Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp

Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp Số phức và ứng dụng trong toán tổ hợp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Trường Đại học khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN Hà Nội - 2012 Mục lục Mở đầu Số phức tính chất liên quan 1.1 Dạng đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa tính chất số phức 1.1.2 Dạng đại số số phức 1.1.3 Số phức liên hợp mô đun số phức 1.2 Biểu diễn hình học số phức 1.3 Dạng lượng giác số phức 1.3.1 Tọa độ cực số phức 1.3.2 Biểu diễn lượng giác số phức 1.3.3 Các phép toán dạng lượng giác số phức 10 1.4 10 Căn bậc n đơn vị 12 Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp 17 2.1 Khai triển lũy thừa nhị thức 17 2.2 Số phức với khai triển Newton 20 2.3 Các đẳng thức lượng giác 27 2.4 Ứng dung số phức logic hình thức liên quan đến tổ hợp 31 2.5 Sử dụng số phức giải toán với phép đếm nâng cao 43 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Lời nói đầu Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình tốn học phổ thông giảng dạy cuối lớp 12 Ta biết đời số phức nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức cầu nối hồn hảo phân mơn Đại số, Lượng giác, Hình học Giải tích (thể sâu sắc mối quan hệ cơng thức eiπ + = 0) Số phức vấn đề hoàn tồn khó học sinh, địi hỏi người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng Do tính chất đặc biệt số phức nên giảng dạy nội dung giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển toán để tạo nên lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp tính chất số phức với số kiến thức đơn giản khác lượng giác, giải tích, đại số hình học giáo viên xây dựng nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn hồn tồn mẻ Vì đưa vào chương trình SGK nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức SGK nhiều hạn chế Giúp học sinh có nhìn sâu, rộng số phức, q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi khai thác kết hợp kiến thức khác toán học để xây dựng dạng tập cho học sinh tư duy, giải Một vấn đề tơi xây dựng dạng tốn “số phức ứng dụng toán tổ hợp ” sở khai thác tính chất số phức vận dụng khai triển nhị thức Newton Chương Là kiến thức số phức Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết số phức Nội dung trình bày gồm: dạng đại số số phức, biểu diễn hình học số phức, Lời nói đầu dạng lượng giác số phức, bậc n đơn vị Chương Là kiến thức khai triển nhị thức trình bày ứng dụng số phức toán tổ hợp Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt bạn bè nhóm Phương pháp tốn sơ cấp lớp Cao học 08 - 10, động viên giúp đỡ tác giả tài liệu tham khảo kỹ thuật biên soạn Latex Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, Tháng 12 năm 2012 Học viên Nguyễn Thanh Hải Chương Số phức tính chất liên quan 1.1 1.1.1 Dạng đại số số phức Định nghĩa tính chất số phức Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]-[2]) Xét R2 = R × R = (x, y)|x, y ∈ R x1 = x2 ∀z1 = (x1 , y1 ) , z2 = Hai phần