DE CUONG ON TAP HINH 9 ON THI VAO 10

1. Chứng minh tứ giác nội tiếpDấu hiệu nhận biệt tứ giác nội tiếp Thang cân, vuông, nhật, đối bùHai cùng, bốn đoạnTít mù mà quay2. Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường trònCách 1: Ba điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc vuông Ta có:  Ba điểm C, D, E cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính ABCách 2: Ba điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc  và nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đi qua hai điểm còn lại đó. Ta có: và ba điểm C, D, E nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn Cách 3: Hai tứ giác nội tiếp (có chung ba đỉnh hoặc nội tiếp cùng một đường tròn (O) hoặc cùng nội tiếp đường tròn có một đường kính là đoạn thẳng nối hai trong năm điểm đó …)Hoặc+ Tứ giác ABCD nội tiếp+ Tứ giác ACED nội tiếp+ Qua ba điểm A, C, D chỉ vẽ được một đường tròn Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn Hoặc+ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)+ Tứ giác ACED nội tiếp đường tròn (O) Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)Hoặc + Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn đường kính AC+ Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính AC Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O) Cách 4: Năm điểm cùng cách đều một điểm Ta có: OA = OB = OC = OD = OE Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)3. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường trònDấu hiệu nhận biết tiếp tuyếnCách 1: Dựa vào số điểm chung a và (O) chỉ có 1 điểm chung là A a là tiếp tuyến của (O)Cách 2: Dựa vào hệ thức giữa d và R (khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính của đường tròn đó) Ta có: d = R a là tiếp tuyến của (O)Cách 3: Dựa vào định lí: “Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó” Ta có:a  OA tại Avà A  (O) a là tiếp tuyến của (O)Cách 4: Dựa vào định lí đảo của định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung Ta có:A, B thuộc (O); nằm trong sđ  Ax là tiếp tuyến của (O)Cách 5: Dựa vào phương tích của một điểm với đường tròn Ta có: A, B, C thuộc (O)MBC là cát tuyến của (O) và M nằm ngoài (O)MA2 = MB.MC MA là tiếp tuyến của (O) tại A4. Chứng minh đẳng thức hình họca1) Chứng minh đẳng thức tích tạo bởi năm điểm không thẳng hàng M, A, B, C, DMA.MB = MC.MD Thuật toán ghép hai tam giác đồng dạng từ hai tỉ số bằng nhau: Ghép trên tử: MAD (hai đoạn thẳng MA, MD có chung mút M: Viết MA bỏ M ở MD rồi viết D vào sau MA)Ghép dưới mẫu: MCB (ghép trên tử như thế nào thì ghép dưới mẫu như vậy)a2) Chứng minh đẳng thức tích tạo bởi năm điểm thẳng hàng M, A, B, C, DMA.MB = MC.MD5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc song song6. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau7. Chứng minh ba điểm thẳng hàng8. Chứng minh ba đường thẳng đồng quy9. Chứng minh là tứ giác đặc biệt hoặc tam giác đặc biệt10. Chứng minh hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng11. Chứng minh tia phân giác của góc hoặc đường trung trực của đoạn thẳng12. Chứng minh hai đường tròn tiếp xúc13. Chứng minh tiếp tuyến chung của hai đường tròn14. So sánh các đại lượng hình học và chứng minh đại lượng không đổi15. Tính các đại lượng trong hình học (độ dài đoạn thẳng; chu vi, diện tích, thể tích …)16. Chứng minh điểm cố định17. Chứng minh một điểm là tâm đường tròn nội tiếp hoặc ngoại tiếp18. Tìm điểm di chuyển19. Xác định vị trí để có hình đặc biệt20. Toán cực trị trong hình học

Bài 1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB có

chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By tại C, D

1 Chứng minh:

a) CD = AC + BD

b) AC.BD = R2

2 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất

3 Cho biết R = 2cm, diện tích tứ giác ABDC bằng 32 cm2 Tính diện tích tam giácABM

y x

I E

F

K

H

N P

Bài 1.1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB

có chứa nửa đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đườngtròn ( M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By tại E, F

a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp;

b) AM cắt OE tại P; BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?

c) Vẽ MH  AB tại H, MH cắt BE tại K So sánh MK và KH,

d) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh 1 r 1

3 R 2 

Bài 1.2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Điểm M thuộc nửa đường tròn

(O), điểm C thuộc đoạn thẳng OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M vẽtiếp tuyến Ax, By Đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q;

AM cắt CP tại E; BM cắt CQ tại F Chứng minh:

a) Tứ giác APMC nội tiếp;

b) PCQ 1v;

c) EF//AB

Bài 1.3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và M là điểm thuộc nửa

