cam nang on vao 10 - 9

Dạng 19: Tìm điều kiện tham số để (P): y = ax (a≠0) (d): y = – bx – c cắt nhau; tiếp xúc với tìm toạ độ tiếp điểm; khơng giao Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = − bx − c⇔ ax2 + bx + c= 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac) Bước 2: Lập luận tìm giá trị tham số để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt; (d) tiếp xúc với (P); (d) (P) không cắt TH1: Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆(∆’) > +) Giải bất phương trình ∆(∆’) > suy giá trị tham số TH2: Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆(∆’) = +) Giải phương trình ∆(∆’) = suy giá trị tham số +) Khi tính nghiệm kép theo cơng thức: x1 = x2 = − b − b'  tìm hồnh độ 2a  a ÷  giao điểm x0 ⇒ Tung độ giao điểm cách thay hoành độ tìm vào phương trình (P) (d): y0 = a x0 (y = – bx0 – c) ⇒ Tọa độ tiếp điểm là: (x0; y0) TH3: Để (d) khơng cắt (P) ⇔ Phương trình (1) có vô nghiệm ⇔ ∆(∆’) < +) Giải bất phương trình ∆(∆’) < suy giá trị tham số Bước 3: Kết luận giá trị tham số cần tìm; trường hợp yêu cầu tìm tọa độ tiếp điểm trả lời tọa độ tiếp điểm Dạng 20: Tìm toạ độ giao điểm (P): y = ax2 (a≠0) (d): y = – bx – c Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = − bx − c⇔ ax2 + bx + c= 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac) Bước 2: Tìm hồnh độ giao điểm tung độ giao điểm tương ứng +) Giải phương trình (1) tìm nghiệm phương trình x 1; x2 hồnh độ giao điểm x1; x2 (d) (P) +) Tìm tung độ giao điểm (d) (P): Với x = x1 ⇒ y1 = a x12 (y = – bx1 – c) ta điểm (x1; y1) Với x = x2 ⇒ y2 = a x22 (y = – bx2 – c) ta điểm (x2; y2) Bước 3: Kết luận trả lời tọa độ giao điểm cần tìm Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là: (x1; y1); (x2; y2) Dạng 21: Tìm điều kiện tham số để hàm số y = ax (a≠0) đồng biến, nghịch biến x > 0; x nghịch biến x Bước 1: Cho điều kiện hệ số a > xảy ra: +) Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến x > nghịch biến x Bước 2: Giải bất phương trình a > suy giá trị tham số Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm TH2: Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến x < nghịch biến x > ⇔ a < Bước 1: Cho điều kiện hệ số a < xảy ra: +) Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến x < nghịch biến x > ⇔ a < Bước 2: Giải bất phương trình a < suy giá trị tham số Bước 3: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Dạng 22: Chứng minh (d): y = − bx − c (P): y = ax2 (a≠0) cắt hai điểm phân biệt A B với giá trị tham số Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = − bx − c⇔ ax2 + bx + c= 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac) Bước 2: Lập luận chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị tham số +) Lập luận chứng minh ∆(∆’) > với giá trị tham số +) ⇒ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số +) ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị tham số Bước 3: Kết luận Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị tham số Dạng 23: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(x o; yo) tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k tiếp xúc với (P) Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d): y = kx + n tiếp xúc với (P) Viết phương trình đường thẳng vng góc với đường thẳng (d): y = kx + c tiếp xúc với (P) TH1: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(x o; yo) tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = mx + n Bước 2: Lần lượt sử dụng điều kiện đường thẳng qua điểm A(x 0; y0) tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 để suy hệ số m, n Sử dụng điều kiện đường thẳng qua điểm A(x 0; y0) biểu diễn tham số n theo m, x0; y0 thay vào phương trình để phương trình cịn có tham số m +) Đường thẳng (d) qua điểm A(x0; y0) ⇔ y0 = mx0 + n ⇔ n = y0 – mx0 ⇒ (d): y = mx + y0 – mx0 Sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc với (P) tìm tham số a suy phương trình cần tìm +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = mx + y0 − mx0 ⇔ ax2 − mx − y0 + mx0 = 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = m2 – 4a ( − y0 + mx0 ) (hoặc tính ∆’) +) Lập luận: Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆(∆’) = +) Giải phương trình ∆(∆’) = suy giá trị tham số m ⇒ Phương trình cần tìm Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần tìm TH2:Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k tiếp xúc với (P): y = ax2 ( a≠ 0) Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = mx + n Bước 2: Lần lượt sử dụng điều kiện đường thẳng (d) có hệ số góc k tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 để suy hệ số m, n Sử dụng điều kiện đường thẳng có hệ số góc k +) Đường thẳng (d) có hệ số góc k ⇒ m = k Ta có phương trình: y = kx + n (thay m = k tìm vào phương trình để phương trình cịn tham số) Sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc với (P) tìm tham số a suy phương trình cần tìm +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = kx + n⇔ ax2 − kx − n= 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = k2 – 4a ( −n) (hoặc tính ∆’) +) Lập luận: Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆(∆’) = +) Giải phương trình ∆(∆’) = suy giá trị tham số n ⇒ Phương trình cần tìm Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần tìm TH3:Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = kx + c tiếp xúc với (P): y = ax2 ( a≠ 0) Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = mx + n Bước 2: Lần lượt sử dụng điều kiện đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = kx + c tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 để suy hệ số m, n Sử dụng điều kiện đường thẳng song song với đường thẳng (d’): y = kx + c m= k +) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’): y = kx + c ⇔  Ta có n≠ c phương trình: y = kx + n (thay m = k tìm vào phương trình để phương trình cịn tham số) Sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc với (P) tìm tham số a suy phương trình cần tìm +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = kx + n⇔ ax2 − kx − n= 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = k2 – 4a ( −n) (hoặc tính ∆’) +) Lập luận: Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆(∆’) = +) Giải phương trình ∆(∆’) = suy giá trị tham số n ⇒ Phương trình cần tìm Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần tìm TH4:Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (d’): y = kx + c tiếp xúc với (P): y = ax2 ( a≠ 0) Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = mx + n Bước 2: Lần lượt sử dụng điều kiện đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (d’): y = kx + c tiếp xúc với parabol (P): y = ax2 để suy hệ số m, n Sử dụng điều kiện đường thẳng vng góc với đường thẳng (d’): y = kx + c +) Đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (d’): y = kx + c ⇔ −1 −1 −1 m.k = − 1⇔ m= Ta có phương trình: y = x + n (thay m = tìm vào k k k phương trình để phương trình cịn tham số) Sử dụng điều kiện đường thẳng tiếp xúc với (P) tìm tham số a suy phương trình cần tìm +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): −1 ax2 = x + n⇔ ax2 + x − n= 0( 1) k k  1 Phương trình (1) có: ∆ =  ÷ – 4a ( −n) (hoặc tính ∆’)  k +) Lập luận: Để (d) tiếp xúc với (P) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆(∆’) = +) Giải phương trình ∆(∆’) = suy giá trị tham số n ⇒ Phương trình cần tìm Bước 3: Kết luận trả lời phương trình cần tìm Dạng 24: Tìm điều kiện tham số để (P): y = ax (a≠0) qua điểm A(x o; yo) xác định tính đồng biến, nghịch biến Tìm hồnh độ (hoặc tung độ) điểm A thuộc (P) biết tung độ yA = yo hoành độ xA = xo TH1: Tìm điều kiện