CẨM NANG ôn THI vào 10

CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện “CẨM NANG ƠN THI VÀO 10” CÁC BÀI TOÁN ĐẶC BIỆT A – PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: CĂN THỨC DẠNG 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Cho A  BÀI TỐN x9 x3 , x  Tìm x, biết: A  Giải Có: A    x 9 2 x 3     x  x 9 20 x 3 x 92 x 6  x 3 0 0 x 3 x 3  x  dấu Do x   x     x 3  0  x 3  x 3 x 9 x 3 Kết hợp với ĐKXĐ ta  x  Nhận xét: Với tốn giải bất phương trình lưu ý điều sau: Khi quy đồng không khử mẫu Cần đánh giá mẫu dương trước khử mẫu Sau tìm x, cần kiểm tra lại điều kiện xác định trước kết luận BÀI TOÁN Cho A  x3 x 5 , x  0, x  25 Tìm x, biết: A   Giải x 3   x 5    x 3 x 6 x 5 x 1  0 0 0 x 5 2 x  10 x  10   x  x  10 trái dấu TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 1|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Do x   x    x 1   x  10   x  25 x  10 Kết hợp với ĐKXĐ suy  x  25 Nhận xét: Với toán giải bất phương trình lưu ý điều sau: Khi quy đồng không khử mẫu Cần đánh giá mẫu dương trước khử mẫu Sau tìm x, cần kiểm tra lại điều kiện xác định trước kết luận BÀI TOÁN Cho A  x x x 1 , x  Tìm x, biết: A  Giải A 1 x x x  x  x 1 x 1 1 1   0 0 x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 Do x  x     x 2 1  1 3  x     x      4  2 4 x 1   x 1   x  x  x 1 Kết hợp ĐKXĐ ta có:  x  Nhận xét: Với toán giải bất phương trình lưu ý phải chứng minh mẫu dương cách thêm bớt để đưa đẳng thức BÀI TOÁN Cho A  2 x 5 , x  0, x  16, x  25 Tìm x, biết: A  Giải A  2   x 5 2 4  x  1 x  0 0 0 x 5 2 x  10 x  10  1  x  x    x    2 x  10  x  25      x  25 x   1  x     x  25  x  25     2 x  10  Kết hợp với ĐKXĐ, ta được:  x  25, x  16 A  TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 2|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Nhận xét: Với toán giải bất phương trình lưu ý điều sau: Khi quy đồng không khử mẫu Khi tử mẫu chưa xác định dấu cần chia hai trường hợp - Nếu phân thức ≥ tử mẫu dấu, mẫu khác - Nếu phân thức ≤ tử mẫu trái dấu, mẫu khác Sau tìm x, cần kiểm tra lại điều kiện xác định trước kết luận DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ NGUN BÀI TỐN Tìm giá trị nguyên x để biểu thức nhận giá trị nguyên: A  x 1 x3 Giải ĐKXĐ: x  0, x  x 1 x 3 2   1 x 3 x 3 x 3 Ta có: A  A    x   U(2)  {  1; 2} x 3 Ta lập bảng: Kết hợp với điều kiện xác định, x {1; 4;16; 25} A Nhận xét: Với tốn tìm số tự nhiên x (hoặc số nguyên dương) để biểu thức nguyên ta làm tương tự nhận x số tự nhiên (hoặc số nguyên dương) BÀI TOÁN Tìm giá trị nguyên x để biểu thức nhận giá trị nguyên dương: A  x 5 x 1 Giải ĐKXĐ: x  0, x  Ta có: A  x 5  2   x  1 U(3)  {  1; 3} x 1 x 1 TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 3|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Lập bảng: Vậy x {0;16} A số ngun dương Nhận xét: Với tốn tìm x nguyên để biểu thức nguyên dương, ta cần ý bước thử lại trước kết luận Với tốn tìm số tự nhiên x (hoặc số ngun dương) để biểu thức nguyên dương ta làm tương tự toán trên, nhiên ý nhận x số tự nhiên (hoặc số nguyên dương) BÀI TOÁN Tìm giá trị x để biểu thức nhận giá trị nguyên: A  x 5 x3 ,x  Giải Nhận xét: Tìm giá trị x để A nguyên nghĩa tìm x  x 5  4 có: A  x 3 x 3 - Vì x   x    Vì x   x    Từ (1) (2) ta suy (x số thực) để A nhận giá trị nguyên.Ta 7  0 4  4A x 3 x 3 7 7 5   4  4   A  3 x 3 x 3 (1) (2)  A  , A   A {2;3} A2 x 5   x   x   x   x  (TM) x 3 A 3 x 5   x   x   x   x  16 (TM) x 3 1  Vậy x   ;16 4  TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 4|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện BÀI TỐN x6 Tìm số hữu tỉ x để biểu thức nhận giá trị nguyên: A  x 1 ,x  Giải A x 6  1 x 1 x 1 Vì x   x    5   