đường tròn đó (M khác A và B) Gọi P là điểm nằm trên đoạn AO (P khác A và O),

d và d’ là hai đường thẳng vuông góc với AB tương ứng tại A và B Đường thẳngvuông góc với PM tại M và cắt d ở E, đường thẳng vuông góc với PE tại P cắt d’ tại

F, AM cắt PE tại C, BM cắt PF tại D

1 Chứng minh tứ giác CMDP nội tiếp và CDP AEP

2 Chứng minh CD song song với AB và ba điểm E, M, F thẳng hàng

3 Tìm vị trí của điểm M để 1 1

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 1.4: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB, lấy điểm M trên nửa đường tròn

đó (M ≠ A, B) Gọi H là hình chiếu của M trên AB Kẻ tiếp tuyến a tại M của nửa đường tròn (O) Từ A và B vẽ các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a tại C,

D

1 Chứng minh rằng: a) MCH = MAH  ;

b) Tam giác CHD vuông;

c) AC + BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn

2 Cho diện tích hình thang vuông ACDB là 32cm2 và CM = 2cm Tính diện tíchtam giác CHD

Bài 1.5: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, M là một điểm điểm bất kì trên

nửa đường tròn đó (M khác A, B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H Từ

A và B vẽ hai tiếp tuyến AC và BD với đường tròn (M); (C, D là các tiếp điểm).Chứng minh rằng:

a) MAH MAC ; b) AC//BD;

c) Ba điểm C, M , D thẳng hàng;

d) CD là tiếp tuyến của đường tròn (O);

e) AC + BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn (O; R)

Bài 1.6: Cho đường tròn (O) đường kính AB Qua A và B kẻ tiếp tuyến a và b của

đường tròn Từ điểm M thuộc đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt a và btại C và D MB cắt a tại K Chứng minh rằng:

a) AC + BD = CD

b) CA = CK

c) OK vuông góc với AD

Bài 2: Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB tại A và B;

cát tuyến SCD của đường tròn đó không đi qua tâm O

a) Gọi E là trung điểm của dây CD.Chứng minh 5 điểm S, O, A, E, B cùng nằmtrên một đường tròn Tìm tâm O’ của đường tròn đó.

b) Nếu SA = OA thì SAOB là hình gì ? Tại sao?

c) Chứng minh rằng: AC DB = BC.DA =

2

CD.AB

Bài 2.1: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai tiếp

tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, chứng minh tứ giác BOCH là hình thoi

c) Gọi I là giao điểm của đoạn OA với đường tròn Chứng minh I là tâm đườngtròn nội tiếp tam giác ABC

d) Cho OB = 3 cm, OA = 5 cm Tính diện tích tam giác ABC

Bài 2.2: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên đường (O) kẻ tiếp tuyến d với

đường tròn Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP vàgọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC  MB tại C

BD  MA tại D, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.Chứng minh rằng:

1 Tứ giác AMBO nội tiếp;

2 Năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn

3 OI.OM = R2, OI.IM = IA2

4 Tứ giác OAHB là hình thoi.

5 Ba điểm O, H, M thẳng hàng

Bài 2.3: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm phân biệt C và

D Trên đường thẳng d lấy điểm M sao cho C nằm giữa M và D, từ điểm M vẽ haitiếp tuyến MA, MB (A và B là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của CD

a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn Tìm tâm O’ củađường tròn đó

b) Gọi H là trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì ? Tại sao ?

c) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K Chứngminh rằng E la trung điểm của CK

d) Khi M di động trên đường thẳng d Chứng minh đường thẳng AB luôn đi quamột điểm cố định

Bài 2.4: Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB tại A và

B; từ điểm B kẻ đường thẳng BC song song với MA (C thuộc (O)), MD cắt (O) tại C(C khác D), BC cắt MA tại I

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp;

b) Chứng minh IA2 = IB.IC;

c) Chứng minh I là trung điểm của MA,

d) Gọi H là trực tâm tam giác MAB, chứng minh ba ba điểm M, H, O thẳng hàng

Bài 2.5: Từ một điểm M nằm ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MB với

đường tròn Gọi I là trung điểm của MA và K là giao điểm của BI với đường tròn.Tia MK cắt đường tròn (O) tại C

a) Chứng minh các tam giác MIK và BIM đồng dạng;

b) Chứng minh BC//MA;

c) Gọi H là trực tâm tam giác MAB Chứng minh khoảng cách HA không phụthuộc vào vị trí của điểm M;

d) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AMBC là hình bình hành

Bài 2.6: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường

tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) tại D và E(D nằm giữa A và E, dây DE không đi qua tâm O, cung DBE nhỏ hơn cung DCE)

gọi H là trung điểm của DE; AE cắt BC tại K, CH kéo dài cắt (O) tại I, OA cắt BCtại F.