tử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) ⇔ y = y2 (x2 , y2 ) ∈ R2 Tổng z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 Tích z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 Tập R2 với phép cộng nhân gọi tập số phức C Phần tử (x, y) ∈ C số phức Phép tốn tìm tổng hai số phức gọi phép cộng Phép tốn tìm tích hai số phức gọi phép nhân Tính chất 1.1.2 Tính chât phép cộng: Giao hốn: z1 + z2 = z2 + z1 , ∀z1 , z2 ∈ C Chương Số phức tính chất liên quan Kết hợp:(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C Tồn phần tử không:∃0 = (0, 0) ∈ C, z + = + z = z, ∀z ∈ C Mọi số có số đối: ∀z ∈ C, ∃ − z ∈ C : z + (−z) = (−z) + z = Số z1 − z2 = z1 + (−z2 ): hiệu hai số z1 , z2 Phép tốn tìm hiệu hai số gọi phép trừ, z1 − z2 = (x1 − x2 , y1− y2 ) ∈ C Tính chất 1.1.3 Tính chât phép nhân: Giao hốn: z1 z2 = z2 z1 , ∀z1 , z2 ∈ C Kết hợp: (z1 z2 ).z3 = z1 (z2 z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C Tồn phần tử đơn vị: ∃1 = (0, 1) ∈ C, z.1 = 1.z = z, ∀z ∈ C Mọi số khác có số nghịch đảo: ∀z ∈ C∗ , ∃z −1 ∈ C : z.z −1 = z −1 z = z −1 = = z x y , − x2 + y x2 + y Thương hai số z1 = (x1 , y1 ), z = (x, y) ∈ C∗ z1 = z x1 x + y1 y −x1 y + y1 x , x2 + y x2 + y ∈ C Ví dụ 1.1.4 Nếu z = (1, 2) z −1 = ( 51 , −2 ) Nếu z1 = (1, 2), z2 = (3, 4) z1 z2 = ( 11 25 , 25 ) Tính chất phân phối phép nhân với phép cộng: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 , ∀z1 , z2 , z3 ∈ C 1.1.2 Dạng đại số số phức Xét song ánh f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) Chương Số phức tính chất liên quan Hơn (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0); (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Ta đồng (x, 0) = x Đặt i = (0, 1) ta có: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = x + iy Định lý 1.1.5 (xem [1]-[2]) Số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi, x, y ∈ R, i2 = −1 Hệ thức i2 = −1 suy từ định nghĩa phép nhân: i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 Định nghĩa 1.1.6 (xem [1]-[2]) Biểu thức x + yi gọi dạng đại số số phức z = (x, y) Do đó: C = x + yi x ∈ R, y ∈ R, i2 = −1 x = Re(z): phần thực z y = Im(z): phần ảo z Đơn vị ảo i Khi thực hành cộng, trừ, nhân số phức thực tương tự quy tắc tính đa thức cần lưu ý i2 = −1 đủ Lũy thừa đơn vị ảo: i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i,i4 = 1, i5 = i Bằng quy nạp ta được: i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i, ∀n ∈ N∗ Do in ∈ {−1, 1, −i, i} , ∀n ∈ N∗ Nếu n nguyên âm, có n i = i −1 −n i = −n = (−i)n Chương Số phức tính chất liên quan 1.1.3 Số phức liên hợp mô đun số phức Định nghĩa 1.1.7 (xem [1]-[2]) Cho z = x + yi Số phức z = x − yi gọi số phức liên hợp z Định lý 1.1.8 z = z ↔ z ∈ R, z = z, z.z số thực không âm z1 + z2 = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 , z −1 = (z)−1 , z ∈ C∗ , z1 z2 = z1 z2 , z z1 z2 = z1 z2 , z2 Re(z) = z+z , ∈ C∗ , (z) = z−z 2i Định nghĩa 1.1.9 (xem [1]-[2]) Số |z| = x2 + y gọi môđun số phức z = x + yi Định lý 1.1.10 − |z| ≤ Re (z) ≤ |z| , − |z| ≤ |z| ≥ 0, |z| = ⇔ z = |z| = |−z| = |z| z.z = z |z1 z2 | = |z1 | |z2 | |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | z −1 = |z|−1 , z ∈ C∗ z1 z2 = |z1 | |z2 | , z2 ∈ C∗ |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (z) ≤ |z| Chương Số phức tính chất liên quan 1.2 Biểu diễn hình học số phức Định nghĩa 1.2.1 (xem [1]-[2]) Điểm M (x, y) mặt phẳng Oxy gọi điểm biểu diễn hình học số phức z = x + yi Số phức z = x + yi gọi tọa độ phức điểm M (x, y) Ta dùng ký hiệu M (z) để tọa độ phức M z Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Các điểm M, M (tương ứng với z, z ) đối xứng qua Ox Các điểm M, M (tương ứng với z, −z ) đối xứng qua gốc tọa độO − Mặt khác, ta đồng số phức z = x + yi với → v = OM , M (x, y) x2 + y = |z| Khoảng cách từ M (z) đến O môđun số phức z Lưu ý: Biểu diễn hình học mơđun: z = x + yi, OM = Với số thực dương r, tập số phức với môđun r biểu diễn mặt phẳng phức đường tròn (O, r) Các số phức z, |z| < r điểm nằm đường tròn (O, r) Các số phức z, |z| > r điểm nằm ngồi đường trịn (O, r) Xét số phức z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i véc tơ tương ứng → − → − − → − → − → − v1 = x1 i + y1 j , → v2 = x2 i + y2 j Tổng hai số phức z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i Tổng hai véctơ → − → − → − − v1 + → v2 = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j − − Tổng z1 + z2 tương ứng với véctơ tổng → v1 + → v2 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Chú ý αs(X) = αj X ∈ Aj , ta được: p−1 |Aj | αj = j=0 Do vậy, α nghiệm đa thức p−1 |Aj | xj Q (x) = j=0 Vì α nghiệm đa thức: (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + Nên ta |A0 | = |A1 | = |A2 | = · · · = |Ap−1 |, suy |A0 | = Do |A0 | = Cpk p |A0 | + |A1 | + |A2 | + · · · + |Ap−1 | |A| = p p Vậy số tập X có k phần tử tổng tất phần tử X chia hết cho p tập {1, 2, , p} Cpk p Ví dụ 2.4.3 Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số tập X tập {1, 2, , p}, biết tổng tất phần tử X chia hết cho p Giải Số tập X có k phần tử tổng tất phần tử X chia hết Ck cho p tập {1, 2, , p} pp với k = 1, 2, , p − Mặt khác có tập có p phần tử {1, 2, , p} tập {1, 2, , p} tổng tất chia hết cho p phần tử tập {1, 2, , p} 1+2+· · ·+p = p(p+1) p số nguyên tố lẻ Do đó, số tập X có p phẩn tử {1, 2, , p} thỏa mãn điều kiện tổng tất phẩn tử X chia hết cho p p Từ khai triển nhị thức Newton p Cpk = (1 + 1) = 2p Vậy số tập k=0 X tập {1, 2, , p} tổng tất phẩn tử X chia hết cho p : p−1 p−1 k=1 Cpk +1= p k=0 Cpk p −2 p 35 2p − +1= +1 p Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Ví dụ 2.4.4 Cho p số nguyên tố lẻ số nguyên dương n lớn 2p Tìm số tập X tập {1, 2, , n}, biết X chứa 2p phần tử tổng tất phần tử X chia hết cho p Giải Đặt A = {X ∈ {1, 2, , n} : |X| = 2p} Aj = {X ∈ A : S (X) ≡ j (modp)} , j = 0, 1, , p − Khi |A| = Cn2p Vì A = A0 ∪ A1 ∪ · · · ∪ Ap−1 Ai ∩ Aj = ∅, ∀j = i nên |A| = |A0 | + |A1 | + · · · + |Ap−1 | Xét đa thức P (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + Đa thức có