cam nang on vao 10 - 3

Bài tốn 6: Tìm giá trị Min, Max biểu thức Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng: A= trước biến đổi dạng A= a x +b biểu thức cho m x +n a x +b m x +n Bước 1:Viết lại điều kiện tốn rút gọn tìm điều kiện bổ sung có biểu thức Bước 2: Làm bước tốn tìm giá trị ngun Bước 3: * Lập luận để tìm GTNN, GTLN cách: Vận dụng tính chất bất đẳng thức +) a ≥ b => a + c ≥ b + c +) a ≥ b => a.c ≥ b.c c > +) a ≥ b => a.c ≤ b.c c < +) a ≥ b > => 1 ≤ a b Chú ý điều kiện xảy dấu “=” ⇒ Min; Max * Tìm điều kiện biến để xảy dấu “=” Bước 4: Kết luận: Trả lời GTNN (GTLN) giá trị tương ứng biến Ví dụ 1: Cho biểu thức: P = −3 x với x ≥ x ≠ Tìm giá trị lớn biểu x +4 thức P giá trị tương ứng x Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi P từ dạng phân thức dạng tổng số với phân thức có tử số (chia tử cho mẫu tách tử theo mẫu áp dụng công thức: A+B A B = + ) Tử: − x = − x + = − M M M ( ) ) x + +19 +) Ta có: P = − x −3 = x +4 (Ta thấy: P = −3 x A dạng phân thức biến đổi thành tổng số – x +4 B phân thức x + +19 ( x +4 = − 3+ 19 x +4 19 có tử số 19) x +4 Bước 3: Lập luận tìm điều kiện xảy dấu “=” Lập luận biểu thức khơng âm: +) Ta có: x x ≥ với x ≥ x ≠ (1) ⇒ x + ≥ với x ≥ x ≠ (2) Cộng hai vế bất phương trình với hạng tử số ⇒ 19 19 ≤ với x ≥ x ≠ 1(3) x +4 Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số tử 19: Phân số có mẫu lớn nhỏ ⇒ P = − 3+ 19 19 ≤ − + = với x ≥ x ≠ (4) 4 x +4 Cộng hai vế bất phương trình với hạng tử số – để VT trở biểu thức P ban đầu +) Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ x ≠ 1) Ta cần nắm suy luận sau: Dấu “=” bước cuối (4) xảy dấu “=” bước (1) xảy ⇒ MinP = ⇔ x = Bước 4: Kết luận (lưu ý bước kết luận ý câu hỏi tốn đặt thường có cách hỏi: Cách hỏi 1: Tìm giá trị biến để biểu thức đạt GTNN, GTLN (chỉ yêu cầu tìm giá trị biến) Cách hỏi 2: Tìm GTNN, GTLN biểu thức (chỉ yêu cầu tìm Min, Max) Cách hỏi 3: Tìm GTNN, GTLN biểu thức giá trị tương ứng biến (yêu cầu tìm GTNN, GTLN biểu thức giá trị biến số) Cả ba cách hỏi ta có chung kết luận kết luận ta trả lời GTNN, GTLN giá trị biến Vậy MinP = ⇔ x = Ví dụ 2: Cho biểu thức: P = với x ≥ x ≠ Tìm giá trị lớn biểu x +4 thức P giá trị tương ứng x Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Trong trường hợp ta khơng cần biến đổi P biểu thức P có dạng phân thức tử số: mẫu biểu thức x (bậc x ) Bước 3: Lập luận tìm điều kiện xảy dấu “=” Lập luận biểu thức khơng âm: +) Ta có: x x ≥ với x ≥ x ≠ (1) ⇒ x ≥ với x ≥ x ≠ (2) Nhân hai vế bất đẳng thức với số: (giữ nguyên chiều bất đẳng thức) ⇒ x + ≥ với x ≥ x ≠ (3) Cộng hai vế bất phương trình với hạng tử số ⇒ 7 ≤ với x ≥ x ≠ (4) x +4 Áp dụng quy tắc so sánh hai phân số tử 7: Phân số có mẫu lớn nhỏ ⇒ P≤ với x ≥ x ≠ (5) +) Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ x ≠ 1) Ta cần nắm suy luận sau: Dấu “=” bước cuối (5) xảy dấu “=” bước (1) xảy ⇒ MinP = ⇔ x = Bước 4: Kết luận: Trả lời toán Vậy MinP = ⇔ x = Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng A= dạng tổng quát A= m x +n ( a ≠ 0)hoặc có ax+b x +c kx +m x +n biểu thức cho trước biến đổi ax+b x +c dạng Bước 1:Viết lại điều kiện tốn rút gọn tìm điều kiện bổ sung có biểu thức Bước 2: Biến đổi A m x +n A= ⇒ Aax + (Ab – m) x + Ac – n = ax+b x +c Bước 2: Đặt x = t ( ĐK: t ≥ …) Ta có phương trình: Aat2 + (Ab – m)t + Ac – n = (1) +) Xét A = ⇒ x ? +) Xét A ≠ ⇒ Phương trình (1) phương trình bậc Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai: ∆ ≥ ⇒ k ≤ A ≤ K Từ suy ra: Min; Max Bước 3: Kết luận Cách khác biến đổi A = K – A= ( K m' x +n' ) ( k m' x +n' ) ax+b x +c +k ax+b x +c Từ suy Min; Max Dạng tổng quát A= kx +m x +n cách làm trên, ôn tập dạng lớp ax+b x +c ax +bx+c A= cách làm tương tự a'x +b'x+c' Ví dụ 1: Cho biểu thức M = x −8 với x ≥ Tìm GTNN, GTLN biểu thức x − x +1 giá trị tương ứng x Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ Bước 2: Biến đổi biểu thức M sau: +) Ta có: 3M = = ( x − 24 ( 25x −10 = 15 x − x +1 ) x −1 ) ( ) = (5 x +1 − 25 x − x +1 ) x −1 1 x − x + + 4 x − x +1 − 25 − 25 ≥ − 25 với x ≥ ⇒ M ≥ −25 với x ≥ 1   x− ÷ +   M= x −8 = x − x +1 ( ) ( x − x +1 − x − x + ) =1− ( x −3 ) ≤1 với x ≥ 1   x− ÷ + 2  Ở để biến đổi biểu thức M ta phải tiến hành bước nháp sau: - Ta nháp biến đổi sau: Coi M tham số x ẩn x −8 M= ⇒ Mx − M x + M = x − ⇒ Mx − ( M + ) x + M + = x − x +1 x − x +1 Phương trình có: ∆ =  − ( M + )  − 4M ( M + ) = ⇒ −3M − 22M + 25 = −25 −25 ⇒ M1 = 1; M = ⇒ M2 = GTNN, M1 = GTLN 3 - Lấy giá trị lớn trừ biểu thức M: 1− M =1− M =1− = ( ( x −3 ) x − x − x +1− x + x − x + = = = x − x +1 x − x +1 x − x + x − x +1 x −3 ) x − x +1 x −8 x − x +1 =1− ( ) ( ) x − x + x − x +1 − x − x + x − x + − x + x − = = x − x +1 x − x +1 x − x +1 - Sau ta biến đổi ngược lại từ lên ta biến đổi M dạng: ( x −3 ) từ ta tìm GTLN biểu thức M x − x +1 - Lấy biểu thức M trừ GTNN: 25 x − 25 x − + 25 x − x +1 M+ = + = x − x +1 3 x − x +1 M =1 − ( = ( ) ( ) ) ( ( ) x −1 15 x − 24 + 25x − 25 x + 25 25x −10 x +1 = = x − x +1 x − x +1 x − x +1 ( ) ( ) ( ) 25 ( 25x −10 x +1) − 25 ( x − M= − = ( x − x +1) 3 ( x − x +1) ⇒ x −1 = 25x −10 x +1− 25x + 25 x − 25 ( ) x − x +1 = 15 x − 24 ( ) x +1 = ( x −8 ) 3( x − x − x +1 ) ) ) x +1 = x −8 x − x +1 - Sau ta biến đổi ngược lại từ lên ta biến đổi M dạng: M= ( ) − 25 từ ta tìm GTNN biểu thức M ( x − x +1) x −1 Bước 3: Lập luận để tìm GTNN, GTLN biểu thức M ( x −1) − 25 = ( x −1) − 25 M= *) Ta có:  ( x − x +1)  3 3  x − ÷ +  2 (  ) 2 4  x −1 ≥  Ta có:     với x ≥ 3  x − ÷ +  >  4   (5 ) x −1 2 ⇒   3  x − ÷ +   4  ⇒ M= (5 ) x −1 ≥0 với x ≥ 25 25 ≥ −  với x ≥  3 3  x − ÷ +   4  ( − ) 1 Dấu “=” xảy ⇔ x −1 = ⇔ x −1= ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ 0) 25 25 ⇔ x= 25 Ở ta áp dụng tính chất bất đẳng thức bình phương biểu thức ⇒ MinM = − ( ) nhận giá trị không âm: x −1 ≥ với x ≥ tổng bình 1  phương biểu thức:  x − ÷ với số dương: nhận giá trị dương; 2  1  tích số dương: biểu thức nhận giá trị dương:  x − ÷ + > với 2    3 x ≥ biểu thức nhận giá trị dương:  x − ÷ +  > với x ≥  4  ( ) Áp dụng thương biểu thức nhận giá trị không âm: x −1 ≥ với x ≥   3 biểu thức nhận giá trị dương:  x − ÷ +  > với x ≥ biểu thức  4  ( ) x −1 nhận giá trị không âm:   3  x − ÷ +   4  ( ≥0 với x ≥ ) x −1 Cộng hai vế bất đẳng thức   3  x − ÷ +   4  M= ( ) x −1 25 25 ≥−  với x ≥  3 3  x − ÷ +   4  ( − x −3 ) ( x −3 ) 2 *) Ta có: M =1− x − x +1 =1−  1  x− ÷ + 2   x −3 ≥  Ta có:   với x ≥   x − ÷ + > 2  ( ( x −3 ) ) ≥ với x ≥ ⇒ 1  x− ÷ + 2  ≥0 với x ≥ với − 25 ta được: ⇒− ( x −3 ) 2 1   x− ÷ + 2  ⇒ M =1− ( ≤ với x ≥ x −3 ) 2 1   x− ÷ + 2  Dấu “=” xảy ⇔ ( ≤1 với x ≥ ) x − = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ 0) ⇒ MaxM = ⇔ x = Ở ta áp dụng tính chất bất đẳng thức bình phương biểu thức nhận giá trị không âm: ( ) x − ≥ với x ≥ tổng bình 1  phương biểu thức:  x − ÷ với số dương: nhận giá trị dương: 2  1   x − ÷ + > với x ≥ Áp dụng thương biểu thức nhận giá trị không 2  âm: ( ) 1  x − ≥ với x ≥ biểu thức nhận giá trị dương:  x − ÷ + > 2  ( x −3 ) ≥ với x ≥ với x ≥ biểu thức nhận giá trị không âm:  1  x− ÷ + 2  ( x −3 ) ≥ với x ≥ với – ta được: Nhân hai vế bất đẳng thức:  1  x− ÷ + 2  − ( x −3 ) ≤ với x ≥ (đổi chiều bất đẳng thức nhân hai vế bất đẳng 1   x− ÷ + 2  thức với số âm điều ta cần ghi nhớ lưu ý giải toán dạng tập này) ( x −3 ) ≤ với x ≥ với ta được: Cộng hai vế bất đẳng thức −  1  x− ÷ + 2  M =1 − ( x −3 ) ≤1 với x ≥    x− ÷ + 2  Bước 4: Kết luận: Trả lời toán 25 ⇔ x= 25 MaxM = ⇔ x = Vậy: MinM = − Ví dụ 2: Cho biểu thức M = −8 với x ≥ Tìm GTNN biểu thức giá trị x − x +1 tương ứng x Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ Bước 2: Biến đổi biểu thức M sau: +) Ta có: −8 −8 −8 M= = = x − x +1 x − x + +  1 x− ÷ + 4  2 Trong trường hợp P có dạng phân thức: Tử số: – 8, cịn mẫu biểu thức có dạng: ax + b x + c (mẫu: x − x +1 ) bậc hai x nên ta biến ( ) đổi mẫu dạng tổng biểu thức dạng k1 m x + n + k (cụ thể: 1  1 x − x +1= x − x + + =  x − ÷ + lập luận 4  2 Bước 3: Lập luận tìm điều kiện dấu “=” xảy 1  +) Ta có:  x − ÷ ≥ với x ≥ 2  1 3  ⇒  x − ÷ + ≥ với x ≥ 2 4  8 32 ≤ = ⇒  3 với x ≥ x −  ÷+ 2 4  −8 −32 P= ≥ ⇒  3 với x ≥   x− ÷ + 2  1 1  Dấu “=” xảy ⇔  x − ÷ = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ 0) 2 2  Bước 4: Kết luận trả lời toán: −32 Vậy MinP = ⇔ x= Dạng 3: Dạng đặc biệt dạng ( A= kx +m x +n A= ax+b x +c ): mẫu m x +n ax+b x +c ( ) bình phương biểu thức viết dạng bình phương biểu thức Bước 1: Viết lại đkxđ Bước 2: Biến đổi đồng biểu thức A đa cho sau: (biến biểu thức có dạng: m x +n ; biến đổi đồng tử thức: ( ) ( ) ax+b x +c=k1 m x +n + k m x +n + k A +B+C A B C = + + từ phân thức ban M M M M đầu tách thành tổng nhiều phân thức có chung mẫu rút gọn, biến đổi phân thức Sau áp dụng cơng thức biển đổi: Biến đổi A= =k1 + ax+b x +c (m x +n ) k2 k3 + m x +n m x +n ( = ) ( k1 m x +n (m x +n ) ) 2 + ( k m x +n (m x +n )+ ) (m k3 x +n ) 2 = t , ta có: A = k1 + k2t + k3t2 để đưa tốn dạng tìm m x +n GTLN, GTNN tam giác thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Bước 3: Đặt Bước 4: Áp dụng cách tìm GTLN, GTNN tam giác thức bậc hai để giải tìm GTLN, GTNN biểu thức cho Để Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tam thức bậc hai: f(x) = ax + bx + c (a ≠ c  b 0), ta biến đổi sau: f ( x ) = ax + bx + c = a  x + x + ÷ a a  2  b  b   b  c  b  b − 4ac = a  x + 2.x +  − + = a x +   ÷  ÷ ÷− a a a a a 4a         Từ suy giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu a < a > 0) Chú ý tìm điều kiện xảy dấu biến phụ suy giá trị biến đề cho Bước 5: Kết luận: Trả lời toán: GTNN, GTLN giá trị tương ứng biến số 3− x A = Ví dụ 1: Cho biểu thức: với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ x −1 ( ) biểu thức A giá trị tương ứng x Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi biểu thức A dạng thích hợp: Tử: − x = − x + = − x −1 +1 ( ) +) Ta có: A = = ( ( 3− x ) x −1 = − x − x −1 ) ( = −2 ( ( ) ( ) x − + −2 x −1 = 2 + x −1 x −1 ) ( ) ( ) x −1 = −2 + x −1 ( ) x −1 2   − + − = −  ÷ −1 x − x − x −1   ) Ở ta cần nhận biết biểu thức: ( ) x −1 − x −1 có dạng tam thức     + c ) với a = 1, b = – 2, bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( f  ÷= a  ÷ +b x − x − x −     c = 0, ta cần áp dụng cần biến đổi tìm GTLN, GTNN tam thức bậc hai để tìm GTLN, GTNN Ở tốn ta không cần đặt biến phụ mà nhận biết biến đổi để tìm GTLN, GTNN   −1÷ , áp Bước 3: Lập luận: *) Xuất phát từ biểu thức dạng bình phương:  x −   dụng tính chất bình phương biểu thức nhận giá trị không âm: A ≥ với A, áp dụng tính chất bất đẳng thức nhân hai vế bất đẳng thức