cam nang on vao 10 - 8

CHỦ ĐỂ IV: HÀM SỐ Y = AX2 (A ≠ 0) VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Bước 1: Nêu đkxđ hàm số +) Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) xác định với x  R Bước 2: Lập bảng giá trị (tìm điểm thuộc đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)) vẽ đồ thị +) Ta có bảng sau: x –2 –1 y = ax2 4a a a 4a +) Vẽ đồ thị: Bước 3: Kết luận: Đồ thị hàm số y = ax2 parabol (P) qua điểm: (– 2; 4a); (– 1; a); (0; 0); (1; a); (2; 4a) Dạng 2: Giải phương phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) TH1: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) khuyết hệ số b ( b = 0) Phương trình có dạng: ax2 + c = � ax2   c (chuyển hạng tử tự c sang VP) � x2  c (chia hai vế cho hệ số x2 hệ số a) a +) Nếu c = phương trình có nghiệm kép là: x1 = x2 = +) Nếu a.c > c  phương trình vơ nghiệm a +) Nếu a.c < phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  � c a TH2: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) khuyết hệ số c ( c = 0) Phương trình có dạng: ax2 + bx = � x ax  b  (phân tích VT phương trình thành tích cách đặt nhân tử chung đưa phương trình tích) � x � x �� � �  b (áp dụng cách giải phương trình tích để giải phương ax  b � x � � a trình) TH3: Phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) đầy đủ a) Nếu phương trình có a + b + c = phương trình có hai nghiệm là: x1 1; x2  c a b) Nếu phương trình có a – b + c = phương trình có hai nghiệm là: x1   1; x2  c a c) Nếu phương trình khơng có trường hợp mà có b = 2b’ áp dụng cơng thức nghiệm thu gọn để giải phương trình: ’ = b’2 – ac - Với ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1   b'  '  b'  ' ; x2  a a - Với ’ = phương trình có nghiệm kép là: x1  x2   b' a - Với ’ < phương trình phương trình vơ nghiệm d) Nếu phương trình khơng xảy ba trường hợp ta áp dụng cơng thức nghiệm tổng qt để giải phương trình  = b2 – 4ac - Với  > phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1   b   b  ; x2  2a 2a - Với  = phương trình có nghiệm kép là: x1  x2  b 2a - Với  < phương trình phương trình vơ nghiệm Dạng 3: Giải biện luận phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Bước 1: Tính biệt thức  (’) theo tham số Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn xét trường hợp tham số) Xét  (’) > suy giá trị tham số tương ứng tính nghiệm theo cơng thức Xét  (’) = suy giá trị tham số tương ứng tính nghiệm theo cơng thức Xét  (’) < suy giá trị tham số tương ứng suy phương trình vơ nghiệm Bước 3: Kết luận Nêu trường hợp tham số nghiệm phương trình tương ứng Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) có nghiệm, có nghiệm phân biệt, có nghiệm kép tìm nghiệm kép; vơ nghiệm Bước 1: Tính biệt thức  (’) theo tham số Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn xét trường hợp tham số) TH1: Phương trình có nghiệm   (’) ≥ +) Cho  (’) ≥ +) Giải bất phương trình:  (’) ≥ TH2: Phương trình có nghiệm phân biệt   (’) > +) Cho  (’) > +) Giải bất phương trình:  (’) > TH3: Phương trình có nghiệm kép   (’) = +) Cho  (’) = +) Giải phương trình:  (’) = +) Tính nghiệm kép theo cơng thức tổng quát (thu gọn): x1  x2  b  b' (hoặc x1  x2  ) 2a a TH4: Phương trình vơ nghiệm   (’) < +) Cho  (’) > +) Giải bất phương trình:  (’) < Bước 3: Kết luận +) Trả lời giá trị tham số cần tìm +) Trong trường hợp tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm kép tìm nghiệm kép kết luận ta phải trả lời giá trị tham số cần tìm nghiệm kép phương trình tương ứng Dạng 5: Chứng minh phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) ln có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số với giá trị tham cho trước Bước 1: Tính biệt thức  (’) theo tham số Bước 2: Dựa vào công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn xét trường hợp tham số) TH1: Phương trình có nghiệm   (’) ≥ +) Lập luận chứng minh  (’) ≥ với giá trị tham số (m) với giá trị tham số cho trước TH2: Phương trình có nghiệm phân biệt   (’) > +) Lập luận chứng minh  (’) > với giá trị tham số (m) với giá trị tham số cho trước Bước 3: Kết luận +) Trả lời phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số với giá trị tham số cho trước Lưu ý: Ở dạng tốn ta cịn xét tích a.c chứng minh tích: ac < kết luận phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm x1; x2; hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện cho trước (trong biểu thức x1; x2 biểu thức đối xứng) Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm hay hai nghiệm phân biệt +) Tính biệt thức  (’) theo tham số TH1: Phương trình có nghiệm   (’) ≥ +) Cho  (’) ≥ +) Giải bất phương trình:  (’) ≥ TH2: Phương trình có nghiệm phân biệt   (’) > +) Cho  (’) > +) Giải bất phương trình:  (’) > Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm theo giá trị tham số cách áp dụng hệ thức Vi-ét Với điều kiện tham số tìm bước 1, phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 � b x  x  � �1 a +) Theo hệ thức Vi – ét ta có: � c � x1 x2  � a Bước 3: Biến đổi điều kiện cho trước để điều kiện xuất thành hai nhóm: Một nhóm chứa tổng: x1 + x2, nhóm chứa tích: x1.x2 thay tổng tích tính tham số vào điều kiện giải điều kiện suy trị tham số +) Dạng biểu thức x 1, x2 thứ nhất: (thêm bớt để xuất nhóm chứa: x1 + x2 x1.x2) S1  x12  x22  kx1x2  x12  2x1x2  x22 kx1x2  2x1x2   x1  x2    k  2 x1x2 TH đặc biệt: S2  x12  x22   x1  x2   2x1x2 S3   x1  x2    x1  x2   4x1x2 2 +) Dạng biểu thức x1, x2 thứ hai: (quy đồng thêm bớt để xuất nhóm chứa: x1 + x2 x1.x2) S4  k k k  x2  x1    x1 x2 x1x2  k x2  x2  k� �x1  x2   2x1x2 � �   x1x2  S5  k k   x12 x22 S'4  k  x2  x1  2a k  x2  x1  2a k k    x1  a x2  a  x1  a  x2  a x1x2  a x1  x2  x1x2 2 Lưu ý: Đối với dạng biểu thức x1, x2 có chứa mẫu nên ta phải có điều kiện cho mẫu khác (Ở sau thay tổng tích tính theo tham số vào điều kiện ta phải tìm điều kiện tham số mẫu khác 0) +) Dạng biểu thức x1, x2 thứ ba: (nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc nhóm thêm bớt để xuất nhóm chứa: x1 + x2 x1.x2) S6   x1  a  x2  a  k  x1x2  a x1  x2   k S7   x12  a  x22  a  kx1x2  x12x22  a x12  x22   kx1x2 2   x1x2   a�  kx1x2 �x1  x2   2x1x2 � � +) Dạng biểu thức x1, x2 thứ tư: (đặt nhân tử chung nhóm thêm bớt để xuất nhóm chứa: x1 + x2 x1.x2) S8  x12x2  x1x22  kx12x22  x1x2  x1  x2  kx1x2  S9  x13x2  x1x32  kx12x22  x1x2  x12  x22  kx1x2   x1x2 � �x1  x2    k  2 x1x2 � � +) Dạng biểu thức x1, x2 thứ năm: (bình phương thêm bớt để xuất nhóm chứa: x1 + x2 x1.x2) A  x1  x2 � A   x1  x2    x1  x2   4x1x2 (hoặc A  x1  x2   ) a B  x1  x2 � B2    x1  x2  x1  x2  x1x2 C  x1  x2  � C2  x1  x2   x  2    x1 x2  x2  x12  x1x2  x22   x1  