a) Chứng minh 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh BI//AE;

c) Chứng minh 2 1 1

AK AD AE  ;d) Chứng minh DFE 2DCE 

Bài 2.7: Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với

đường tròn (M, N là tiếp điểm) Tia AO cắt đường tròn (O) tại B và C sao cho Bnằm giữa A và O; gọi I là giao điểm của AO với MN

a) Chứng minh AMN cân và CM = CN;

b) Chứng minh MA.MB = AB.CM;

c) Chứng minh BA MA

BI MI và

2 2

AB IB

AC IMd) Đường tròn đường kính MI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác M, chứng minh

AK  NK

Bài 2.8: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó Vẽ các tiếp tuyến

AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm) Gọi H là trung điểmcủa DE

a) Chứng minh rằng 5 điểm A, B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC;

c) Gọi I là giao điểm của BC và DE, chứng minh AB2 = AI.AH;

d) BH cắt đường tròn (O) ở K Chứng minh AE//CK

Bài 2.9: Cho đường tròn (O; R) và dây BC khác đường kính Qua O kẻ đường vuông

góc với BC tại I, cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn ở điểm A, vẽ đường kính BD.a) Chứng minh CD//OA;

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O);

c) Đường thẳng vuông góc với BD tại cắt BC tại K Chứng minh:

IK.IC + OI.IA = R2

Bài 2.10: Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định bên ngoài đường tròn Qua điểm

A vẽ các tiếp tuyến AM, AN và cắt tuyến ABC (M, N, B, C thuộc (O) và B nằm giữa

A và C) Gọi H là trung điểm của BC

a) Chứng minh AM2 = AB.AC;

b) Chứng minh 5 điểm A, M, H, O, N cùng thuộc một đường tròn

c) Khi cát tuyến ABC quay quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạytrên đường nào ?

Bài 2.11: Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó Đường tròn

(O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếptuyến AM và AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểmcủa BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI với MN

1 Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn

2 Chứng minh OI.OH = R2;

3 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài 3: C ho đường tròn (O; R), đường kính CD, K là trung điểm của OD Dây cung

AB đi qua K và vuông góc với CD Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B cắt đườngthẳng CD tại I

1 Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AOBD là hình thoi;

b) IA là tiếp tuyến của đường tròn (O);

c) Tam giác ABC là tam giác đều;

2 Gọi M là một điểm thuộc cung nhỏ BC (M ≠ B, C) của đường tròn (O), MA cắt

B

A

K

O D

C

M F

Bài 3.1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C là trung điểm của OA,

qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM,

H là giao điểm của AK và MN

a) Tứ giác AMON là hình gì ? Tại sao ?

b) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp;

c) Chứng minh AK.AH = R2;

d) Trên KN lấy điểm I sao cho KI = KM, chứng minh NI = KB

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt

phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn (O1) đường kính BH cắt AB tại Ekhác B, vẽ nửa đường tròn (O2) đường kính HC cắt AC tại F

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật ;

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC;

c) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp;

d) Biết ABC 30 0; BH = 4 cm Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BE

E

H O

B

C A

Bài 4.1: Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đường tròn

vẽ AH BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB,

c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn nhất Tínhgiá trị đó.

Bài 4.2: Cho tam giác ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt

phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F

1 Chứng minh AFHE là hình chữ nhật

2 BEFC là tứ giác nội tiếp

3 AE AB = AF AC

4 Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

Bài 4.3: Cho đường tròn (O) đường kính BC Lấy điểm A trên đường tròn (O) sao

cho AB AC Vẽ AH  BC tại H, HE  AB tại E, HF  AC tại F

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật và OA vuông góc với EF;

b) Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại P và Q (E nằm giữa P và F) Chứngminh AP2 = AE.AB Suy ra tam giác APH là tam giác cân

c) Gọi D là giao điểm của PQ và BC, K là giao điểm của AD và đường tròn (O)(K khác A) Chứng minh tứ giác AEFK là một tứ giác nội tiếp và DH2 = DK.DA

Bài 4.4: Cho đường tròn (O; R) đường kính BC Lấy điểm A thuộc đường tròn (O)

sao cho AB AC Vẽ AH  BC tại H, HE  AB tại E, HF  AC tại F Gọi giaođiểm của OA với HE và EF lần lượt là M và N

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật;