1 1 x 1 x 3 (1) Vì x   x    5   1 6A6 x 1 x 1 (2) Từ (1) (2) ta suy  A  Vì A   A {2;3; 4;5;6} A2 x 6   x   x   x   x  16(TM) x 1 A 3 x 6  3 x 6  x 3 x   x  (TM) x 1 A4 x 6   x   x   x   x  (TM) x 1 A5 x 6 1   x   x   x   x  (TM) 16 x 1 A6 x 6   x   x   x   x  0(TM) x 1   Vậy x  0; ; ; ;16   16  Chú ý: Nếu “Tìm x để biểu thức A nhận giá trị nguyên dương” ta chọn giá trị A số tự nhiên khác Nhận xét: Với tốn tìm x (hoặc tìm x hữu tỉ) để biểu thức nhận giá trị nguyên ta cần ý: Bước 1: “Chặn hai đầu” biểu thức Bước 2: Tìm giá trị biểu thức Bước 3: Tìm x Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện kết luận DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BÀI TỐN Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P  x 1 x 3 TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 5|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Giải ĐKXĐ: x  Ta có: P  x 1 x 3 4   1 x 3 x 3 x 3 Vì x   x   x    Có thể chia đa thức: 4 4   1  1  P   3 x 3 x 3 Dấu “=” xảy x  (TM) Vậy P    x  BÀI TOÁN 10 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: Q  x 5 x 3 Giải ĐKXĐ: x  Ta có: Q  x 5  1 x 3 x 3 Vì x   x   x    2 2   1  1  Q  3 x 3 x 3 Dấu “=” xảy x  (TM) Vậy MaxQ   x 0 BÀI TỐN 11 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: R  x 3 x 1 Chú ý: Bất đẳng thức Cô-si: Với hai số a  0, b  , ta có: a  b  ab Dấu “=” xảy a = b Giải TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 6|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện ĐKXĐ: x  R x 3 4  x 1   x 1 2 x 1 x 1 x 1 Có: x   x   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x 1 2 x 1  x 1   x 1 x  1, ta có: x 1   x 1 2   R  x 1 Dấu “=” xảy x 1   x 1   x    x    x  1(TM) Vậy minR = x = Nhận xét: Sau thực phân tích (tách phần nguyên): - Nếu phần nguyên số (không chứa x) đánh giá trực tiếp “từ lên” x 1 x 5  1  1 ; Q x 3 x 3 x 3 x 3 Nếu phần nguyên chứa ẩn (chứa x) ta thường dùng bất đẳng thức Cô-si x 3  x 1 Ví dụ: R  x 1 x 1 Ví dụ: P  - DẠNG 4: DẠNG TỐN SO SÁNH BÀI TOÁN 12 Cho biểu thức P  x 5 So sánh P với x 2 Giải ĐKXĐ: x  Xét hiệu P   x 5 x 52 x 4 9 2  x 2 x 2 x 2 Vì x   x     BÀI TOÁN 13 9 0 P20 P  x 2 Cho biểu thức Q  x So sánh Q Q2 x 1 Giải TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 7|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện ĐKXĐ: x  Xét hiệu Q2  Q  Q(Q  1)  x   Ta có: x     x   Xét Q   x   Q  x 1 (1) x x  x 1 1 1     Q 1 x 1 x 1 x 1 (2) Từ (1) (2), ta có: Q  Q  1   Q  Q Nhận xét: Để so sánh Q Q2 ta xét Q  Q  Q  Q  1 Khi ta cần xét dấu Q Q – BÀI TOÁN 14 Cho biểu thức P  x 1 Tìm x để P  P x 3 Giải ĐKXĐ: x  0, x  Ta có: P  P  P   x 1   x    x  , x   x   x 3 Kết hợp với ĐKXĐ suy  x  Nhận xét: - P  P  P  0; - P2  P   P  DẠNG 5: BIỆN LUẬN THEO m SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BÀI TỐN 15 Cho biểu thức A  Cho biểu thức P  x 2 x B  x 1 x  với x  0; x   x9 x 3 A Tìm giá trị m để có x thỏa mãn P  m B Giải TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 8|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện B x 2 x 3 P x 3 x Pm x 3  m  x   m x  (m  1) x   x  ,m 1 m 1 x Để có x thỏa mãn đề thì:   x   m   x  m   m       3  3m  m  x     x   3  m  m  Vậy  giá trị cần tìm m  Nhận xét: Với dạng toán này, cần lưu ý đến điều kiện ban đầu x BÀI TOÁN 16 Cho biểu thức P  x 1 , x  0, x  x 3 Tìm m để phương trình P  x  m có hai nghiệm phân biệt Giải P  x m    x m  x 1  x  m (1) x 3  x   x   x    m  x  3m   Đặt t  x, t  0, t  , ta phương trình: t    m  t  3m   (2) Đặt f (t)  t    m  t  3m  Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm khơng âm phân biệt khác  m    16  0, m 16  8m  m  12m       S  m  4  4  m     m P  3m   m  f (3)  9  12  3m  3m      40 Vậy