THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình ax + by = c Bước 1: Biến đổi hệ phương trình cho dạng: áp dụng a 'x + b' y = c' phương pháp cộng đại số phương pháp để giải hệ phương trình (thường áp dụng phương pháp cộng đại số) Bước 2: Giải hệ phương trình nhận phương pháp cộng đại số (hoặc thế) Phương pháp cộng đại số: +) Nhân chia hai vế phương trình hệ phương trình với số thích hợp khác để hệ số ẩn (ẩn x ẩn y) đối +) Trừ cộng hai vế hai phương trình hệ phương trình để phương trình ẩn, giải phương trình tìm ẩn giữ lại phương trình với hệ số đơn giản, thay nghiệm ẩn tìm vào phương trình giữ lại để tìm ẩn lại dễ dàng Hoặc dùng phương pháp thế: +) Từ phương trình hệ rút ẩn biểu diễn theo ẩn lại vào phương trình cịn lại để phương trình ẩn +) Giải phương trình ẩn tìm ẩn thay nghiệm tìm vào hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn để tìm ẩn lại Bước 3: Kết luận nghiệm hệ phương trình: +) Nếu hệ phương trình vơ nghiệm, ta kết luận: Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm +) Nếu hệ phương trình cho có vơ số nghiệm, ta kết luận: Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm tìm nghiệm tổng qt viết tập nghiệm hệ phương trình viết nghiệm tổng quát tập nghiệm phương trình: ax + by = c +) Nếu hệ phương trình cho có nghiệm nhất, ta kết luận: Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (x; y) = (x0; y0) ( x + y ) + ( x + y ) = − Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: 3 ( x + y ) + ( x − y ) =1 ax + by = c Bước 1: Biến đổi hệ phương trình cho dạng: a 'x + b' y = c' ( x + y ) + ( x + y ) = − x + y + x + y = − Ta có: ⇔ (nhân bỏ dấu ngoặc) x + y + x − y = x + y + x − y = ( ) ( ) 2 x + y = − (thu gọn hạng tử đồng dạng x + y = ⇔ hai phương trình hệ phương trình) ax + by = c Lưu ý: Nếu hệ phương trình cho mà có dạng là: ta khơng a 'x + b' y = c' phải làm bước mà bắt đầu làm từ bước 2 x + y = − Bước 2: Giải hệ phương trình: phương pháp cộng đại số x + y =1 2 x + y = − 2 x + y = − ⇔ (nhân hai vế phương trình thứ hai hệ x + y = 12 x + y = x + y =1 với để hệ số ẩn y trường hợp ta nên chọn tìm ẩn x trước giữ lại phương trình x + y =1 để tìm y hệ số ẩn y phương trình 1) x = 10 x = x = ⇔ ⇔ ⇔ x + y = 1 4 + y =1 y = − Bước 3: Kết luận 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: ( x; y ) = ; − 1÷ 2 Dạng 2: Giải biện luận hệ phương trình ax + by = c Bài toán: Cho hệ phương trình: có hệ số có chứa tham số a 'x + b' y = c' Bước 1: Từ hai phương trình hệ biến đổi phương pháp cộng đại số phương pháp để phương trình có dạng: Ax = B ( Ay = B) ax + by = c ( 1) Ta có: ( I ) a 'x + b' y = c' ( ) +) Dùng phương pháp : Từ hai phương trình hệ rút ẩn biểu diễn theo ẩn lại thay vào phương trình cịn lại, nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc (đổi dấu hạng tử ngoặc có dấu “ –” đằng trước), hạng tử chứa ẩn chuyển sang VT, hạng tử không chứa ẩn chuyển sang VP (rút gọn hạng tử đồng dạng vế để đưa phương trình dạng: Ax = B +) Hoặc dùng phương pháp cộng đại số: Nhân hai vế hai phương trình hệ với số thích hợp hệ số ẩn chẳng hạn ẩn y đối trừ cộng vế với vế hai phương trình hệ biến đổi phương trình nhận để đưa phương trình dạng: Ax = B Bước 1: C1: +) Từ phương trình (1) ta có: y = +) Thay y = −ax +c b −ax +c −ax +c = c' , nhân bỏ dấu vào phương trình (2) ta được: a 'x + b' b b ngoặc ta được: a 'x − ab' b'c ab' b'c x + = c' ⇔ a ' − ÷x = c' − b b b b ⇔ Ax = B ( *) ax + by = c ( 1) ab'x + bb' y = b'c ( ab' − a 'b ) x = b'c − bc' ⇔ ⇔ C2: Ta có: ( I ) a 'x + b' y = c' ( ) a 'bx + bb' y = bc' a 'x + b' y = c' Ax = B ( *) ⇔ a 'x + b' y = c' Bước 2: Lập luận tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp hệ phương trình có nghiệm Dựa vào tính chất: +) Hệ phương trình (I) có nghiệm ⇔ Phương trình (*) có nghiệm +) Hệ phương trình (I) vơ nghiệm ⇔ Phương trình (*) vơ nghiệm +) Hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm ⇔ Phương trình (*) có vơ số nghiệm TH1: Nếu A ≠ phương trình (*) có nghiệm là: x = ⇒ y= B = x0 A −a.x + c = y0 b Khi hệ phương trình (I) có nghiệm là: (x; y) = (x0; y0) A = TH2: Nếu phương trình (*) vơ nghiệm, hệ phương trình (I) vơ B ≠ nghiệm A = TH3: Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm, hệ phương trình (I) B = có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình tập nghiệm phương trình: ax + by = c −ax +c S = x; ÷ / x ∈R b Bước 3: Kết luận Nếu A ≠ hệ phương trình (I) có nghiệm là: (x; y) = (x0; y0) A = Nếu hệ phương trình (I) vơ nghiệm B ≠ A = Nếu hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm B = −ax +c Tập nghiệm hệ phương là: S = x; ÷ / x ∈R b mx + y =1 ( 1) Ví dụ 1: Giải biện luận hệ phương trình sau ( I ) với m tham số 4x + my = ( ) Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số hai ẩn x y có chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta nên dùng phương pháp thường giải theo bước sau: Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương pháp để dẫn đến phương trình dạng: Ax = B +) Từ phương trình (1) ta có: y = − mx +1 , thay vào phương trình (2) ta được: 4x + m ( −mx +1) = ⇔ 4x − m x + m = (nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc) ⇔ ( − m ) x = − m (chuyển hạng tử chứa ẩn x sang VT đặt nhân tử chung x dấu ngoặc, hạng tử cịn lại khơng chứa ẩn x sang VP) phân tích số: − m = ( − m ) ( + m ) thành nhân tử sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương ⇔ ( − m ) ( + m ) x = − m ( *) Bước 2: Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp hệ phương trình có nghiệm (xét trường hợp phương trình (*) để suy hệ phương trình (I)) 2 − m ≠ m ≠ ⇔ +) Nếu ( − m ) ( + m ) ≠ ⇔ phương trình (*) có nghiệm 2 + m ≠ m ≠ − x = ⇒ y = − m 2−m = ( − m) ( + m) + m +1= 2+ m 2+m ; Khi hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ÷ 2+m 2+m +)Nếu c +m=0 m = hoaë c m=− ( − m ) ( + m ) = 2 − m = hoaë ⇔ ⇔ ⇔m=− 2 − m ≠ m ≠ 2 − m ≠ phương trình (*) trở thành 0x = 4, phương trình vơ nghiệm Khi hệ phương trình (I) vơ nghiệm +) Nếu c +m=0 m = hoaë c m=− ( − m ) ( + m ) = 2 − m = hoaë ⇔ ⇔ ⇔m=2 − m = m = 2 − m ≠ phương trình (*) trở thành 0x = 0, phương trình có vơ số nghiệm Khi hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình (I) là: S = { ( x; − 2x +1) / x ∈R} Bước 3: Kết luận m ≠ 2 ; +) Nếu hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ÷ m ≠ − 2+ m 2+ m +) Nếu m = − hệ phương trình (I) vơ nghiệm +) Nếu m = hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình (I) là: S = { ( x; − 2x +1) / x ∈R} 2x + my = Ví dụ 2: Giải biện luận hệ phương trình sau ( I ) với m tham số 3x − y = Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số ẩn x khơng có chứa tham số hệ số ẩn y chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta thực sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số x Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến phương trình dạng: Ax = B Biến đổi hệ phương trình (I) nhân hai vế phương trình thứ với 3, nhân 6x + 3my =15 hai vế phương trình thứ hai với 2, ta hệ phương trình mới: 6x − 2y = trừ vế với vế phương trình thứ cho phương trình thứ hai ta phương trình: ( 3m + ) x = 15 giữ lại phương trình thứ hai hệ mà số ẩn x, y không chứa tham số m: 3x − y = , ta hệ phương trình tương đương với hệ ( 3m + ) x = 15 ( *) phương trình (I): 3x − y = Bước 2: Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp hệ phương trình có nghiệm (xét trường hợp phương trình (*) để suy hệ phương trình (I)) +) Nếu 3m + ≠ ⇔ m ≠ ⇒ y= 15 −2 phương trình (*) có nghiệm x = 3m + 45 3m + 15 45 ; Khi hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ÷ 3m + 3m + +)Nếu 3m + = ⇔ m = −2 phương trình (*) trở thành 0x = 15, phương trình vơ nghiệm Khi hệ phương trình (I) vơ nghiệm A = Ở khơng có trường hợp thứ phương trình Ax = B là: (vì hệ B = số B=15 ≠ 0) nên ta xét trường hợp thứ ba Bước 3: Kết luận +) Nếu m ≠ 15 45 −2 ; hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ÷ 3m + 3m + +) Nếu m = −2 hệ phương trình (I) vơ nghiệm x + y =1 Ví dụ 3: Giải biện luận hệ phương trình sau ( I ) với m tham số 2x + my = m Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số ẩn y có chứa tham số cịn hệ số ẩn x khơng chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta thực sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số x Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến phương trình dạng: Ay = B Biến đổi hệ phương trình (I) nhân hai vế phương trình thứ với 2, ta 2x + 2y = hệ phương trình mới: trừ vế với vế phương trình thứ hai cho 2x + my = m phương trình thứ ta phương trình: ( m − ) y = m − giữ lại phương trình thứ hệ mà số ẩn x, y không chứa tham số m: x + y =1 , ta hệ x + y =1 phương trình tương đương với hệ phương trình (I): ( m − ) y = m − ( *) Bước 2: Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp hệ phương trình có nghiệm (xét trường hợp phương trình (*) để suy hệ phương trình (I)) +) Nếu m − ≠ ⇔ m ≠ phương trình (*) có nghiệm y = m−2 =1 m−2 ⇒ x =0 Khi hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) +)Nếu m − = ⇔ m = phương trình (*) trở thành 0x = 0, phương trình có vơ số nghiệm Khi hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình (I) là: S = { ( x; − x +1) / x ∈R} A = Ở khơng có trường hợp thứ phương trình Ay = B là: (vì hệ B ≠ số A = B = m – 2) nên ta xét trường hợp thứ hai Bước 3: Kết luận +) Nếu m ≠ hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) +) Nếu m = hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình (I) là: S = { ( x; − x +1) / x ∈R} x + y =1 Ví dụ 4: Giải biện luận hệ phương trình sau ( I ) với m tham số 2x + my = m + Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số ẩn y có chứa tham số cịn hệ số ẩn x khơng chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta thực sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số x Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến phương trình dạng: Ay = B Biến đổi hệ phương trình (I) nhân hai vế phương trình thứ với 2, ta 2x + 2y = hệ phương trình mới: trừ vế với vế phương trình thứ hai 2x + my = m + cho phương trình thứ ta phương trình: ( m − ) y = m +1 giữ lại phương trình thứ hệ mà số ẩn x, y không chứa tham số m: x + y =1 , ta hệ x + y =1 phương trình tương đương với hệ phương trình (I): ( m − ) y = m +1( *) Bước 2: Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp hệ phương trình có nghiệm (xét trường hợp phương trình (*) để suy hệ phương trình (I)) +) Nếu m − ≠ ⇔ m ≠ phương trình (*) có nghiệm y = ⇒ x= m +1 m−2 −3 m−2 −3 m +1 ; Khi hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ÷ m − m−2 +)Nếu m − = ⇔ m = phương trình (*) trở thành 0x = 3, phương trình vơ nghiệm Khi hệ phương trình (I) vơ nghiệm A = Ở khơng có trường hợp thứ ba phương trình Ay = B là: (vì hệ B = số A= m – ; B = m + không đồng thời không được) nên ta xét trường hợp thứ ba Bước 3: Kết luận −3 m + ; +) Nếu m ≠ hệ phương trình (I) có nghiệm ( x; y ) = ÷ m − m−2 +) Nếu m = hệ phương trình (I) vơ nghiệm mx + y = 2m −1 Ví dụ 5: Giải biện luận hệ phương trình sau ( I ) với m tham số mx + y = m +1 Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số ẩn x có chứa tham số cịn hệ số ẩn y khơng chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta thực sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số y Bước 1: Biến đổi hệ phương trình (I), dùng phương cộng đại số để dẫn đến phương trình dạng: Ax = B Biến đổi hệ phương trình (I) trừ vế với vế phương trình thứ cho phương trình thứ hai ta phương trình: 0x = m − giữ lại phương trình thứ hai hệ mà số ẩn x, y đơn giản ta hệ phương trình tương đương với hệ 0x = m − ( *) phương trình (I): mx + y = m +1 Bước 2: Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình trường hợp hệ phương trình có nghiệm (xét trường hợp phương trình (*) để suy hệ phương trình (I)) Ở khơng có trường hợp thứ phương trình Ax = B là: A ≠ (vì hệ số A= 0) nên ta xét trường hợp thứ +) Nếu m − ≠ ⇔ m ≠ phương trình (*) vơ nghiệm Khi hệ phương trình (I) vơ nghiệm +)Nếu m − = ⇔ m = phương trình (*) trở thành 0x = 0, phương trình có vơ số nghiệm Khi hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình là: S = { ( x; − 2x + 3) / x ∈R} Bước 3: Kết luận +) Nếu m ≠ hệ phương trình (I) vơ nghiệm +) Nếu m = hệ phương trình (I) có vơ số nghiệm Tập nghiệm hệ phương trình là: S = { ( x; − 2x + 3) / x ∈R} x − y = 4m − (m tham số) x + y = m Ví dụ 6: Giải biện luận hệ phương trình sau: Nhận xét: Trên TH2: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số hai ẩn x y khơng có chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta nên dùng phương pháp cộng đại số sau: Ở ta giải hệ cách bình thường giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bước 1: Giải hệ phương trình tìm x, y theo tham số m +) Ta có: x − y = 4m − x − y = 4m − 5 x =10m − x = 2m −1 ⇔ ⇔ ⇔ x + y = m x + y = m x + y = m y =− m + ⇒ Với m ∈ R hệ phương trình cho ln có nghiệm là: ( x; y ) = ( 2m −1; − m + ) Bước 2: Kết luận Vậy với m ∈ R hệ phương trình cho ln có nghiệm là: ( x; y ) = ( 2m −1; − m + ) Trong trường hợp ta không làm bước xét trường hợp có trường hợp xảy sau biến đổi hệ phương trình ta ln phương trình dạng Ax = B (hoặc Ay = B) với hệ số A ≠ Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước (thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức, cách hai trục toạ độ, thuộc trục toạ độ, nằm góc phân tư, đối xứng qua trục toạ độ gốc toạ độ, thuộc (P): y= ax đường thẳng (d): ax + by = c…; biểu thức đạt GTLN, GTNN, không phụ thuộc vào tham số, có giá trị nguyên…; cho M(x; y) cách gốc toạ độ khoảng ( ) a thuộc đường tròn O; a …) Bước 1: Tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm tính nghiệm (x; y) theo tham số (dựa theo toán giải biện luận hệ phương trình) Bước 2: Thay x; y tính theo tham số