Đang tải... (xem toàn văn)
1. Chứng minh tứ giác nội tiếpDấu hiệu nhận biệt tứ giác nội tiếp Thang cân, vuông, nhật, đối bùHai cùng, bốn đoạnTít mù mà quay2. Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường trònCách 1: Ba điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc vuông Ta có: Ba điểm C, D, E cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính ABCách 2: Ba điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đi qua hai điểm còn lại đó. Ta có: và ba điểm C, D, E nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn Cách 3: Hai tứ giác nội tiếp (có chung ba đỉnh hoặc nội tiếp cùng một đường tròn (O) hoặc cùng nội tiếp đường tròn có một đường kính là đoạn thẳng nối hai trong năm điểm đó …)Hoặc+ Tứ giác ABCD nội tiếp+ Tứ giác ACED nội tiếp+ Qua ba điểm A, C, D chỉ vẽ được một đường tròn Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn Hoặc+ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)+ Tứ giác ACED nội tiếp đường tròn (O) Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)Hoặc + Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn đường kính AC+ Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính AC Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) Cách 4: Năm điểm cùng cách đều một điểm Ta có: OA = OB = OC = OD = OE Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)3. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trònDấu hiệu nhận biết tiếp tuyếnCách 1: Dựa vào số điểm chung a và (O) chỉ có 1 điểm chung là A a là tiếp tuyến của (O)Cách 2: Dựa vào hệ thức giữa d và R (khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn đó) Ta có: d = R a là tiếp tuyến của (O)Cách 3: Dựa vào định lí: “Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó” Ta có:a OA tại Avà A (O) a là tiếp tuyến của (O)Cách 4: Dựa vào định lí đảo của định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Ta có:A, B thuộc (O); nằm trong sđ Ax là tiếp tuyến của (O)Cách 5: Dựa vào phương tích của một điểm với đường tròn Ta có: A, B, C thuộc (O)MBC là cát tuyến của (O) và M nằm ngoài (O)MA2 = MB.MC MA là tiếp tuyến của (O) tại A4. Chứng minh đẳng thức hình họca1) Chứng minh đẳng thức tích tạo bởi năm điểm không thẳng hàng M, A, B, C, DMA.MB = MC.MD Thuật toán ghép hai tam giác đồng dạng từ hai tỉ số bằng nhau: Ghép trên tử: MAD (hai đoạn thẳng MA, MD có chung mút M: Viết MA bỏ M ở MD rồi viết D vào sau MA)Ghép dưới mẫu: MCB (ghép trên tử như thế nào thì ghép dưới mẫu như vậy)a2) Chứng minh đẳng thức tích tạo bởi năm điểm thẳng hàng M, A, B, C, DMA.MB = MC.MD5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc song song6. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng8. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy9. Chứng minh là tứ giác đặc biệt hoặc tam giác đặc biệt10. Chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng11. Chứng minh tia phân giác của góc hoặc đường trung trực của đoạn thẳng12. Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc13. Chứng minh tiếp tuyến chung của hai đường tròn14. So sánh các đại lượng hình học và chứng minh đại lượng không đổi15. Tính các đại lượng trong hình học (độ dài đoạn thẳng; chu vi, diện tích, thể tích …)16. Chứng minh điểm cố định17. Chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp18. Tìm điểm di chuyển19. Xác định vị trí để có hình đặc biệt20. Toán cực trị trong hình học