m  giá trị cần tìm Nhận xét: Trong tốn trên, cần đặc biệt lưu ý đến điều kiện t t  0, t  TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 9|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện TRUNG TÂM LUYỆN THI TỐN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 10 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện BÀI TOÁN 21 Cho parabol (P): y  x2 đường thẳng (d): y  mx  Gọi A, B giao điểm (P) (d) 1) Khi m = a) Tình chu vi diện tích tam giác OAB b) Gọi D, C hình chiếu vng góc A B lên Ox Tính diện tích tứ giác ABCD 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho: a) Diện tích tam giác OAB (đvdt) b) Tam giác OAB cân O c) Gọi E giao (d) với trục tung Tìm m để SAOE  2SBOE Giải 1) Khi m = Khi m = Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):  x  1  y   A(1;1) x2  2x     x   y   B(3;9)  a) Ta có: AO  (1  0)2  (1  0)2  BO  (3  0)2  (9  0)2  10 AB  (1  3)2  (1  9)2   Chu vi AOB   10  Gọi E giao điểm (d) với Oy  E(0;3)  OE  Hạ AH  Oy  AH  1; BK  Oy  BK  1 1  SOAB  SOAE  SOBE  AH.OE  BK.OE  1.3  3.3  (đvdt) 2 2 b) Vì D, C hình chiếu A B lên Ox nên AD = 1; BC = 9; CD = Ta có ABCD hình thang vng, đó: 1 SABCD  (AD  BC).CD  (1  9).4  20 (đvdt) 2 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d): x2  mx   (1) a    phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m Do (d) cắt (P) hai Có    m  12  0, m điểm phân biệt A(x1; y1 ), B(x2 ; y2 ) với m TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 23 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện x  x  m Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có:  x x    Gọi E giao điểm (d) với Oy  E(0;3)  OE  Hạ AH  Oy  AH  x1 ; BK  Oy  BK  x a) Diện tích tam giác OAB (đvdt) 1  SOAB  SOAE  SOBE  AH.OE  BK.OE  OE  AH  BK   x  x2 2 2 9 x1  x  x1  x  36  x12  x 22  x1x  36         x1  x2   2x1x2  x1x  36  m    36  m  24  m  2 Vậy m  2 giá trị cần tìm b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB cân O Ta có A  x1; y1  ,B  x ; y  ,O  0;  2  x1     x2    OA2  x12  x22 ; OB2  x22  y22 Có y1   mx1  3 ; y   mx    OA  Vì OAB cân O nên OA  OB  OA  OB2  x12  y12  x22  y22  x12   mx1    x 22   mx    x12  x22  m x12  6mx1   m x 22  6mx     x1  x2  x1  x2   m  x1  x  x1  x   6m  x1  x     x1  x2   x1  x   m  x1  x   6m      x1  x2    x1  x2   m  x1  x   6m  Trường hợp 1: x1  x2   x1  x2 Mà theo Vi-ét: x1.x2  3  x12  3 (vô nghiệm) Trường hợp 2:  x1  x2   m2  x1  x2   6m  m   m  m3  6m   m3  7m     m  7 (KTM) Vậy m = giá trị cần tìm c) Gọi E giao (d) với trục tung Tìm m để SAOE  2SBOE TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 24 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện SAOE  2SBOE  1 AH.OE  BK.OE  AH  BK  AH  2BK 2  x1  x2 TH1: x1  2x2  2m x1  x1  x2  m   x1  2x2 x  m   x1.x2  3  2m  3  2m  27(ktm) TH2: x1  2x2 x1  x2  m x  2m   x1  2x x  m  x1.x2  3  2m  3  m   Vậy m   3 giá trị cần tìm BÀI TỐN 22 Lập phương trình bậc hai Bài tốn: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 , x2 Cách giải: S  x1  x2 Bước 1: Tính  kiểm tra điều kiện S  4P  P  x x  Bước 2: x1 , x2 hai nghiệm phương trình X  SX  P  Ví dụ: Cho phương trình x  5x  3m  (1) a) Tìm điều kiện m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 b) Với điều kiện m tìm câu a), lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 x2 x1 Giải 25 a  1   m a) Phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2   12   25  12m   x  x  5 b) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có:   x1.x2  3m TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 25 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện Vì phương trình cần lập có hai nghiệm 1 nên ta có: x2 x1  1 x1  x2   S   x1 x2 x1x2 3m  (m  0)   P    1  x1 x2 x1x2 3m Vậy phương trình bậc hai cần lập là: X  BÀI TOÁN 23 X  , với m  3m 3m Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Bài tốn: Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m Cách giải: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 Bước 2:  b S  x1  x2   a Tính  (I) c  P  x x   a Bước 3: Khử m từ hệ phương trình (I) ta hệ thức cần tìm Ví dụ: Cho phương trình x  mx  m   (1) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc m c) Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 số nguyên Giải a) Ta có:   m2  4m    m     0, m , phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m  x  x  m  x1  x2  x1x2  b) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1), ta có:   x1.x2  m  Vậy hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m x1  x2  x1x2  c) Theo câu b, ta có: x1  x2  x1x2   x1  x2  x1x2      x1  1  x2  x1  1    x1  11  x2   Để hai nghiệm x1 , x2 số nguyên x1   x2 ước TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 26 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện x 1  x  Trường hợp 1:    x1.x2   m    m  (TM) 1  x2   x2   x   1 x  Trường hợp 2:    x1.x2   m    m  (TM) 1  x2  1  x2  Vậy m = giá trị cần tìm BÀI TỐN 24 Cho phương trình x   2m  1 x  m   (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn: x1   x2 Giải 2 Ta có    2m  1  4(m  4)  4m2  8m  17   2m    13  0, m Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x  x  2m  Áp dụng Vi-ét cho phương trình (1), ta có:   x1.x2  m  Theo đề bài: x1   x2 , ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: x1   x2 Khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu a.c   m    m  Trường hợp 2: x1   x2 Khi phương trình (1) có nghiệm x = Thay x = vào (1), ta được: m    m  x  Thay m = vào (1), ta được: x  x     m  4(TM )  x2   Vậy m  giá trị cần tìm BÀI TỐN 25 Cho phương trình x   2m  1 x  m   (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn: a) x1  x2  b) 1   x1 x2 c) x1  x2  Giải 2 Ta có    2m  1  4(m  4)  4m2  8m  17   2m    13  0, m Do phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m  x  x  2m  (2) Áp dụng Vi-ét cho phương trình (1), ta có:  (3)  x1.x2  m  a) Theo đề bài: x1  x2  (4) TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 27 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện  x  x2  1  x  2m Từ (2) (4) suy ra:    x1  x2  2m   x1  4m    65 m  16 (TM)  (3)  m    2m  4m  1  8m2  m      65   m  16 1 b)    x1 , x2  x1 x2 Do điều kiện tốn tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác thỏa mãn 1  5 x1 x2  f (0)   m   x x 2m  1  5 5  (m  4)  m  7(TM ) x x x1x2 m4  Vậy m = -7 c) x1  x2   x1  0, x2  Do điều kiện tốn cần có thêm: phương trình (1) phải có hai nghiệm khơng âm phân biệt:   0(cmt )  2 m    S   m4 m    P  x1  x2    x1  x2    x1  x2  x1 x2   2m   m    m    m (m    m  4) m    11  5  m   (KTM ) m    2  m  11 m  29   m    m     11    m (TM )    11  Nhận xét: Trong toán trên, cần đặc biệt lưu ý đến điều kiện xác định phương trình chứa ẩn mẫu phương trình chứa thức Vậy m  BÀI TỐN 26 Cho phương trình x  x  m   (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn: x12  x2  x1x2  10 (*) Giải Ta có   4m  20 TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 28 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   4m  20   m  x  x  (2) Áp dụng Vi-ét ta có:   x1x2  m  (3) Cách 1: Do x1 nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12  x1  m    x12  x1  m  vào (*) ta được: x12  x2  x1x2  10  x1  m   x2  x1x2  10   x1  x2   m   m   10  x1  x2  (4)   x1   x1  x2  Từ (2) (4) ta có:    x1  x2  x    2  3 21 Thế x1 , x2 vào (3), ta có: m       m     m   (TM )  2 4   Cách 2: Theo đề ta có: x12  x2  x1x2  10  x12  x1  m   x1  x2  m   x1x2  10 (5) Do x1 nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12  x1  m   Do (4)   x1  x2   m   m   10  x1  x2  (6)   x1   x1  x2  Từ (2) (6) ta có:    x1  x2  x    2  3 21 Thế x1 , x2 vào (3), ta có: m       m     m   (TM )  2 4 Nhận xét: Khi gặp biểu thức liên hệ x1 , x2 mà chứa hạng tử x12 x22 nên biến đổi biểu thức theo phương trình đề để khử hạng tử chứa bậc hai (như ví dụ trên) BÀI TỐN 27 Cho phương trình x   2m  1 x   (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ( x1  x2 ) thoả mãn: a) x1  x2 b) x1  x2 Giải x  Ta có a.c  4   phương trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu x1  x2    x2  a) x1  x2  x1  x2   2m    m  b) x1  x2  x1  x2   2m    m  TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 29 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BÀI TỐN 28 Cho phương trình: x2 x2   m   (1) Tìm m để phương trình (1) có hai x3 x3 nghiệm phân biệt Giải ĐKXĐ: x  3 x2 x 9  m    x2   x  3  m  x  3  x 3 x 3  x2    m  x  3m   (2) Đặt f(x)  x2    m  x  3m  Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 3 1  a  m  6m   36      9  6m  m  12m  36      9  f(3)  9   3m  3m    6m    f(3)  9   3m  3m     m   36  0, m    m m   Vậy m  giá trị cần tìm BÀI TỐN 29 Cho phương trình: x3  m(x  1)   (1) a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1,x2 ,x3 b) Tìm m để x1x2  x2 x3  x3x1  4 Giải x  (2) x3  m(x  1)     x  1 x2  x   m     x  x   m  (3)   Đặt f(x)  x2  x   m Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (3) phải có hai nghiệm phân biệt x1,x2  TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 30 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện a  1     m       1   4m    f(1)  3  m  m  3    Vì phương trình (1) có ba nghiệm x1,x2 ,x3  nên: x1x2  x2 x3  x3x1  4  x1x2  x2  x1  4 (4) x  x  1 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (3), ta có:  x1x2   m Do (4)   m   4  m  4 (TM) Vậy m  4 giá trị cần tìm BÀI TỐN 30 Cho phương trình: x  2mx2  m   (1) Tìm m để phương trình (1) có: a) nghiệm phân biệt b) nghiệm phân biệt c) nghiệm phân biệt d) nghiệm e) Vơ nghiệm f) có nghiệm Giải 2 Đặt t  x (t  0) Phương trình (1) có dạng: t  2mt  m   (2) a) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 1  m        S   2m     m   m  P     m  1   m   b) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm nghiệm dương     S  P   c) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có hai trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu  a.c     Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép dương   b 0   2a d) Phương trình (1) có nghiệm, có trường hợp sau: TRUNG TÂM LUYỆN THI TỐN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 31 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện    Trường hợp 1: Phương trình (2) có nghiệm kép   b 0   2a    Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm 0, nghiệm âm  S  P   e) Phương trình (1) vơ nghiệm: Trường hợp 1: Phương trình (2) vơ nghiệm      Trường hợp 2: Phương trình (2) có nghiệm kép âm   b     2a    Trường hợp 3: Phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt  S  P      f) Phương trình (1) có nghiệm  (2) có nghiệm khơng âm  S  P   BÀI TỐN 31 Tìm m để phương trình: 2x  x  m  (1) có hai nghiệm phân biệt Giải ĐKXĐ: x  Đặt t  x, t   (1)  2t  4t  m  (2) Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm khơng âm phân biệt  16  8m    m      0 m  S   2  m   P  m   0 2 Vậy  m  giá trị cần tìm TRUNG TÂM LUYỆN THI TỐN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 32 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện B – PHẦN HÌNH HỌC CÁC CƠNG THỨC HÌNH HỌC CẦN NHỚ Diện tích hình tròn S  R R O Diện tích hình quạt tròn A B O Squat n R A C  2R Độ dài đường tròn R O Độ dài cung tròn R n  360 A l B  Rn 180 l O n R A TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 33 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện Diện tích hình viên phân Svien phan  SquatAOB  SAOB B H O n A R Sxq  2rh Hình trụ r Stp  Sxq  2Sday h V  r h Chú ý: Khi quay hình chữ nhật quanh trục cạnh hình tạo thành hình trụ Sxq  rl Hình nón Stp  Sxq  Sday l V  r h h r Chú ý: Khi quay tam giác vuông quanh trục cạnh góc vng hình tạo thành hình nón Hình nón cụt S xq    r1  r2  l r2 h r1  l Hình cầu R V   h r12  r22  r1r2  Chú ý: Khi quay hình thang vuông quanh trục đường thẳng chứa đường cao hình tạo thành hình nón cụt S  4R V  R 3 TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 34 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện BÀI TỐN 32 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AD cắt BC H Gọi M điểm cung nhỏ AC Hạ BK  AM K Đường thẳng BK cắt CM E a) Tính độ dài cung nhỏ BD theo R b) Tính diện tích phần giới hạn dây BD cung nhỏ BD (hình viên phân) theo R c) Tính theo R thể tích hình tạo thành quay tam giác ABH quanh AH Giải E A K O B H M C D a) Tính độ dài cung nhỏ BD theo R Có BAC  60o  BAD  30o  BOD  60o Do độ dài cung BD là: R.60 R  180 b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BD cung nhỏ BD: Svien phan  Squat OBD  SOBD +) Squat OBD  R 60 R  360 +) Tam giác OBD đều, có: sin BOH  BH R  BH  BO.sin 60o  BO  SOBD  1R R2 BH.OD  R  2  Svien phan  R R  c) Tính theo R thể tích hình tạo thành quay tam giác ABH quanh AH TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 35 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Tốn Thầy Thiện Có tam giác ABH vng H, quay tam giác ABH quanh AH ta hình nón có đường cao AH bán kính đáy BH Do ta tích hình nón tạo thành là: Vnón  .BH.AH +) Xét tam giác ABH vng H, có BAH  30o , ta có: tan BAH  BH BH R 3R  AH   :  o AH 2 tan 30  R 3R 3R +) Vnón  .BH.AH   3 2 BÀI TOÁN 33 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn M điểm nửa đường tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến nửa đường tròn M cắt Ax, By C D Nối MA cắt OC E Nối MB cắt OD F a) Chứng minh OEMF hình chữ nhật b) Khi AC = R Tính theo R thể tích hình tạo thành quay tứ giác OEMF quanh OE Giải D M C E F A O B b) Theo câu a, ta có tứ giác OEMF hình chữ nhật, quay hình chữ nhật OEMF quanh OE hình tạo thành hình trụ có chiều cao OE, bán kính đáy EM Do thể tích hình trụ tạo thành là: V  .ME2 OE +) Xét tam giác AOC vng A, có: OA  R,AC   OC  AC2  AO2  R 3 3R TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 36 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thiện – Facebook: Học Toán Thầy Thiện OA 2 3R 3R OE.OC  OA  OE   R2 :  OC 2 AE  OA  OE2  R   EM  3R R  R +) V  .ME OE   R 3R 3R  TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương Quảng Hàm, Cầu Giấy , Hà Nội ĐT: Thầy Tân: 0962 071 291 – Thầy Thiện: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 37 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn ...CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thi n – Facebook: Học Toán Thầy Thi n Do x   x    x 1   x  10   x  25 x  10 Kết hợp với ĐKXĐ suy  x  25 Nhận... 0962 071 291 – Thầy Thi n: 0984 698 554 Email: smartclassvn@gmail.com 10 | P a g e www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thi n – Facebook: Học Toán Thầy Thi n CHƯƠNG 2: HÀM... smartclassvn@gmail.com 9|Page www.facebook.com/SClass.vn CẨM NANG ÔN THI VÀO 10 - ThS Lê Hữu Thi n – Facebook: Học Toán Thầy Thi n TRUNG TÂM LUYỆN THI TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO SCLASS Số 11, ngõ 165/12 Dương