(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận

(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ TUYẾN CẬN DƯỚI CHO GIÁ TRỊ KỲ DỊ NHỎ NHẤT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ TUYẾN CẬN DƯỚI CHO GIÁ TRỊ KỲ DỊ NHỎ NHẤT CỦA MA TRẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Mã số: Tốn ứng dụng 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2016 Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Kiến thức chung ma trận 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận 1.1.2 Ma trận trực giao 1.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng 1.3 Chuẩn véc tơ chuẩn ma trận 1.4 Khai triển SVD (singular value decomposition) ma trận 4 10 Một số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận 2.1 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận đường chéo trội 2.2 Cận cho giá trị kỳ dị H - ma trận 14 14 19 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số 3.1 Ma trận affine 3.2 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận affine 3.3 Ví dụ 24 24 25 27 Kết luận Tài liệu tham khảo 29 30 Danh mục ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: Rn×m j AT A−1 SVD x A σi (A), i = 1, 2, · · · , n λi (A), i = 1, 2, · · · , n tập ma trận thực cỡ n × m phần tử nằm dòng i, cột j ma trận chuyển ma trận A ma trận nghịch đảo ma trận A phân tích giá trị kỳ dị chuẩn véc tơ x chuẩn ma trận A tập hợp giá trị kỳ dị ma trận A tập hợp giá trị riêng A R+ UA |A| kí hiệu phần khơng gian Rn+ bao đóng U định thức ma trận A ◦n i Mở đầu Giá trị kỳ dị ma trận khơng đóng vai trị quan trọng tốn học lý thuyết mà cịn tốn học ứng dụng Trong tốn học tính tốn phần cấu thành số điều kiện ma trận Đây đại lượng định tính ổn định hay khơng ổn định thuật tốn Nếu ta tìm cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận ta tìm cận cho số điều kiện ma trận Đó đại lượng thiếu đánh giá sai số Thật vậy, xét hệ phương trình tuyến tính n ẩn số, Ax = b (1) Xin lưu ý toán quan trọng bậc tốn học tính tốn để kết cuối cùng, gần toán quy liên quan đến giải hệ phương trình tuyến tính Vế phải ma trận hệ số (1) thường thu q trình đo đạc ngồi thực địa kết q trình tính tốn xấp xỉ trước Dù cách nào, A b tránh khỏi sai số mà ta ký hiệu ∆A, δ b Như đáng ra, ta có hệ (1) thực tế, ta lại có hệ (A + ∆A)x˜ = b + δ b (2) Điều quan tâm x˜ cách x bao xa độ lớn sai số Người ta ∆A < −1 b = A x − x˜ cond (A) ≤ x − A−1 ∆A đó, cond(A) = A ∆A δb + A b , (3) A−1 số điều kiện ma trận A Bất đẳng thức (3) rằng, sai số tương đối nghiệm bị chặn đại lượng phụ thuộc vào sai số tương đối liệu (tất nhiên!) vào thân ma trận hệ số Ta thấy rằng, cond (A) = A A−1 = σ1 (A) 1 , σn (A) đó, σ1 (A) σn (A) giá trị kỳ dị lớn nhỏ ma trận A Nếu ta tìm cận dương α ≤ σn (A) ta có cond(A) = σ1 (A) σ1 (A) ≤ σn (A) α (4) Thay (4) vào (3), ta thu cận cho sai số tương đối Ngồi ra, tìm cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số đóng vai trị quan trọng phương pháp giảm sở Xin xem [3] [5] để biết thêm chi tiết Chính tầm quan trọng vấn đề, chúng tơi định chọn làm đề tài luận văn thạc sĩ Để làm rõ chủ đề này, luận văn bao gồm phần sau Chương Chúng tơi trình bày số kiến thức chung ma trận khái niệm ma trận, ma trận đơn vị, ma trận trực giao, véc tơ riêng, giá trị riêng, chuẩn véc tơ chuẩn ma trận, đặc biệt dạng khai triển giá trị kỳ dị SVD ma trận Đó kiến thức bản, làm sở nghiên cứu chương sau Chương Chúng tơi trình bày số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận Trước tiên, chúng tơi trình bày vài kết liên quan đến cận cho chuẩn ma trận nghịch đảo Sau đó, dựa vào mối quan hệ chuẩn ma trận nghịch đảo giá trị kỳ dị nhỏ ma trận ta thu cận cho giá trị kỳ dị hai lớp ma trận đặc biệt: ma trận đường chéo trội H−ma trận Cuối cùng, chúng tơi đưa hai ví dụ để minh họa cho cận tìm Chương Chúng tơi trình bày kết cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số với ví dụ minh họa Trong ví dụ chương, sử dụng MATLAB phần mềm để tính tốn minh họa kết Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Nguyễn Thanh Sơn Thầy người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Sau Đại học, q thầy khoa Tốn - Tin, bạn học viên lớp cao học Toán 8a tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ, động viên suốt trình học tập nghiên cứu trường Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân gia đình, bạn bè ln động viên khích lệ tơi suốt q trình hồn thành khóa học Thái Ngun, ngày tháng năm 2016 Tác giả Bùi Thị Tuyến Chương Kiến thức chung ma trận Để phục vụ cho Chương 2, ta nhắc lại số kiến thức giúp cho việc trình bày nội dung Chương rõ ràng Trước hết, ta nhắc lại khái niệm ma trận Chương viết chủ yếu dựa vào tài liệu [1, 2, 4] 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa ma trận Định nghĩa 1.1 Ma trận bảng gồm m × n số thực xếp thành m dòng, n cột gọi ma trận cấp m × n Ký hiệu ma trận là,   a11 a12 · · · a1n  a  21 a22 · · · a2n  A =     am1 am2 · · · amn A = (ai j )m×n Trong đó, j phần tử ma trận nằm dòng i, cột j, i = 1, 2, · · · , m, j = 1, 2, · · · , n Các phần tử aii gọi phần tử nằm đường chéo Nếu m = n A gọi ma trận vuông Định nghĩa 1.2 Ma trận đơn vị ma trận vng có phần tử nằm đường chéo 1, phần tử khác có dạng sau   ··· 0 · · · 0   I =     0 ··· Định nghĩa 1.3 Ma trận đường chéo ma trận vuông có phần tử nằm ngồi đường chéo Ta đặc biệt quan tâm đến lớp ma trận đường chéo vng Ma trận đường chéo có dạng,  a11 0 a 22  D =   0  ··· ···     · · · ann Định nghĩa 1.4 Ma trận chuyển vị ma trận hàng thay cột ngược lại Ma trận chuyển vị ma trận A kí hiệu AT   a11 a21 · · · am1 a   12 a22 · · · am2  T A =     a1n a2n · · · amn Nếu A ma trận có kích thước m × n với giá trị j hàng i, cột j ma trận chuyển vị B = AT ma trận có kích