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By C, D Chứng minh: a) CD = AC + BD b) AC.BD = R2 Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ Cho biết R = 2cm, diện tích tứ giác ABDC 32 cm2 Tính diện tích tam giác ABM y x D M C I E P A F N H B O K Bài 1.1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By E, F a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; b) AM cắt OE P; BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? c) Vẽ MH ⊥ AB H, MH cắt BE K So sánh MK KH, r < < R Bài 1.2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn (O), điểm C thuộc đoạn thẳng OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax, By P Q; AM cắt CP E; BM cắt CQ F Chứng minh: d) Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC a) Tứ giác APMC nội tiếp; · b) PCQ =1v; c) EF//AB Bài 1.3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đường tròn (M khác A B) Gọi P điểm nằm đoạn AO (P khác A O), d d’ hai đường thẳng vng góc với AB tương ứng A B Đường thẳng vng góc với PM M cắt d E, đường thẳng vng góc với PE P cắt d’ F, AM cắt PE C, BM cắt PF D · · Chứng minh tứ giác CMDP nội tiếp CDP = AEP Chứng minh CD song song với AB ba điểm E, M, F thẳng hàng 1 + Tìm vị trí điểm M để đạt giá trị nhỏ MA MB Bài 1.4: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, lấy điểm M nửa đường tròn (M ≠ A, B) Gọi H hình chiếu M AB Kẻ tiếp tuyến a M nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng a C, D · · Chứng minh rằng: a) MCH ; = MAH b) Tam giác CHD vuông; c) AC + BD không đổi M di chuyển nửa đường tròn Cho diện tích hình thang vng ACDB 32cm CM = 2cm Tính diện tích tam giác CHD Bài 1.5: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, M điểm điểm nửa đường tròn (M khác A, B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A B vẽ hai tiếp tuyến AC BD với đường tròn (M); (C, D tiếp điểm) Chứng minh rằng: · · a) MAH ; b) AC//BD; = MAC c) Ba điểm C, M , D thẳng hàng; d) CD tiếp tuyến đường tròn (O); e) AC + BD không đổi M di chuyển nửa đường tròn (O; R) Bài 1.6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A B kẻ tiếp tuyến a b đường tròn Từ điểm M thuộc đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt a b C D MB cắt a K Chứng minh rằng: a) AC + BD = CD b) CA = CK c) OK vng góc với AD Bài 2: Từ điểm S ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB A B; cát tuyến SCD đường tròn khơng qua tâm O ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC a) Gọi E trung điểm dây CD.Chứng minh điểm S, O, A, E, B nằm đường tròn Tìm tâm O’ đường tròn b) Nếu SA = OA SAOB hình ? Tại sao? c) Chứng minh rằng: AC DB = BC.DA = AB CD F A D E M O K C J O' S B Bài 2.1: Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngồi đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C hai tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b) Gọi H trực tâm tam giác ABC, chứng minh tứ giác BOCH hình thoi c) Gọi I giao điểm đoạn OA với đường tròn Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC d) Cho OB = cm, OA = cm Tính diện tích tam giác ABC Bài 2.2: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A đường (O) kẻ tiếp tuyến d với đường tròn Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC ⊥ MB C BD ⊥ MA D, gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh rằng: Tứ giác AMBO nội tiếp; Năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn OI.OM = R2, OI.IM = IA2 ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC Tứ giác OAHB hình thoi Ba điểm O, H, M thẳng hàng Bài 2.3: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm phân biệt C D Trên đường thẳng d lấy điểm M cho C nằm M D, từ điểm M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A B tiếp điểm) Gọi I trung điểm CD a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn Tìm tâm O’ đường tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình ? Tại ? c) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh E la trung điểm CK d) Khi M di động đường thẳng d Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 2.4: Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB A B; từ điểm B kẻ đường thẳng BC song song với MA (C thuộc (O)), MD cắt (O) C (C khác D), BC cắt MA I a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp; b) Chứng minh IA2 = IB.IC; c) Chứng minh I trung điểm MA, d) Gọi H trực tâm tam giác MAB, chứng minh ba ba điểm M, H, O thẳng hàng Bài 2.5: Từ điểm M nằm ngồi đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Gọi I trung điểm MA K giao điểm BI