ĐỀ THI TOÁN VÀO THPT CHUYÊN KHTN 2019 Bài a) Giải phương trình: 26 x x 30 26 x x 30 2 x y b) Giải hệ phương trình : x y y xy 27 Bài a) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn x x 1 y xy 3x b) Với x, y số thực thay đổi thỏa mãn y xy y, tìm giá trị x2 nhỏ biểu thức M y 1 Bài Cho hình vng ABCD, đường tròn O nội tiếp hình vuông tiếp xúc với cạnh AB, AD tai hai điểm E, F Gọi G giao điểm đường thẳng CE BF a) Chứng minh điểm A, F , O, G, E nằm đường tròn b) Gọi giao điểm đường thẳng FB đường tròn M M F Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng BG Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy yz xz CMR: 1 2 x y z 2 1 x 1 y 1 z x y2 z2 ĐÁP ÁN Bài 5 đặt a 26 x b x 30, a 0, b 26 a2 Phương trình trở thành: 2a 3b a b a 3b a b b x 1 26 x x 30 x 25 a) Điều kiện x Vậy S 1;25 b) Thay x y vào phương trình thứ hai ta được: x y x y y xy 27 x y 27 x y thay vào phương trình thứ ta 3 y y 1 x 1 y 0 y x 5 Vậy x; y 1;1 ; ; 5 Bài a) Từ biểu thức x x 1 y xy 3x ta nhận thấy 3x 1phải chia hết cho x x 1 Ta có : 3x 1 3x x x x x 1 phải chia hết cho x x 1 suy x x 1 x2 x x 0;1;3; 2 , thay tìm y Vậy x; y 1;1; 1; 2 ; 2;1 b) Từ giả thiết xy y xy y Mà ta lại có: x y xy x y xy y x2 4 y y x y 1 y y y 1 x2 M 1 y 1 Dấu " " xảy x 1, y 2, M Bài E A M H G F D B O J C a) Do đường tròn (O) nội tiếp hình vng ABCD nên E F trung điểm cạnh AB, AD ABF BCE EBG BCG BGC vuông suy tứ giác AGEF nội tiếp mà AEOF nội tiếp nên điểm A, F , O, G, E nằm đường tròn b) Ta có : AB tiếp tuyến đường tròn (O) nên BEM EFM Lại có EAG EFG chắn cung EG nên EAG EFG EM / / AG E trung điểm AB nên M trung điểm BG Bài 1 2 x y z x y z x y2 z2 Ta có: x2 xy yz xz x x y x z y xy yz xz y x y y z z xy yz xz z z y x z Ta có: x y z x2 y2 z2 x y z x y z 2 x y z 2 x y z x y z x y z x y x z x y y z z y x z x y y z z x Do 4 x y z y z VP 3 x y y z z x x y2 z x y z Bất đẳng thức trở thành: x2 y2 z2 Ta có: x x2 y y2 z z2 1 x x x y x z x y x z 1 y y x y y z x y y z 1 z z x z y z x z y z x x2 x y z y y2 z z2 Dấu “=” xảy x y z 3 ... F D B O J C a) Do đường tròn (O) nội tiếp hình vng ABCD nên E F trung điểm cạnh AB, AD ABF BCE EBG BCG BGC vuông suy tứ giác AGEF nội tiếp mà AEOF nội tiếp nên điểm A, F , O, G, E... b 26 a2 Phương trình trở thành: 2a 3b a b a 3b a b b x 1 26 x x 30 x 25 a) Điều kiện x Vậy S 1;25 b) Thay x y vào phương trình thứ hai ta... 1 x2 x x 0;1;3; 2 , thay tìm y Vậy x; y 1;1; 1; 2 ; 2;1 b) Từ giả thi t xy y xy y Mà ta lại có: x y xy x y xy y x2 4 y y