p − nghiệm phức phân biệt Giả sử α nghiệm P (x) tập nghiệm P (x) α, α2 , , αp−1 αp = Do phương trình xp = có p nghiệm phức phân biệt α, α2 , , αp−1 , nên ta viết: p p−1 x x − αk = k=1 Giả sử n = kp + r, r số dư chia n cho p k = n P Từ đó: kp+r n x−α j j=1 p kp j j=1 x − α ··· x−α j j=1 p+j ··· j=1 r x−α (k−1)p+j j=1 p x−α j=1 p j x − αj x − α ··· j=1 j=1 hay: n r x−α j x − αkp+j j=1 p j x − αj j=kp+1 p x−α = j j=(k−1)p+1 p x−α kp+r j j=p+1 p = j=1 2p x−α = x − αj = p k x − αj = (x − 1) j=1 j=1 36 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp So sánh hệ số xn−2p hai vế n x − αj = (xp − 1)k j=1 ta (−1) 2p α X∈A p−1 j=0 p−1 j=1 S(X) = Ck2 r x − αj , j=1 Chú ý α S(X) j = α X ∈ Aj , ta |Aj | αj − Ck2 = Vậy α nghiệm đa thức Q (x) = |Aj | xj + |A0 | − Ck2 Vì α nghiệm tùy ý đa thức P (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + nên ta |A1 | = |A2 | = · · · = |Ap−1 | = |A0 | − Ck2 Suy ra: |A0 | − Ck |A| − Ck2 |A1 | + |A2 | + · · · + |Ap−1 | + |A0 | − Ck2 = = p p Từ đó: Cn2p − Ck2 |A0 | = + Ck2 p Với k = n p Vậy số tập X có 2p phần tử tổng tất phần tử X chia hết cho p tập {1, 2, , n} Cn2p − Ck2 p + Ck2 với k = n p Ví dụ 2.4.5 Cho p số nguyên tố lẻ số nguyên dương n nguyên tố với p Tìm số (x1 , x2 , , xp−1 ) gồm p − số tự nhiên cho tổng x1 + 2x2 + · · · + (p − 1) xp−1 chia hết cho p, số x1 , x2 , , xp−1 không lớn n − Giải Xét đa thức P (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + Đa thức có p − nghiệm phức phân biệt Giả sử α nghiệm P (x) tập nghiệm P (x) α, α2 , , αp−1 αp = Do n nguyên tố với p cho nên: αn , α2n , , α(p−1)n 37 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp hoán vị α, α2 , , αp−1 Đặt A = (x1 , x2 , , xp−1 ) : ≤ xj ≤ n − 1, xj ∈ N, ∀j = 1, p − Với tập khác rỗng X = (x1 , x2 , , xp−1 ) tập A, ta gọi T (X) tổng x1 + 2x2 + · · · + (p − 1) xp−1 Aj = {X ∈ A : T (X) ≡ j (modp)} với j = 0, 1, , p − Khi |A| = np−1 Vì A = A0 ∪ A1 ∪ · · · ∪ Ap−1 Ai ∩ Aj = ∅, ∀j = i nên |A| = |A0 | + |A1 | + · · · + |Ap−1 | Xét đa thức: F (x) = xn−1 + xn−2 + · · · + Để ý αT (X) = αj X ∈ Aj , ta được: p−1 F (α) F α .F α p−1 α = T (X) X∈A Mặt khác F (x) = n x −1 x−1 , ∀x |Aj | αj = j=0 = Vì αj = 1, j = 1, 2, p − 1, nên αjn − , j = 1, 2, p − αj − Nhân đẳng thức với j = 1, 2, , p − 1, ta được: F αj = F (α) F α .F α p−1 (αn − 1) α2n − α(p−1)n − = (α − 1) (α2 − 1) (αp−1 − 1) Vì αn , α2n , , α(p−1)n hoán vị α, α2 , , αp−1 nên: F (α) F α2 F αp−1 = 38 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp p−1 Từ suy |Aj | αj = Vậy α nghiệm đa thức Q (x) = j=0 p−1 |Ak | xk + |A0 | − Vì α nghiệm k=1 P (x) = xp−1 + xp−2 + · · · + Nên: |A1 | = |A2 | = · · · = |Ap−1 | = |A0 | − Suy ra: |A0 | − = |A1 | + |A2 | + · · · + |Ap−1 | + |A0 | − |A| − = p p np−1 −1 p + Vậy số (x1 , x2 , , xp−1 ) gồm p − số tự nhiên cho tổng x1 + 2x2 + · · · + (p − 1) xp−1 chia hết cho p, p−1 số x1 , x2 , , xp−1 không lớn n − n p −1 + Vậy |A0 | = Ví dụ 2.4.6 Cho hai số nguyên dương m n, n + chia hết cho m Hãy tính số ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn điều kiện tổng x + y + z chia hết cho m, số x, y, z không lớn n Giải Xét đa thức f (x) = xn + xn−1 + · · · + x Bằng cách khai triển đa thức 3n f (x), ta viết f (x) = ak xk „ ak số ba số k=0 nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn điều kiện tổng x + y + z = k , số x, y, z dều không lớn n Vậy số ba nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn điều kiện tổngx + y + z chia hết cho m, số x, y, z không lớn n tổng ak với k chia hết cho m Ta biết tổng ak với k chia hết cho m 2π m m m−1 2π m f αj , với j=0 α = cos + i sin Khi m = tổng f (1) = n3 cịn m > αj = 1, j = 1, 2, , m − Để ý x = đa thức f (x) viết dạng f (x) = xn+1 −1 x−1 39 − Do vậy: Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp α(n+1)j − −1 αj − f αj = , j = 1, 2, , m − Vì n + chia hết cho m nên α(n+2)j = với j = 1, 2, , m − Vậy: α(n+1)j −1 − αj −1 α(n+2)j −αj − αj (αj −1) 1−αj − j j α (α −1) − α1j + −2πij f αj = = = = =− e +1 m −6πij −4πij −2πij −e m − 3e m − 3e m − Với j = 1, 2, , m − Từ m−1 f αj = − (δ (3) + 3δ (2) + 3δ (1) + m − 1) j=1 đó: m−1 δ (k) = e −2πkij m j=1 Với số nguyên dương k Chú ý rằng: m−1 δ (k) = e −2πkij m = m − k chia hết cho m e −2πkij m = −1 k không chia hết cho m j=1 m−1 δ (k) = j=1 Gọi ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn điều kiện tổng x + y + z chia hết cho m, số x, y, z khơng lớn n Γ Khi đó: Γ= m m−1 f αj = j=0 n3 − (δ (3) + 3δ (2) + 3δ (1) + m − 1) m n3 m n3 +2 Γ = m = n 3+2 n3 +8−m = n 3+8 − m Với m = δ (1) = δ (3) = −1 δ (2) = Do Γ = Với m = δ (1) = δ (2) = −1 δ (3) = Do Với m > δ (1) = δ (2) = δ (3) = −1 Do Γ = Vậy Γ = n +8 − 4−m Γ (m) = Γ (m) đó: với m = 1, 2, Γ (m) = m > 40 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Ví dụ 2.4.7 Cho ba số nguyên dương m, n, p, n + chia hết cho m Tìm số (x1 , x2 , , xp ) gồm p số nguyên dương cho tổng x1 + x2 + · · · + xp chia hết cho m, số x1 , x2 , , xp không lớn n Giải p Xét đa thức f (x) = xn + xn−1 + · · · + x Bằng cách khai triển đa pn ak xk , ak số thức f (x), ta viết f (x) = k=0 (x1 , x2 , , xp ) với xj ∈ {1, 2, , n} cho x1 + x2 + · · · + xp = k Vấy số (x1 , x2 , , xp ) với xj ∈ {1, 2, , n} cho tổng x1 + x2 + · · · + xp chia hết cho m tổng ak với k chia hết cho m Ta biết tổng ak với k chia hết cho m m m−1 j=0 2π p f αj , α = cos 2π m +i sin m Khi m = tổng f (1) = n cịn m > αj = 1, j = 1, 2, , m − Để ý x = đa thức f (x) viết dạng f (x) = xn+1 −1 x−1 p −1 Do : f αj = α(n+1)l − −1 αj − p , j = 1, 2, , m − Vì n + chia hết cho m nên α(n+1)j = 1, j = 1, 2, , m − Vậy f αj = (−1)p , j = 1, 2, , m − Vậy số cá (x1 , x2 , , xp ) gồm p số nguyên dương cho tổng x1 + x2 + · · · + xp chia hết cho m, số x1 , x2 , , xp không lớn n np + (m − 1) (−1)p np − (−1)p = + (−1)p m m Ví dụ 2.4.8 Cho ba số nguyên dương m, n, p, n + chia hết cho m m > p Tìm số (x1 , x2 , , xp ) gồm p số nguyên dương cho tổng x1 + x2 + · · · + xp chia hết cho m, số x1 , x2 , , xp không lớn n Giải p Xét đa thức f (x) = xn + xn−1 + · · · + x Bằng cách khai triển đa 41 