với đường tròn Tia MK cắt đường tròn (O) C a) Chứng minh tam giác MIK BIM đồng dạng; b) Chứng minh BC//MA; c) Gọi H trực tâm tam giác MAB Chứng minh khoảng cách HA không phụ thuộc vào vị trí điểm M; d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AMBC hình bình hành Bài 2.6: Từ điểm A bên ngồi đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E, dây DE không qua tâm O, cung DBE nhỏ cung DCE) ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC gọi H trung điểm DE; AE cắt BC K, CH kéo dài cắt (O) I, OA cắt BC F a) Chứng minh điểm A, B, H, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh BI//AE; c) Chứng minh 1 = + ; AK AD AE · · d) Chứng minh DFE = 2DCE Bài 2.7: Từ điểm A bên ngồi đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) Tia AO cắt đường tròn (O) B C cho B nằm A O; gọi I giao điểm AO với MN a) Chứng minh ∆AMN cân CM = CN; b) Chứng minh MA.MB = AB.CM; c) Chứng minh BA MA AB IB2 = = BI MI AC IM d) Đường tròn đường kính MI cắt đường tròn (O) điểm K khác M, chứng minh AK ⊥ NK Bài 2.8: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh điểm A, B, H, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC; c) Gọi I giao điểm BC DE, chứng minh AB2 = AI.AH; d) BH cắt đường tròn (O) K Chứng minh AE//CK Bài 2.9: Cho đường tròn (O; R) dây BC khác đường kính Qua O kẻ đường vng góc với BC I, cắt tiếp tuyến B đường tròn điểm A, vẽ đường kính BD a) Chứng minh CD//OA; b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn (O); c) Đường thẳng vng góc với BD cắt BC K Chứng minh: IK.IC + OI.IA = R2 Bài 2.10: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định bên ngồi đường tròn Qua điểm A vẽ tiếp tuyến AM, AN cắt tuyến ABC (M, N, B, C thuộc (O) B nằm A C) Gọi H trung điểm BC a) Chứng minh AM2 = AB.AC; b) Chứng minh điểm A, M, H, O, N thuộc đường tròn ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC c) Khi cát tuyến ABC quay quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC chạy đường ? Bài 2.11: Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Đường tròn (O; R) thay đổi qua B C cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC, E giao điểm MN BC, H giao điểm đường thẳng OI với MN Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn Chứng minh OI.OH = R2; Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 3: C ho đường tròn (O; R), đường kính CD, K trung điểm OD Dây cung AB qua K vng góc với CD Tiếp tuyến đường tròn (O) B cắt đường thẳng CD I Chứng minh rằng: a) Tứ giác AOBD hình thoi; b) IA tiếp tuyến đường tròn (O); c) Tam giác ABC tam giác đều; Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B, C) đường tròn (O), MA cắt BC E Chứng minh rằng: a) MA = MB + MC; 1 = + b) ; ME MB MC c) Xác định vị trí M cung nhỏ BC để (MA + MB + MC) lớn 1 + d) Xác định vị trí M cung nhỏ BC để nhỏ MB MC A P F K C D I O N Q M B ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC Bài 3.1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a) Tứ giác AMON hình ? Tại ? b) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp; c) Chứng minh AK.AH = R2; d) Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn (O 1) đường kính BH cắt AB E khác B, vẽ nửa đường tròn (O2) đường kính HC cắt AC F a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật ; b) Chứng minh AE.AB = AF.AC; c) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp; · d) Biết ABC = 300 ; BH = cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây BE cung BE A E K I F B O1 O H O2 C D Bài 4.1: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH có tâm O 1; O2 cắt AB, AC thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 cm BH = 10 cm b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO 1O2 đạt giá trị lớn Tính giá trị A E D B O1 H O O2 C Bài 4.2: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài 4.3: Cho đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A đường tròn (O) » > AC » Vẽ AH ⊥ BC H, HE ⊥ AB E, HF ⊥ AC F