tham số để (P): y = ax (a≠0) qua điểm A(x o; yo) xác định tính đồng biến, nghịch biến Bước 1: Lập luận: Thay x = x0 y = y0 vào phương trình y = ax2 +) Để parabol (P): y = ax2 (a≠0) qua điểm A(xo; yo) ⇔ y0 = ax20 Bước 2: Giải phương trình y0 = ax0 suy giá trị tham số a Bước 3: Kết luận +) Đối chiếu điều kiện a ≠ chọn giá trị tham số thỏa mãn điều kiện loiaj giá trị tham số không thỏa mãn +) Trả lời giá trị tham số cần tìm * Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số +) Sau tìm giá trị tham số a ta thay a tìm vào cơng thức: y = ax để tìm hàm số +) Áp dụng tính chất: Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến x > nghịch biến x Hàm số y = ax2 (a≠0) đồng biến x < nghịch biến x > ⇔ a < Xét dấu hệ số a để suy tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số +) Kết luận tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số Dạng 25: Cho (P): y = ax2 (a≠0) (d): y = mx + n cắt hai điểm phân biệt A B Tính SOAB; SMAB biết M thuộc (P) Tìm giá trị tham số để S MAB = k SMAB lớn nhất; nhỏ Độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất, dài AB = ; tính AB SMAB ≤  Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + parabol (P): y = x2 cắt hai điểm A B Cho điểm M thuộc (P) parabol có hồnh độ m (– ≤ m ≤ 2) Chứng minh rằng: 27 SMAB ≤ ( SMAB diện tích tam giác MAB) Bước 1: Xác định tọa độ hai giao điểm A B; tọa độ điểm M +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) có: x2 = x + ⇔ x2 – x – = Phương trình có: a – b + c = + – = ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1 = – 1; x2 = +) Với x1 = – ⇒ y1 = (–1)2 = ⇒A(–1; 1) Với x2 = ⇒ y2 = 22 = ⇒ B(2; 4) Ta có: Điểm M có hồnh độ m thuộc parabol (P): y = x2 ⇒ y = m2 ⇒ M(m; m2) Bước 2: Vẽ hình minh họa vẽ thêm hình, tính độ dài đoạn thẳng cạnh đáy chiều cao hình thang vng hình vẽ theo cơng thức khoảng cách +) Ta có hình vẽ sau: +) Kẻ AH, MI, BK vuông góc với Ox H, I, K ta có hình thang vng: AHKB, AHIM, IMBK +) Ta có: AH = =1; MI = m = m (vì m2 ≥ ∀m); BK = = 2 HK = 2− ( −1) = 3; HI = m+1 = m+1; IK = 2− m = 2− m (vì – ≤ m ≤ 2) Bước 3: Tính diện tích tam giác MAB theo tham số m lập luận chứng minh biểu 27 thức SMAB có giá trị ≤ SMAB = SAHKB − ( SAHIM + SIMBK ) 1  1 = HK.( AH + BK ) −  HI ( AH + MI ) + IK ( MI + BK )  2 2  1  1 = 3.( 1+ 4) −  ( m+ 1) 1+ m2 + ( 2− m) m2 +  2 2  ( ) ( ) 15 −  m+ m3 + 1+ m2 + 2m2 + 8− m3 − 4m 2 15 = − 3m2 − 3m+ 9 2 15 = −  m2 − m+ 3 2 2 15   11 15 3  33 27 3  27 = −  m− ÷ +  = −  m− ÷ − = −  m− ÷ ≤ ,∀m∈R 2    2  8 2 2   Bước 4: Kết luận trả lời toán 27 Vậy SMAB ≤ với – ≤ m ≤ Ví dụ 2: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + (với m tham số) a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B với m; b) Tìm m để SOAB = (với O gốc toạ độ) a) Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai = Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx + 1, ta có: x2 = mx + ⇔ x2 – mx – = (*) Bước 2: Lập luận chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x 1; y1); (x2; y2) Phương trình (*) có: ac =1.( −1) = − 1< 0, ∀m ∈ R Suy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 trái dấu với giá trị m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ A(x1; y1); B(x2; y2) nằm hai phía trục tung Oy với giá trị m Bước 3: Kết luận trả lời tốn Vậy (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ A(x1; y1); B(x2; y2) nằm hai phía trục tung Oy với giá trị m b) Bước 1: Tìm điều kiện tham số để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B tính tổng, tích hai nghiệm x1, x2 +) Theo câu a ta có: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 trái dấu với giá trị m ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1; y1); B(x2; y2) nằm hai phía trục tung Oy với giá trị m  x1 + x2 = m ( 1) x x = −  +) Theo hệ thức Vi – ét ta có:  Bước 2: Vẽ hình