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp pn ak xk , ak số thức f (x), ta viết f (x) = k=0 (x1 , x2 , , xp ) với xj ∈ {1, 2, , n} cho x1 + x2 + · · · + xp = k Vấy số (x1 , x2 , , xp ) với xj ∈ {1, 2, , n} cho tổng x1 +x2 +· · ·+xp chia hết cho m tổng ak với k chia hết cho m Ta biết tổng ak với k chia hết cho m 2π m 2π m m m−1 f αj , α = j=0 j cos + i sin Vì m > p nên m > 1, α = 1, j = 1, 2, , m − Vì n + chia hết cho m nên α(n+2)j = 1, j = 1, 2, , m − Để ý p n+1 x = đa thức f (x) viết dạng f (x) = x x−1−1 − Do đó: α(n+1)j −1 − αj −1 p α(n+2)j −αj αj (αj −1) − p 1−αj − αj (αj −1) p (−1)p α1j + p −2πij p m +1 f αj = = = = = (−1) p e p p Cpk e = (−1) −2πij m k=0 Với j = 1, 2, , m−1 Lấy tổng đẳng thức với j = 1, 2, , m−1, ta được: p m−1 f αj = (−1) p k Cp δ (k) + m − j=1 k=1 m−1 Trong đó: δ (k) = e −2πkij m với số nguyên dương k Do: j=1 m−1 δ (k) = e −2πkij m = m − k chia hết cho m e −2πkij m = −1 k không chia hết cho m j=1 m−1 δ (k) = j=1 Chú ý m lớn p k không chia hết cho m với k = 1, 2, , p Do dó δ (k) = −1, k = 1, 2, , p Từ f α j=1 p p m−1 j = (−1) p k Cp − +m−1 k=1 p = (−1) k Cp + m − k=0 Từ khai triển nhị thức Newton, : 42 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp p p k p Cp = (1 + 1) = k=0 m−1 Vì vậy: f αj = (−1)p (m − 2p ) Kết hợp với f α0 = f (1) = np , j=1 ta có số (x1 , x2 , , xp ) gồm p số nguyên dương cho tổng x1 + x2 + · · · + xp chia hết cho m, số x1 , x2 , , xp không lớn n : m 2.5 m−1 f α j=0 j np + (−1)p (m − 2p ) np − (−2)p = = + (−1)p m m Sử dụng số phức giải tốn với phép đếm nâng cao Ví dụ 2.5.1 Cho p số nguyên tố m ∈ N∗ Giả sử p−1 E= (k1 , k2 , , p − 1) , ≤ ki ≤ m − : iki ≡ (modp) i=1 Xác định số phần tử tập hợp E Giải Với r = 0, 1, , p − 1, ta định nghĩa tập Er : p−1 Er = (k1 , k2 , , kp−1 ) , ≤ ki ≤ m − : iki ≡ r (modp) i=1 m−1 Ta có E = E0 Đặt f (x) = p−1 k x , F (x) = i=1 k=0 p−1 p−1 m−1 xik F (x) = i=1 f xi Ta có: = x i=1 0≤ki ≤m−1 k=0 43 iki Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp N an xn Đặt: Giả sử F (x) = n=0 p−1 An = (k1 , k2 , , kp−1 ) iki = n , an = |An | i=1 Khi : An Er = n≡r( mod p) Suy : |Er | = |An | = n≡r( mod p) an n≡r( mod p) Gọi ω nghiệm phức tùy ý g (x) = xp−1 + · · · + x + = Ta có ω j = 1, ≤ j ≤ p − Thật ω j = gọi h số nguyên dương bé để ω h = 1, ta có h |p, h |j ⇒ h = p ⇒ p |j (mâu thuẫn) Khi đó: p−1 F (ω) = p−1 f ω j j=1 ω jm − = ωj − j=1 Trường hợp 1: (m, p) = Dễ thấy jm ≡ r (modp) ω jm = ω r Vì họ {jm} , j = 1, 2, , p − hệ thức thặng dư thu gọn (modulop) nên: ω jm , j = 1, 2, , p − = ω j , j = 1, 2, , p − Suy F (ω) = Đặt br = |Er | Vì n ≡ r (modp) nên ω n = ω r , ta suy ra: p−1 h n = F (ω) = n=0 p−1 Đặt Q (x) = br ω r an ω = r=0 br ω r + b0 − Với nghiệm ω g(x), ta có Q (x) = r=0 Do tồn số a để Q (x) = ag (x) bp−1 = · · · = b1 = b0 − 44 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Từ đó: p−1 p−1 br − br + b0 − b0 − = r=1 = p r=0 p N an − = F (1) − mp−1 − = = p p n=0 p Do đó: mp−1 − mp−1 + p − |E0 | = b0 = +1= p p Trường hợp 2: ω jm −1 ω j −1 p |m