cho AB a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật OA vng góc với EF; b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) P Q (E nằm P F) Chứng minh AP2 = AE.AB Suy tam giác APH tam giác cân c) Gọi D giao điểm PQ BC, K giao điểm AD đường tròn (O) (K khác A) Chứng minh tứ giác AEFK tứ giác nội tiếp DH2 = DK.DA Bài 4.4: Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) » > AC » Vẽ AH ⊥ BC H, HE ⊥ AB E, HF ⊥ AC F Gọi giao cho AB điểm OA với HE EF M N a) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật; b) Biết BH = R Tính EF theo R 1 = + c) Chứng minh: EN EM EA d) Gọi S, S1, S2 diện tích ∆ABC, ∆BEH, ∆CFH Chứng minh: S1 + S2 = S Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a BC = a (a > 0) Kẻ AH vng góc · với tia phân giác ACD H a) Chứng minh điểm A, H, D, C, B thuộc đường tròn.Tìm tâm O đường tròn tính bán kính đường tròn tâm O theo a b) Gọi HB cắt AD AC I , M; HC cắt DB N Chứng minh HB = HC AB.AC = BH.BI c) Chứng minh MN song song với tiếp tuyến (O) H d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH, đường thẳng cắt HC K cắt (O) J Chứng minh tứ giác HOKD nội tiếp ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC B A M I H O N J K C D Bài 5.1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a BC = a (a > 0) Kẻ AH vng góc · với tia phân giác ACD H Gọi HB cắt AD AC I , M; HC cắt DB N a) Chứng minh điểm A, H, D, C, B thuộc đường tròn.Tìm tâm O đường tròn tính bán kính đường tròn tâm O theo a b) Chứng minh HB = HC c) Chứng minh 2MO.IA = MA.ID d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH, đường thẳng cắt HC K Chứng minh OK//BC Bài 6: Cho hình thang vng ABCD (vng A D) với đáy lớn AB có độ dài gấp đôi nhỏ DC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BD Gọi M, N trung điểm HA, HB I trung điểm AB Chứng minh MN ⊥ AD DM ⊥ AN Chứng minh điểm A, I, N, C, D nằm đường tròn Chứng minh: AN.BD = 2DC.AC D C H N M A B I Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB>CD, AB//CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp; Chứng minh AB//EM; Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K Chứng minh M trung điểm HK 1 = + Chứng minh HK AB CD C D M H E K O' O A B Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kẻ đường kính AI đường tròn (O; R) a) Chứng minh tứ giác BHCI hình bình hành b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, I thẳng hàng OI = AH c) Gọi N giao điểm AD với (O) (N ≠ A) Chứng minh N đối xứng với H qua BC d) Chứng minh tứ giác BCIN hình thang cân e) Gọi G giao điểm AM HO Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC f) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ĐÀO VĂN CẦU 10 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC B A O D C Tứ giác ABCD hình chữ nhật · CA tia phân giác BCD ⇒ Tứ giác ABCD hình vng Dấu hiệu 4: Hình thoi có góc vng B A D C Tứ giác ABCD hình thoi µ = 900 A ⇒ Tứ giác ABCD hình vng Dấu hiệu 5: Hình thoi có hai đường chéo B A O D C Tứ giác ABCD hình thoi AC = BD ⇒ Tứ giác ABCD hình vng 10 Chứng minh hai tam giác hai tam giác đồng dạng a) Hai tam giác ĐÀO VĂN CẦU 58 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC A C B A A B' C B A' B' C' B A' B' C' c.g.c c.c.c C A' C' g.c.g b) Hai tam giác đồng dạng A A A A' B C B' A' A' B C' C B' B C' c.g.c c.c.c AB AC BC = = A 'B' A 'C' B'C' C B' C' g.g AB AC µ =A µ' = A A 'B' A 'C' µ = B' µ C µ = C' µ B c) Hai tam giác vuông đồng dạng B B B B' B' A C A' C' A c.g.c C g.g A' B' C' A C A' C' ch - cgv 11 Chứng minh tia phân giác góc đường trung trực đoạn thẳng a) Đường trung trực đoạn thẳng Cách 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng ĐÀO VĂN CẦU 59 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC a A B M a ⊥ AB M MA = MB = AB ⇒ a đường trung trực AB Cách 2: Chứng minh đường thẳng qua hai điểm cách hai mút đoạn thẳng a C M A B D Ta có: CA = CB DA = DB C, D thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ CD đường trung trực