SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠOHÀ NỘIKỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPTNĂM HỌC 2006 2007Môn thi: TOÁNThời gian: 120 phút (không kể giao đề)Ngày thi 16 tháng 6 năm 2006Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức: 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm a để: .Bài 2: (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km, thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc của dòng nước là 4 kmh.Bài 3: (1 điểm) Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x2.Gọi D và C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.1) Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp.2) Tính tích AH.AK theo R.3) Xác định vị trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giác trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.Bài 5: (1 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2.Chứng minh x2y2(x2 + y2) 2.
Sở giáo dục & đào tạo Hà nội kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học 2006 - 2007 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể giao đề) Đề thức Ngày thi 16 tháng năm 2006 Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức: a +3 a +2 a+ a 1 P= − + : a − a + a − a + a − ( )( ) 1) Rót gän biểu thức P a +1 2) Tìm a để: P Bài 2: (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phơng trình: Một ca nô xuôi dòng khúc sông từ bến A đến bến B dài 80 km, sau lại ngợc dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km, thời gian ca nô xuôi dòng thời gian ngợc dòng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc dòng nớc km/h Bài 3: (1 điểm) Tìm toạ độ giao điểm A B đồ thị hai hàm số y = 2x + vµ y = x2 Gäi D C lần lợt hình chiếu vuông góc A B trục hoành Tính diện tích tứ giác ABCD Bài 4: (3 điểm) Cho đờng tròn (O) ®êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iĨm cđa OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN 1) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp 2) Tính tích AH.AK theo R 3) Xác định vị trí điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giác trị lớn tính giá trị lớn Bài 5: (1 điểm) Cho hai số dơng x, y thoả mãn điều kiện x + y = Chứng minh x2y2(x2 + y2) ≤ Së gi¸o dơc & đào tạo Hà nội kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học 2007 - 2008 Đề thức Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể giao ®Ị) Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P = x x −4 + − x −1 x −1 x +1 Rút gọn biểu thức P Tìm x để P < Bài 2: (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Bài 3: (1 điểm) Cho phương trình x + bx + c = Giải phương trình b= -3 c=2 Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH < R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H) Chứng minh góc ABE góc EAH tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp Xác định vị trí điểm H để AB = R Bài 5: (0,5 điểm) Cho đường thẳng y = (m-1) x + Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn Së gi¸o dơc & đào tạo Hà nội kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học 2008 - 2009 Môn thi: Toán Thời gian: 120 phút (không kể giao đề) x x + Bài 1: ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức: P = ÷: x +1 x + x x §Ị chÝnh thøc 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị P x = 13 3) Tìm x để P = Bài 2: ( 2,5 điểm ) Giải toán sau cách lập phương trình: Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng tjhứ hai tổ I vươt mức 15% tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? Bài 3: ( 3,5 điểm )Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + 1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 2) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc tọa độ) Bài 4: (3,5 điểm )Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R E điểm đường tròn (E khác A B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K 1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA 2) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F 3) Chứng minh MN // AB, M N giao điểm thứ hai AE, BE với đường tròn (I) 4) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O), với P giao điểm NF AK; Q giao điểm MF BK Bài 5: ( 0,5 điểm ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết: A = (x – 1)4 + (x – 3)4 + 6(x – 1)2(x – 3)2 Së Giáo dục đào tạo Hà Nội Đề thức Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Năm học: 2009 2010 Môn thi: Toán Ngày thi: 24 tháng năm 2009 hời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 ®iĨm) Cho biĨu thøc A= x 1 + + , víi x ≥ 0; x ≠ x- x- x +2 1) Rót gän biĨu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x=25 3) Tìm giá trị x để A =- Bài II (2,5 điểm) Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình: Hai tổ sản suất may loại áo Nếu tỉ thø nhÊt may ngµy, tỉ thø hai may ngày hai tổ may đợc 1310 áo Biết ngày tổ thứ may đợc nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ may ngày đợc áo? Bài III (1,0 điểm) Cho phơng trình (Èn x): x - 2(m +1) x + m + = 1) Giải phơng trình cho với m=1 2) Tìm giá trị m để phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 tho¶ m·n hƯ thøc: x12 + x22 = 10 Bài IV (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O; R) A điểm nằm bên đờng tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C tiếp điểm) 1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp 2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vuông góc với OA OE.OA=R2 3) Trên cung nhỏ BC đờng tròn (O; R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K đờng tròn (O; R) cắt AB, AC theo thứ tự điểm P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC 4) Đờng thẳng qua O, vuông góc với OA cắt đờng thẳng AB, AC theo thứ tự điểm M, N Chứng minh PM+QN MN Bài V (0,5 điểm) Giải phơng trình: x2 - 1 + x + x + = ( x + x + x +1) 4 HÕt -Sở Giáo dục đào tạo Kì thi tuyển sinh vào lp 10 THPT Hà Nội Năm học 20102011 THC CHNH Môn thi : Toán Ngày thi: 22/6/2010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I : ( 2,5 điểm ) Cho biểu thức : A= x x 3x + + − ; x ≥ 0; x ≠ x +3 x −3 x −9 1) Rót gän biĨu thøc A 2) Tìm giá trị x để A= 3) Tính giá trị ln nht biểu thức A Bài II: (2,5diểm ) Giải toán sau cách lập phơng trình: Mt mnh t hỡnh ch nhật có độ dài đường chéo 13 m chiều dài lớn chiều rộng m Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật Bµi III: (1 ®iĨm) Cho parabol (P): y = - x2 đường thẳng (d): y=mx - 1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol hai điểm phân biệt 2) Gọi x1; x2 hoành độ giao điểm dường thẳng (d) parabol (P) Tìm giá trị m để: x12x2 + x22x1 - x1x2 = Bài IV: (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O) cú ng kính AB=2R điểm C thuộc đường tròn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE=DB.DC 3) Chứng minh góc CFD góc OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Cho biết DF=R, chứng minh tang góc AFB=2 Bài V (0,.5 điểm) Giải phơng trình: x + x + = ( x + 4) x + _ HÕt _ Lưu ý: Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh:……………………… Họ tên, chữ kí giám thị 1: Họ tên, chữ kí giám thị 2: SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 HÀ NỘI Môn thi : Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,5 điểm) Cho A = x 10 x − − x − x − 25 x +5 Ngày thi : 22 tháng năm 2011 Thời gian làm bài: 120 phút Với x ≥ 0, x ≠ 25 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = 3) Tìm x để A < Bài II (2,5 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày? Bài III (1,0 điểm)Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x − m + 1) Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) đường thẳng (d) m = 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d d2 hai tiếp tuyến đường tròn (O) hai điểm A B.Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E khơng trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M, N 1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ∠ENI = ∠EBI ∠MIN = 900 3) Chứng minh AM.BN = AI.BI 4) Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường tròn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng Bài V (0,5 điểm) Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = 4x − 3x + + 2011 4x Hết SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Mơn thi : Tốn Năm học: 2012 – 2013 Ngày thi : 21 tháng năm 2012 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,5 điểm) x +4 Tính giá trị biểu thức A x = 36 x +2 x x + 16 + ÷: 2) Rút gọn biểu thức B = (với x ≥ 0, x ≠ 16) x −4÷ x +4 x +2 1) Cho biểu thức A = 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giái tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc 12 xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 x + y = 1) Giải hệ phương trình 6 − =1 x y 2) Cho phương trình : x − (4m − 1) x + 3m − 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ·ACM = ·ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB AP.MB = R Chứng MA minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x2 + y2 xy Hết Lưu ý: Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Ngày thi: 18 tháng năm 2013 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) Với x > 0, cho hai biểu thức A = 2+ x B = x x −1 x +1 + x x+ x 1) Tính giá trị biểu thức A x = 64 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tính x để A > B Bài II ( 2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình: Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Bài III ( 2,0 điểm) 3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4(x + 1) − (x + 2y) = 1) Giải hệ phương trình: 2 2) Cho parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = mx − m + m + a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B ( d) ( P) b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 cho: x1 − x = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn ( O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C ( AB < AC, d không qua tâm O) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chúng minh AN2 = AB.AC Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm 3) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai T Chứng minh: MT // AC 4) Hai tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt K Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định d thay đổi thỏa mãn điều kiện đầu Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc Chứng minh: 1 + + ≥3 a b2 c2 Lưu ý: Giám thị khơng giả thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….………… Chữ kí giám thị 1:………………………… Chữ kí giám thị 2:……… ………… ………… Hết………… SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2014-2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : Tốn Ngày thi : 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I(2 điểm) x +1 x = x −1 x +1 x−2 + 2) Cho biểu thức P = với x > x ≠ ÷ x + x −1 x+2 x 1) Tính giá trị biểu thức A = a) Chứng minh P = x +1 x b) Tìm giá trị x để 2P = x + Bài II (2 điểm) Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vợt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng sản xuất theo kế hoạch sản phẩm? Bài III( diểm) x+ y + 1) Giải hệ phương trình − x+ y =5 y −1 = −1 y −1 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = - x + parabol (P) : y = x2 a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác AOB Bài IV (3,5 điểm) Cho đờng tròn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R)(M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đờng tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN lần lợt điểm Q P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ điểm F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab ===***=== SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi : Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) Cho hai biểu thức P = x+3 Q = x −2 x −1 x − + với x>0, x ≠ x−4 x +2 Tính giá trị biểu thức P x = Rút gọn biểu thức Q P Tìm giá trị x để biểu thức Q đạt giá trị nhỏ Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau chạy xi dòng 48km dòng sơng có vận tốc dòng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng thời gian ngược dòng Bài III (2,0 điểm) ( x + y ) + x + = Giải hệ phương trình ( x + y ) − x + = −5 2 Cho phương trình : x − ( m + 5) x + 3m + = (x ẩn số) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh huyền Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AB cắt nửa đường tròn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường 10 thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA.CB=CH.CD Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài V (0,5 điểm) Với hai số thực không âm a, b thỏa mãn a + b = , tìm giá trị lớn biểu thức M = ab a +b+2 BÀI GIẢI Bài I: (2,0 điểm) 1) Với x = ta có P = 2) Với Q = = 9+3 = 12 3−2 x − x − ( x − 1).( x − 2) + x − + = x−4 x−4 x +2 x−3 x + 2+5 x −2 x+ x x ( x + 2) = = = x−4 x−4 ( x + 2)( x − 2) P 3) Q = x x −2 x+3 = x+ ≥ (Do bất đẳng thức Cosi) x x P Dấu xảy x = Vậy giá trị nhỏ Q Bài II: (2,0 điểm) Gọi t1 thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước Gọi t2 thời gian tàu tuần tra chạy xi dòng nước Gọi V vận tốc tàu tuần tra nước yên 60 48 Ta có : V − = t ; V + = t 60 48 60 48 Suy ra: t + = t − ⇔ t − t = −4 (1) 2 11 t1 − t2 = (2) 60 48 = −4 − Từ (1) (2) ta có hệ : t1 t2 t − t = 1 60 48 Thế t1 = + t2 vào (1) ta : + t − t = −4 ⇔ 4t2 + 16t2 − 48 = 2 ⇔ t2 = −6 (loại) hay t2 = ⇒ V = 22 (km/h) Bài III: (2,0 điểm) Với điều kiện x ≥ −1 , ta có hệ cho tương đương: 6( x + y ) + x + = 12 7( x + y ) = ⇔ ( x + y ) − x + = −5 ( x + y ) − x + = −5 x + y = x + y = x = ⇔ ⇔ ⇔ 3 x + = x +1 = y = −2 2) a) ∆ = (m + 5) − 4(3m + 6) = m − 2m + = (m − 1) ≥ 0, ∀m Do đó, phương trình ln có nghiệm với m b) Ta có x1 + x2 = m + x1 x2 = 3m + Để x1 > 0, x2 > điều kiện m > −5 m > −2 ⇔ m > −2 (Điều kiện để S >0, P>0) Yêu cầu toán tương đương : x12 + x22 = 25 ⇔ ( x 1+ x2 ) − x1 x2 = 25 ⇔ (m + 5) − 2(3m + 6) = 25 (Do x1 + x2 = m + x1 x2 = 3m + ), m > - ⇔ m2 + 4m − 12 = 0, m > −2 ⇔ m = hay m = -6, m > - ⇔ m = D Bài IV (3,5 điểm) J Tứ giác ACMD có ·ACD = ·AMD = 900 Nên tứ giác ACMD nội tiếp K F Xét tam giác vuông : ∆ACH ∆DCB đồng dạng N · · (Do có CDB (góc có cạnh thẳng góc)) = MAB 12 I A M H C O Q B Nên ta có CA CD = ⇒ CA.CB = CH CD CH CB 3) Do H trực tâm ∆ABD Vì có chiều cao DC AM giao H , nên AD ⊥ BN Hơn ·ANB = 900 chắn nửa đường tròn đường kính AB Nên A, N, D