với số cộng hai vế bất đẳng thức với số   −1÷ ≥ với x ≥ x ≠ +) Ta có:   x −1    ⇒ −1÷ −1≥ − với x ≥ x ≠  x −1    −1÷ ≥ với x ≥ x ≠ với số: – Cộng hai vế bất đẳng thức:   x −1  *) Tìm điều kiện xảy dấu “=”   1 +) Dấu “=” xảy ⇔  −1 ÷ = ⇔ −1 = ⇔ =1 ⇒ x − = x − x − x −   ⇔ x −1=1⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ 1) (Lưu ý: Đối với toán tìm GTLN, GTNN bước tìm điều kiện dấu “=” xảy ln có suy luận dấu “=” bước cuối phần lập luận xảy dấu “=” bước phần lập luận phải xảy ra) Bước 4: Kết luận trả lời toán: Vậy MinA = – ⇔ x = Dạng 4: Tìm Min, Max cách áp dụng bất đẳng thức Cơsi Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng: A= ax + b x +c ( m x > 0; m x +n>0 với m x +n x thoả mãn ĐKXĐ) phân thức dạng: tử bậc hai x cịn mẫu bậc x Bước 1: Tìm ĐKXĐ (viết lại đkxđ tốn tìm điều kiện toán cho thêm biểu thức mới) Bước 2: TH1: biểu thức mẫu dạng đặc biệt m x (n = 0) c Biến đổi A= ax + b x +c = ax + b x + c = a x + m + b m x m x m x m x m x m Biến đổi biểu thức cho để xuất nhóm - Nhóm 1: Tổng hai biểu thức chứa biểu thức chứa x : Một biểu thức chứa x tử, x mẫu để áp dụng bất đẳng thức Côsi triệt tiêu hết biến số x - Nhóm 2: Gồm hạng tử số khơng cịn chứa biến x c a x m áp dụng Bước 3: Áp dụng bất đẳng Cơsi cho hai số dương: m x tính chất bất đẳng thức cộng hai vế bất đẳng thức với số biểu thức, nhân hai vế bất đẳng thức với số khác Từ suy Min (Max) Bước 4: Kết luận: Trả lời toán TH2: biểu thức mẫu dạng m x + n (m, n ≠ 0) A= tự ax + b x +c làm tương m x +n ( ) ( ) ( ) k m x +n ax + b x +c k1 m x +n k3 A= = + + m x +n m x +n m x +n m x +n k3 = k1 m x +n + + k2 m x +n Bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ ab Xảy dấu “=” a = b 1 + ≥ với a, b dương Xảy dấu “=” a = b a b a+b Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Xảy dấu “=” x y = a b Bất đẳng thức x + y ≥ x+ y Xảy dấu “=” xy ≥ A ≥ A Xảy dấu “=” A ≥ Chú ý: Khi A > để tìm GTLN, GTNN A ta xét biểu thức A2 tìm A GTLN, GTNN biểu thức trước suy GTLN, GTNN biểu thức A Trong nhiều trường hợp ta đổi biến đặt ẩn phụ để tìm Min; Max Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x +8 với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu x +1 thức A Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi biểu thức A Ta có: A = x + x −1 + = = x +1 x +1 ( )( x −1 )+ x +1 x +1 9 = x −1 + x +1 x +1 −2 x +1 = x +1+ Ở biến đổi A để xuất nhóm 1: tổng x +1 hạng tử chứa nhóm chứa chứa x +1 x +1 hạng tử x +1 x +1 tử hạng tử x +1 mẫu Nhóm 2: hạng tử số: – Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai biểu thức nhận giá trị dương x +1 x +1 +) Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có: x +1+ ≥2 x +1 ⇒ A = x +1+ ( ) x +1 = với x ≥ x ≠ x +1 − ≥ với x ≥ x ≠ x +1 Cộng hai vế bất đẳng thức: x +1+ ≥ với x ≥ x ≠ 9; với x +1 hạng tử: – Tìm điều kiện xảy dấu “=” +) Dấu “=” xảy ⇔ x +1= ⇒ x +1 ( ) x +1 = ⇔ x +1= (vì x +1> x ≥ x ≠ 9) ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện x ≥ x ≠ 9) Bước 4: Kết luận trả lời toán +) Vậy MinA = ⇔ x = Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng: A= ax + b x + c (a ≠ 0) biểu thức cho trước biến đổi dạng A= ax + b x + c Bước 1: Tìm ĐKXĐ (viết lại đkxđ tốn tìm điều kiện tốn cho thêm biểu thức mới) Bước 2: TH1: (a.b < 0, tức hệ số a, b trái dấu) Biến đổi biểu thức A= ax + b x + c cách thích hợp thường biến đổi sau: 2 b c  b  b   b  c  A= ax + b x + c = a  x + x + ÷ = a  x + x +  ÷ −  ÷ +  a a  2a  2a   2a  a   b  b − 4ac  A= a x + ÷ − 2a  4a  Ở b1: đặt hệ số a dấu ngoặc: b2: tách thêm bớt để biểu thức ngoặc xuất đẳng thức bình phương tổng hiệu: biểu thức dấu ngoặc: x + hạng tử thứ hai: b c x + biến đổi sau: hạng tử x giữ nguyên a a b x biến đổi, nhân thêm hệ số vào hệ số hạng tử để a xuất lần tích hai biểu thức đồng thời nhân mẫu phân thức b ( a b b b  b  x = x ) ta được: b3: thêm hạng tử  ÷ bớt hạng tử 2a a 2a  2a  để biểu thức không thay đổi giá trị Như ta biểu thức ngoặc: b  b  x + x +  ÷ 2a  2a   b  c − ÷ +  2a  a b − 4ac  b  c b4: Biến đổi tiếp, rút gọn −  ÷ + = − nhân a vào dấu ngoặc bỏ 4a  2a  a b  b − 4ac  dấu ngoặc ta được: A = a  x + ÷ − 2a  4a  Từ suy giá trị lớn nhất, nhỏ (nếu a < a > 0) Chú ý tìm điều kiện xảy dấu biến phụ suy giá trị biến đề cho Bước 3: Lập luận để tìm GTLN, GTNN A giá trị tương ứng x +) Áp dụng tính chất: a2 ≥ với a Tính chất bất đẳng thức Cộng hai vế với số Nhân hai vế với số âm, số dương +) Tìm điều kiện biến để xảy dấu “=” TH2: (a.b > 0, tức hệ số a, b dấu) ta không biến đổi biểu thức A= ax + b x + c mà lập luận xuất phát từ x với điều kiện biến số: Bước 4: Kết luận: Trả lời tốn Ví dụ 1: Cho biểu thức P= x − x +1 với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi biểu thức P= x − x +1 1  1 P = x − x +1= x − x + + =  x − ÷ + 4  2 Ở ta nhận thấy tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng A= ax + b x + c với a = b = – 1, trái dấu nên ta biến đổi biểu thức P Bước 3: Lập luận tìm điều kiện để xảy dấu “=” 1  +) Ta có:  x − ÷ ≥ với x ≥ 0, x ≠ (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị không 2  âm: Bình phương A2, thức bậc hai A , giá trị tuyết đối A , … 1  nhận giá trị 0), biểu thức  x − ÷ nhận giá trị 2  1 3  ⇒  x − ÷ + ≥ với x ≥ 0, x ≠ 2 4  1 1  +) Dấu “=” xảy ⇔  x − ÷ = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ 0, x 2 2  ≠ 1) Bước 4: Kết luận trả lời toán: Vậy MinP = ⇔ x = 4 Ví dụ 2: Cho biểu thức P= x + x +1 với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi biểu thức P= x + x +1 1  1 P = x + x +1= x + x + + =  x + ÷ + 4  2 Bước 3: Lập luận tìm điều kiện để xảy dấu “=” 1  +) Ở ta có biểu thức  x + ÷ dạng bình phương biểu thức 2  1  nhận giá trị dương nên ta không lập luận từ  x + ÷ ≥ với x ≥ x ≠ (vì 2  khơng có dấu “=” xảy trường hợp này) dẫn đến mắc sai lầm Ta có: x ≥ với x ≥ 0, x ≠ (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị khơng âm: Bình phương A2, thức bậc hai A , giá trị tuyết đối A , …., biểu thức nhận giá trị không âm với điều kiện cho trước biến số nhận giá trị 0) 1 ⇒ x + ≥ với x ≥ 0, x ≠ (cộng hai vế bất đẳng thức x ≥ với hạng tử 2 ) 2 1  ⇒  x + ÷ ≥ với x ≥ 0, x ≠ (bình phương hai vế bất đẳng thức 2  1 x + ≥ hai vế nhận giá trị dương) 2 1 3  ⇒  x + ÷ + ≥ + = với x ≥ 0, x ≠ 2 4  +) Dấu “=” xảy ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ 0, x ≠ 1) Bước 4: Kết luận trả lời toán: Vậy MinP = ⇔ x = C2: Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Ta lập luận mà không cần biến đổi biểu thức P= x + x +1 +) Ta có: x ≥ với x ≥ x ≠ (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị khơng âm: Bình phương A2, thức bậc hai A , giá trị tuyết đối A , ….hoặc biểu thức nhận giá trị không âm với điều kiện cho trước biến số nhận giá trị 0)  x ≥ ⇒ với x ≥ x ≠  x ≥ ⇒ x + x ≥ với x ≥ x ≠ ⇒ x + x +1 ≥1 với x ≥ x ≠ +) Dấu “=” xảy ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ x ≠ 1) Bước 3: Kết luận trả lời toán Vậy MinP = ⇔ x = Ví dụ 3: Cho biểu thức M = x − x + với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi biểu thức M = x − x + ( ) M =2 x − x + = 2x − x + + = x − x +1 + = ( ) x −1 + Ở ta nhận thấy tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng A= ax + b x + c với a = b = – 4, trái dấu nên ta biến đổi biểu thức M Ở ta không đặt hệ số x dấu ngoặc mà tách = + nhóm với hai hạng tử đầu để tạo thành đẳng thức Bước 3: Lập luận tìm điều kiện để xảy dấu “=” +) Ta có: ( ) x −1 ≥ với x ≥ 0, x ≠ (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị không âm: Bình phương A2, thức bậc hai nhận giá trị 0), biểu thức ⇒2 ( ) ( ) x −1 A , giá trị tuyết đối A , … có thể nhận giá trị x −1 ≥ với x ≥ 0, x ≠ (nhân hai vế bất đẳng thức ( ) x −1 ≥ với số (2 > 0) nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức ( ) ( x −1) ≥ với 3) ⇒ M=2 x −1 + ≥ với x ≥ 0, x ≠ (cộng hai vế bất phương trình +) Dấu “=” xảy ⇔ ( ) x −1 = ⇔ x −1= ⇔ x =1⇔ x =1 (thỏa mãn x ≥ 0, x≠2) Bước 4: Kết luận trả lời toán: Vậy MinP = ⇔ x =1 Ví dụ 4: Cho biểu