AB Cách 3: Chứng minh dựa vào tính chất đường (trung tuyến, phân giác, trung trực đường cao) tam giác cân ĐÀO VĂN CẦU 60 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC A B C H Ta có: ∆ABC cân A AH đường trung tuyến AH đường cao AH đường phân giác ⇒ AH đường trung trực BC Cách 4: Chứng minh dựa vào tính chất ba đường trung trực tam giác A b c O B C a Xét ∆ABC có b c đường trung trực, b c cắt o a qua trung điểm BC (hoặc a vng góc với BC) a qua điểm O ⇒ a đường trung trực BC Cách 5: Chứng minh dựa vào tính chất quan hệ vng góc đường kính dây cung » = AD » EC = ED = CD Xét (O) có: AB ⊥ CD E AC ⇒ AB đường trung trực đoạn thẳng CD ĐÀO VĂN CẦU 61 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC C O A B E D … b) Tia phân giác góc Cách 1: Chứng minh tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc x z y O Ta có: Oz tia nằm hai tia Ox Oy · · xOz = zOy · ⇒ Oz tia phân giác xOy Cách 2: Chứng minh điểm nằm góc cách hai cạnh góc · Ta có: M nằm xOy M cách hai cạnh Ox, Oy (MA = MB) · ⇒ OM tia phân giác xOy ĐÀO VĂN CẦU 62 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC x A z M y B O Cách 3: Chứng minh dựa vào tính chất đường (trung tuyến, phân giác, trung trực đường cao) tam giác cân A B C H Ta có: ∆ABC cân A AH đường trung tuyến AH đường cao AH đường trung trực · ⇒ AH tia phân giác BAC Cách 4: Chứng minh dựa vào tính chất ba đường phân giác tam giác A E F I B D C Xét ∆ABC có: BE đường phân giác CF đường phân giác BE cắt CF I · ⇒ AI tia phân giác BAC ĐÀO VĂN CẦU 63 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC Cách 5: Chứng minh dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt A M O B Xét (O) có: MA MB hai tiếp tuyến cắt M · · ⇒ MO tia phân giác AMB OM tia phân giác AOB Cách 6: Chứng minh dựa vào tính chất: Hai đường phân giác hai góc ngồi tam giác đường phân giác tam giác đồng quy A C B D y x Xét ∆ABC có: · · BD tia phân giác CBx CD tia phân giác BCy BD cắt CD D · ⇒ AD tia phân giác BAC Cách 7: Chứng minh dựa vào tính chất hai tia phân giác hai góc kề bù · · Ta có: xOz zOy hai góc kề bù · On tia phân giác zOy ĐÀO VĂN CẦU 64 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC Om ⊥ On O · ⇒ Om tia phân giác xOz n z m x y O … 12 Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc Cách 1: Dựa vào số điểm chung A O O O' O' A TiÕp xóc TiÕp xóc ngoµi Ta có: (O) (O’) có điểm chung A ⇒ (O) (O) tiếp xúc với Cách 2: Dựa vào hệ thức đoạn nối tâm hai bán kính A O R O O' r TiÕp xóc ngoµi O' r R A TiÕp xóc Xét (O) (O’) có: a) OO’ = R + r ⇒ (O) (O) tiếp xúc với b) OO’ = R – r ⇒ (O) (O) tiếp xúc với Cách 3: Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (hoặc đường tròn) ĐÀO VĂN CẦU 65 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC a a O O O' O O' O' A A A TiÕp xóc TiÕp xóc ngoµi M TiÕp xóc a) Ta có: (O) (O’) tiếp xúc với a A ⇒ (O) (O) tiếp xúc với b) Ta có: (O) (O’) tiếp xúc với (M) A ⇒ (O) (O) tiếp xúc với 13 Chứng minh tiếp tuyến chung hai đường tròn Chứng minh đường thẳng a vừa tiếp tuyến đường tròn (O) vừa tiếp tuyến đường tròn (O’) a tiếp tuyến chung (O) (O’) m1 d1 O' O O' O d2 hình 95 hình 96 m m2 d1 d1 O' O O' O d2 d2 b) a) ĐÀO VĂN CẦU 66 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC d O O' c) 14 So sánh đại lượng hình học chứng minh đại lượng khơng đổi a) So sánh đại lượng hình học So sánh đoạn thẳng, góc, tam giác, chu vi diện tích tam giác tứ giác … b) Chứng minh đại lượng không đổi Bước 1: Dự đốn giá trị đại lượng cách xét vị trí đặc biệt Bước 2: Chứng minh đẳng thức hình học theo phương pháp chứng minh minh đẳng thức hình học biết 15 Tính đại lượng hình học (độ dài đoạn thẳng; chu vi, diện tích, thể tích …) a) Tính độ dài đoạn thẳng Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, tính chất đường phân giác tam giác, tam giác đồng dạng, định lí Ta – Lét hệ … b) Tính chu vi, diện tích, thể tích … Áp dụng cơng thức tính chu vi, diện tích, thể tích hình học để tính 16 Chứng