thước n × m với giá trị bi j = a ji Định nghĩa 1.5 Ma trận A gọi ma trận đối xứng AT = A Ma trận đối xứng A gọi xác định dương (nửa xác định dương) xT Ax > 0, ∀x = (xT Ax ≥ 0) 1.1.2 Ma trận trực giao Định nghĩa 1.6 Ma trận vuông A gọi ma trận trực giao nếu, AT A = I, hay dạng biểu thức, n ∑ aik a jk = σi j = k=1 1, i = j 0, i = j đó, σi j kí hiệu Kronecker Tính chất 1.7 • Ma trận trực giao A khả nghịch có A−1 = AT • Ma trận A trực giao vec tơ cột hàng A tạo thành hệ trực chuẩn • Ta có |AT A| = |I| = → |A| = ±1 1.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng Định nghĩa 1.8 Cho A ma trận vuông cấp n,   a11 a12 · · · a1n a   21 a22 · · · a2n  A =     an1 an2 · · · ann Khi đó, có véc tơ x khác khơng số λ cho Ax = λ x ta nói λ giá trị riêng A x véc tơ riêng A tương ứng với giá trị riêng λ Như biết, giá trị riêng véc tơ riêng ma trận thực phức Tuy nhiên, A ma trận đối xứng giá trị riêng kéo theo véc tơ riêng thực Ta nhắc lại kết quan trọng đại số tuyến tính Đó Định lý Courant-Fischer Để tiện cho việc hiểu vận dụng, chúng tơi trích phần định lý Phát biểu đầy đủ chứng minh định lý tìm thấy [4] Định lý 1.9 (Định lý 4.2.6, [4]) Giả sử A ma trận thực đối xứng cấp n Gọi λn (A) giá trị riêng nhỏ theo nghĩa đại số Khi đó, xT Ax λn (A) = T x=0 x x Từ định lý này, ta suy hệ sau Hệ 1.10 Nếu A ma trận đối xứng xác định dương (nửa xác định dương) giá trị riêng dương (khơng âm) Kết phát biểu cho ma trận chéo cột sau Hệ 2.3 Giả sử A ma trận chéo trội cột β = min(|akk | − ∑ |a jk |) k j=k Khi đó, A−1 ≤ β Mệnh đề 2.4 Với A ma trận bất kỳ, ta ln có 2 A ≤ A A ∞ Chứng minh Chứng minh tham khảo từ tài liệu [2] Trước tiên, ta khẳng định sau đúng: cho A ∈ Rm×n Khi đó, tồn z ∈ Rn , z =1 cho, AT Az = A 2 z Thật vậy, theo định nghĩa chuẩn, tồn z ∈ Rn , z Az = A (2.3) = cho, (2.4) Đặt f (x) = Ax 22 xT AT Ax = x 22 xT x Dễ thấy z điểm cực đại hàm f (x) Từ định lý điều kiện cần, ta suy ∇ f (z) = (2.5) Bằng tính tốn cụ thể, ta thu n ∂ f (z) = ∂ zi zT z ∑ ((AT A)i j z j − (zT AT Az)z j ) j=1 (zT z)2 (2.6) Điều kiện (2.5) cho (2.6) viết gọn lại dạng ma trận, AT Az = (zT AT Az)z Đẳng thức (2.3) suy từ (2.4) (2.7) 16 (2.7) Bây giờ, ta chứng minh Mệnh đề 2.4 Từ (2.3), A 2 z = A 2 z1 = AT Az ≤ AT A = A ∞ A z 1 z 1, hay A 2 ≤ A A ∞ Định lý 2.5 Nếu A ma trận vuông chéo trội hàng chéo trội cột, σn (A) > αβ Chứng minh Từ Mệnh đề 2.2, Hệ 2.3 Mệnh đề 2.4 ta có A−1 ≤ A−1 A−1 ∞ < αβ Từ đó, A−1 −1 = σn (A) > αβ (2.8) Định lý suy từ bất đẳng thức (2.8) Định lý 1.18 Ví dụ 2.6 Xét ma trận A ∈ R10×10 ,  70 2  3  4   1 A= 0  −1  −3  −2 −4 −2 −85 −4 −3 −3 2 −5 −6 68 −1 −5 −2 −5 3 65 −3 −1 −7 12 −2 −4 3 −2 −3 3 −2 −2 −1 73 −3 −55 −6 −2 −96 12 −4 −64 −4 −9 −8 63 10 −4 −9  −5  2  4   2  5  −3  6  13  86 Dễ dàng nhận thấy ma trận A ma trận chéo trội hàng chéo trội cột Khi đó, việc sử dụng phần mềm MATLAB ta tính giá trị α = 11, β = 