thức M = x + x + với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Ta lập luận mà không cần biến đổi biểu thức M = x + x + Ở ta nhận thấy hệ số a = b = 3, dấu +) Ta có: x ≥ với x ≥ x ≠ (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị khơng âm: Bình phương A2, thức bậc hai A , giá trị tuyết đối A , ….hoặc biểu thức nhận giá trị không âm với điều kiện cho trước biến số nhận giá trị 0)  x ≥ ⇒ với x ≥ x ≠ x ≥  2x ≥ ⇒ với x ≥ x ≠ 3 x ≥ ⇒ 2x + x ≥ với x ≥ x ≠ ⇒ M = 2x + x + ≥ với x ≥ x ≠ +) Dấu “=” xảy ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ x ≠ 1) Bước 3: Kết luận trả lời tốn Vậy MinM = ⇔ x = Ví dụ 5: Cho biểu thức M = x − x + với x ≥ x ≠ Tìm giá trị nhỏ biểu thức M Bước 1: Viết lại đkxđ ĐK: x ≥ x ≠ Bước 2: Biến đổi biểu thức M = x − x + 3 3  M =2 x − x + =  x − x+ ÷ 2  2      3   15 =  x − x +  ÷ −  ÷ +  =  x − ÷ +     2  4  Ở ta nhận thấy tốn tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng A= ax + b x + c với a = b = – 3, trái dấu nên ta biến đổi biểu thức M Ở ta đặt hệ số x ngồi dấu ngoặc sau biến đổi ngoặc chia 3 x = x làm hai nhóm: Nhóm 1: từ hai hạng tử đầu biến đổi hạng tử nhân thêm hệ số để xuất lần tích nhân thêm vào mẫu phân số ta có: 2 3 3 x− x = x − x thêm bớt  ÷ để tạo thành đẳng thức, ta có: 4 2 3 3 3   −9 24 15 x− x = x − x = x − x +  ÷ −  ÷ Nhóm 2: −  ÷ + = + = 4 4 4   16 16 16 Rồi nhân hệ số vào dấu ngoặc bỏ dấu ngoặc ta được:  15  2 x − ÷ + 4  Bước 3: Lập luận tìm điều kiện để xảy dấu “=” 3  +) Ta có:  x − ÷ ≥ với x ≥ 0, x ≠ (Ta xuất phát từ biểu thức nhận giá trị khơng 4  âm: Bình phương A2, thức bậc hai A , giá trị tuyết đối A , … 3  nhận giá trị 0), biểu thức  x − ÷ nhận giá trị 4  2 3 3   ⇒2  x − ÷ ≥ với x ≥ 0, x ≠ (nhân hai vế bất đẳng thức  x − ÷ ≥ 4 4   với số (2 > 0) nên giữ nguyên chiều bất đẳng thức)  15 15  ⇒ M = 2 x − ÷ + ≥ với x ≥ 0, x ≠ (cộng hai vế bất phương trình 4 8  15 x −1 ≥ với ) 3 3  +) Dấu “=” xảy ⇔  x − ÷ = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = (thỏa mãn x ≥ 0, 4 4 16  x≠2) Bước 4: Kết luận trả lời toán: 15 Vậy MinP = ⇔ x= 16 ( ) ... âm:   3? ??  x − ÷ +   4  ( ≥0 với x ≥ ) x −1 Cộng hai vế bất đẳng thức   3? ??  x − ÷ +   4  M= ( ) x −1 25 25 ≥−  với x ≥  3? ?? 3  x − ÷ +   4  ( − x ? ?3 ) ( x ? ?3 ) 2 *)... 4  2 Bước 3: Lập luận tìm điều kiện dấu “=” xảy 1  +) Ta có:  x − ÷ ≥ với x ≥ 2  1 3  ⇒  x − ÷ + ≥ với x ≥ 2 4  8 32 ≤ = ⇒  3 với x ≥ x −  ÷+ 2 4  −8 ? ?32 P= ≥ ⇒  3 với x ≥ ... 25x ? ?10 x +1) − 25 ( x − M= − = ( x − x +1) 3 ( x − x +1) ⇒ x −1 = 25x ? ?10 x +1− 25x + 25 x − 25 ( ) x − x +1 = 15 x − 24 ( ) x +1 = ( x −8 ) 3( x − x − x +1 ) ) ) x +1 = x −8 x − x +1 - Sau