CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 phần 1

CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 Chuyên đề 1: Rút gọn biểu thức thức bậc hai có chứa biến Bài toán 1: Bài toán (thường gặp) x 9 x  x 1   Rút gọn biểu thức sau: A  với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x 5 x 6 x 2 3 x Bước 1: Phân tích tất mẫu thành nhân tử đổi dấu (nếu cần)  Mẫu thức chung x 9 x  x 1 A   x 5 x  x  3 x   x 9 x 2  x 3   x  x 1  x 2 x 3 Bước 2: Thực quy đồng mẫu phân thức cộng trừ phân thức mẫu x   x  x   x 1 x   x 2 x 3          Bước 3: Nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (chú ý đổi dấu có dấu “–” đằng trước), rút gọn hạng tử thức đồng dạng xếp theo lũy thừa giảm dần, phân tích tử rút gọn thành nhân tử x   x   2x  x  x   x 2 x 3         x  x 2  x 1  x  2  x 2  x  2 x  3 x 3 Bước 4: Rút gọn phân thức nhận (chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu) kết luận x 1  x 3 Vậy A  x 1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x 3 Bài toán 2: Bài toán đặc biệt thứ (có phân thức rút gọn được) Rút gọn biểu thức sau: B  x 3 x  1 với x > 0; x ≠ x 2 x 2 x Bước 1: Phân tích tử mẫu phân thức rút gọn thành nhân tử rút gọn phân thức B x 3 x  1 với x > 0; x ≠ x 2 x 2 x  x 3  x 2 x  x 3  1 x 2 x 2  x x 2  1 Bước 3: Phân tích tất mẫu thành nhân tử đổi dấu (nếu cần)  Mẫu thức chung Thực quy đồng mẫu phân thức cộng trừ phân thức mẫu  x 3 x 2   x 2 x 2 x 2  x  1  x  x 2 Bước 4: Nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (chú ý đổi dấu có dấu “–” đằng trước), rút gọn hạng tử thức đồng dạng xếp theo lũy thừa giảm dần, phân tích tử rút gọn thành nhân tử  x x 2 Bước 5: Rút gọn phân thức nhận (chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu) kết luận Vậy B  x với x > 0; x ≠ x 2 Bài toán 3: Bài tốn đặc biệt thứ hai (có thể nhóm nhóm phân thức thực phép tính nhóm trước tính phép tính cịn lại) Rút gọn biểu thức sau: C  1 x3  x   với x > x 1  x x 1  x x 1 Bước 1: Nhóm phân thức thích hợp thực phép tính dấu ngoặc 1 x3  x C   với x > x 1  x x 1  x x 1 � � x3  x 1 �   � � x 1  x � x 1 x   x � � Bước 3: Phân tích tất mẫu thành nhân tử đổi dấu (nếu cần)  Mẫu thức chung Thực quy đồng mẫu phân thức cộng trừ phân thức mẫu    x 1  x  x 1  x x x   x 1  x x 1 Bước 4: Nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (chú ý đổi dấu có dấu “–” đằng trước), rút gọn hạng tử thức đồng dạng xếp theo lũy thừa giảm dần, phân tích tử rút gọn thành nhân tử  x 1 x 1 Bước 5: Rút gọn phân thức nhận (chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu)  x  x 1 Vậy C  x  x 1 với x > Bài toán 4: Bài toán đặc biệt thứ ba (bài toán rút gọn có nhiều dấu ngoặc dấu ngoặc có biểu thức) � x �� �  :�  Rút gọn biểu thức sau: D  � � �với x > x ≠ 1 x x 1 � � x 1 x  x �� Bước 1: Phân tích tất mẫu thành nhân tử đổi dấu (nếu cần), thực đồng thời dấu ngoặc  Mẫu thức chung � x �� � D�  :�  � �với x > x ≠ 1  x x 1 � � x 1 x  x �� � x �� 1 � �   :�  � x 1 � x x 1 � x 1 � ��     x 1 � � x 1 � �  Bước 2: Thực quy đồng mẫu phân thức cộng trừ phân thức mẫu, thực đồng thời dấu ngoặc   : x  x 1   x 1 x 1  x 1  x 1 Bước 3: Nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (chú