Khi ω jm = nên f ω j = p−1 N n = F (ω) = = F (ω) = Do đó: br ω r ⇒ bp−1 = · · · = b1 = b0 an ω = n=0 r=0 Do vậy, với r = 0, 1, 2, , p − 1, ta có: p−1 N an br |Er | = br = r=0 p = n=0 p F (1) mp−1 = = p p Tóm lại : |E| = |E| = mp−1 +p−1 p mp−1 p (m, p) = p |m Ví dụ 2.5.2 Cho p > số nguyên tố lẻ số nguyên dương n > p Xác định số tập A S = {1, 2, , n} thỏa mãn hai điều kiện sau: |A| = p S (A) ≡ (modp), S(A) tổng số số nằm A Giải Với r = 0, 1, 2, , p − 1, gọi nr số tập A S thỏa mãn: 45 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp |A| = p S (A) ≡ r (modp) p−1 Đặt g (x) = xi Cố định nghiệm phức ω f (x) Ta có i=0 ω i , i = 1, 2, , p − p − nghiệm phân biệt f (x) Do đó: p p x − ωi x − = (x − 1) g (x) = i=1 n Xét đa thức Q (x) = n x − ωi = i=1 xi Ta có: i=1 ω i1 ω i2 ω ip = (−1)p an−p 1≤i1 ≤i2 ≤···≤ip ≤n Suy ra: ω i1 +i2 +···+ip = −an−p ω S(A) = 1≤i1 ≤i2 ≤···≤ip ≤n A⊂S,|A|=p Nếu S (A) ≡ r (modp) ω S(A) = ω r Do đó: p−1 nr ω r an−p = − r=0 n p i Ta cần xác định hệ số an−p Đặt k = Vì với i = 1, 2, , p ta có ω kp+i = ω i , i = 1, 2, , r ω lp+i = ω , l = 1, 2, , k − 1; i = 1, 2, , p nên ta có: p n x−ω Q (x) = i=1 i r x−ω = i k i=1 = xkp − kx(k−1)p + Ck2 x(k−2)p + · · · + (−1)k x − ωi i=1 xr + b1 xr−1 + · · · + br Vì lp + i = hp + j, ≤ i, j ≤ r ⇔ i = j, l = h nên vế phải đẳng thức có (k + 1) (r + 1) đơn thức hệ số xn−p = x(k−1)p+r −k Vậy 46 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp nên: p−1 nr ω r = k r=0 p−1 Xét đa thức R (x) = nr xr + n0 − k Ta có R (ω) = với nghiệm r=1 ω g (x) Vậy tồn số a cho R (x) = ag (x) ⇒ np−1 = · · · = n1 = n0 − k Từ đó: p−1 p−1 nr − k nr + n0 − k n0 − k = hay r=1 = p r=0 p Cnp −k = , p Cnp −k Cnp −k nr = , (r = 1, 2, , p − 1) , n0 = k + p p Vậy n0 = k + Cnp −k p ,k = n p 47 Kết luận Luận văn đề cập đến kết sau Trình bày tổng quan kiến thức số phức, nhắc lại khái niệm kết số phức Nội dung trình bày gồm: dạng đại số số phức, biểu diễn hình học số phức, dạng lượng giác số phức, bậc n đơn vị Trình bày kiến thức khai triển nhị thức trình bày ứng dụng số phức toán tổ hợp 48 Tài liệu tham khảo [1] Phan Huy Khải(2008), Các phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân số phức, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hịa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, NXB Giáo dục [3] Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc (2003), Phương pháp giải tốn giải tích tổ hợp, NXB ĐHQGHN 49 ... đầu Số phức tính chất liên quan 1.1 Dạng đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa tính chất số phức 1.1.2 Dạng đại số số phức 1.1.3 Số phức liên hợp mô đun số phức. .. n−k k (x + y) = Cn x y k=0 Số số hạng bên phải công thức n + 1, n số mũ nhị thức vế trái 18 Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Tổng số mũ x y số hạng n Các hệ số khai triển Cn0 , Cn1 , ... Chương Ứng dụng số phức tính tốn tổ hợp Áp dụng với n = 4, ta có: C40 −3 C42 +32 C44 = 16 cos 4π 3 2n 4π √ C4 − 3C = sin 2.4 Ứng dung số phức logic hình thức liên quan đến tổ hợp Cho p số ngun