S  S  S

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a và BC = a (a > 0) Kẻ AH vuông góc

với tia phân giác của ACD tại H

a) Chứng minh 5 điểm A, H, D, C, B cùng thuộc đường tròn.Tìm tâm O củađường tròn đó và tính bán kính của đường tròn tâm O theo a

b) Gọi HB cắt AD và AC lần lượt tại I , M; HC cắt DB tại N Chứng minh HB =

HC và AB.AC = BH.BI

c) Chứng minh MN song song với tiếp tuyến của (O) tại H

d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH, đường thẳng này cắt HC ở K và cắt(O) tại J Chứng minh tứ giác HOKD nội tiếp

J K

N

M I

B A

Bài 5.1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a và BC = a (a > 0) Kẻ AH vuông góc

với tia phân giác của ACD tại H Gọi HB cắt AD và AC lần lượt tại I , M; HC cắt

DB tại N

a) Chứng minh 5 điểm A, H, D, C, B cùng thuộc đường tròn.Tìm tâm O củađường tròn đó và tính bán kính của đường tròn tâm O theo a

b) Chứng minh HB = HC

c) Chứng minh 2MO.IA = MA.ID

d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH, đường thẳng này cắt HC ở K Chứngminh OK//BC

Bài 6: Cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D) với đáy lớn AB có độ dài

gấp đôi đấy nhỏ DC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD Gọi M, N lầnlượt là trung điểm của HA, HB và I là trung điểm của AB

1 Chứng minh MN  AD và DM  AN

2 Chứng minh các điểm A, I, N, C, D cùng nằm trên một đường tròn

3 Chứng minh: AN.BD = 2DC.AC

N M

Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB>CD, AB//CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ các

tiếp tuyến với (O) tại A và D chúng cắt nhau tại E Gọi M là giao điểm của haiđường chéo AC và BD

1 Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp;

A

Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường cao

AD, BE, CF cắt nhau tại H Kẻ đường kính AI của đường tròn (O; R)

a) Chứng minh rằng tứ giác BHCI là hình bình hành

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng ba điểm H, M, I thẳng hàng và1

M

I N

F H

Bài 8.1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Các đường

cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Kẻ đường kính AI của đường tròn (O; R)

d) Tứ giác AEHF và tứ giác BCEF nội tiếp

e) DB.DC = AD.HD và AE.AC = AF.AB

f) BE, CF cắt (O) lần lượt tại điểm thứ P và Q Chứng minh EF//PQ và A nằm chínhgiữa cung PQ

g)Cho đường tròn (O; R) và BC cố định, A di động trên cung lớn BC Chứng minhbán kính đường tròn ngoại tiếp có độ dài không đổi

Bài 9: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C) Qua B kẻ

đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DCtheo thứ tự tại H và K

1 Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;

Bài 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm Điểm M thuộc cạnh BC sao cho

BM = 3 cm Đường tròn tâm O đường kính AM cắt BD tại E (E ≠ B) Tia Ax là tiatuyến của (O) tại A cắt DC tại K

1 Tính bán kính của (O) và chứng minh B thuộc (O);

2 Chứng minh rằng:

a) DC là tiếp tuyến của (O);

b) Tam giác AEM vuông cân;

c) Ba điểm M; E; K thẳng hàng

3 Đường thẳng AM cắt DC tại N Chứng minh rằng: 1 2 = 1 2 + 1 2

N K

Bài 10.1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm Điểm M thuộc cạnh BC sao

cho BM = 3 cm Đường tròn tâm O đường kính AM cắt BD tại E (E ≠ B) Tia Ax làtia tuyến của (O) tại A cắt DC tại K

1 Tính bán kính của (O) và chứng minh B thuộc (O);

2 Chứng minh rằng:

a) DC là tiếp tuyến của (O);

b) Tam giác AMK vuông cân;

c) Ba điểm M; E; K thẳng hàng

Bài 11: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh

AB, AC lần lượt tại F, E Gọi H là giao điểm của BE với CF, D là giao điểm của AHvới BC

1 Chứng minh

a) Các tứ giác AEHF, AEDB nội tiếp đường tròn

b) AF.AB = AE.AC

2 Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:

Nếu AD + BE + CF=9r thì tam giác ABC đều

I

D

H

E F

O

A

Bài 11.1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) (AB < AC) Các

đường cao AF, BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp;

b) Chứng minh AE.AB = AD.AC;

c) Vẽ đường kính AI của đường tròn (O) Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC.Chứng minh tứ giác BKIC là hình thang cân

d) Cho BC cố định và (O) cố định, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Tìm vị trícủa điểm A để diện tích tứ giác ABIC có giá trị lớn nhất