ý đổi dấu có dấu “–” đằng trước), rút gọn hạng tử thức đồng dạng xếp theo lũy thừa giảm dần, phân tích tử rút gọn thành nhân tử, thực đồng thời dấu ngoặc thực phép tính bên dấu ngoặc   x 1 x  x  x 1  x 1  x 1 x 1 x 1 :  x 1  x 1   x 1  x 1 Bước 4: Rút gọn phân thức nhận (chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu)  x 1 x Vậy D  x 1 với x > x ≠ x Bài toán 5: Bài toán đặc biệt thứ tư (bài tốn rút gọn cách phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử rút gọn phân thức thu gọn thức đồng dạng) a  a 2a  a  1 với a > Rút gọn biểu thức sau: E  a  a 1 a Bước 1: Phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử đổi dấu (nếu cần) a  a 2a  a E  1 với a > a  a 1 a  a     a2 a  a  a 1 a  a 1  1 a 1 a Bước 2: Rút gọn tất phân thức cách chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng, nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc  a     a   a 1 1  a  a  a 11 Bước 3: Cộng trừ thức đồng dạng xếp theo lũy thừa giảm dần a  a Bước 4: Kết luận Vậy E  a  a với a > Bài toán 6: Bài toán đặc biệt thứ lăm (bài toán rút gọn có hai biến) Rút gọn biểu thức sau: F   a b a b   2 b a a b   ab b  a với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b Bước 1: Phân tích tất mẫu thành nhân tử đổi dấu (nếu cần)  Mẫu thức chung F  2   a b a b a b a b b a   2 a b a b   2 a b      ab b  a với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b a b a b  a b  Bước 2: Thực quy đồng mẫu phân thức cộng trừ phân thức mẫu     2   a  b  2 a  b a b  a b  a b  Bước 3: Nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (chú ý đổi dấu có dấu “–” đằng trước), rút gọn hạng tử thức đồng dạng xếp theo lũy thừa giảm dần, phân tích tử rút gọn thành nhân tử    a  ab  b  a  ab  b  2a  2b 2   a b  a b 2a  ab  2b a b 2    a b a b a b     a b  Bước 4: Rút gọn phân thức nhận (chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung tử mẫu)  a b a b Vậy F  a b với a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b a b Bài toán 7: Bài toán đặc biệt thứ sáu (bài toán rút gọn tổng hợp) � y y �2 xy  : ; x  0, y  0, x �y Rút gọn biểu thức sau: Q  � �x  xy x  xy � �x  y � � Là toán kết hợp toán tập, phải áp dụng cách giải cách linh hoạt, hợp lí để giải tập Với x  0, y  0, x �y ta có: � y y �2 xy Q�  : �x  xy x  xy � �x  y � � � y �  � x( x  y) �  �2 xy �: x( x  y) � �x y y y ( x  y )  y ( x  y ) xy : x y x ( x  y )( x  y ) xy  y  xy  y  x y � x ( x  y )( x  y ) xy  xy ( x  y )( x  y ) �  x ( x  y )( x  y ) xy x Vậy Q = , với x  0, y  0, x �y x Chuyên đề 2: Các dạng toán kết hợp với toán rút gọn biểu thức thức bậc hai có chứa biến Bài tốn 1: Tính giá trị biểu thức giá trị biến cho trước Bước 1: Tìm ĐKXĐ (thường điều kiện biểu thức rút gọn cho trước) Bước 2: Đối chiếu giá trị cho trước biến với ĐKXĐ Bước 3: +) Nếu giá trị cho trước biến thoả mãn điều kiện ta thay giá trị cho trước biến vào biểu thức rút thực phép tính kết luận +) Nếu giá trị cho trước biến không thoả mãn điều kiện cho trước biến kết luận giá trị biến giá trị biểu thức cho khơng xác định x 1 Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức : A  với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x = 841 x 3 Bước 1: (Đối chiếu điều kiện) +) Ta thấy x = 841 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Bước 2: Thay (Lưu ý giá trị biến cho số đơn giản nên ta thay trực tiếp giá trị cho biến vào biểu thức thực phép tính) +) Thay x = 841 vào biểu thức A ta có: 841 1 29 1 30 15 A    841  29  26 13 Bước 3: Kết luận 15 +) Vậy A  x = 841 13 x 1 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức : A  với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x 3 x 14  Bước 1: Đối chiếu điều kiện, biến đổi x tính x giá trị x cho trước biểu thức chứa bậc hai biểu thức rút gọn A cịn có x   +) Ta có : x 14    thỏa mãn điều kiện với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠  x        (vì   ) Bước 2: Thay thay +) Thay x   vào biểu thức A x   vào biểu thức A, ta có: A  1  5    3 3  Bước 3: Kết luận +) Vậy với x 14  A  5 5 x 1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x  73 x 3 Bước 1: Đối chiếu điều kiện biến đổi x trục thức mẫu x biểu thức chứa thức mẫu tính x giá trị x cho trước biểu thức chứa bậc hai biểu thức rút gọn A cịn có x 3 +) Ta có : x   14    thỏa mãn điều kiện với x≥0; 49  45 73 x ≠ 4; x ≠ Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức : A    x  3   A      (vì   ) x   vào biểu thức A Bước 2: Thay thay +) Thay  x   vào biểu thức A, ta có:  1  5    ( trục thức mẫu kết cách nhân với 3 3  thức mẫu đổi dấu để mẫu số dương) x 6 +) Thay A x   vào biểu thức A, ta có:    1  1       ( trục thức mẫu kết  2 3 1 cách nhân với biểu thức liên hợp 1 mẫu) x  81 56 +) Thay A x   vào biểu thức A, ta có:    1  4 2 1    ( trục thức mẫu kết  3  4 1   cách phân tích tử mẫu thành nhân rút gọn phân thức nhận cách chia tử mẫu cho nhân tử chung 4( 1 )) Bước 3: Kết luận 5 +) Vậy với x 14  A  Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức : A  x 1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ giá trị x 3 x thỏa mãn: x  x   Bước 1: Đây dạng tính giá trị biểu thức giá trị cho trước biến thỏa mãn điều kiện cho trước +) Tìm giá trị biến x � x 1 � x 1 � x 1 x  x   � x  x   � �� �� � +) Ta có: x4 �x 20 �x  �    Bước 2: (Đối chiếu điều kiện) x 1  thỏ a mã n x�0,x �4,x �9 � +) Ta thấy: � x  (loaïi) � Bước 3: Thay +) Thay x = vào biểu thức A ta có: 1 1 A    1  1 2 Bước 4: Kết luận +) Vậy A  1 thỏa mãn x  x   Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức P  a  a với a > a = + 2 Bước 1: Đối chiếu điều kiện, biến đổi a tính a giá trị a cho trước biểu thức chứa bậc hai biểu thức rút gọn A cịn có a a +) Ta có : a   2   a     2 1 thỏa mãn điều kiện với a > 2 1  1  1 (vì  1 ) Bước 2: Thay thay a   2 (lưu ý thay giá trị a chưa biến đổi) a  1 vào biểu thức P +) Thay a   2 a  1 vào biểu thức P, ta có: P   2  1   Bước 3: Kết luận +) Vậy với a   2 P   10 Bài toán 2: Giải phương trình ( tìm giá trị biến để biểu thức nhận giá trị thỏa mãn điều kiện cho trước phương trình) Lưu ý: Tìm giá trị biến phải đối chiếu với ĐKXĐ, bước khử mẫu dùng dấu suy “ ” Bước 1: Tìm ĐKXĐ (viết lại điều kiện toán rút gọn bổ sung thêm điều kiện phương trình có xuất thêm biểu thức biểu thức rút gọn) Bước 2: Cho biểu thức rút gọn giá trị cho trước (hoặc thay biểu thức rút gọn vào điều