thẳng hàng · · Gọi tiếp tuyến N cắt CD J ta chứng minh JND = NDJ · · Ta có JND chắn cung »AN = NBA · · Ta có NDJ góc có cạnh thẳng góc = NBA · · Vậy tam giác vuông ∆DNH J trung điểm HD ⇒ JND = NDJ 4) Gọi I giao điểm MN với AB CK cắt đường tròn tâm O điểm Q Khi JM, JN tiếp tuyến đường tròn tâm O Gọi F giao điểm MN JO Ta có KFOQ tứ giác nội tiếp · FI phân giác KFQ · · · · Ta có KFQ = KOQ ⇒ KFI = FOI ⇒ tứ giác KFOI nội tiếp · ⇒ IKO = 900 ⇒ IK tiếp tuyến đường tròn tâm O Vậy MN qua điểm cố định I (với IK tiếp tuyến đường tròn tâm O) Bài V: (0,5 điểm) M= ab (a + b) − (a + b ) (a + b) − (a + b − 2)(a + b + 2) a + b − = = = = a+b+2 2(a + b + 2) 2(a + b + 2) 2(a + b + 2) Ta có (a + b)2 ≤ 2( a + b ) ⇒ a + b ≤ 2(a + b ) Vậy M ≤ 2(a + b ) − 2.4 − = = −1 2 13 Khi a = b = M = − Vậy giá trị lớn M − SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ HÀ NỘI -ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017 Mụn thi : TOÁN Ngày thi: 08 thỏng 06 năm 2016 Thũi gian làm bài: 120 phỳt Bài I (2,0 điểm) Cho biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức với 2) Chứng minh 3) Tìm để biểu thức có giá trị số nguyên Bài II ( 2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài III ( 2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2) Trong mặt phẳng tọa độ = cho đường thẳng parabol a) Chứng minh cắt hai điểm phân biệt với b) Gọi hồnh độ giao điểm Tìm để Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn điểm nằm ngồi đường tròn Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tiếp điểm) đường kính Trên đoạn lấy điểm khác khác Đường thẳng cắt hai điểm nằm Gọi trung điểm 1) Chứng minh bốn điểm nằm đường tròn 2) Chứng minh 14 3) Đường thẳng qua song song với cắt Chứng minh 4) Tia cắt điểm , tia cắt điểm Chứng minh tứ giác hình chữ nhật Bài V ( 0,5 điểm) Với số thực thỏa mãn , tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức ……………………… Hết……………………… 15 16 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Phần 1) Nội dung Khi x = thì: + 3+ A= = =− −5 3−5 20 − x + = x − 25 x +5 B= 2) = x − 15 + 20 − x ( x +5 )( x −5 ) = ( ) x − + 20 − x ( x +5 )( x −5 x +5 ( x +5 )( x −5 ) ) = x −5 với x ≥ 0, x ≠ 25 x −5 Với x ≥ 0, x ≠ 25 , ta có: A = B x − Vậy B = Bài I (2,0đ) ⇔ x +2 = x −5 ×x − x −5 ⇔ x +2= x−4 ⇔ x +2= 3) ⇔1= ( x −2 x +2 ( )( ) x + > 0) x −2 x − =1 ⇔ x − = −1 x = ⇔ (thỏa mãn điều kiện) x = Bài II (2,0đ) Bài III 1) Vậy x ∈ { 9;1} giá trị cần tìm Đổi 36 phút = Gọi vận tốc xe máy x (km/h) (x > 0) ⇒ Vận tốc ô tô x + 10 (km/h) 120 Thời gian xe máy từ A đến B (giờ) x 120 Thời gian ô tô từ A đến B (giờ) x + 10 120 120 − = Ta có phương trình: x x + 10 Giải phương trình được: x1 = 40 (thỏa mãn điều kiện) x2 = – 50 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc xe máy 40 km/h, vận tốc ô tô 40 + 10 = 50 (km/h) ĐK: x ≥ 0, y ≥ 17 (2,0đ) 2a) 2b) x + y − = x + y − = 9 x = ⇔ ⇔ x + y − = x − y − = 8 x − y − = x = x = x =1 ⇔ ⇔ ⇔ (thỏa mãn điều kiện) y −1 = y = 1 + y − = Vậy nghiệm hệ phương trình (1; 5) Thay x = 0, y = vào phương trình y = mx + 5, ta được: = m.0 + ⇔ = (đúng với m) Vậy đường thẳng (d) ln qua điểm A(0; 5) Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x = mx + ⇔ x − mx − = (*) Vì ac = – < nên phương trình (*) ln có hai nghiệm trái dấu ⇒ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, với x1 < < x (do x1 < x ) Mà x1 > x nên: x1 + x < ⇔ m < (theo hệ thức Vi-ét) Vậy m < giá trị cần tìm Bài IV (3,5đ) 1) 2) 3) µ 1, C µ góc nội tiếp chắn cung nhỏ MA, MB Ta có N ¼ = MB ẳ (GT) M MA à1 =C à1 N Bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn (theo tốn cung chứa góc) µ 1, M µ góc nội tiếp chắn cung nhỏ NC, NB Ta có B » = NB » (GT) Mà NC µ1 =M µ1 ⇒B · µ1 =M µ1 ∆ NBK ∆ NMB có: BNM chung, B ⇒ ∆ NBK ∆ NMB (g.g) NB NK ⇒ = ⇒ NB2 = NK.NM NM NB Xét đường tròn qua bốn điểm CNKI có: µ =K µ (hai góc nội tiếp chắn cung CI) N µ = ABC · Mà N (hai góc nội tiếp chắn cung AC (O)) 18 µ = ABC · ⇒K Do hai góc vị trí đồng vị nên KI // BH Chứng minh tương tự ta HI // BK Tứ giác BHIK có cạnh đối song song nên hình bình hành Cách 1: µ2 =C µ , hay CM tia phân giác góc ACB ¼ = MB ¼ nên C Vì MA Tương tự, AN tia phân giác góc BAC ∆ ABC có hai đường phân giác AN CM cắt I ⇒ BI đường phân giác thứ ba ∆ ABC Hình bình hành BHIK có BI đường phân giác góc B nên hình thoi Cách 2: µ 1, K µ góc có đỉnh bên đường tròn nên: Vì H ¼ » ¼ » µ = sđ MA + sđ NB , K µ = sđ MB + sđ NC H 2 à1=K MA ẳ = MB ẳ , NB » =N »C ⇒H ( ) ⇒ ∆ BHK cân B ⇒ BH = BK Hình bình hành BHIK có BH = BK nên hình thoi Nhận xét: Phần có nhiều cách chứng minh 4) (P) có góc M1 góc nội tiếp, góc P1 góc tâm chắn cung BK µ = 1P $1 ⇒M ∆ Mà PBK cân P (vì PB = PK) 1800 − P$1 · µ1 (1) ⇒ PBK = = 900 − P$1 = 900 − M 2 (O) có đường kính DN qua N điểm cung BC ⇒ DN ⊥ BC DN qua trung điểm BC ⇒ ∆ DBC cân D · 1800 − BDC 1· · ⇒ DBC = = 900 − BDC 2 µ = BDC · Trong (O), dễ thấy M 19 · µ1 (2) ⇒ DBC = 900 − M · · Từ (1) (2) ⇒ PBK = DBC ⇒ ba điểm D, P, B thẳng hàng · µ ) hai góc vị trí đồng vị Lại có P$1 = BDC ( = 2M ⇒ PK // DC Chứng minh tương tự ba điểm D, Q, C thẳng hàng QK // DB Do đó, PK // DQ QK // DP ⇒ Tứ giác DPKQ hình bình hành ⇒ E trung điểm đường chéo PQ E trung điểm đường chéo DK Vậy ba điểm D, E, K thẳng hàng Bài V (0,5đ) Có thể chứng minh ba điểm D, P, B thẳng hàng theo cách sau: Cách 2: µ = P$1 ⇒ PBK · µ = 900 +M Từ ∆ PBK cân M · · Từ DN ⊥ BC ⇒ DBK + BDN = 900 · µ = 900 (do BDN · µ 1) ⇒ DBK +M =M · · ⇒ PBK = DBK ⇒ ba điểm D, P, B thẳng hàng Cách 3: µ = sđ BK » (P) có góc M1 góc nội tiếp nên M µ1=B µ nên B µ = sđ BK » Mà M Suy BN tiếp tuyến B (P) ⇒ BN ⊥ PB · Lại có DBN = 900 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ⇒ BN ⊥ DB Do ba điểm D, P, B thẳng hàng Ta có: (a − b)2 ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab Tương tự: b + c2 ≥ 2bc ; c + a ≥ 2ca Suy ra: 2(a + b + c ) ≥ 2(ab + bc + ca) ⇔ P ≥ Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c ⇔ ab = bc = ca = ⇔ a = b = c = Vậy P = ⇔ a = b = c = Dựa theo lời giải thầy Bùi Văn Tuân (Hà Nội) Vì a ≥ 1, b ≥ nên: (a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ ab − a − b + ≥ ⇔ a + b ≤ ab + Tương tự: b + c ≤ bc + ; c + a ≤ ca + Do đó: 20 2(a + b + c) ≤ ab + bc + ca + ⇔ 2(a + b + c) ≤ 12 ⇔ a+b+c≤6 ⇔ (a + b + c) ≤ 36 (do a + b + c > 0) ⇔ a + b + c + 2(ab + bc + ca) ≤ 36 ⇔ P + 2.9 ≤ 36 ⇔ P ≤ 18 Dấu “=” xảy ⇔ ba số a, b, c có hai số Nhưng ba số a, b, c đồng thời ab + bc + ca = ⇒ Có hai số 1, số lại Vậy max P = 18 ⇔ (a, b,c) ∈ { ( 4;1;1) , ( 1;4;1) , ( 1;1; ) } 21 ... HÕt -Së Gi¸o dục đào tạo Kì thi tuyển sinh vào lp 10 THPT Hà Nội Năm học 2 0102 011 THC CHNH Môn thi : Toán Ngày thi: 22/6/2 010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I : ( 2,5 điểm... 6(x – 1)2(x – 3)2 Sở Giáo dục đào tạo Hà Nội §Ị chÝnh thøc Kú thi tun sinh vµo líp 10 THPT Năm học: 2009 2 010 Môn thi: Toán Ngày thi: 24 tháng năm 2009 hời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm)... phơng trình hệ phơng trình: Hai tổ sản suất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may đợc 1 310 áo Biết ngày tổ thứ may đợc nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ may ngày đợc áo?