vào điều kiện cho trước giải điều kiện để tìm giá trị tham số Bước 3: Kết luận +) Đối chiếu với điều kiện tham số +) Trả lời giá trị tham số cần tìm x + my = m +1 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: với m tham số mx + y = 2m x ≥ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn: y ≥1 Bước 1: Biến đổi hệ phương trình để tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm tính x; y theo m (tìm nghiệm (x; y) theo m) Dùng phương pháp thế: - Biến đổi hệ phương trình (I) x + my = m +1( 1) I ( ) +) Ta có: mx + y = 2m ( ) Từ phương trình (2) ta có: y = − mx + 2m , thay vào phương trình (1) ta được: x + m.( −mx + 2m ) = m +1⇔ x − m x + 2m = m +1 (nhân bỏ dấu ngoặc theo quy tắc dấu ngoặc) ⇔ x ( 1− m ) = − 2m + m +1 (chuyển tất hạng tử chứa ẩn sang VT, hạng tử cịn lại khơng chứa ẩn x chuyển sang VP xếp hạng tử theo lũy thừa giảm dần biến (tham số), VT đặt nhân tử chung ẩn x dấu ngoặc) Ở ta cần nhận biết hệ số 1− m (hằng đẳng thức hiệu hai bình phương) −2m + m +1 (tam thức bậc hai (ax2 + bx + c, a ≠ 0)) phương trình phân tích thành nhân tử ⇔ ( m −1) ( m +1) x = ( m −1) ( 2m +1) (*) (nhân hai vế phương trình với – để hệ số – m2 VT – 2m2 VP số dương thuận tiện cho việc biến đổi tính tốn phân tích VT, VP thành nhân tử) - Lập luận tính x, y theo m +) Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ Phương trình (*) có nghiệm m −1 ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ( m −1) ( m +1) ≠ ⇔ m +1≠ m ≠ − (Lưu ý: Ở tích khác tất thừa số tích đồng thời A ≠ khác 0; AB ≠ ⇔ ) B ≠ ( m −1) ( 2m +1) = 2m +1 +) Khi ta có: x = ; ( m −1) ( m +1) m +1 2m +1 −2m − m + 2m + 2m m + 2m = = m +1 m +1 m +1 2m +1 m m ≠1 ; ⇒ Với hệ phương trình có nghiệm là: ( x; y ) = ÷ m ≠ − m +1 m + Bước 2: Thay x; y tính theo tham số m vào điều kiện cho trước giải điều kiện để suy giá trị tham số m y = − m 2m +1 m x ≥ ; y= vào ta có: m +1 m +1 y ≥1 2m +1 2m +1− 2m − −1 ≥ ≥ m +1 ≥ m +1 x ≥ m +1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m + 1< ⇔ m < − y ≥ m m − m − − ≥1 ≥0 ≥0 m +1 m +1 m +1 Bước 3: Kết luận m ≠1 +) Kết hợp với điều kiện: ta m < − m ≠ − +) Vậy m < − giá trị cần tìm Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số hai ẩn x y có chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta nên dùng phương pháp thường giải theo bước mx + y = − Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: ( I ) với m tham số x + y = − m Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x = y2 Nhận xét: Trên TH1: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số ẩn x có chứa tham số cịn hệ số ẩn y không chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta thực sau: Bằng phươngg pháp cộng đại số triệt tiêu ẩn số y Bước 1: Biến đổi hệ phương trình để tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình có nghiệm tính x; y theo m (tìm nghiệm (x; y) theo m) Dùng phương pháp cộng đại số: +) Thay x = - Biến đổi hệ phương trình (I) mx + y = − ( m −1) x = m −1( *) ⇔ +) Ta có: ( I ) x + y = − m x + y = − m Biến đổi hệ phương trình (I) trừ vế với phương trình thứ cho phương trình thứ hai ta phương trình: ( m −1) x = m −1 giữ lại phương trình thứ hai hệ mà số ẩn x, y không chứa tham số m: x + y = − m , ta hệ phương trình ( m −1) x = m −1( *) tương đương với hệ phương trình (I): x + y = − m - Lập luận tính x, y theo m +) Hệ phương trình (I) có nghiệm ⇔ Phương trình (*) có nghiệm ⇔m – ≠ ⇔m ≠ m −1 =1 , y = − m − +) Khi