kiện cho trước), quy đồng khử mẫu giải phương trình nhận Có trường hợp:(bước quy đồng khử mẫu) +) Nhân chéo +) Chia +) Chuyển vế phân tích thành nhân tử đưa phương trình tích +) Cũng có trường hợp giải phương trình ẩn biểu thức rút gọn thay biểu thức rút gọn vào điều kiện giải để tìm giá trị biến số Bước 3: Đối chiếu giá trị biến tìm với ĐKXĐ thoả mãn nhận, khơng thoả mãn loại kết luận trả lời tốn Ví dụ 1: Cho biểu thức sau: B  x với x > 0; x ≠ Tìm x để B = x 2 Giải Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x > 0; x ≠ Bước 2: Cho hay thay biểu thức B  x vào phương trình B = biến đổi, giải x 2 phương trình nhận +) Ta có: B =  x 2 x 2  x  x  (nhân chéo)  x  (chuyển tất hạng tử chứa x sang VT phương trình có chứa hạng tử chứa x tất hạng tử lại sang VP rút gọn hai vế)  x = 16 (thỏa mãn x > 0; x ≠ 4) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x = 16 giá trị cần tìm 11 Ví dụ 2: Cho biểu thức sau: A  3 với x ≥ 0; x ≠ Tìm x để A = – x 1 Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x ≥ 0; x ≠ Bước 2: Cho hay thay biểu thức A  3 vào phương trình A = –1 biến đổi, giải x 1 phương trình nhận 3  1 +) Ta có: A = –1  x 1  x 1  (chia)  x  (chuyển tất hạng tử chứa x sang VT phương trình có chứa hạng tử chứa x tất hạng tử lại sang VP rút gọn hai vế)  x = 16 (thỏa mãn x ≥ 0; x ≠ 1) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x = 16 giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho biểu thức sau: C  x 1 với x > x ≠ Tìm x để C  x Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x > 0; x ≠ Bước 2: Cho hay thay biểu thức C  x 1 vào phương trình C  biến đổi, giải x phương trình nhận x 1 3  +) Ta có: C   x 2  x   x (nhân chéo)  x  x   (chuyển tất hạng tử sang VT phương trình có chứa hạng tử bậc hai = rút gọn VT)    x 1 x , xếp hạng tử theo lũy thừa giảm dần VP  x   (phân tích VT thành tích đưa phương trình tích) � x 1 ( vôlý ) � �  � x 20 x   x = (thỏa mãn điều kiện x > 0; x ≠ 1) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận 12 +) Vậy x = giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho biểu thức sau: P  P x  1510 x Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x > 0; x ≠ Bước 2: Thay biểu thức P     x 1 với x > x ≠ Tìm x cho x  x 1 vào phương trình P x  1510 x biến x đổi, giải phương trình nhận (Vì điều kiện cho trước biểu thức P thừa số, số hạng, số chia, số bị chia, số bị trừ …) +) Ta có: P x  1510 x    x 1 x 1510 x x  x  x 1  15 10 x (biến đối rút gọn)  x  x  16  (chuyển tất hạng tử sang VT phương trình có chứa hạng tử bậc hai = rút gọn VT)     x  4 x , xếp hạng tử theo lũy thừa giảm dần VP x   (phân tích VT thành tích đưa phương trình tích) 0  x 40  x   x = 16 (thỏa mãn điều kiện x > 0; x ≠ 1) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x = 16 giá trị cần tìm x 1 Ví dụ 5: Cho biểu thức sau: M  với x ≥ x ≠ 25 Tìm x để M2 = M x Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x ≥ x ≠ 25 Bước 2: Trong trường hợp ta không thay biểu thức rút gọn hay cho biểu thức giá trị cho trước mà giải phương trình M = M để tìm giá trị biểu x 1 thức M trước.(nếu thay trực tiếp M  vào M2 = M tốn trở nên phức x tạp khó giải được) +) Ta có: M2 = M  M2 – M =  M.