cam nang on vao 10 - 2

Bài tốn 4: Chứng minh biểu thức ln lớn (nhỏ) … giá trị so sánh giá trị biểu thức với số giá trị biểu thức cho trước A với điều kiện cho trước biểu thức rút gọn, điều kiện biểu thức A Bước 1: Xét hiệu biểu thức rút gọn với số cho biểu thức cho, tính hiệu biến đổi hiệu thích hợp viết lại điều kiện toán rút gọn tìm điều kiện biểu thức so sánh A Bước 2: So sánh hiệu với số với điều kiện biến tìm bước (Nhận xét dấu tử mẫu hiệu biến đổi bước từ so sánh hiệu với số 0)… Bước 3: Kết luận (suy điều phải chứng minh so sánh giá trị biểu thức với số giá trị biểu thức cho) Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x + x +1 với x > x ≠ Chứng minh A > x với x > x ≠ Giải A= x + x +1 với x > x ≠ x Bước 1: Xét hiệu tính hiệu biến đổi hiệu tính cách hợp lý để so sánh với số +) Xét A – = x + x +1 − = x + x +1 − x = x − x +1 = x x x ( ) x −1 x với x > x ≠ (Ở cần nhận biết biểu thức x − x +1 đẳng thức bình phương  x >0  hiệu: x −1  với x > x ≠ 1; x ≠ ⇒ x ≠1 x − >  ⇒ x −1≠ ) Một số khác biểu thức nhận giá trị khác bình phương lên nhận giá trị dương, A ≠ ⇒A2 > Bước 2: Nhận xét dấu tử mẫu hiệu biến đổi bước so sánh hiệu với số với điều kiện tìm bước  x >0  x −1 với x > x ≠ 1) A −3= > với x > x ≠ 1; (Vì  x − >  x Bước 3: Kết luận: Suy điều phải chứng minh ⇒ A – > với x > x ≠ +) Vậy A > với x > x ≠ 1(đpcm) ( ( ) ) ( ) ( ) Ví dụ 2: Cho biểu thức: B= x+ x +2 với x > x ≠ Chứng minh B > x +1 với x > x ≠ Bước 1: Xét hiệu tính hiệu biến đổi hiệu tính cách hợp lý để so sánh với số 1  x− ÷ +  x + x + − x −1 x − x +1  +) Xét B – = x + x + 2 −1= = = x +1 x +1 x +1 x +1 với x > x ≠ (Ở cần nhận biết biểu thức x − x +1 tách thành tổng bình 2 x + 1>  1  phương biểu thức với số dương:  x − ÷ +  1 2   x − ÷ + > 2  với x > x ≠ 1) Lưu ý: Biến đổi biểu thức: x − x +1 làm xuất thừa số hạng tử chứa x 1 hạng tử số: = + sau: x − x + + 4 4 Bước 2: Nhận xét dấu tử mẫu hiệu biến đổi bước so sánh hiệu với số với điều kiện tìm bước 2 x + 1> 1  x − +   ÷ 2 với x > x ≠ 1; (Vì  với x >  1 B −1 = >0 x − + >  ÷ x +1 2  x ≠ 1) Bước 3: Kết luận: Suy điều phải chứng minh ⇒ B – > với x > x ≠ +) Vậy B > với x > x ≠ 1(đpcm) Ví dụ 3: Cho biểu thức: C = x +9 với x ≥ x ≠ Chứng minh C > với x +3 x ≥ x ≠ Bước 1: Xét hiệu tính hiệu biến đổi hiệu tính cách hợp lý để so sánh với số +) Xét C – = x +9 x +9 − x − −2= = x +3 x +3 x +3 với x ≥ x ≠ (Trong trường hợp sau tính hiệu ta khơng cần phải biến đổi hiệu tiếp 3 > mà nhận xét dấu tử mẫu để so sánh hiệu với số 0:   x + > với x ≥ x ≠ 9) Bước 2: Nhận xét dấu tử mẫu hiệu so sánh hiệu với số với điều kiện tìm bước 3 > C −2= > với x ≥ x ≠ 9; (Vì  với x ≥ x ≠ 9) x +3  x + > Bước 3: Kết luận: Suy điều phải chứng minh ⇒ C – > với x ≥ x ≠ +) Vậy C > với x ≥ x ≠ (đpcm) Ví dụ 4: Cho biểu thức: P = a − a với a > Hãy so sánh P P i A ≥0  A vớ Nhận xét: Để so sánh P P ta cần áp dụng công thức : A =  i A P = a − a = a a −1 ( ) Bước 2: So sánh P với số Ta so sánh thừa số P với với điều kiện cho trước a: a >  a >  a > ⇒ ⇒ a a −1 > ⇒ P > ⇒ P = P +) Với a >1 ⇒  a > a − >   (Ở ta cần nhận thấy với điều kiện a để so sánh P với số ta cần biến đổi P thành tích) Bước 3: Kết luận: +) Vậy P = P với a > Nhận xét: +) Trong tốn so sánh ta khơng xét hiệu P – P ta khơng tính hiệu mà phải xét trường hợp P ≥ P < nên toán trở nên phức tạp nhiều +) Ta cần nhận biết thực chất so sánh P P so sánh P với số +) Khơng phải tốn so sánh giá trị biểu thức hay chứng minh giá trị biểu thức lớn (nhỏ) … số … xét hiệu để giải tốn ( ) a +1 với a ≥ a ≠ Hãy so sánh M a+ a +2 Bước 1: So sánh M với ĐK: a ≥ 3 a +1 > +) Ta có:  với a ≥ a ≠ a + a + >  a +1 > với a ≥ a ≠ (1) ⇒ M= a+ a +2 Ví dụ 5: Cho biểu thức: M = a +1 ( = +) Xét hiệu: 1− M =1− a +1 = a + a + − a −1 = a − a+ a +2 a+ a +2 a+ a +2 ( ) a −1 ) a −1 M a+ a +2 > với a ≥ a ≠ ⇒ M < (2) a+ a +2 Từ (1) (2) < M < Bước 2: So sánh M M với điều kiện: < M <  M >  M > ⇒ ⇒ M M −1 < +) Với < M x ≠ Bước 2: Trong tập ta biến đổi biểu thức P = x − x mà ta lập luận +) Với x nguyên để P = x − x nguyên ⇔ x nguyên ⇔ x số phương (hay ⇔ x = k với k ∈ Z k ≥ 0) ⇔ x∈{ 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; } (hay ⇔ x = k2 với k ∈ Z k ≥ 0) Bước 3: +) Đối chiếu giá trị tìm x với ĐKXĐ x ∈ Z +) Trả lời toán +) Kết hợp với ĐK: x > x ≠ x ∈ Z, ta được: x∈{ 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; } (Hay x = k2 với k ∈ Z k > 1) +) Vậy x∈{ 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; } giá trị cần tìm (Hay x = k2 với k ∈ Z k > 1) Nhận xét: Trong toán ta cần nhận thấy biểu thức P = x − x nhận giá trị nguyên phụ thuộc vào giá trị thức x Ví dụ 4: Tìm x ngun để biểu thức: C = x − x −1 với x > nhận giá trị nguyên Bước 1: Tìm đkxđ ĐK: x > Bước 2: Trong tập ta biến đổi biểu thức C = x − x −1 mà ta lập luận +) Với x nguyên để C = x − x −1 nguyên ⇔ x −1 nguyên ⇔ x – số phương ⇔ x − 1∈{ 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; } (hay ⇔ x −1 = k với k ∈ Z k ≥ 0) ⇔ x∈{ 1; 2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82; 101; } (hay ⇔ x – = k2 ⇔ x = k2 + với k ∈ Z k ≥ 0) Bước 3: +) Đối chiếu giá trị tìm x với ĐKXĐ x ∈ Z +) Trả lời toán +) Kết hợp với ĐK: x > x ∈ Z, ta được: x∈{ 2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82; 101; } (hay x = k2 + với k ∈ Z k > 0) +) Vậy x∈{ 2; 5; 10; 17; 26; 37; 50; 65; 82; 101; } giá trị cần tìm (Hay x = k2 + với k ∈ Z k > 1) Nhận xét: Trong toán ta cần nhận thấy biểu thức C = x − x −1 nhận giá trị nguyên phụ thuộc vào giá trị thức x −1 TH2: Nếu a không chia hết cho m A= a x +b m x +n Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Tìm BCNN(a;m) : a = k tìm biểu thức phụ kA Bước 3: Tìm x nguyên để biểu thức kA nguyên làm tương tự dạng Bước 4: Kết hợp với ĐK suy giá trị biến số thử lại: Tính giá trị A ứng với giá trị tìm x xét xem biểu thức A nhận giá trị nguyên hay không nguyên chọn giá trị biến x Bước 5: Kết luận x −5 Ví dụ 1: Tìm x ngun để biểu thức: K = với x ≥ 0; x ≠ 25 nhận giá trị x +5 nguyên Bước 1: Tìm đkxđ ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25 Bước 2: Tìm biểu thức phụ 3K biến đổi biểu thức phụ 3K x −5 x −15 +) Ta có: K = ⇒ 3K = x +5 x +5 Biến đổi biểu thức 3K (lấy tử chia cho mẫu tách tử theo mẫu: A+B A B x −15 = x + − 25 áp dụng = + từ dạng phân thức tử M M M tổng hai biểu thức thành dạng tổng hai phân thức) ( ) ( ) x − x + − 25 25 = =2− x +5 x +5 x +5 Bước 3:Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên Lập luận (tất tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có hai câu lập luận sau) giải tốn phụ: Tìm x ngun để biểu thức 3K ngun +) Với x ngun( x khơng số phương) ⇒ x vô tỉ ⇒ K vô tỉ (loại) +) Với x nguyên ( x số phương) ⇒ x nguyên ⇒ x + nguyên (Lập luận phải dẫn đến mẫu nhận giá trị nguyên) 25 Khi đó: 3K ngun ⇔ ngun (vì ∈ Z) ⇔ 25 ⋮ x + x +5 ⇔ x + ∈ Ư(25) = { ±1; ± 5; ± 25} Ta có: 3K = ( ( ) ) Ta có: x + ≥ với x ≥ 0; x ≠ 25  x =0 x =0 3 x + = 3 x =   Do ta có:  ⇔ ⇔ 20 ⇔ 400 x= (loaïi) 3 x + = 25 3 x = 20  x =   +) Số nguyên 25 hợp số có tất ước số +) Trong toán ta cần nhận biết từ ĐK biến x là: x ≥ 0; x ≠ 25 để loại bớt ước +) Bài toán sau loại ước mẫu ước thỏa mãn ĐK nên ta không cần lập bảng giá trị mà ta cho mẫu x + ước số 25 giải tìm x Bước 4: Đối chiếu với ĐK ⇒ giá trị x thử lại +) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25và x ∈ Z ta được: x = −5 = −1∈Z Với x = ⇒ K = +5 Bước 5: Kết luận: Trả lời toán +) Vậy x = giá trị cần tìm Nhận xét: Bài toán (TH2) ta phải làm thêm hai bước so với tốn TH1: +) Bước 1: Tìm biểu thức phụ +) Bước 2: Thử lại: Kiểm tra xem với giá trị tìm biến số biểu thức có nhận giá trị ngun khơng cách thay giá trị biến tìm vào biểu thức thực phép tính xét kết tính có phải giá trị ngun khơng Ví dụ 2: Tìm x nguyên để biểu thức: K = x − 29 với x ≥ 0; x ≠ 25 nhận giá trị x +4 nguyên Bước 1: Tìm đkxđ ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25 Bước 2: Tìm biểu thức phụ 3K biến đổi biểu thức phụ 3K x − 87 x − 29 +) Ta có: K = ⇒ 3K = x +4 x +4 Biến đổi biểu thức 3K (lấy tử chia cho mẫu tách tử theo mẫu: A+B A B x − 87 = x + − 91 áp dụng = + từ dạng phân thức tử M M M tổng hai biểu thức thành dạng tổng hai phân thức) ( ) ( ) x − 87 x + − 91 91 = =1 − x +4 x +4 x +4 Bước 3:Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên Lập luận (tất tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có hai câu lập luận sau) giải tốn phụ: Tìm x nguyên để biểu thức 3K nguyên +) Với x ngun( x khơng số phương) ⇒ x vơ tỉ ⇒ K vơ tỉ (loại) Ta có: 3K = +) Với x nguyên ( x số phương) ⇒ x nguyên ⇒ x + nguyên (Lập luận phải dẫn đến mẫu nhận giá trị ngun) 91 Khi đó: 3K ngun ⇔ ngun (vì ∈ Z) ⇔ 91 ⋮ x + x +4 ( ) ( ) ⇔ x + ∈ Ư(91) = { ±1; ± 7; ± 13; ± 91} Ta có: x + ≥ với x ≥ 0; x ≠ 25 Do ta có bảng: x +4 13 1 x x 91 29 841 +) Số nguyên 91 = 7.13 hợp số có tất 12 ước số.(Ở ta nhận biết 2009 hợp số tránh nhầm lẫn số nguyên tố số trường hợp khác 2009 = 72.41 hợp số …) +) Trong toán ta cần nhận biết từ ĐK biến x là: x ≥ 0; x ≠ 25 để loại bớt ước Bước 4: Đối chiếu với ĐK ⇒ giá trị x thử lại +) Kết hợp với ĐK: x ≥ 0; x ≠ 25và x ∈ Z ta được: x∈{ 1;9;841} Với x = ⇒ K = − 29 = − 4∈ Z 1+ Với x = ⇒ K = − 29 = − 2∈ Z +4 841 − 29 = 0∈ Z 841 + Bước 5: Kết luận: Trả lời toán +) Vậy x∈{ 1;9;841} giá trị cần tìm Nhận xét: Bài tốn (TH2) ta phải làm thêm hai bước so với toán TH1: +) Bước 1: Tìm biểu thức phụ +) Bước 2: Thử lại: Kiểm tra xem với giá trị tìm biến số biểu thức có nhận giá trị nguyên không cách thay giá trị biến tìm vào biểu thức thực phép tính xét kết tính có phải giá trị nguyên không Với x = 841 ⇒ K = Dạng 2: Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên A= a x +b a x+b1 x +c1 A= m x +n a2 x+b2 x +c2 Bước 1: Tìm ĐKXĐ Bước 2: Tìm giá trị nguyên biểu thức A trước cách: +) Chứng minh k ≤ A ≤ K (Áp dụng cách giải tốn tìm GTLN GTNN) +) A ∈ Z Suy ra: Các giá trị biểu thức A Bước 3: Cho biểu thức A nhận giá trị giải phương trình nhận suy giá trị biến Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ) x Ví dụ 1:Tìm x để biểu thức B = với x ≥ x ≠ 16 nhận giá trị nguyên x +1 Bước 1: Tìm đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ 16 Bước 2: Biến đổi biểu thức B thích hợp để chứng minh giá trị biểu thức B bị chặn hai đầu (chặn đầu chặn cuối) 3 x ≥ x ≥ (1) với x ≥ x ≠ 16 (vì  +) Ta có: B = với x ≥ x ≠ 16) x +1  x +1 > Ở ta cần suy luận từ đề toán với đề cho chắn biểu thức B có giá trị: k ≤ B ≤ K (k, K số cho trước) nên ta nhận xét dấu tử mẫu B để suy B ≥ x +1 − 3 +) Ta có: B = > với =3− < (2) với x ≥ x ≠ 16 (vì x +1 x +1 x +1 ( ) x≥0 x ≠ 16) Ở ta có suy luận số trừ biểu thức nhận giá trị dương kết nhỏ +) Từ (1) (2) ⇒ ≤ B < Mà B ∈ Z ⇒ B∈{ 0;1;2} Bước 3: Xét trường hợp: Cho B = 0; B = 1; B = x = 0⇒3 x =0 ⇔ x = ⇔ x =0 +) TH1: B = ⇔ x +1 +) TH2: B = ⇔ x 1 =1⇒ x = x +1⇔ x =1⇔ x = ⇔ x = x +1 x = 2⇒ x = x + ⇔ x = ⇔ x = x +1 Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ)   +) Kết hợp với ĐK: x ≥ x ≠ 16 ta được: x∈0; ;4    +) TH3: B = ⇔   +) Vậy x∈0; ;4  giá trị cần tìm   Ví dụ 2:Tìm x để biểu thức M = x −8 với x ≥ nhận giá trị nguyên x − x +1 Bước 1: Tìm đkxđ ĐK: x ≥ Bước 2: +) Biến đổi biểu thức M thích hợp để chứng minh giá trị biểu thức M bị chặn hai đầu (chặn đầu chặn cuối) +) Trong trường hợp phải áp dụng cách giải tốn tìm GTLN GTNN Ta nháp biến đổi sau: Coi M tham số x ẩn x −8 M= ⇒ Mx − M x + M = x − ⇒ Mx − ( M + ) x + M + = x − x +1 Phương trình có: ∆ =  − ( M + )  − 4M ( M + ) = ⇒ −3M − 22M + 25 = −25 −25 ⇒ M1 = 1; M = ⇒ M2 = GTNN, M1 = GTLN 3 x −8 +) Ta biến đổi biểu thức M = sau: x − x +1 ( ) ( ) ( ) x −1 15 x − 24 25x −10 x +1 − 25 x − x +1 3M = = = − 25 1 x − x +1 x − x +1 x − x + + 4 = ( ) x −1 − 25 ≥ − 25 với x ≥ ⇒ M ≥ −25 với x ≥ (1) 1   x− ÷ + 2  M= x −8 = x − x +1 ( ) ( x − x +1 − x − x + +) Từ (1) (2) ⇒ x − x +1 −25 ≤ M ≤1 ) =1 − ( x −3 ) 2 1   x− ÷ + 2  ≤1 với x ≥ (2) Mà M ∈ Z ⇒ M ∈{ −8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 3; − 2; − 1;0;1} Bước 3: Xét trường hợp: Cho M = – 8; M = – 7; M = – 6; M = – 5; M = – 4; M = – 3; M = – 2; M = – 1; M = 0; M = x −8 = − ⇒ x − = − 8x + x − ⇔ 8x − x = +) TH1: M = – ⇔ x − x +1 x =  x =0 ⇔ x x −3 =0⇔  ⇔ 8 x − =  x =  64 ( ) +) TH2: M = – ⇔ x −8 = − ⇒ x − = − 7x + x − ⇔ 7x − x −1 = x − x +1 Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0) Ta có phương trình: 7t2 – 2t – = Phương trình có: ∆’ = (–1)2 – 7.(– 1) = > ⇒ ∆ = 2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 = 1− 2 (loại) 1+ 2 (thỏa mãn t ≥ 0) 1+ 2 9+ ⇒ x= ⇔x= 49 x −8 = − ⇒ x − = − 6x + x − ⇔ 6x − x − = +) TH3: M = – ⇔ x − x +1 t2 = Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0) Ta có phương trình: 6t2 – t – = Phương trình có: ∆ = (–1)2 – 4.6.(– 2) = 49 > ⇒ ∆ = 1− −1 = ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 = (loại) 2.6 1+ t2 = = (thỏa mãn t ≥ 0) 2.6 ⇒ x = ⇔x= x −8 = − ⇒ x − = − 5x + x − ⇔ 5x − = +) TH4: M = – ⇔ x − x +1 ⇔x= 5 x −8 = − ⇒ x − = − 4x + x − ⇔ 4x + x − = +) TH5: M = – ⇔ x − x +1 Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0) Ta có phương trình: 4t2 + t – = Phương trình có: ∆ = 12 – 4.4.(– 4) = 65 > ⇒ ∆ = 65 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 = t2 = −1+ 65 (thỏa mãn t ≥ 0) −1− 65 (loại) −1+ 65 33 − 65 ⇔x= 32 x −8 = − ⇒ x − = − 3x + x − ⇔ 3x + x − = +) TH6: M = – ⇔ x − x +1 ⇒ x= Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0) Ta có phương trình: 3t2 + 2t – = Phương trình có: a + b + c = + – = ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 =1 (thỏa mãn t ≥ 0) −5 t2 = (loại) Với t1 =1 ⇒ x =1⇔ x =1 +) TH7: M = – ⇔ x −8 = − ⇒ x − = − 2x + x − ⇔ 2x + x − = x − x +1 Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0) Ta có phương trình: 2t2 + 3t – = Phương trình có: ∆ = 32 – 4.2.