Bài 12: Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O Gọi C là điểm chính giữa của

cung AB và I là trung điểm của đoạn thẳng BC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O)tại M (M ≠ A), kẻ CH vuông góc với AM tại H

1 Chứng minh tứ giác ACHO nội tiếp Tìm tâm O’ của đường tròn đó

2 Chứng minh tam giác OHC bằng tam giác OHM;

3 Đường thẳng BH cắt (O) tại D khác B Chứng minh tứ giác CDBM là hình thangcân và 8IM.IA = AB2

D

H

M I

C

O

Bài 12.1: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm chính giữa cung AB;

N là trung điểm của dây BC Đường thẳng AN cắt nửa đường tròn (O) tại M (Mkhác A) Kẻ CI  AM tại I Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CIOA nội tiếp;

b) Tứ giác BMCI là hình bình hành;

c) Chứng minh: MOI CAI ;

d) MA = 3MB

Bài 12.2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB

tại O Gọi M là một điểm trên cung BC Kẻ đường cao CH của tam giác ACM (Hthuộc AM)

1 Chứng minh tứ giác AOHC nội tiếp;

2 Chứng minh tam giác CHM vuông cân và OH là tia phân giác của góc COM;

3 Gọi I là giao điểm của OH và BC, MI cắt (O) tại D (D khác M) Chứng minh tứgiác CDBM là hình thang cân;

4 Gọi N là giao điểm của BM và OH Chứng minh hai tam giác BNI và AMC đồngdạng, từ đó suy ra: BN.MC = IN.MA;

5 Chứng minh tứ giác CHMN là hình vuông

Bài 13: Cho đường tròn (O) bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc

với nhau Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) tại N Đườngthẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở P Chứngminh :

1 Tứ giác OMNP nội tiếp

2 Tứ giác CMPO là hình bình hành

3 CM CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

4 Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào.

B' A'

C

Bài 13.1: Cho đường tròn ( O ; R ) có hai đường kính AB và CD vuông góc với

nhau, lấy điểm M trên cung nhỏ AD, đường thẳng CM cắt AB tại E Dựng đườngthẳng d vuông góc với AB tại E Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M cắt đườngthẳng d tại N

a Chứng minh tứ giác OEMN nội tiếp

b Tứ giác OCEN là hình gì ? Tại sao ?

c Chứng minh AE MB = AM EB;

d Kẻ MP  AB tại P Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ AD để MP OP R 2 

Bài 14: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Trên tia đối của tia BA lấy điểm C

(C ≠ B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp điểm), tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng CD tại E Gọi H là giao điểm của AD và OE, K là giao điểm của BE với (O), (K ≠ B)

1 Chứng minh AE2 = EK.EB

2 Chứng minh 4 điểm B; O; H; K cùng thuộc một đường tròn

3 Biết BC = R Hãy tính OE theo R;

4 Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CE tại M Chứng minh AE EM 1

EM CM  .

M K

9

5) Cho MN = 24 cm, tính chu vi của đường tròn (O)

6) Khi điểm C di chuyển trên cung nhỏ BM thì tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp tam giác CME luôn thuộc một đường thẳng cố định

O 1 E

Bài 16: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính

AA’ và đường cao AD Gọi E, F thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C

xuống AA’.Chứng minh:

1) ứ giác AEDB nội tiếp;

2) DB.A’A = AD.A’C;

3) DE  AC;

4) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh MD = ME = MF

Bài 17: Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, C, B theo thứ tự đó Trên nửa mặt phẳng

bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d Trên tia Ax lấy điểm I Tia vuông gócvới IC tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P

1) Chứng minh rằng tứ giác CPKB nội tiếp được đường tròn

2) Chứng minh rằng AI.BK = AC.CB

3) Giả sử 3 điểm A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tíchhình thang vuông ABKI lớn nhất

y x

C

I

Bài 18: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng

phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MCvới nửa đường tròn (C là tiếp điểm) AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O)tại D (D khác B)

1) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn

Bài 19: Cho 2 đường tròn (O) và (O ) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt Đườngthẳng OA cắt (O), (O ) lần lượt tại điểm thứ hai C, D Đường thẳng OA cắt (O),(O ) lần lượt tại điểm thứ hai E, F.

1 Chứng minh 3 đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I

2 Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn

3 PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O ) (P  (O), Q (O ) ) Chứng minh đườngthẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ

E

D

A

Bài 20: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) với R > r tiếp xúc ngoài tại A, BC là

tiếp tuyến chung ngoài, B  (O) và C  (O’) Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BCtại M Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC Chứngminh rằng:

a1) BAC 90 0;

b1) OMO' 90 0

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật;

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC;

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’

e) Chứng minh BC2 = R.r

f) Tính diện tích tứ giác BCO’O theo R và r

g Cho OA = 9cm, O’A = 4cm Tính độ dài BC

F E

Bài 21: Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn (O) Các đường

cao AG, BE, CF gặp nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp Xác định tâm I của đường tròn đó

b) Chứng minh AF.AC = AH.AG

c) Chứng minh GE là tiếp tuyến của đường tròn (I)

d) Cho bán kính của đường tròn (I) là 2 cm, BAC 50 0 Tính độ dài cung FHE củađường tròn tâm I và diện tích hình quạt IFHE

Bài 22: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp

tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại M

1 Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn

2 1

K

I

J M

N P

O

Bài 23: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Trên tia tuyến kẻ từ A của đường

tròn này lấy điểm C sao cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD của đườngtròn (O), ( D là tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp;

b) Gọi H là giao điểm của AD và OC Tính AH, AD theo R;

c) Đường thẳng BC cắt (O) tại điểm thứ hai M Chứng minh MHD 45 0;

d) Đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác MHB Tính diện tích phần hình tròn này nằmngoài đường tròn (O)

I M

H

D C

O

Bài 24: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD tâm O Hai đường

chéo AC và BD cắt nhau tại E Gọi H là hình chiếu của điểm E trên AD và I là trungđiểm của DE Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp;

b) E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH;

c) Năm điểm B, C, I, O, H cùng thuộc một đường tròn

Bài 25: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Điểm C cố định trên nửa

đường tròn Điểm M thuộc cung AC (M khác A và C) Kẻ MH  AB tại H, tia MBcắt CA tại E, EI  AB tại I Gọi K là giao điểm của AC và MH Chứng minh rằng:

1 Tứ giác BHKC nội tiếp;

2 AK.AC = AM2;

3 AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên cung AC;

4 Khi M chuyển động trên cung AC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MIC luôn điqua hai điểm cố định

Bài 26: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư

đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy mộtđiểm P bất kì trên cung AC, vẽ PK  AD tại K và PH  AB tại H Nối PA cắt nửađường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M (M khác B).Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của AP;

b) Các đường thẳng PH, BI và AM đồng quy tại N;

c) PM = PK = AH;

d) Tứ giác APMH là hình thang cân;

e) K, I, H thẳng hàng;

f) AN.AM + BN.BI = AB2;

g) Gọi O’ là trung điểm của PN Chứng minh O’I là tiếp tuyến của (O);

h) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

NH NI NM 

k) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: NH.NM.NI

NP.NA.NB

Bài 27: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Lấy I thuộc cạnh

AB, M thuộc cạnh BC sao cho: IEM 90 0(I và M không trùng với các đỉnh củahình vuông )

a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Tính số đo của góc IME

c) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC; K là giao điểm của BN và tia EM.Chứng minh CK BN

d) Chứng minh rằng diện tích tứ giác BIEM không đổi khi I và M di chuyển trên haicạnh AB và BC sao cho IEM 90 0

e) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BE và AD Chứng minh tam giác PQC vuôngcân.

Bài 28: Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên đoạn OC lấy một điểm B (B

khác O và C) và vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M là trung điểm củađoạn AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB; DC cắt đường tròn O’ tại I.1) Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi

2) Chứng minh BI // AD

3) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng

Bài 28.1: Cho đường tròn tâm O đường kính AC Trên đoạn OC lấy một điểm B (B

khác O và C) và vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M là trung điểm củađoạn AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB; kẻ BI  CD tại I Chứng minh:a) Tứ giác BMDI nội tiếp;

b) Tứ giác ADBE là hình thoi;

c) BI//AD;

d) MI là tiếp tuyến của (O’)

Bài 29: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa A và O.

Qua điểm H vẽ dây cung CD của (O) vuông góc với AB Hai đường thẳng BC và

DA cắt nhau tại M, kẻ MN vuông góc với AB tại N Tiếp tuyến tại A của đườngtròn (O) cắt NC tại E

1 Chứng minh rằng:

a) Tứ giác MNAC nội tiếp;

b) NC là tiếp tuyến của (O);

c) Đường thẳng BE đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH

2 Qua điểm O kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt NC và NDlần lượt tại P và Q Xác định vị trí của điểm H sao cho diện tích tam giác NPQ đạtgiá trị nhỏ nhất

