SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn : TỐN (chun) Ngày thi: 31.05.2019 Đề Chính Thức Câu (3đ) x x 1 1 với x 0, x x x 2 x 1 x 2 x2 40 b) Giải hệ phương trình : x x 3 a) Rút gọn biểu thức A x y 1 c) Giải hệ phương trình: 3 2 x y y x Câu (2đ) a) Cho số thực a, b thỏa mãn a b Chứng minh phương trình ax2 bx 2a có nghiệm b) Tìm tất cặp số ngun dương m; n thỏa mãn phương trình : 2m.m2 9n2 12n 19 1 Tìm giá trị nhỏ a b c 1 biểu thức : P a ab 3b2 b2 bc 3c c ca 3a Câu (1đ) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn Câu (3đ) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC với AB AC Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) J khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBJ cắt đường thẳng AB M khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác ICJ cắt đường thẳng AC N khác C a) Chứng minh BJM CJN ba điểm M , I , N thẳng hàng b) Chứng minh JA tia phân giác BJN OA vng góc với MN c) Tia phân giác góc BAC cắt MN E Tia phân giác góc BME CNE cắt BE, CE P, Q Chứng minh PB.QE PE.QC Câu (1đ) Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng Giữa hai điểm ba điểm cho ta nối đoạn thẳng đoạn thẳng ghi số nguyên dương (các số ghi đoạn thẳng số nguyên dương khác nhau) Chứng minh tồn tam giác có cạnh đoạn thẳng nối mà tổng số ghi cạnh tam giác chia hết cho ĐÁP ÁN Câu a) A x x 1 x x 2 x 1 x 1 b) x x 1 x 2 x 2 x3 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x2 3x x2 x2 40 x 40 40 x x x x x2 x 3 x 2 t 10 x2 Đặt t ta có phương trình t 6t 40 x3 t 4 x2 10 x 10 x 30 vô nghiệm x 3 x x2 t 4 4 x x 12 x3 x 6 t 10 Vậy tập nghiệm phương trình S 2;6 2 x y 1 c) 3 2 x y y x (1) (2) x3 y x y x y x3 x y xy y x y x y x 3xy y 2 x 3xy y TH1: x y thay vào pt (1) ta x y 1 11 x y x y0 TH2: x 3xy y x y y 2 y Thử lại ta thấy x y không nghiệm hệ phương trình cho 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1;1; 1; 1 Câu a) Nếu a b phương trình có nghiệm x Nếu a b2 8a a 1 b a Nếu a a 1 nên phương trình có nghiệm a Nếu a 1thì a b b a b2 a a 8a a 1 3a 2 Nên phương trình có nghiệm Vậy phương trình cho ln có nghiệm với số thực a, b thỏa mãn a b b) Ta có : 2m.m2 9n2 12n 19 2m.m2 3n 15 Nếu m lẻ m 2k 1, k * 2m.m2 2.4k.m2 1 2m2 2m2 mod3 mà m2 0;1 mod3 k Nên 2.4k.m2 0;2 mod3 Mặt khác 3n 15 1 mod3 Vậy trường hợp không xảy Nếu m chẵn m 2k , k * ta có phương trình: 22 k.m2 3n 15 2k.m 3n 2k.m 3n 15 * Vì m, n * nên 2k.m 3n 2k.m 3n 2k.m 3n 2k.m 3n 2k.m 3n 15 2k.m 3n Do * k k m n m 3n 2k.m 3n 15 2k.2k TH1: k (vô nghiệm) n m 3n 2k.m 3n 2k.2k k m TH2: k n n m n n Vậy phương trình cho có nghiệm m 2, n Câu Ta chứng minh a ab 3b2 a 5b a, b * Thật ta có * 16 a ab 3b2 1 a 5b 13 a b 10 b 1 a 1 (ln đúng) Do P 2 4 a 5b b 5c c 5a 2 Áp dụng bất đẳng thức 1 x, y ta có: x y x y 1 1 1 3 P ab 2 a a Đẳng thức xảy a b c Vậy MaxP Câu A x P B O E I M Q J a) Tứ giác ABJC nội tiếp nên JCN MBJ Tứ giác MBIJ nội tiếp nên BMJ JIC Tứ giác NCJI nội tiếp nên JIC JNC JNC BMJ Do BJM CJN BJM CJN Ta lại có: BIM BJM , CIN CJN BIM CIN N C Suy M , I , N thẳng hàng b) ABJC CNIJ tứ giác nội tiếp nên AJB ACB NCI ; NCI NJI suy AJB AJN JA tia phân giác BJN Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Suy AJB BAx Ta lại có : AJB BMN , BAx BMN nên MN / / Ax Vậy AO MN S BJM MB c) Vì BJM CJN SCJN CN Vì I trung điểm BC nên S ABJ S ACJ 1 S ABJ S ABJ SCJN AB MB NC AB.MB S ACJ S BJM S ACJ MB NC AC AC.CN Ta lại có MNIJ , NCJI nội tiếp nên AB AM AI AJ AN.AC MB AC AM EM MB NC Suy NC AB AN EN ME NE MB PB QC NC ; Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: ME PE QE NE PB QC PB.QE PE.QC PE QE Câu Ta tô màu đoạn thẳng màu đỏ, xanh , vàng Ta chứng minh tồn tam giác có ba cạnh tơ màu Gọi A điểm cho, nối A với 16 điểm lại ta 16 đoạn thẳng Ta có: 16 3.5 1nên theo định lsy Dirichle tồn đoạn thẳng tơ màu Giả sử đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF , AG có màu đỏ Xét đoạn thẳng nối cặp điểm điểm B, C, D, E, F , G xảy trường hợp sau: TH1: Tồn đoạn thẳng tô màu đỏ, chẳng hạn BC tam giác ABC có ba cạnh màu đỏ TH2: Tất đoạn thẳng nối B, C, D, E, F , G có màu xanh vàng Ta xét đoạn thẳng BC, BD, BE, BF , BG tô màu theo ngun lý Dirichle tồn đoạn thẳng có màu Giả sử BC, BD, BE có màu xanh +Nếu ba đoạn thẳng CD, CE, DE có đoạn tơ màu xanh, chẳng hạn CD tam giác BCD có ba cạnh màu xanh +Nếu ba đoạn thẳng CD, CE, DE khơng có đoạn tơ màu xanh, tam giác CDE có ba cạnh màu vàng Do tồn tam giác có ba cạnh tơ màu Lấy số nguyên dương đoạn thẳng chia cho ta số dư 0,1,2 Tơ màu đoạn thẳng có số dư 0,1,2 tương ứng với màu đỏ,xanh, vàng Theo kết ln tồn tam giác có cạnh tô màu, tức số ghi cạnh tam giác có số dư r chia cho 3, chẳng hạn 3h r ,3k r ,3q r , Khi đó: 3h r 3k r 3q r 3 h k q r số chia hết cho ... 3 x 2 t 10 x2 Đặt t ta có phương trình t 6t 40 x3 t 4 x2 10 x 10 x 30 vô nghiệm x 3 x x2 t 4 4 x x 12 x3 x 6 t 10 Vậy tập nghiệm... x3 x y xy y x y x y x 3xy y 2 x 3xy y TH1: x y thay vào pt (1) ta x y 1 11 x y x y0 TH2: x 3xy y x y y 2 ... a 5b a, b * Thật ta có * 16 a ab 3b2 1 a 5b 13 a b 10 b 1 a 1 (ln đúng) Do P 2 4 a 5b b 5c c 5a 2 Áp dụng bất đẳng