x2   2x1x2  x1x2 (Ở ta phải tìm điều kiện tham số cho thức có nghĩa) +) Dạng biểu thức x1, x2 thứ sáu: (biểu thức tổng hợp) Ví dụ: S x13  x32   x1  x2  � �x1  x2   3x1x2 � � S x13  x32  x13x2  x1x32  kx12x22   x13  x32    x13x2  x1x32  kx12x22  2   x1  x2  �  x1x2 � x1  x2    k  2 x1x2 � �x1  x2   3x1x2 �  � � �  x1  x2   kx1x2 � x12x2  x1x22  kx12x22 x1x2 � � � S  2 x1  x2  x  x   2x x 2 Bước 4: Kết luận +) Đối chiếu điều kiện tham số chọn giá trị thỏa mãn loại giá trị không thỏa mãn +) Trả lời giá trị tham số cần tìm Dạng 7: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm x1; x2; hai nghiệm phân biệt thoả mãn:  x1   x   (hoặc nghiệm gấp đôi, gấp ba … nghiệm kia; hai nghiệm đối …) (biểu thức x1; x2 khơng đối xứng) Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm hay hai nghiệm phân biệt +) Tính biệt thức  (’) theo tham số TH1: Phương trình có nghiệm   (’) ≥ +) Cho  (’) ≥ +) Giải bất phương trình:  (’) ≥ TH2: Phương trình có nghiệm phân biệt   (’) > +) Cho  (’) > +) Giải bất phương trình:  (’) > Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm theo giá trị tham số cách áp dụng hệ thức Vi-ét Với điều kiện tham số tìm bước 1, phương trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 � b x1  x2   2 � � a +) Theo hệ thức Vi – ét ta có: � c � x1 x2   3 � a Bước 3: Kết hợp điều kiện cho trước  x1   x   (4) với tổng (2) giải hệ phương trình thay vào tích (3) suy giá trị tham số (tìm x 1, x2 theo tham số thay vào tích (3) giải phương trình nhận được) +) Ta có:  x1   x   (4) � b x1  x2  � a giải hệ phương trình tính Từ (2) (4) ta có hệ phương trình: � �  x1   x2   � x1, x2 theo tham số thay vào tích (3) giải phương trình nhận Bước 4: Kết luận +) Đối chiếu điều kiện tham số chọn giá trị thỏa mãn loại giá trị không thỏa mãn +) Trả lời giá trị tham số cần tìm Dạng 8: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có nghiệm x1 = x0 Tìm nghiệm cịn lại Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm +) Tính biệt thức  (’) theo tham số +) Cho  (’) ≥ +) Giải bất phương trình:  (’) ≥ Suy giá trị tham số để phương trình có nghiệm Bước 2: Thay x1 = x0 vào phương trình ax2 + bx + c = 0, ta có: ax  bx  c  +) Giải phương trình suy giá trị tham số +) Đối chiếu với điều kiện tham số bước 1, chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện loại giá trị tham số khơng thỏa mãn điều kiện Bước 3: Tìm nghiệm cịn lại cách áp dụng hệ thức Vi – ét +) Tính tổng hai nghiệm x1  x  b c (hoặc tính tích hai nghiệm x1 x  ) a a +) Thay giá trị tham số nghiệm biết vào tổng (hoặc tích) tính +) Giải phương trình tìm nghiệm cịn lại Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm nghiệm cịn lại cần tìm Dạng 9: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) có nghiệm dấu nghiệm mang dấu gì?; nghiệm dương; nghiệm âm; nghiệm trái dấu.(hoặc nghiệm phân biệt dấu; nghiệm phân biệt dương; nghiệm phân biệt âm) TH1: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm phân biệt �    '  � � b � S  x1  x  0 dương  � a � c � P  x1 x   � a � Bước 1: +) Tính biệt thức (’) �    '  � � b � S  x1  x  0 +) Cho hệ điều kiện sau xảy ra: � a � c � P  x x  0 � a � Bước 2: Giải hệ điều kiện kết hợp lại tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Trường hợp tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm (tức khơng có từ “phân biệt” sau từ hai nghiệm ) dương ta thêm điều kiện dấu biệt thức (’) ≥ TH2: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm phân biệt �    '  � � b � S  x1  x  0 âm  � a � c � P  x x  0 � a � Bước 1: +) Tính biệt thức (’) �    '  � � b � S  x1  x  0 +) Cho hệ điều kiện sau xảy ra: � a � c � P  x1 x   � a � Bước 2: Giải hệ điều kiện kết hợp lại tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Trường hợp tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm (tức khơng có từ “phân biệt” sau từ hai nghiệm ) âm ta thêm điều kiện dấu biệt thức (’) ≥ TH3: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm trái dấu  ac  Bước 1: Cho điều kiện sau xảy ra: ac  Bước 2: Giải bất phương trình ac  để tìm giá trị tham số Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm TH4: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm phân biệt    '  � dấu  � P  x1x  � Bước 1: +) Tính biệt thức (’)    '  � � +) Cho hệ điều kiện sau xảy ra: � c P  x1 x   � a � Bước 2: Giải hệ điều kiện kết hợp lại tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Trường hợp tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm (tức khơng có từ “phân biệt” sau từ hai nghiệm ) dấu ta thêm điều kiện dấu biệt thức (’) ≥ Dạng 10: Tìm hệ thức liên hệ x1; x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) không phụ thuộc vào giá trị tham số Bước 1: Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm (2 nghiệm phân biệt) với giá trị tham số Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi – ét: b � S  x1  x   1 � � a Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: � c � P  x1 x    � a Bước 3: C1: Áp dụng phương pháp từ (1) (2) rút tham số theo x1, x2 vào phương trình cịn lại biến đổi rút gọn ta hệ thức cần tìm C2: Áp dụng phương pháp cộng đại số: Từ phương trình (1) (2) ta nhân hai vế hai phương trình với số thích hợp cho hệ số tham số hai phương trình đối trừ vế cho vế cộng vế với vế hai phương trình, ta hệ thức x1, x2 cần tìm Bước 4: Kết luận trả lời hệ thức cần tìm Dạng 11: Tính giá trị biểu thức x 1; x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) (biểu thức đối xứng) Bước 1: Chứng minh phương trình bậc hai ln có nghiệm (2 nghiệm phân biệt) Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi – ét: b � S  x  x  � � a  2 Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: � c � P  x x  � a Bước 3: +) Biến đổi biểu thức cho trước để xuất nhóm tổng hai nghiệm x1  x tích hai nghiệm x1 x +) Thay (2) vào biểu thức biến đổi thực phép tính Bước 4: Kết luận trả lời giá trị biểu thức cần tính Dạng 12: Tìm hai số u v biết u + v = S uv = P (tìm hai số biết tổng tích) Áp dụng tính chất: Hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = Bước 1: Lập phương trình bậc hai theo tính chất Hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = Bước 2: Giải phương trình bậc hai: x2 – Sx + P = Suy hai số u v (Lưu ý: Ta phải hoán đổi hai số u v cho phương trình có hai nghiệm phân biệt) Chẳng hạn: Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 u  x1 u  x2 � � � � �v  x �v  x1 Bước 3: Kết luận trả lời số u v cần tìm Dạng 13: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình hai số x1 x2 hai nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện cho trước Bước 1: Tính tổng tích hai số x1 x2 �x1  x  S +) Ta có: � �x1 x  P Bước 2: Lập phương trình bậc hai Áp dụng tính chất: Hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = +) Ta có: Hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 – Sx + P = Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần lập Dạng 14: Chứng minh phương trình bậc hai cho a1x  b1x  c1   1 a x  b2 x  c2    … có nghiệm với giá trị tham số Bước 1: +) Tính biệt thức (’) phương trình theo tham số +) Tính tổng biệt thức: 1 + 2 ( 1   ) theo tham số ' ' Bước 2: Lập luận chứng minh 1 + 2 ( 1   ) lớn không âm với giá trị tham số ' ' Suy hai biệt thức 1; 2( 1 ;  ) có biệt thức nhận giá trị dương (hoặc nhận giá trị không âm) ' '  Ít hai phương trình bậc hai cho có nghiệm (có hai nghiệm phân biệt) Bước 3: Kết luận trả lời hai phương trình bậc hai cho có nghiệm (có hai nghiệm phân biệt) Dạng 15: Tìm điều kiện tham số để hai phương trình bậc hai tương đương với a1x  b1x  c1   1 a x  b2 x  c2    TH1: Phương trình (1) phương trình (2) vơ nghiệm Bước 1: Tính biệt thức (’) phương trình theo tham số(1; 2( 1 ;  )) ' ' � 1  1'   � Bước 2: +) Lập luận dẫn đến hệ điều kiện �    2'   � � 1  1'   � Hai phương trình (1) (2) tương đương với  �    '2   � +) Giải hệ điều kiện kết hợp lại tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện TH2: Phương trình (1) phương trình (2) có nghiệm Bước 1: Tính biệt thức (’) phương trình theo tham số(1; 2( 1 ;  )) ' ' � 1  1'  �0 �    '2  �0 � � � Bước 2: +) Lập luận dẫn đến hệ điều kiện �b1  b a2 �a1 �c c �1  �a1 a � 1  1'  �0 �    '2  �0 � � � Hai phương trình (1) (2) tương đương với  �b1   b a2 �a1 �c c �1  �a1 a +) Giải hệ điều kiện kết hợp lại tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Dạng 16: Tìm điều kiện tham số để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung tìm nghiệm chung Để nghiệm phương trình gấp đơi, gấp ba … nghiệm phương trình a1x  b1x  c1   1 a x  b2 x  c2    Bước 1: +) Giả sử x = x0 nghiệm chung hai phương trình +) Thay x = x0 vào hai phương trình (1) (2) ta có: a1x 02  b1x  c1  a x 02  b x  c2   a1a x  a b1x  a 2c1  a1a x 02  a1b x  a 1c  Nhân hai vế phương trình (1) (2) với số thích hợp khác để hệ số x trừ vế cho vế hai phương trình chuyển hạng tử khơng chứa x0 sang VP hạng tử chứa x0 để VT đặt nhân tử chung x0 ngồi dấu ngoặc ta phương trình:   a1b  a b1  x  a 2c1  a1c a 2c1  a1c  x0  a1b  a b1 +) Từ tìm x0 theo tham số Lưu ý: Xét trường hợp a1b  a b1  a1b  a b1 �0 theo tham số Bước 2: Thay x0 tìm vào hai phương trình bậc hai cho giải phương trình nhận tìm giá trị tham số Bước 3: Thử lại: thay giá trị tham số tìm vào hai phương trình (1) (2) giải phương trình kiểm tra xem ứng với giá trị tham số tìm phương trình có nghiệm chung hay khơng Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Ví dụ 1: Cho hai phương trình: x2 + x + a = (1) x2 + ax + = (2) với a tham số Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung Bước 1: +) Giả sử x = x0 nghiệm chung hai phương trình cho +) Thay x = x0 vào phương trình (1) (2) ta có: x 02  x  a  x 02  ax 1   a 1 x 1 a  (trừ vế cho vế hai phương trình nhóm hạng tử chứa x0 với để VT phương trình đặt x0 ngồi dấu ngoặc)   a 1 x  a 1 (chuyển hạng tử không chứa x0 sang VP) +) Nếu a 1 � a 1 phương trình (1) (2) trở thành: x2 + x + = Phương trình có:  = 12 – 4.1.1 = – <  Phương trình vơ nghiệm  Với a = hai phương trình cho khơng có nghiệm chung a 1 1 a ta có: x  +) Nếu a �۹ a 1 (Ở ta phải xét trường hợp tham số a = a ≠ phương trình  a 1 x  a 1 a = a – = ta lấy (a – 1) chia cho (a – 1) được) Bước 2: Thay x0 = vào phương trình (1) ta có: 12 + + a =  a = – Bước 3: Thử lại Thay a = – vào phương trình (1) (2) ta có phương trình: x2 + x – = (3) x2 – 2x + = (4) Phương trình (3) có: a + b + c = + – =  Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = 1; x2 = – Phương trình (4) có: ’ = (– 1)2 – 1.1 =  Phương trình có nghiệm kép là: x3 = x4 =  Với a = – hai phương trình cho có nghiệm chung là: x = Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Vậy a = – giá trị cần tìm Cách 2: Bước 1: +) Giả sử x = x0 nghiệm chung hai phương trình cho +) Thay x = x0 vào phương trình (1) (2) ta có: �x 02  x  a  (*) �2 �x  ax 1 a 0 � +) Nếu x0 = � 1 (vôlý ) � �x 30  x 02  ax  3 +) Nếu x0 ≠ ta có: (*)  �  x 1 � x 1� x 1 �x  ax 1 Ở cách ta tìm cách triệt tiêu tham số a tìm nghiệm chung x số cụ thể Bước 2: Thay x0 = vào phương trình (1) ta có: 12 + + a =  a = – Bước 3: Thử lại Thay a = – vào phương trình (1) (2) ta có phương trình: x2 + x – = (3) x2 – 2x + = (4) Phương trình (3) có: a + b + c = + – =  Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt là: x1 = 1; x2 = – Phương trình (4) có: ’ = (– 1)2 – 1.1 =  Phương trình có nghiệm kép là: x3 = x4 =  Với a = – hai phương trình cho có nghiệm chung là: x = Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Vậy a = – giá trị cần tìm Dạng 17: Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước( trường hợp đặc biệt tính nghiệm phương trình theo cơng thức nghiệm thay vào điều kiện) Ví dụ 1: Cho phương trình trình: x2 – 2mx + 2m – = (1) (với m tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12  x2  Bước 1: Tìm hai nghiệm x1, x2 theo tham số m cách giải phương trình cho +) Phương trình (1) có: a + b + c = – 2m + 2m – = với m  R  Phương trình có hai nghiệm x1 1; x2  2m1 x1  2m1; x2 1 Bước 2: Xét trường hợp thay x 1, x2 tìm vào điều kiện giải điều kiện tìm giá trị tham số +) TH1: x1 1; x2  2m1 Thay x1 1; x2  2m1 vào phương trình x12  x2  ta có: 12  2m 1 4� 2m 5 1� 2m 6� m +) TH2: x1  2m1; x2 1 Thay x1  2m1; x2 1 vào phương trình x12  x2  ta có:  2m 1 1 4�  2m1   (vô lý) Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Vậy m = giá trị cần tìm Nhận xét: Ở ví dụ ta tìm nghiệm phương trình bậc hai cách nhẩm nghiệm theo trường hợp: a + b + c = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 – 2m = (1) với m tham số 3 Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình (1) Tìm m để: x1  x 10 Bước 1: Tìm hai nghiệm x1, x2 theo tham số m cách giải phương trình cho 2   m 1 � Phương trình (1) có:  '  � � �1. m  2m   m  2m 1 m  2m 1 > với m  R  ' 1  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: x1  m11 m; x2  m11 m x1  m11 m 2; x2  m1 1 m Bước 2: Xét trường hợp thay x 1, x2 tìm vào điều kiện giải điều kiện tìm giá trị tham số 3 Nhận xét: Ở ta nhận thấy điều kiện x1  x 10 thay x1 x2 3 3 3 x2 x1 x1  x khơng đổi ( x1  x  x  x1 ) +) Thay x1  m11 m; x2  m11 m 3 x1  m11 m 2; x2  m1 1 m vào phương trình x1  x 10 ta có: m   m   10 � m   m  6m 12m   10 (áp dụng đẳng thức lập phương hiệu (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3) � m3  m3  6m 12m  10 (bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước ta đổi dấu tất số hạng dấu ngoặc) � 6m 12m  10 (rút gọn hạng tử dấu giá trị tuyệt đối) � 3m  6m   (chia hai vế cho số 2) � 3m  6m   (bỏ dấu giá trị tuyệt đối biểu thức bên GTTĐ biểu thức bên dấu giá trị tuyệt đối nhận giá trị dương: 3m  6m   3m  6m  1  m 1 1 với giá trị m  R) � 3m  6m 1 +) Phương trình có:  '   3   3. 1 12  � ' 2  Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m1  3 3 ;m  3 Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Vậy m1  3 3 giá trị cần tìm ;m  3 Nhận xét: Ở ví dụ ta tìm nghiệm phương trình bậc hai tính nghiệm theo cơng thức nghiệm ta tính biệt thức ’ = Dạng 18: So sánh nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = (a≠0) số  Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = (1) với m tham số Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 < Bước 1: Tìm hai nghiệm x1, x2 theo tham số m cách giải phương trình cho Phương trình (1) có: 2 2 �  2m  �   � � 4.1. m  3m   4m 12m   4m 12m  > với m  R  3  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: 2m 3 2m 3 x1   m; x2   m 2 2m 3 2m 3 x1   m 3; x2  m 2 Ta thấy m – < m với m  R +) Theo ta có: x1 < x2 2m 3 2m 3  x1   m 3; x2  m 2 Bước 2: Xét trường hợp so sánh x1, x2 tìm với số cho, giải bất phương trình tìm giá trị tham số �m 31 �m �� � 4 m Để < x1 < x2 <  � m  m  � � Nhận xét: Ở ta xét trường hợp x1, x2 kết hợp vào bước 1: 2m 3 2m 3 x1   m; x2   m 2 2m 3 2m 3 x1   m 3; x2  m 2 Ta thấy m – < m với m  R +) Theo ta có: x1 < x2 2m 3 2m 3  m 3; x2  m 2 Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm  x1  Vậy 4 m giá trị cần tìm Nhận xét: Ở ví dụ ta tìm nghiệm phương trình bậc hai tính nghiệm theo cơng thức nghiệm ta tính biệt thức  = Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – (m – 1)x + 3(m – 4) = (1) với m tham số Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt +) Phương trình (1) có: 2 �  m  �   � � 4.1.3  m    m  2m 112m  48  m 14m  49   m   +) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2   m 7�  0�۹ m m Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm x1, x2 theo hệ thức Vi – ét �x1  x  m 1  2 Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: � x x  3m  12 �1 Bước 3: Lập luận so sánh nghiệm x1, x2 với số cho, đưa hệ điều kiện thay tổng tích hai nghiệm x1, x2 vào hệ điều kiện giải hệ điều kiện kết hợp lại tìm giá trị tham số m thỏa mãn đồng thời điều kiện +) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 lớn �  x1  x    �x  �x1   �x1   x   � � �1 �� �� ��  3  x1    x    �x1x   x1  x    �x  �x   � +) Thay (2) vào (3) ta có: m 1   m 50 � m 5 � � �� �� � m6 � 3m  12  m    m   m    � � � Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Vậy m giá trị cần tìm ... phương trình: ’ = b’2 – ac - Với ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1   b'  '  b'  ' ; x2  a a - Với ’ = phương trình có nghiệm kép là: x1  x2   b' a - Với ’ < phương trình... phương trình  = b2 – 4ac - Với  > phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1   b   b  ; x2  2a 2a - Với  = phương trình có nghiệm kép là: x1  x2  b 2a - Với  < phương trình phương... x ? ?10 thay x1 x2 3 3 3 x2 x1 x1  x khơng đổi ( x1  x  x  x1 ) +) Thay x1  m11 m; x2  m11 m 3 x1  m11 m 2; x2  m1 1 m vào phương trình x1  x ? ?10 ta có: m   m   ? ?10 