Bài 30: Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD có AB =

BC = a Gọi E là giao điểm của AB với CD, H là trung điểm của AB, F là giao điểmcủa BD với OE, I là giao điểm của OB với HC

a) Chứng minh rằng: Tam giác EAD đều

b) Chứng minh rằng:IF//AD

c) Chứng minh rằng: F là trực tâm của tam giác OBC

d) Tính độ dài đoạn HI theo a

Bài 31: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Vẽ đường thẳng d là tiếp

tuyến của (O) tại B Trên cung AB lấy điểm M tuỳ ý (M khác A và B), tia AM cắt dtại N Gọi C là trung điểm của AM, tia CO cắt d tại D

a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp;

b) Chứng minh NO  AD;

c) Chứng minh CA.CN = CO.CD;

d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 32: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D và H lần

lượt là trung điểm các cạnh AC, BC Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm Acắt tia BD tại E, cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là F

a) Chứng minh đường thẳng BC song song với đường thẳng AE

b) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành

c) Chứng minh bốn điểm O, H, C, D cùng thuộc một đường tròn

d) Gọi I là trung điểm của CF, G là giao điểm của các tia BC và OI Chứngminh rằng:

2AH.HOGH

BC



Bài 33: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự đó và đường thẳng d

vuông góc với AC tại A Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC; lấy một điểm M bất

kì trên (O) Tia CM cắt đường thẳng d tại D Tia AM cắy đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Tia DB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P

a) Chứng minh 4 điểm A, B, M, D cùng thuộc một đường tròn;

b) Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

c) Tứ giác APND là hình gì ? Tại sao ?

d) Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động trên đường tròn (O)

Bài 34: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F

Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD tại E

1 Chứng minh: MA là tia phân giác của góc CMD;

2 Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp

3 Chứng minh AC2 = AE.AM;

4 Gọi giao điểm của CB với AM là N; MD với AB là I Chứng minh NI//CD

5 Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác CIM

Bài 35: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) sao cho

OA = 2R Từ A vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (O); (B là tiếp điểm).Từ B vẽ dâycung BC của (O) vuông góc với cạnh OA tại H Từ H vẽ đường thẳng vuông góc với

AB tại D Đường tròn đường kính AC cắt cạnh DC tại E Gọi F là trung điểm củacạnh OB

1) Tính độ dài AB theo R

2) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Chứng minh tam giác ABC đều

4) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng

Bài 36: Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC Trên các cạnh AB, AC lần

lượt lấy các điểm di động D, E sao cho DOE 60 0

a) Chứng minh rằng tích BD.CE không đổi;

b) Chứng minh rằng BOD # OED , từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của gócBDE;

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếpxúc với DE

Bài 37: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD, đáy nhỏ BC nội tiếp đường tròn tâm

O; AB và CD kéo dài cắt nhau tại I Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và Dcắt nhau tại K

a) Chứng minh tứ giác BIKD nội tiếp;

b) Chứng minh IK//BC;

c) Hình thang ABCD cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AIKD là hình bình hành.Khi đó hãy chứng minh hệ thức: IC.IE = ID.CE với E là giao điểm của BK với ID.d) Vẽ hình bình hành BDKM, đường tròn nội tiếp tam giác BKM cắt đường tròn (O)tại điểm thứ hai N Chứng minh ba điểm D, N, M thẳng hàng

Bài 38: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB, điểm C thuộc nửa đường tròn

(CA > CB) Kẻ bán kính OI vuông góc với AB tại O, cắt dây AC tại D Gọi d là tiếptuyến của (O) tại C của nửa đường tròn Đường thẳng đi qua D song song với ABcắt d tại E Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BCDO nội tiếp và AD.AC = AO.AB;

b) AC//OE;

c) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB Hãy tìm vị trí của C để HDvuông góc với AC

Bài 39: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa

đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn trên, kẻ tia tiếp tuyến

Ax Tia BM cắt Ax tại I, phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia

BM tại F, tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K

1 Chứng minh IA2 = IM.IB;

2 Chứng minh tam giác BAF cân;

3 Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi;

4 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AKFI nội tiếp

Bài 40: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N

sao cho MAN 45   0 Biết BD cắt AM, AN theo thứ tự tại P, Q Chứng minhrằng:

a) ADNQ, PQMN là các tứ giác nội tiếp

b) Tam giác CPQ và tứ giác PQMN có diện tích bằng nhau

c) Năm điểm P, Q, M, C, N cùng thuộc một đường tròn

d) Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thayđổi;

e) Tỉ số APQ

PQMN

S

S không đổi khi M, N thay đổi.

Bài 41: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB và d là tiếp tuyến của (O) tại C.