18, σ10 (A) lắp vào biểu thức Định lý 2.5 ta có giá trị kỳ dị nhỏ ma trận A σ10 (A) = 51, 6404 > αβ = 17 √ 11 × 18 ≈ 14, 0712 Một câu hỏi tự nhiên đặt liệu kết phát biểu mở rộng ma trận khối Phần trình bày đưa câu trả lời khẳng định Định nghĩa 2.7 Cho ma trận A dạng khối, A = (Ai j ) khối Aii ma trận vuông khả nghịch Khi đó, A gọi chéo trội khối hàng (block diagonally dominant by rows) A−1 ii −1 ∞ > ∑ Ai j ∞ j=i Mệnh đề 2.8 Giả sử A ma trận chéo trội khối hàng Đặt, α = min( A−1 ii i −1 − ∞ ∑ Ai j ∞ ) j=i Khi đó, A−1 ∞ ≤ α Chứng minh Lặp lại chứng minh Mệnh đề 2.2 ta thay |ai j | Ai j ∞ |aii | A−1 ii −1 ∞ ý Aii−1 −1 ∞ Aii y ∞ y ∞ = inf Định lý 2.9 Giả sử A thỏa mãn giả thiết Mệnh đề 2.8 thêm vào đó, A ma trận chéo trội khối cột (block diagonally dominant by columns) Đặt β = min( A−1 ii i −1 − ∞ ∑ Ai j ∞ ) j=i Khi đó, σn (A) ≥ αβ Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 2.5 có sử dụng Mệnh đề 2.4 Mệnh đề 2.8 18 2.2 Cận cho giá trị kỳ dị H - ma trận Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết liên quan đến lớp H - ma trận Nguyên liệu cho phần trình bày tham khảo từ [7] Trước tiên ta nhắc lại vài ký hiệu dùng đến mục • N = {1, 2, · · · , n}, n ≥ • Ni = N \ {i}, i = 1, 2, · · · , n • Rn+ = {v = (v1 , v2 , · · · , ), vi ≥ 0, ∀i = 1, · · · , n} ◦n • R+ = intRn+ = {v = (v1 , v2 , · · · , ), vi > 0, ∀i = 1, · · · , n} ◦n Ta viết v > thay viết v ∈ R+ Định nghĩa 2.10 Cho A ∈ Rn×n , ta định nghĩa ma trận M (A) = (αi j ) ∈ Rn×n với, αii = |aii |, αi j = −|ai j |, i = j, i, j ∈ N ◦n Tập UA ⊂ R+ định nghĩa sau UA = {u > 0, M (A)u > u ∞ = 1} Chú ý Tập UA định nghĩa tập rỗng Định nghĩa 2.11 Ma trận A ∈ Rn×n gọi M−ma trận khơng suy biến không suy biến phần tử A−1 không âm A gọi H ma trận không suy biến nếu, M (A) M - ma trận không suy biến Các khái niệm Định nghĩa 2.10 Định nghĩa 2.11 liên hệ với qua định lý sau Định lý 2.12 Với A ∈ Rn×n ma trận ba phát biểu sau tương đương, i) A H- ma trận không suy biến ii) M (A) M- ma trận không suy biến iii) UA khác rỗng 19 Bây giờ, ta giả sử A H- ma trận không suy biến, theo Định lý 2.12 đại lượng fA (u) = min{(M (A)u)i } > 0, ∀u ∈ UA i∈N (2.9) Dễ thấy hàm fA (.) hàm liên tục biến u UA tính liên tục mở rộng lên bao đóng U A Tuy nhiên, biên ∂UA fA đồng khơng Do đó, giá trị lớn fA (.) đạt phần tử u UA ˆ uˆ ∈ UA < max{ fA (u) : u ∈ U A } = fA (u), Giá trị tìm thấy bổ đề sau Bổ đề 2.13 Cho A ∈ Rn×n H− ma trận khơng suy biến Khi A−1 ≤ ∞ max{ fA (u) : u ∈ U A } (2.10) Chứng minh Với u ∈ UA , ta suy |aii | ui − ∑ j u j > 0, i ∈ N (2.11) j=i Gọi D ma trận chéo có phần tử chéo u1 , u2 , · · · , un Từ (2.11) ma trận AD ma trận chéo trội Áp dụng Mệnh đề 2.2 ta suy (AD)−1 ∞ ≤ , αAD đó, αAD đại lượng định nghĩa Mệnh đề 2.2 áp dụng cho ma trận AD Không khó để nhận fA (u) Tức (AD)−1 ∞ ≤ fA (u) (2.12) Tiếp theo ta ký hiệu A−1 = (ci j ) Khi đó, (AD)−1 = D−1 A−1 = ci j ui Vì (AD)−1 = D−1 A−1 ∞ 20 = max{ ∑ ∞ i∈N j∈N ci j } ui Nhưng ta lại có, max{ ∑ i∈N j∈N ci j }≥ ui max{ ∑ ci j } i∈N j∈N = max{u j } j∈N A−1 ∞ = A−1 max{u j } ∞ (2.13) j∈N Kết hợp (2.12) (2.13) ta thu được, A−1 ∞ ≤ , ∀u ∈ UA fA (u) điều suy khẳng định Bổ đề 2.13 Nhận xét 2.14 Giả sử A ma trận chéo trội, ta suy H - ma trận không suy biến Chọn u = [1, 1, · · · , 1] ∈ UA Khi đó, Mệnh đề 2.2 suy từ Bổ đề 2.13 Để thu kết tốt hơn, ta quan sát thấy Bổ đề 2.13 thay ma trận A ma trận B = (bi j ) cho |bi j | = |ai j |, ∀i, j Để trình bày ta ký hiệu, ΩA = {B = (bi j ) : bi j = j , i, j ∈ N} Nhận định viết dạng, B−1 ≤ ∞ , ∀B ∈ ΩA , max{ fA (u) : u ∈ U A } từ ta thu bất đẳng thức mở rộng Bổ đề 2.13 sup{ B−1 ∞ : B ∈ ΩA } ≤ max{ fA (u) : u ∈ U A } (2.14) Một câu hỏi đặt cách tự nhiên liệu đẳng thức (2.9) xảy Ta có câu trả lời mệnh đề sau Mệnh đề 2.15 Cho A ∈ Rn×n H - ma trận suy biến Khi đó, sup{ B−1 ∞ : B ∈ ΩA } = [M (A)]−1 ∞ = max{ fA (u) : u ∈ U A } Chứng minh Theo Định lý 2.12 M (A) M−ma trận không suy biến Đặt ζ := [1, 1, , 1]T , ta định nghĩa [M (A)]−1 ζ uˆ = [M (A)]−1 ζ ∞ 21 Từ định nghĩa M−ma trận, ta suy uˆ > Ngoài ra, M (A)uˆ = ζ [M (A)]−1 ζ > 0, ∞ nên uˆ ∈ UA Vì vậy, từ định nghĩa fA (.), ta suy fA (u) ˆ = [M (A)]−1 ζ = ∞ [M (A)]−1 (2.15) ∞ Mặt khác, từ (2.14) ta có, [M (A)]−1 ≤ sup{ B−1 ∞ : B ∈ ΩA } ≤ ∞ 1 ≤ fA (u) ˆ max{ fA (u) : u ∈ U A } (2.16) Kết hợp (2.15) (2.16) ta suy điều phải chứng minh Áp dụng kết cho ma trận chuyển vị với lưu ý A = AT ∞ , ta thu hệ sau Hệ 2.16 Giả sử A ∈ Rn×n H−ma trận khơng suy biến Khi đó, sup{ B−1 : B ∈ ΩA } = [M (A)]−1 = max{ fAT (u) : u ∈ U AT } Từ kết thu cận chuẩn ma trận nghịch đảo, ta đến định lý mục Định lý 2.17 Cho A ∈ Rn×n H - ma trận khơng suy biến Khi đó, σn (A) ≥ inf{σn (B) : B ∈ ΩA } ≥ { [M (A)]−1 [M (A)]−1 ≥ { fA (u) fAT (v)}−1/2 , ∀u ∈ UA , v ∈ UAT Chứng minh Ta có: σn (A) ≥ inf{σn (B) : B ∈ ΩA } = inf{ −1 , B ∈ ΩA } B (Theo Mệnh đề 2.4) 1 ≥ inf{ B−1 B−1 22 , B ∈ ΩA } ∞ ∞ }−1/2 ≥ inf{ = sup{ B−1 , B ∈ ΩA } inf{ 1 B−1 B−1 , B ∈ ΩA }−1 sup{ , B ∈ ΩA } ∞ B−1 ∞, B ∈ ΩA }−1 (Theo Mệnh đề 2.15 Hệ 2.16) = M (A)−1 −1/2 M (A)−1 −1/2 ∞ (Theo Mệnh đề 2.15 Hệ 2.16) = max{ fA (u) : u ∈ U A }1/2 max{ fAT (u) : u ∈ U AT }1/2 ≥ ( fA (u) fAT (u))1/2 Ví dụ 2.18 Xét ma trận A ∈ R2×2 , A= −1 Theo Định nghĩa 2.11 ta có ma trận A M−ma trận khơng kỳ dị Hơn nữa, cịn H− ma trận không kỳ dị Do vậy, trường hợp này, [M (A)]−1 = , [M (A)]−1 2 = ∞ Khi đó, giá trị kỳ dị nhỏ A là, inf{σ2 (B) : B ∈ ΩA } = σ2 (A) ≈ 1, 8424 > { [M (A)]−1 [M (A)]−1 √ = ≈ 1, 7321 (Theo Định lý 2.17) 23 ∞ }−1/2 Chương Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số Trong chương này, chúng tơi xét tốn chặn cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số Ta biết ma trận phụ thuộc tham số đại lượng đặc trưng chuẩn, giá trị riêng, giá trị kỳ dị phụ thuộc vào tham số Đương nhiên, cận tìm nên phụ thuộc vào tham số Do mục đích tính tốn, u cầu cận tính nhanh độ phức tạp tính tốn độc lập với cỡ ma trận Những yêu cầu khắt khe không cho phép ta xét tốn tổng qt Thay vào đó, ta đặt số điều kiện Do vậy, ma trận chương viết dựa theo tài liệu [3] 3.1 Ma trận affine Định nghĩa 3.1 Cho A(µ) Rnìn , D Rd , d ≥ Ma trận A(µ) gọi phụ thuộc affine vào tham số hay có dạng affine biểu diễn dạng, m A(µ) = ∑ qk (µ)Ak , (3.1) k=1 Ak , k = 1, 2, · · · , m ma trận hằng, qk (µ) hàm liên tục theo µ D Ma trận có dạng affine (3.1) hay xuất ta rời rạc hóa phương trình truyền nhiệt với tham số điều kiện biên 24 Định nghĩa 3.2 Ma trận A ∈ Rn×n gọi thỏa mãn điều kiện hay ngắn gọn tồn số α dương cho, vT Av ≥ α v , ∀v ∈ Rn , α gọi số ma trận A Ta dễ dàng nhận A ma trận A ma trận khả nghịch xác định dương Định nghĩa 3.3 Ma trận A(µ) gọi affine A(µ) có dạng affine, m A(µ) = ∑ qk (µ)Ak , k=1 thỏa mãn hai điều kiện sau, • qk (µ) > 0, ∀µ ∈ D, ∀k = 1, 2, · · · , m • Ak ma trận đối xứng, nửa xác định dương với ∀k = 1, 2, · · · , m Nhận xét 3.4 Dễ thấy đó, A(µ) ma trận đối xứng, nửa xác định dương 3.2 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận affine Trước trình bày kết quả, ta nhắc lại Nhận xét 1.19 Chương ma trận đối xứng, nửa xác định dương giá trị kỳ dị trùng với giá trị riêng Tức là, σi (A) = λi (A), ∀i = 1, 2, · · · , n (3.2) Do đó, phần này, khơng có phân biệt giá trị riêng giá trị kỳ dị ma trận Gọi µ0 giá trị tham số µ D Ký hiệu σn (A(µ0 )) giá trị kỳ dị nhỏ A(µ0 ) Ta có kết sau Định lý 3.5 σn (A(µ)) ≥ σn (A(µ0 )) qk (µ) =: αLB (µ) k=1,2,··· ,m qk (µ0 ) 25 (3.3) Chứng minh Từ (3.2) Định lý Courant - Fischer, ta có, σn (A(µ)) = λn (A(µ)) = infv∈Rn vT A(µ)v v 2 m vT ∑ qk (µ)Ak v k=1 = infv∈Rn v m = infv∈Rn ∑ qk (µ) k=1 m 2 vT Ak v v 2 = infv∈Rn qk (µ) vT Ak v q (µ ) k ∑ v 22 k=1 qk (µ0 ) ≥ infv∈Rn vT Ak v qk (µ) m q (µ ) ∑ k v2 k=1,2,··· ,m qk (µ0 ) k=1 m = infv∈Rn qk (µ) k=1,2,··· ,m qk (µ0 ) vT ( ∑ qk (µ0 )Ak )v k=1 v 22 vT A(µ0 )v qk (µ) infv∈Rn k=1,2,··· ,m qk (µ0 ) v qk (µ) σn (A(µ0 )) = k=1,2,··· ,m qk (µ0 ) = Nhận xét 3.6 2 • Việc tính αLB (µ) đơn giản Từ Định lý 3.5 đại lượng σn (A(µ0 )) có sẵn, ta cần tính, qk (µ) k=1,2,··· ,m qk (µ0 ) • Việc chọn giá trị µ0 để thu cận chặt (lớn hơn) câu hỏi mở Đương nhiên, ta thu cận tốt cách tiếp cận đa tham số Tức là, ta chọn nhiều giá trị µ01 , µ02 , · · · , µ0l (µ), α (µ), · · · , α l (µ) với giá trị đó, ta thu cận αLB LB LB Sau đó, cận cuối xác định thơng qua, j αLB (µ) = max {αLB (µ)} j=1,··· ,l 26 3.3 Ví dụ Xét ma trận A(µ), µ = (µ1 , µ2 ) ∈ D = [0, 10]2 , √ µ2 (µ1 − 2)2 + (µ2 − 7)2 A(µ1 , µ2 ) = A1 + cos(0.3 + )A2 , 10 đó,   801.5 −399 −399 801.5          A1 =   ∈ R100×100 ,        −399 −399 801.5 A2 ma trận chéo với đường chéo (1, 2, 3, · · · , 50, 0, 0, · · · , 80, 81, · · · , 99, 100) Dễ dàng kiểm tra A(µ) ma trận affine Để so sánh giá trị kỳ dị nhỏ nhất, cận đơn tham số đa tham số, ta chọn 40 điểm ngẫu nhiên (lấy không theo quy tắc sử dụng hàm ngẫu nhiên) miền D tính giá trị kỳ dị nhỏ cận điểm Trong cách tiếp cận đa tham số, ta chọn µ01 = (1, 1), µ02 = (5, 5), µ03 = (10, 10), µ04 = (1, 7), µ05 = (7, 1) Ta thấy rằng, trường hợp tham số, cận cách xa giá trị kỳ dị tính trực tiếp Nhưng với cách sử dụng đa tham số, cận gần trùng với giá trị thực Tổng sai số tương đối 40 giá trị cận sử dụng đa tham số so với giá trị kỳ dị xác × 10−4 Điều cho thấy tính hiệu ước lượng Kết tính tốn minh họa Hình 3.1 27 Comparison of smallest svd and lower bounds 10 true svd single LB multi LB 10 10 10 10 15 20 25 random chosen points 30 35 40 Hình 3.1: So sánh giá trị kỳ dị xác ma trận với cận 40 điểm khác miền tham số 28 Kết luận Luận văn trình bày nội dung sau đây: Nhắc lại số kiến thức ma trận, đặc biệt giá trị riêng, giá trị kỳ dị, chuẩn Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận đường chéo trội Cận cho giá trị kỳ dị H− ma trận Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số affine Đóng góp luận văn tổng hợp từ nhiều tài liệu trình bày văn thống nhất, đặc biệt việc tìm số ví dụ minh họa cho kết lý thuyết 29 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Demmel M.J (1997), Applied numerical linear algebra, SIMA Philadelphia [2] Golub H.G., Van Loan F.C (1996), Matrix computations, (3rd Ed) The Johns HopKins University Press [3] Hesthaven Jan S., Rozza Gianluigi, Stamm Benjamin (2015), Certified Reduced Basis Methods for Parametrized Partial Differential Equations, Springer Briefs in mathematics [4] Horn R A., Johnson C R (2013), Matrix Analysis, (2nd Ed) Cambridge University Press [5] Patera A.T., Rozza G (2007), Reduced Basis Approximation and A Posteriori Error Estimation for Parametrized Partical Differential Equations, Version 1.0, MIT Pappalardo Graduate Monographs in Mechanical Engineering, Massachusetts [6] Varah J.M (1975), "A lower bound for the smallest singular value of a matrix", Linear Algebra Appl., 11, pp − [7] Varga R.S (1976), "On diagonal dominance arguments for bounding A−1 ∞ ", Linear Algebra Appl., 14, pp 211 − 217 30 ... 2.2 Cận cho giá trị kỳ dị H - ma trận 14 14 19 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận phụ thuộc tham số 3.1 Ma trận affine 3.2 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận affine... A ma trận đối xứng, nửa xác định dương giá trị riêng A không âm theo mục Định lí 1.18 giá trị riêng giá trị kỳ dị 13 Chương Một số cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận 2.1 Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ. .. Luận văn trình bày nội dung sau đây: Nhắc lại số kiến thức ma trận, đặc biệt giá trị riêng, giá trị kỳ dị, chuẩn Cận cho giá trị kỳ dị nhỏ ma trận đường chéo trội Cận cho giá trị kỳ dị H− ma trận