(M – 1) = Ta có: M  x 1  với x ≥ x ≠ 25 x2 M–1=0M=1 x 1 x 1 1(thay biểu thức M  cho M = 1) x2 x 13  x 1  x  (nhân chéo chuyển tất hạng tử x sang VT lại sang VP rút gọn VT, VP)  x 1  x = (thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ 25) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x = giá trị cần tìm Ví dụ 6: Bài toán tổng hợp � Cho biểu thức: Q  � � �x  y xy  �2 xy : ; x  0, y  0, x �y � x  y x  xy � � y a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị x y để Q = Giải a) Với x  0, y  0, x �y ta có: � y y �2 xy Q�  : �x  xy x  xy � �x  y � � � �2 xy y y �  : � � x( x  y) �x y x ( x  y ) � � y ( x  y )  y ( x  y ) xy  : x y x ( x  y )( x  y )  xy  y  xy  y x y � x ( x  y )( x  y ) xy xy ( x  y )( x  y ) �  x ( x  y )( x  y ) xy x Vậy Q = , với x  0, y  0, x �y x b) Ta có Q = , với x  0, y  0, x �y x  1� x 1� x 1 x Kết hợp với điều kiện x  0, y  0, x �y ta có x  1, y  0, y �1 Để Q = Vậy x  1, y  0, y �1 thỏa mãn u cầu tốn 14 Ví dụ 7: Cho biểu thức: A  x 1 với x ≥ x ≠ Tìm x để A  A Bước 1: Tìm đkxđ +) ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Cho A  A suy A ≥ cách áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối: A  A  A ≥ 0, A   A  A ≤ +) Ta có: A  A  A ≥ Sau thay biểu thức A  x 1 vào bất phương trình A ≥ giải bất phương trình nhận  x �۳۳ x x (chuyển hạng tử số sang VP, hạng tử chứa x để ngun VT có VP chuyển sang VT rút gọn hai vế bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu với ĐK kết luận trả lời toán +) Kết hợp với ĐK: x ≥ x ≠ ta được: x �1 x ≠ +) Vậy x �1 x ≠ giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho biểu thức: M  a với a > a ≠ Tìm a để M  a 1 a 1 Bước 1: Tìm đkxđ +) ĐK: a > a ≠ Bước 2: Thay biểu thức M  a vào phương trình cho trước M  a 1 , bỏ a 1 i A �0 �A vớ dấu giá trị tuyệt đối theo cơng thức: A  �  A vớ i A 0 � +) Ta có: M  a 1  a  a 1  a 1 a ≠ 1)  a  a 1  a  a 1  15 a  a 1 (vì a 1 a > với a > a 1 a  t (ĐK: t > t ≠ 1) Đặt Phương trở thành: t2 – t – = Phương trình có:  = (–1)2 – 4.1.( –1) = >     Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1  1 (loại) t2  1 (thỏa mãn t > t ≠ 1) Với t  1  a 1 3 (thỏa mãn a > a ≠ 1) �a 2 +) Ở đậy giải phương trình chứa ẩn mẫu quy đồng khử mẫu (nhân chéo áp dụng đẳng thức hiệu hai bình phương   a 1  a 1  a 1 , bước khử mẫu phương trình phải dùng dấu “” Suy phương trình (vì phương trình khơng tương đương với phương trình ban đầu chưa khử mẫu) +) Chuyển tất hạng tử VT xếp theo lũy thừa giảm dần: a  a  hạng tử số +) Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Đặt a  t (ĐK: t > t ≠ 1) đưa phương trình bậc hai ẩn t: t – t – = áp dụng cách giải phương trình bậc hai để giải phương trình nhận +) Trả lại ẩn thay giá trị ẩn t tìm thỏa mãn điều kiện vào tìm a Bước 3: Đối chiếu với ĐK kết luận trả lời toán +) Vậy a  3 giá trị cần tìm 16 a  t Bài tốn 3: Giải bất phương trình (tìm giá trị biểu thức để biểu thức lớn (nhỏ) … giá trị thỏa mãn điều kiện cho trước bất phương trình) Bước 1: Tìm ĐKXĐ (viết lại điều kiện toán rút gọn bổ sung thêm điều kiện bất phương trình có xuất thêm biểu thức ngồi biểu thức rút gọn) Bước 2: +) Cho biểu thức rút