Gọi D, E thứ tự là hình chiếu của A và B trên d Vẽ đường cao CH của tam giácABC (H thuộc AB) Chứng minh rằng:

Bài 42: Cho tam giác ABC (AB = AC), đường cao AH (H thuộc BC) nội tiếp trong

đường tròn (O; R) Vẽ đường kính AA’ Biết BC = 6 cm, AH = 4 cm

a) Tính R ?

b) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ là hình gì ? Tại sao ?

c) Kẻ AK  CC’ tại K Chứng minh tứ giác AKHC là hình thang cân;

d) Quay tam giác ABC một vòng quanh trục AH Tính diện tích xung quanh củahình được tạo thành

Bài 43: Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau Gọi I

là trung điểm của OA Qua điểm I vẽ dây MQ vuông góc với OA Đường thẳngvuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P (P khác Q)

1 Chứng minh tứ giác PMIO là hình thang vuông;

2 Chứng minh P, Q, O thẳng hàng;

3 Gọi S là giao điểm của AP và CQ Tính góc CSP;

4 Gọi H là giao điểm AP với MQ Chứng minh rằng:

a) MH.MQ = MP2;

b) MP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác QHP

Bài 44: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó Vẽ đường

tròn (O; R) đi qua B và C (O  xy) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN (M, N

là các tiếp điểm) Gọi E, F thứ tự là trung điểm của BC và MN

a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB.AC;

b) Đường thẳng ME cắt (O) tại I (I khác M) Chứng minh IN//AB;

c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đườngthẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi

CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN THƯỜNG GẶP

1 Chứng minh tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu nhận biệt tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn

Cách 1: Ba điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc vuông

O

E

Ta có: ACB ADB AEB 90   0

 Ba điểm C, D, E cùng nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông

 Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính AB

Cách 2: Ba điểm cùng nhìn đoạn thẳng nối hai điểm còn lại dưới một góc  và

nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đi qua hai điểm còn lại đó.

Ta có: ACB ADB AEB   

và ba điểm C, D, E nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB

 Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn

Cách 3: Hai tứ giác nội tiếp (có chung ba đỉnh hoặc nội tiếp cùng một đường tròn

(O) hoặc cùng nội tiếp đường tròn có một đường kính là đoạn thẳng nối hai trong năm điểm đó …)

Hoặc

+ Tứ giác ABCD nội tiếp

+ Tứ giác ACED nội tiếp

+ Qua ba điểm A, C, D chỉ vẽ được một đường tròn

 Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

+ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

+ Tứ giác ACED nội tiếp đường tròn (O)

 Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)

Hoặc

+ Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn đường kính AC

+ Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính AC

 Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)

E

Ta có: OA = OB = OC = OD = OE

 Năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc đường tròn (O)

3 Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Cách 1: Dựa vào số điểm chung

O

A

a và (O) chỉ có 1 điểm chung là A

 a là tiếp tuyến của (O)

Cách 2: Dựa vào hệ thức giữa d và R (khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường

thẳng và bán kính của đường tròn đó)

d R

a

A

H O

Ta có: d = R

 a là tiếp tuyến của (O)

Cách 3: Dựa vào định lí: “Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và

vuông góc với bán kính đi qua điểm đó”

và A  (O)

 a là tiếp tuyến của (O)

Cách 4: Dựa vào định lí đảo của định lí góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

x A

 Ax là tiếp tuyến của (O)

Cách 5: Dựa vào phương tích của một điểm với đường tròn

B A

O

M C

C O

M B

D

MA.MB MC.MD

MA MD

MC MBΔMADΔMAD ΔMADΔ

MD rồi viết D vào sau MA)

Ghép dưới mẫu: MCB (ghép trên tử như thế nào thì ghép dưới mẫu như vậy)

MA.MB = MC.MD

D C A

F

E

O

M B

Để chứng minh: MA.MB = MC.MD, ta chứng minh:

MA.MB = ME2 và MC.MD = ME2

Ta chứng minh các cặp tam giác đồng dạng MEA và MBE; MEC và MDE

(Như vậy để chứng minh đẳng thức MA.MB = MC.MD, ta chứng minh mỗi tích ở mỗi vế cùng bằng tích thứ ba)

a 3 ) Chứng minh đẳng thức hình học một trong hai vế là tổng hoặc hiệu hai tích vế còn lại là một tích

I

D

H

E F

B

C A

tổng nghịch đảo của các đoạn thẳng

O A

2AD.AE = AK.2AH và AE + AD = 2AH 

(Nắm được các phương pháp qua các bài tập cụ thể)

hoặc chứng minh đẳng thức hình học dạng chứng minh biến đổi VT hoặc VP hoặc biến đổi cả hai vế như trong đại số …

C' B'

A'

A

C' B'

A' A

C B

A ' A và  B' B  A 'B' A 'C'

AB AC và A ' A

C' B'