minh họa kẻ thêm hình tính độ dài đoạn thẳng để tính diện tích tam giác, tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với trục tung Oy +) Ta có hình vẽ sau: +) Kẻ AH, BK vng góc với Oy H, K Ta có: Đường thẳng (d): y = mx + cắt trục tung Oy điểm C(0; 1) +) Ta có: AH = x1 ; BK = x2 ; OC = =1 Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB theo x 1, x2 thay vào điều kiện: SOAB = , biến đổi điều kiện thích hợp, tiếp tục thay tổng tích x 1, x2 tính vào điều kiện giải điều kiện suy giá trị tham số m +) Ta có: (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1; y1); B(x2; y2) nằm hai phía trục tung Oy với giá trị m ⇒ Trục tung Oy chia tam giác OAB thành hai hai tam giác OAC OBC 1 1 = S + S = AH.OC + BK.OC = x + x OAB OAC OBC 2 2 ⇒S = x + x2 ( ) Mà SOAB = (theo ra) ⇒ x1 + x2 = 2⇔ x1 + x2 = 4⇔ x1 + x2 ( ( ) ⇔ x1 ) ( ( ) + x1 x2 + x2 ) =16 =16⇔ x12 + x1x2 + x22 =16 ( ) Nhận xét: Ở ta áp dụng tính chất: A ⇔ ( x1 + x2 ) − 2x1x2 + x1x2 =16( 2) = A A B = A.B +) Thay (1) vào (2) ta có: m2 − 2( −1) + −1 =16⇔ m2 =12⇔ m= ± Bước 4: Kết luận trả lời giá trị tham số cần tìm Vậy m= ± giá trị cần tìm Dạng 26: Tìm điều kiện tham số để (P): y = ax (a≠0) (d): y = − bx − c cắt hai điểm phân biệt A B có hồnh độ x 1; x2 thoả mãn điều kiện cho trước Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai +) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): ax2 = − bx − c⇔ ax2 + bx + c= 0( 1) Phương trình (1) có: ∆ = b2 – 4ac (∆’ = b’2 – ac) Bước 2: Tìm điều kiện tham số để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆(∆’) > +) Giải bất phương trình ∆(∆’) > suy giá trị tham số Bước 3: Tính tổng tích hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) theo hệ thức Vi–ét  −b x1 + x2 = a +) Áp dụng hệ thức Vi–ét ta có:  x x = c  a Bước 4: * Nếu điều kiện cho trước biểu thức x1; x2 biểu thức đối xứng Biến đổi điều kiện cho trước để điều kiện xuất thành hai nhóm: Một nhóm chứa tổng: x1 + x2, nhóm chứa tích: x1.x2 thay tổng tích tính tham số vào điều kiện giải điều kiện suy trị tham số * Nếu điều kiện cho trước biểu thức x 1; x2 không biểu thức đối xứng α x1 + β x = γ Kết hợp điều kiện cho trước α x1 + β x = γ với tổng hai nghiệm giải hệ c phương trình thay vào tích hai nghiệm x1x = suy giá trị tham số (tìm x1, a c x2 theo tham số thay vào tích x1x = giải phương trình nhận được) a Nhận xét: Ở đến bước ta giải tương tự theo bước trường hợp dạng phương trình bậc hai (dạng dạng 7) Bước 5: Kết luận +) Đối chiếu với điều kiện tham số chọn giá trị thỏa mãn loại giá trị không thỏa mãn +) Trả lời giá trị tham số cần tìm Lưu ý: Trong điều kiện có y1, y2 ta phải biểu diễn y1, y2 theo x1; x2 đồng thời thay vào 2 điều kiện.( y1 = − bx1 − c;y2 = − bx2 − c y1 = ax1 − c;y2 = ax2 ) Dạng 27: Tìm điều kiện tham số để (P): y = ax (a≠0) (d): y = mx + n cắt hai điểm phân biệt nằm phía (hoặc hai phía nằm nửa mặt phẳng ) đường thẳng x = m y = k Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y = – x đường thẳng (d) có phương trình y = 2(k –1)x – (k+ 1) Tìm k để (d) (P) cắt hai điểm nằm bên trái đường thẳng x = Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P): y = – x2 đường thẳng (d): y = 2( k–1) x– ( k +1) , ta có: – x2= 2(k – 1)x – (k+ 1) ⇔ x2+ 2(k – 1)x – (k+ 1) = (*) Bước 2: Tìm điều kiện tham số để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆(∆’) > +) Giải bất phương trình ∆(∆’) > suy giá trị tham số Phương trình (*) có: ∆ ' = (k − 1) + (k + 1) = k − k + 2 1  =  k − ÷ + > 0, ∀k ∈ R 2  Suy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị k Khi (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 với giá trị k Nhận xét: Ở toán bước ta luận lập chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 với giá trị k mà khơng phải giải bất phương trình tìm giá trị tham số k Bước 3: Tính tổng tích hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) theo hệ thức Vi–ét  x1 + x2 = −2(k − 1) +) Theo hệ thức vi ét ta có  (1)  x1.x2 = −( k + 1) Bước 4: Lập luận từ điều kiện toán cho dạng lời văn “(d) (P) cắt hai điểm nằm bên trái đường thẳng x = 1” biểu diễn điều kiện dạng hệ thức (ngơn ngữ đại số) thay tổng tích tính tham số vào điều kiện giải điều kiện suy trị tham số (lưu ý kết hợp hệ điều kiện tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện +) Hai giao điểm (d) (P) nằm bên trái đường thẳng x = 1, nên ta có 1 > x1 1 − x1 > (1 − x1 )(1 − x2 ) > 1 − ( x1 + x2 ) + x1x2 > ⇔ ⇔ ⇔ (2)  1 > x2 1 − x2 > (1 − x1 ) + (1 − x2 ) >  − ( x1 + x2 ) > 1 + 2(k − 1) − ( k + 1) >  k > ⇔ ⇔k>2 Thay (1) vào (2) ta có:  + 2( k − 1) > k >   Bước 5: Kết luận trả giá trị tham số cần tìm Vậy k > giá trị cần tìm Ví dụ 2: Cho hàm số: y = mx + với m tham số Tìm m để đồ thị hàm số cắt (P): y = x hai điểm phân biệt thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng y = Đặt (d): y = mx + Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx + 1, ta có: x2 = mx + ⇔ x2 – mx – = (*) Bước 2: Tìm điều kiện tham số để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2) ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆(∆’) > +) Giải bất phương trình ∆(∆’) > suy giá trị tham số Phương trình (*) có: ac =1.( −1) = − 1< 0, ∀m ∈ R Suy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị m Khi (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2) với giá trị m Nhận xét: Ở toán bước ta luận lập chứng minh (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1); (x2; y2) với giá trị m cách xét tích hai số a c mà khơng phải giải bất phương trình biệt thức (∆(∆’)) tìm giá trị tham số m Bước 3: Tính tổng tích hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) theo hệ thức Vi–ét  x1 + x2 = m +) Theo hệ thức vi ét ta có  (1)  x1.x2 = −1 Bước 4: +) Lập luận từ điều kiện toán cho dạng lời văn “(d) (P) cắt hai điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng y = ” biểu diễn điều kiện dạng hệ thức (ngôn ngữ đại số) thay tổng tích tính tham số vào điều kiện giải điều kiện suy trị tham số (lưu ý kết hợp hệ điều kiện tìm giá trị tham số thỏa mãn đồng thời điều kiện +) Trong điều kiện có y1, y2 ta phải biểu diễn y1, y2 theo x1; x2 đồng thời thay vào điều kiện +) Ta có: y1 = mx1 + 1; y2 = mx2 + +) Hai giao điểm (d) (P) thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng y = 1, nên ta có  y1 ≥1  y1 ≤1 ⇔ ( y1 − 1)( y2 − 1) ≥ ⇔ (mx1 + 1−1)( mx2 + 1− 1) ≥ ⇔ m x1 x2 ≥ (2)    y2 ≥1  y2 ≤1 2 Thay (1) vào (2) ta có: m ( −1) ≥ ⇔ m ≤ ⇔ m = ⇔ m = Nhận xét: +) Hai giao điểm (d) (P) thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng y = 1(phần mặt phẳng bị chia đường thẳng y = bao gồm đường thẳng đó) nên y1 =1; y2 =1 +) Sử dụng tính chất A2 ≤ ⇔ A2 = Bước 5: Kết luận trả giá trị tham số cần tìm Vậy m = giá trị cần tìm Dạng 28: Dựa vào biện luận phương trình bậc hai:ax + bx + c = (a≠0) xét số giao điểm (P): y=ax2 (a≠0) (d): y = mx + n; vị trí tương đối (P) (d) Ngược lại dựa vào đồ thị hàm số biện luận số lượng nghiệm phương trình bậc hai x2 = m Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d): y = ( a − ) x − a với a tham số Khi a thay đổi xét số giao điểm (P) (d) theo giá trị a Bước 1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) biến đổi đưa dạng phương trình bậc hai tính biệt thức ∆(∆’) theo tham số Xét phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P): y = 2x đường thẳng (d): y = ( a − ) x − a , ta có: 2x2 = ( a − ) x − a 2 ⇔ x − ( a − ) x + a = (*) Phương trình (*) có: ∆ ' =  −2 ( a − )  − 4a = − 16a +16 Bước 2: Biện luận số nghiệm phương trình (*) dựa vào cơng thức nghiệm phương trình bậc hai suy số giao điểm (d) (P) ứng với trường hợp tham số a +) Nếu ∆ ' > ⇔ −16a +16 > ⇔ a