gọn lớn (nhỏ)… giá trị cho trước (hoặc thay biểu thức rút gọn vào điều kiện cho trước), chuyển tất hạng tử sang vế trái để vế phải quy đồng áp dụng tính chất thương lớn (nhỏ) … suy bất phương trình cần giải để tìm giá trị biến số +) Cũng có trường hợp giải bất phương trình ẩn biểu thức rút gọn trước sau thay kết biểu thức rút gọn vào bất phương trình nhận giải bất phương trình để suy giá trị biến thỏa mãn đề Ví dụ: Cho biểu thức: M  x 1 x với x ≥ x ≠ 25 Tìm x để M  M Ta phải giải bất phương trình: M  M trước  M Bước 3: Đối chiếu (kết hợp) giá trị biến tìm với ĐKXĐ suy giá trị biến số thỏa mãn đề kết luận Ví dụ 1: Cho biểu thức : A  x 1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Tìm x để A > x 3 Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Bước 2: Cho thay biểu thức A  x 1 vào bất phương trình A > biến đổi, x 3 giải bất phương trình nhận x 1 A  ( Ở ta áp dụng tính chất phân thức  +) Ta có: A >  x 3 B  A, B dấu (2 trường hợp))  x   (vì x 1 > với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, tử biểu thức nhận giá trị dương nên để phân thức dương mẫu phải nhận giá trị dương)  x 3  x   x > (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x > giá trị cần tìm 17 Ví dụ 1: Cho biểu thức : A  x 1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Tìm x để A < x 3 Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Bước 2: Cho thay biểu thức A  x 1 vào bất phương trình A < biến đổi, x 3 giải bất phương trình nhận được.( x 1 A  ( Ở ta áp dụng tính chất phân thức  +) Ta có: A <  x 3 B  A, B khác dấu (2 trường hợp))  x   (vì x 1 > với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, tử biểu thức nhận giá trị dương nên để phân thức dương mẫu phải nhận giá trị dương)  x    x   x < (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ ta được: ≤ x < x ≠ (Lưu ý để kết hợp ta vẽ trục số kết hợp trục số lấy phần chung điều kiện)   +) Vậy ≤ x < x ≠ giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho biểu thức : A  x 1 với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Tìm x để A > x 3 18 Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ Bước 2: Cho thay biểu thức A  x 1 vào bất phương trình A > biến đổi, x 3 giải bất phương trình nhận x 1 1 +) Ta có: A >  x 3 x 1 1 (chuyển tất hạng tử sang VT, VP = 0, quy đồng không x 3 khử mẫu) x 1  x   (lưu ý bỏ dấu ngoặc phải đổi dấu hạng tử có dấu  x 3 “–” đằng trước dấu ngoặc)  (áp dụng tính chất phân thức A   A, B dấu (2 trường  x 3 B hợp))  x   (vì > 0, tử số dương nên để phân thức dương mẫu phải nhận giá trị dương)  x   x > (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x > giá trị cần tìm  Ví dụ 4: Cho biểu thức sau: M  x 1 với x ≥ x ≠ 25 Tìm x để M  M x2 Bước 1: Viết lại ĐK 19 +) ĐK: x ≥ x ≠ 25 Bước 2: Trong trường hợp ta không thay biểu thức rút gọn hay cho biểu thức lớn (nhỏ lớn nhỏ bằng) giá trị cho trước mà giải bất phương trình M  M để tìm giá trị biểu thức M trước.