minh điểm cố định, đường thẳng cố định, đường cố định… Bước 1: Vẽ số vị trí khác hình vẽ để dự đoán điểm cố định, đường thẳng cố định hay đường cố định … Bước 2: Chứng minh điểm, đường … cố định 17 Chứng minh điểm tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp A F E I B D ĐÀO VĂN CẦU C 67 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC a) Tâm đường tròn nội tiếp Cách 1: Chứng minh điểm giao hai đường phân giác tam giác Xét ∆ABC có: AI đường phân giác tam giác BI đường phân giác tam giác AI cắt BI I ⇒ I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Cách 2: Chứng minh điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Xét ∆ABC có: I nằm tam giác I cách ba cạnh tam giác (ID = IE = IF) ⇒ I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC b) Tâm đường tròn ngoại tiếp A E F O B D C Cách 1: Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung trực tam giác Xét ∆ABC có: OD đường trung trực BC OE đường trung trực AC OD cắt OE O ⇒ O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Cách 2: Chứng minh điểm cách ba đỉnh tam giác Xét ∆ABC có:OA = OB = OC ⇒ O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC … ĐÀO VĂN CẦU 68 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC 18 Chứng minh điểm trọng tâm, trực tâm tam giác a) Trọng tâm tam giác Cách 1: Chứng minh điểm nằm trung tuyến cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh A G B D C Xét ∆ABC có: G thuộc trung tuyến AM AG = AD ⇒ G trọng tâm ∆ABC Cách 2: Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác A E F G B D C Xét ∆ABC có: AD đường trung tuyến BE đường trung tuyến mà AD cắt BE G ⇒ G trọng tâm ∆ABC b) Trực tâm tam giác ĐÀO VĂN CẦU 69 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC A E F H B C D Chứng minh điểm giao điểm hai đường cao tam giác Xét ∆ABC có: AD ⊥ BC D BE ⊥ AC E mà AD cắt BE H ⇒ H trực tâm ∆ABC 19 Chứng minh điểm thuộc đường tròn A A R B O C O H× nh H× nh A A B O D B O C C H× nh H× nh Cách 1: Chứng minh điểm cách tâm khoảng bán kính (hình 1) Xét (O; R) có: OA = R ⇒ A thuộc đường tròn (O; R) Cách 2: Chứng minh điểm cách tâm khoảng nửa đường kính (hình 2) ĐÀO VĂN CẦU 70 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC BC Xét O; ÷ có: OA = BC ⇒ A thuộc đường tròn (O) Cách 3: Chứng tứ giác nội tiếp(hình 3) Ta có tứ giác ABCD nội tiếp (O) ⇒ A thuộc đường tròn (O) Cách 4: Chứng minh điểm nhìn đoạn thẳng góc vng(hình 4) · Ta có: BAC = 900 ⇒ Điểm A nhìn đoạn thẳng BC góc vng ⇒ A thuộc đường tròn (O) đường kính BC … 20 Tìm điểm di chuyển Phương pháp: Giải phần thuận tốn quỹ tích Điểm M có tính chất T điểm M thuộc hình H 21 Xác định vị trí để có hình đặc biệt Phần thuận: Giả sử ta có hình đặc biệt H điểm M có vị trí V Phần đảo: Điểm M có vị trí V ta có hình đặc biệt H Kết luận: Điểm M có vị trí V 22 Tốn cực trị hình học Phương pháp: Các bất đẳng thức thường hay sử dụng Bất đẳng thức côsi: Với a ≥ b ≥ 0, ta có: a+b ≥ ab Dấu “=” xảy ⇔ a = b 2 2 Bất đẳng thức Bunhia – côpxki: ( a + b ) ( x + y ) ≥ ( ax + by ) Dấu “=” xảy ⇔ x y = a b Bất đẳng thức: Với a > b > 0, ta có: Dấu “=” xảy ⇔ a = b ĐÀO VĂN CẦU 71 1 + ≥ a b a+b ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC 1 1 Bất đẳng thức: Với a > 0, b > c > 0, ta có: ( a + b + c ) + + ÷≥ a b c Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c ĐÀO VĂN CẦU 72 ... M; HC cắt DB N Chứng minh HB = HC AB.AC = BH.BI c) Chứng minh MN song song với tiếp tuyến (O) H d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH, đường thẳng cắt HC K cắt (O) J Chứng minh tứ giác HOKD... chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 cm BH = 10 cm b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn ĐÀO VĂN CẦU ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO 1O2 đạt giá... AC cát tuyến ADE tới đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh điểm A, B, H, O, C thuộc đường tròn b) Chứng minh HA tia phân giác góc BHC; c) Gọi I giao điểm BC DE, chứng minh