Đáp án đề thi vào 10 chuyên toán tỉnh bến tre 2018 2019

SỞ GIÁO DUC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HOC PHỔ THƠNG CHUN BẾN TRE NĂM HỌC 2018-2019 MƠN: TỐN (chuyên) Thời gian: 150 phút ( không kể giao đề ) Câu 1: ( điểm ) Cho biểu thức P = a b + a −b a − b với a, b hai số thực dương + ab a) Rút gọn biểu thức P : ( a + b )(a + b) b) Tính giá trị biểu thức P a = 2019 + 2018 b = 2020 + 2019 Câu 2: ( 1,5 điểm ) a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rẳng p − chia hết cho 24 b) Cho phương trình x − 2mx − m − = với m tham số Tìm giá trị m đề phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa đạt giá trị lớn x1 + x2 Câu 3: ( 1,5 điểm ) a) Giải phương trình: x + = x − 3x −  x2 + y = b) Giải hệ phương trình:  ( x − y )(1 − xy ) = Câu 4: ( điểm ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − xy + = x + y b) Cho hai số thực a, b thỏa a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = + a b Câu 5: ( điểm ) Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB Vẽ đường thẳng d tiếp tuyến (O) B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d N Gọi C trung điểm đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d điểm D a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp NE AD = 2R b) Gọi E hình chiếu N đoạn AD Chứng minh ba điểm N,O,E thẳng hàng ND c) Chứng minh CA.CN = CO.CD d) Xác định vị trí điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ Câu 1: ( điểm ) a b + a −b a − b với a, b hai số thực dương + ab a) Rút gọn biểu thức P : ( a + b )(a + b) b) Tính giá trị biểu thức P a = 2019 + 2018 b = 2020 + 2019 Bài giải ab ( a − b ) + ( a − b ) ( a − b )(1 + ab ) = = a− b a) P = + ab + ab ⇒ P: = P.( a + b )(a + b) = ( a − b )( a + b )(a + b) = (a − b)(a + b) = a − b ( a + b )(a + b) Cho biểu thức P = b) P = a − b = 2019 + 2018 − 2020 + 2019 = ( 2018 + 1) − ( 2019 + 1) = 2018 − 2019 Câu 2: ( 1,5 điểm ) a) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh rẳng p − chia hết cho 24 b) Cho phương trình x − 2mx − m − = với m tham số Tìm giá trị m đề phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa đạt giá trị lớn x1 + x2 Bài giải p a) Ta có nhận xét sau: Nếu số nguyên tố lớn p ≡ 1(mod 24) (1) Lại có: −1 ≡ 23(mod 24) (2) (1) + (2) ⇒ p − ≡ 24(mod 24) ≡ 0(mod 24) Vậy p − chia hết cho 24 với p số nguyên tố lớn b) Điều kiện : ∆ ' > ⇔ m2 + m + > 15 ⇔ (m + ) + > ( với m ) Theo Vi-ét ta được: x1 + x2 = 2m ; x1 x2 = −m − 1 1 = = = ≤ = 2 2 Ta có : x1 + x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 4m + 2m + 2( 2m + ) + 31 31 31 4 2 −1 ⇔ m= Vậy Max = x1 + x2 31 Câu 3: ( 1,5 điểm ) a) Giải phương trình: x + = x − 3x −  x2 + y = b) Giải hệ phương trình:  ( x − y )(1 − xy ) = Bài giải  x + ≥  x ≥ −1 ⇔ a) Điều kiện :   x − 3x − ≥  x − 3x − ≥ x + = x − 3x − ⇔ ( x + 1)( x − x + 1) = x − x − Đặt a = ( x + 1); b = ( x − x + 1) ; ( a ≥ 0, b > ) Phương trình tương đương :  + 37 x=  a + b = (TM) ⇒ 2a = b ⇔ ( x + 1) = ( x − x + 1) ⇔ x − x − = ⇒  ⇔ 2a + ab − b = ⇒  a = b  − 37  ⇔ (a + b)(2a − b) = x =  + 37 − 37 Vậy phương trình có nghiệm : x = x = 2  x2 + y2 =  x − xy + y = 2(1 − xy ) ( x − y ) = 2(1 − xy ) ⇔ ⇔ b)  ( x − y )(1 − xy ) = ( x − y )(1 − xy ) = ( x − y )(1 − xy ) = Đặt a = x − y; b = − xy Hệ phương trình tương đương x =  a = 2b a = x − y =  ⇔ ⇔ ⇒  −1 b = − xy = y = ab =     −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = (1; ) Câu 4: ( điểm ) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x − xy + = x + y b) Cho hai số thực a, b thỏa a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = + a b Bài giải a) Biến đổi phương trình thành : ( x + 1)( x − x − y ) = −2 b − 2a = ab   x + = −2   x = −3     x − x − y =   y = 11  x + =  x =     x − x − y = −1   y = ⇒   x + =  x =   y =   x − x − y = −2     x + = −1   x = −2     x − x − y =   y = Vậy phương trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = (−3;11);(1;1);(0; 2);( −2; 4) 4a + 4b a + b 4b a 4b a + = + = 5+ + ≥ 5+ = 5+ = a b a b a b a b Vậy Min T = ⇔ a = ; b = 3 b) T = Câu 5: ( điểm ) Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB Vẽ đường thẳng d tiếp tuyến (O) B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d N Gọi C trung điểm đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d điểm D a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp NE AD = 2R b) Gọi E hình chiếu N đoạn AD Chứng minh ba điểm N,O,E thẳng hàng ND c) Chứng minh CA.CN = CO.CD d) Xác định vị trí điểm M để 2AM + AN đạt giá trị nhỏ Bài giải a) Bạn đọc tự chứng minh b) O trực tâm ∆AND nên ba điểm N,O,E thẳng hàng NB AB NB.2 R = = R.NB Ta có: S ANB = 2 BD AB BD.2 R S ABD = = = R.BD 2 ⇒ S AND = S ANB + S ABD = R (NB+ BD) = R.ND NE AD ⇒ = R.ND NE AD ⇒ = 2R ND c) Chứng minh ∆CAO : ∆CDN ⇒ CA.CN = CO.CD d) Ta có ∆ABN vng B có MB đường cao nên theo hệ thức lượng, ta được: AM AN = AB = (2 R ) = R Theo BDT Cơ- Si, ta có: AM + AN ≥ 2 AM AN = R = R (không đổi) AN ⇔ M điểm cung »AB Vậy Min 2AM + AN = 2R ⇔ AM = Chú ý : Đây lời giải cá nhân, có sai sót mong bạn thơng cảm Trần Nguyễn Đắc Lãm, lớp / THCS Tân Lợi Thạnh, Giồng Trôm, Bến Tre  ... nhân, có sai sót mong bạn thông cảm Trần Nguyễn Đắc Lãm, lớp / THCS Tân Lợi Thạnh, Giồng Trôm, Bến Tre ... Chứng minh rẳng p − chia hết cho 24 b) Cho phương trình x − 2mx − m − = với m tham số Tìm giá trị m đề phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa đạt giá trị lớn x1 + x2 Bài giải p a) Ta