(nếu thay trực tiếp M x 1 x giải được) vào bất phương trình M  M tốn trở thành phức tạp khó +) Ta có: M  M  M  M   M  �M �0 �  � M �0 (Ở gồm điều kiện để � � M 1 M  M 1 tích  M   M 1  M có nghĩa điều kiện để  M 1 nhận giá trị nhỏ M 1  điều dẫn đến tích M   M khác M  M 1 không nhỏ số 0) �M  x 1 �� (đến ta thay M  vào hệ bất phương trình giải x2 �M 1 tìm x cách giải hệ bất phương trình) �2 x 1 �2 x 1 0 0 � � �2 x 1 x  x  � � �� �� �� (vì x  > với x ≥ x ≠ 25) x  x  x   � � � 1 0 � x2 � x2 � � � � � x �x  �� � � (bình phương hai vế) � �x � x3 � �  x 9(kết hợp bất phương trình hệ tìm giá trị chung x thỏa mãn đồng thời bất phương trình hệ) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Kết hợp với ĐK: x ≥ x ≠ 25 ta được:  x +) Vậy  x 9là giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho biểu thức sau: M  x x  x2 20 với x ≥ x ≠ Tìm x để M 1 Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Cho thay biểu thức M  x x  x2 vào bất phương trình M 1 biến đổi, giải bất phương trình nhận x 3 x 8 1 +) Ta có: M 1 x 2 x 3 x 8 1 (chuyển tất hạng tử sang VT, VP = 0, quy đồng x 2 không khử mẫu) x 3 x 8 x   (lưu ý bỏ dấu ngoặc phải đổi dấu hạng tử có  x 2 dấu “–” đằng trước dấu ngoặc) x  x 10 A  (áp dụng tính chất phân thức   A, B dấu (2  x 2 B  trường hợp)) Lưu ý tử x  x 10 biến đổi thành:(tổng bình phương biểu thức với số dương) x  x 10     x 2 6 0  x   (vì     x   > với x ≥ x ≠ x   > với x ≥ x ≠ 4, tử x 2 số dương nên để phân thức dương mẫu phải nhận giá trị dương)  x   x > (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4) (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Vậy x > giá trị cần tìm 21 Ví dụ 6: Cho biểu thức sau: Q  3 x2 với x ≥ x ≠ Tìm x để Q  Q Bước 1: Viết lại điều kiện cho Q  Q +) ĐK: x ≥ x ≠ +) Ta có: Q  Q  Q < (Ở ta cần nắm tính chất giá trị tuyệt đối A  A  A < 0, A  A  A≥0) Bước 2: Thay Q  3 x2 vào bất phương trình Q < giải bất phương trình nhận Ta có: Q <  3 x2  0  x  2 (vì – < 0) x  2 x > (bình phương hai vế) Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Kết hợp với điều kiện x ≥ x ≠ ta được: x > +) Vậy x > giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho biểu thức sau: C  x  x 1 với x > Tìm x để C  Bước 1: Viết lại ĐK +) ĐK: x > Bước 2: Cho thay biểu thức C  x  x 1 vào bất phương trình C  biến đổi, giải bất phương trình nhận +) Ta có: C   x  x 1  � x 1 1    Ở ta cần nhận biết biểu thức C  x  x 1 đẳng thức: C  x 1 x 1.11 (có dạng a2 – 2ab + b2) số biểu thức có dạng tương tự: D  x  x   x   x  4.2   �x�� 1�� �۹ x 1 x 1   x4  … x Ở ta áp dụng công thức bất phương trình dạng đặc biệt là: A2 >  A ≠ Bước 3: Đối chiếu giá trị tìm biến với ĐK kết luận +) Kết hợp với ĐK: x > ta được: x > x �2 +) Vậy x > x �2 giá trị cần tìm 22 ... = 8 41 vào biểu thức A ta có: 8 41 ? ?1 29 ? ?1 30 15 A    8 41  29  26 13 Bước 3: Kết luận 15 +) Vậy A  x = 8 41 13 x ? ?1 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức : A  với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ x 3 x ? ?14 ... ? ?1 , bỏ a ? ?1 i A �0 �A vớ dấu giá trị tuyệt đối theo công thức: A  �  A vớ i A 0 � +) Ta có: M  a ? ?1  a  a ? ?1  a ? ?1 a ≠ 1)  a  a ? ?1  a  a ? ?1  15 a  a ? ?1 (vì a ? ?1 a > với a > a ? ?1. ..  1 x3  x   với x > x ? ?1  x x ? ?1  x x ? ?1 Bước 1: Nhóm phân thức thích hợp thực phép tính dấu ngoặc 1 x3  x C   với x > x ? ?1  x x ? ?1  x x ? ?1 � � x3  x 1 �   � � x ? ?1  x � x 1