương pháp đã được biết đến trong các tài liệu của Takahashi, Alber, Solodov, Saejung Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn! 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này chúng tơi sẽ nhắc lại một số định nghĩa, một số định lí và bổ đề cơ bản trong khơng gian Hilbert. 1.1 Khơng gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Giả sử E là khơng gian véc tơ trên trường K. Tích vơ hướng trên E là ánh xạ ϕ : E × E → K thỏa mãn (i) ϕ(x, x) > 0 nếu x = 0; và nếu ϕ(x, x) = 0 thì x = 0. (ii) ϕ(x, y) = ϕ(y, x). (iii) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y). (iv) ϕ(x 1 + x 2 , y) = ϕ(x 1 , y) + ϕ(x 2 , y). Kí hiệu ϕ(x, x) = x, x. Khi đó x =  x, x. xác định một chuẩn trên E. 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.2. Khơng gian E cùng với tích vơ hướng trên nó gọi là khơng gian tiền Hilbert. Một khơng gian tiền Hilbert đủ được gọi là khơng gian Hilbert. Một khơng gian tiền Hilbert khơng đủ bao giờ cũng có thể bổ sung thành một khơng gian Hilbert. Khơng mất tính tổng qt, trong luận văn này, chúng tơi thống nhất dùng kí hiệu H để kí hiệu khơng gian Hilbert. Ví dụ 1.3. Trong C n , với x = (ξ 1 , ξ 2 , , ξ n ), y = (η 1 , η 2 , , η n ), ta đặt: x, y = n  i=1 ξ i η i . Khi đó, C n là một khơng gian Hilbert. Ví dụ 1.4. Trong L 2 [a, b] ta đưa vào tích vơ hướng: x, y = b  a x(t)y(t)dt, (x(t), y(t) ∈ L 2 [a, b] thì L 2 [a, b] là một khơng gian Hilbert. 1.1.1 Sự hội tụ yếu Định nghĩa 1.5. Dãy {x n } trong khơng gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H, nếu: lim n→∞ x n , y = x, y, ∀y ∈ H . Sau đây, chúng tơi sẽ dùng kí hiệu  và → tương ứng biểu thị cho sự hội tụ yếu và mạnh. Mệnh đề 1.6. Giả sử H là khơng gian Hilbert, x n  x và y n → y. Khi đó, x n , y n  → x, y. Định lý 1.7. Giả sử H là khơng gian Hilbert, x n  x trong H và x n  → x. Khi đó, x n → x. 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... số phương pháp cơ bản Phần này chúng tơi sẽ trình bày một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ khơng giãn cùng với một số mở rộng của nó Chẳng hạn như phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp đường dốc nhất đối với ánh xạ khơng giãn và phương pháp lặp Mann-Halpern đối với nửa nhóm khơng giãn. .. hiểu và trình bày lại một số kiến thức cơ bản của giải tích liên quan đến vấn đề tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn và điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trong khơng gian Hilbert Qua đó, làm quen với một số mở rộng của một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động của ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn Ngồi ra, chúng tơi cũng đã trình bày rõ một cải biên mới trong phương pháp đường. .. Kadec-Klee, tức là với dãy {xn } ⊂ H thỏa mãn xn và xn → x , thì xn → x 9 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x Chương 2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Cho H là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng và chuẩn được biểu thị bởi ký hiệu lần lượt là , và , và cho C là một tập hợp con lồi giới nội, khác rỗng... số cố định và mọi x, z ∈ X thì F được gọi là ánh xạ Lipschitz Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz L(F ) của F Nếu L(F ) < 1 và X = Y, d1 = d2 , ánh xạ F được gọi là ánh xạ co với hằng số co L(F ) Nếu L(F ) = 1, ánh xạ F được gọi là ánh xạ khơng giãn 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Cho C là tập con lồi đóng của khơng gian Hilbert... đó ta có đồng nhất thức sau: (i) x − y 2 = x 2 (ii) λx + (1 − λ)y − y 2 2 − 2 x − y, y =λ x 2 + (1 − λ) y 2 − λ(1 − λ) x − y 2 , với λ ∈ [0, 1] 1.2 Ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm khơng giãn 1.2.1 Ánh xạ khơng giãn Định nghĩa 1.17 Cho (X, d1 ), (Y, d2 ) là hai khơng gian mêtric và ánh xạ F : X → Y là ánh xạ tuyến tính Nếu F thỏa mãn d2 (F x, F z) ≤ M d1 (x, z) với M là hằng số cố định và mọi x, z ∈... của x0 và F (T ) là tập các điểm bất động của T 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Nhắc lại rằng, ta kí hiệu F là tập điểm bất động chung của nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0}, nghĩa là F = ∩t>0 F (T (t)) thì F là tập lồi đóng và F = ∅ nếu C compăc (xem [6]) Năm 2003, Dựa theo thu t tốn của Solodov và Svaiter [11], Nakajo và Takahashi [8] đã đề xuất một phương pháp lặp... Với mỗi t > 0, T (t) là một ánh xạ khơng giãn trên C ; (2) T (0)x = x với mọi x ∈ C ; (3) T (s + t) = T (s) ◦ T (t) với mọi s, t > 0; và (4) Với mỗi x ∈ C , ánh xạ T (.)x biến đổi (0, ∞) vào trong C là liên tục Khi đó {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trên tập con lồi đóng C của khơng gian Hilbert Kí hiệu F là tập điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0} Nghĩa... chúng tơi giới thiệu một phương án mới của (2.11)-(2.12) trong đó Cn+1 trở thành một nửa 17 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ khơng gian Hn+1 được xác định dưới đây Cụ thể hơn, chúng tơi xét đến những thu t tốn được trình bày ở mục 2.2 và 2.3 dưới đây 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho ánh xạ khơng giãn Trong mục này chúng tơi xét đến thu t tốn sau: x0 ∈ H = H0... các phương án được đề xuất theo dạng (2.16) và (2.17) đều hội tụ mạnh tới điểm bất động chung của nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : t > 0} Bổ đề 2.6 [10] Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong khơng gian Hilbert thực H và cho {T (t) : t > 0} là một nửa nhóm ánh xạ khơng giãn trên C Khi đó, với mọi h > 0, ta có 1 lim sup sup T (h) t t→∞ y∈C t 0 1 T (s)yds − t t T (s)yds = 0 0 Định lý 2.7 Cho. .. là một ánh xạ giả co chặt và T : C → C là một ánh xạ khơng giãn Với u là một phần tử bất kỳ trong C và {αn } , {γn } , {µn } , {βn } là các dãy số nằm trong đoạn [0, 1], và p là một hằng số nào đó.(Xem trong [4]) Dựa trên phương pháp lặp Kransnocelskii-Mann tìm điểm bất động của các ánh xạ khơng giãn từ một tâp con lồi, đóng trong khơng gian Hilbert thực vào chính nó, Moudafi đã đưa ra phương pháp xấp . phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Halpern, phương pháp lặp Ishikawa, phương pháp xấp xỉ mềm, phương pháp đường dốc nhất đối với ánh xạ khơng giãn và phương pháp lặp Mann-Halpern đối với nửa. động cho ánh xạ khơng giãn . . . 11 2.1.2 Tìm điểm bất động chung cho nửa nhóm ánh xạ khơng giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất thu hẹp cho ánh xạ. bất động . . . . . . . . . . 8 2 Phương pháp lai ghép đường dốc nhất tìm điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn và nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 10 2.1 Một số phương pháp cơ bản . . . . . . . . . .