ta có: x = m −1 ⇒ Với m ≠ hệ phương trình (I) có nghiệm là: ( x; y ) = ( 1; − m −1) Bước 2: Thay x; y tính theo tham số m vào điều kiện cho trước giải điều kiện để suy giá trị tham số m +) Thay x =1, y = − m −1 vào phương trình x = y2 ta có: = (– m – 1)2 ⇔ m2 + 2m + = ⇔ m2 + 2m = ⇔ m(m + 2) = m = m = ⇔ ⇔ ( thỏa mãn m ≠ 1) m + = m = − Bước 3: Kết luận Vậy m = 0; m = – giá trị cần tìm x − y = 4m − (m tham số) x + y = m Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn − = −1 x y Nhận xét: Trên TH2: dạng tốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước với hệ số hai ẩn x y khơng có chứa tham số nên để giải loại tập đơn giản dễ ghi nhớ bước làm ta nên dùng phương pháp cộng đại số thường giải theo bước sau Ở ta giải hệ cách bình thường giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bước 1: Giải hệ phương trình tìm x, y theo tham số m +) Ta có: x − y = 4m − x − y = 4m − 5 x =10m − x = 2m −1 ⇔ ⇔ ⇔ x + y = m x + y = m x + y = m y =− m + ⇒ Với m ∈ R hệ phương trình cho ln có nghiệm là: ( x; y ) = ( 2m −1; − m + ) Bước 2: Thay x; y tính theo tham số m vào điều kiện cho trước giải điều kiện để suy giá trị tham số m x = m −1 − = −1 ta có: +) Thay vào phương trình: y = − m + x y − = −1 , ĐK: m ≠ 2; m ≠ 2m −1 −m +2 2 ⇔ + = −1 2m −1 m −2 ⇒ 2(m – 2) + 1(2m – 1) = –1.(2m – 1)(m – 2) ⇔ 2m – + 2m – = –2m2 + 5m – ⇔ 2m2 – m – = Phương trình có: a – b + c = – (–1) + (–3) = ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m1 = − 1 (thỏa mãn m ≠ 2; m ≠ ) m2 = 2 Bước 3: Kết luận Vậy m1 = − 1; m2 = giá trị cần tìm 3x − y = 2m −1 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: với m tham số x + 2y = 3m + Tìm để hệ phương trình có nghiệm (x; y) cho điểm M(x; y) thuộc đường tròn (O; 10 ) Bước 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số suy x, y theo m Từ suy với giá trị tham số m hệ phương trình ln có nghiệm (x; y) = (theo tham số m) 3x − y = 2m −1 6x − 2y = 4m − 7x = 7m x = m ⇔ ⇔ ⇔ +) Ta có: x + 2y = 3m + x + 2y = 3m + 3x − y = 2m −1 y = m +1 ⇒ Với m ∈ R hệ phương trình cho ln có nghiệm là: ( x; y ) = ( m;m +1) ⇒ M ( m;m +1) Bước 2: Từ điều kiện toán cho dạng câu văn: “Điểm M(x; y) thuộc đường tròn (O; 10 )” Ta lập luận dẫn đến hệ thức (biểu diễn câu văn dạng ngôn ngữ đại số) +) Ta có: Điểm M ( m;m +1) thuộc đường trịn (O; 10 ) ⇔ OM = 10 ⇔ OM2 = 10 ⇔ m2 + (m + 1)2 = 10 ⇔ m2 + m2 + 2m + – 10 = ⇔ 2m2 + 2m – = Phương trình có: ∆’ = 12 – 2.( –9) = 19 > ⇒ ∆ ' = 19 ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: m1 = −1+ 19 −1− 19 ; m2 = 2 Bước 3: Kết luận trả lời toán Vậy m1 = −1+ 19 −1− 19 giá trị cần tìm ; m2 = 2 Nhận xét: Ở toán ta cần nắm nội dung kiến thức sau: M ( x ; y ) cách gốc toạ độ khoảng a (hay M ( x ; y ) thuộc đường tròn tâm O bán kính ⇔ OM = 2 a ⇔ x + y0 = a a) ... (O; 10 )” Ta lập luận dẫn đến hệ thức (biểu diễn câu văn dạng ngôn ngữ đại số) +) Ta có: Điểm M ( m;m +1) thuộc đường tròn (O; 10 ) ⇔ OM = 10 ⇔ OM2 = 10 ⇔ m2 + (m + 1)2 = 10 ⇔ m2 + m2 + 2m + – 10. .. tròn (O; 10 ) Bước 1: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số suy x, y theo m Từ suy với giá trị tham số m hệ phương trình ln có nghiệm (x; y) = (theo tham số m) 3x − y = 2m −1 6x − 2y... phương trình (I) nhân hai vế phương trình thứ với 3, nhân 6x + 3my =15 hai vế phương trình thứ hai với 2, ta hệ phương trình mới: 6x − 2y = trừ vế với vế phương trình thứ cho phương trình
Ngày đăng: 28/02/2021, 13:18
Xem thêm: