Đề HSG toán 10 các trường THPT chuyên khu vực duyên hải và ĐBBB lần 10 2016 2017 file word có lời giải chi tiết

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC LỚP: 10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 15/4/2017 (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Bài ( 4,0 điểm) Giải phương trình x + 2 x + = − x + 5( x ∈ ¡ ) Bài ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( O ) Các đường cao AD, BE CF cắt H Gọi M trung điểm cạnh BC Đường tròn ( J ) ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai K ( K ≠ A) Đường thẳng AM cắt đường tròn ( J ) điểm thứ hai Q (Q ≠ A) EF cắt AD P Đoạn PM cắt đường tròn ( J ) N a) Chứng minh đường thẳng KF , EQ , BC đồng quy song song ba điểm K, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc Bài ( 4,0 điểm) Tìm tất ba số nguyên (a, b, c) cho số (a − b)(b − c )(c − a ) + lũy thừa 20162017 (Một lũy thừa 20162017 số có dạng 20162017 n với n số nguyên không âm) Bài ( 4,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn b+c c+a a +b 1   + + =  + + ÷ a b c  ab bc ca  Chứng minh rằng: a + b + c + ≥ 2( ab + bc + ca ) Bài ( 4,0 điểm) Cho bảng vng kích thước 10 × 10 , điền số nguyên dương từ đến 100 vào vng theo trình tự hình a Ở bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô vuông liên hàng theo cột theo đường chéo hình vng kích thước × (xem hình b) thực hiện: Hoặc giảm số ô nằm đơn vị đồng thời tăng số hai ô liền kề lên đơn vị, tăng số ô nằm lên đơn vị đồng thời giảm số hai ô liền kề đơn vị Giả sử sau hữu hạn bước biến đổi, tập hợp tất số ghi bảng ô vuông tập {1; 2; 3; …; 100} Chứng minh số ghi bảng theo vị trí trước biến đổi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word … 10 11 12 13 … 19 20 21 22 23 … 29 30 … … … … … … 91 92 93 … 99 100 Hình a – Bảng vng ban đầu Hình b- Ba ô vuông liên tiếp HẾT (Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ………………… KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10 (Đáp án gồm 07 trang) ĐÁP ÁN Bài 1: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất trường THPT chun Trần Phú- Hải Phòng Giải phương trình x + 2 x + = − x + Ý Cách ĐÁP ÁN Điều kiện − ĐIỂM 4,0 đ ≤x≤ 2 Phương trình ban đầu tương đương với phương trình (6−2 ) ( ) x + + − 2x − = x2 −1 0,5đ ⇔ − 4x − 4x + = x2 −1 + 2x + − 2x +1 x = ⇔ 4  + = − x − ( 1) − 2x +1  + x + 4     − 1÷+  − 1÷ = − x − Phương trình (1) ⇔   + 2x +   − 2x +1  0,5đ 0,5đ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⇔ ( 3+ −2 x − )( 2x + 1+ 2x + 2x + + ) ( )( −2 x + +  x = −3  −2 ⇔ +  + 2x + 1+ 2x +  ( )( )( −2 x + + Phương trình (2) vơ nghiệm VT > ( 3+ Lại có: )( 2x + 1+ 2x + ) ) ) ( −2 −2 x + + ( 3+ ≥− −2 x + + = −x − 0,5đ ) −2 )( = −1 ( ) 2x + 1+ 2x + 0,5 đ ) > VP 0,5đ Vậy phương trình có nghiệm x = x = −3 Điều kiện − ≤ x ≤ 2 Với điều kiện ta có: x + + 2 x + ≥ −2 −2 x + + x − ≤ −