(– 6) = 57 > ⇒ ∆ = 57 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 = −3 − 57 (loại) −3 + 57 (thỏa mãn t ≥ 0) −3 + 57 33 − 57 ⇒ x= ⇔x= x −8 = − 1⇒ x − = − x + x −1⇔ x + x − = +) TH8: M = – ⇔ x − x +1 t2 = Đặt x = t (ĐK: t ≥ 0) Ta có phương trình: t2 + 4t – = Phương trình có: ∆’ = 22 – 1.(– 7) = > ⇒ ∆ = 2 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 = − − 2 (loại) t = − + 2 (thỏa mãn t ≥ 0) ⇒ x = − + 2 ⇔ x =12 − +) TH9: M = ⇔ x −8 64 = 0⇒5 x −8 = ⇔ x = ⇔ x = 25 x − x +1 +) TH10: M = ⇔ ⇔ ( ) x −8 =1⇒ x − = x − x +1⇔ x − x + = x − x +1 x −3 = ⇔ x −3= ⇔ x =3⇔ x =9 Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ) +) Kết hợp với ĐK: x ≥ x ≠ 16 ta được:  9 + 4 33 − 65 33 − 57 64  x∈0; ; ; ; ; ;1; ;12 − 2; ;9  49 32 25   64  9 + 4 33 − 65 33 − 57 64  ; ; ; ;1; ;12 − 2; ;9  giá trị +) Vậy x∈0; ; 49 32 25   64 cần tìm Ví dụ 3:Tìm x để biểu thức M = M= x −1 với x ≥ nhận giá trị nguyên x − x +1 x −1 ⇒ Mx − M x + M = x −1 ⇒ Mx − ( M +1) x + M +1= x − x +1 Phương trình có: ∆ =  − ( M +1)  − 4M ( M +1) = 1 ⇒ −3M − 2M +1= ⇒ M1 = –1; M = ⇒ M1 = –1 GTNN, M = GTLN 3 ⇒ −1≤ M ≤ Mà M ∈ Z ⇒ M ∈{ −1;0} Ví dụ 4: Bài tốn tổng hợp x + 2009 Cho biểu thức: A = với x > 0, x ≠ x ≠ Tìm x nguyên để biểu thức x nhận giá trị nguyên Bước 1: Tìm đkxđ: ĐK: x > 0, x ≠ x ≠ Bước 2: Biến đổi A (lấy tử chia cho mẫu tách tử theo mẫu áp dụng A+B A B = + từ dạng phân thức tử tổng hai biểu thức thành dạng M M M tổng hai phân thức) x + 2009 2009 =1 + Ta có: A = x x Bước 3: Lập luận (bài tốn tìm giá trị nguyên không chứa thức bậc hai x ) có mẫu x Ta lập luận sau: 2009 A nguyên ⇔ nguyên (vì ∈ Z) ⇔ 2009 ⋮ x x ⇔ x∈ Ư(2009) = { ±1; ±7; ± 41; ± 49; ± 287; ± 2009} Bước 4: Lập bảng giá trị (bài tốn có nhiều ước số) Bài tốn ta khơng cần lập bảng giá trị để tìm x mà ta tìm x bước tìm Ư(2009) Bước 5: +) Đối chiếu giá trị tìm x với ĐKXĐ x ∈ Z +) Trả lời toán +) Kết hợp với ĐK: x > 0, x ≠ x ≠ x ∈ Z ta được: x ∈ { 7;41;49;287;2009} +) Vậy x ∈ { 7;41;49;287;2009} giá trị cần tìm ... x∈{ 2; 5; 10; 17; 26 ; 37; 50; 65; 82; 101 ; } (hay x = k2 + với k ∈ Z k > 0) +) Vậy x∈{ 2; 5; 10; 17; 26 ; 37; 50; 65; 82; 101 ; } giá trị cần tìm (Hay x = k2 + với k ∈ Z k > 1) Nhận xét: Trong... = ⇒ −3M − 22 M + 25 = ? ?25 ? ?25 ⇒ M1 = 1; M = ⇒ M2 = GTNN, M1 = GTLN 3 x −8 +) Ta biến đổi biểu thức M = sau: x − x +1 ( ) ( ) ( ) x −1 15 x − 24 25 x ? ?10 x +1 − 25 x − x +1 3M = = = − 25 1 x − x... − 25 ≥ − 25 với x ≥ ⇒ M ≥ ? ?25 với x ≥ (1) 1   x− ÷ + 2? ??  M= x −8 = x − x +1 ( ) ( x − x +1 − x − x + +) Từ (1) (2) ⇒ x − x +1 ? ?25 ≤ M ≤1 ) =1 − ( x −3 ) 2 1   x− ÷ + 2? ??  ≤1 với x ≥ (2)