Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D.. a Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp.. Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và NE AD.. c Chứng minh rằng CA
Trang 1BẾN TRE TRUNG HOC PHỔ THÔNG CHUYÊN BẾN TRE
NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút ( không kể giao đề )
Câu 1: ( 2 điểm )
Cho biểu thức
1
a b a b a b P
ab
với ,a b là hai số thực dương.
a) Rút gọn biểu thức : 1
P
a b a b
b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 2019 2 2018 và b 2020 2 2019
Câu 2: ( 1,5 điểm )
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rẳng p chia hết cho 24.2 1
b) Cho phương trình x2 2mx m 4 0 với m là tham số Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có
hai nghiệm phân biệt x x thỏa 1, 2 2 2
1 2
1
x x đạt giá trị lớn nhất
Câu 3: ( 1,5 điểm )
a) Giải phương trình: x3 1 x2 3x 1
b) Giải hệ phương trình:
2 4 2 2 ( 2 )(1 2 ) 4
Câu 4: ( 2 điểm )
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 xy 2 x y
b) Cho hai số thực ,a b thỏa a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 4 1
a b
Câu 5: ( 3 điểm )
Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D
a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp
b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và NE AD. 2R
ND .
c) Chứng minh rằng CA CN CO CD
d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM AN đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 2Cho biểu thức
1
a b a b a b P
ab
với ,a b là hai số thực dương.
a) Rút gọn biểu thức : 1
P
a b a b b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 2019 2 2018 và b 2020 2 2019
Bài giải
2 2 1
a b a b
b) P a b 2019 2 2018 2020 2 2019 ( 2018 1) 2 ( 2019 1) 2 2018 2019
Câu 2: ( 1,5 điểm )
a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rẳng p chia hết cho 24.2 1
b) Cho phương trình x2 2mx m 4 0 với m là tham số Tìm các giá trị của m đề phương trình đã cho có
hai nghiệm phân biệt x x thỏa 1, 2 2 2
1 2
1
x x đạt giá trị lớn nhất
Bài giải a) Ta có nhận xét sau: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p 2 1(mod 24) (1)
Lại có: 1 23(mod 24) (2)
(1) (2) p 2 1 24(mod 24) 0(mod 24)
Vậy p chia hết cho 24 với 2 1 p là số nguyên tố lớn hơn 3.
b) Điều kiện : ' 0
2 4 0
2
m
( với mọi m )
Theo Vi-ét ta được: x1x2 2m ; x x1 2 m 4
2
1 2 1 2 1 2
2 2
x x x x x x m m m
Vậy Max 2 2
1 2
1
x x = 4
31
1 4
m
Câu 3: ( 1,5 điểm )
a) Giải phương trình: x3 1 x2 3x 1
b) Giải hệ phương trình:
2 4 2 2 ( 2 )(1 2 ) 4
Bài giải a) Điều kiện :
3
2 2
1
1 0
x x
Trang 3
2 2 (x 1)(x x 1) x 3x 1
Đặt a (x1);b (x2 x1) ; ( a0,b0)
Phương trình tương đương :
2 2
2
a ab b
a b a b
2
x
a b
a b
x
(TM)
Vậy phương trình có 2 nghiệm : 5 37
2
2
x
b)
2
( 2 )(1 2 ) 4
Đặt a x 2 ;y b 1 2xy Hệ phương trình tương đương
2 4
a
b ab
1
1
2
x
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) (1; 1)
2
x y
Câu 4: ( 2 điểm )
a) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x3 xy 2 x y
b) Cho hai số thực ,a b thỏa a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T 4 1
a b
Bài giải a) Biến đổi phương trình thành : 2
(x1)(x x y )2
2
2
2
2
0
1 1
2 2
2
4 2
x x
y
x x y
x x
y
x x y
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên ( ; ) ( 3;11);(1;1);(0; 2);( 2; 4)x y
b) T 4 1 4a 4b a b 5 4b a 5 2 4b a 5 4 9
Vậy Min T 9 2 1
;
a b .
Trang 4Cho nửa đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B Trên cung AB lấy điểm M tùy ý ( M khác A, B ), tia AM cắt đường thẳng d tại N Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AM, tia CO cắt đường thẳng d tại điểm D
a) Chứng minh tứ giác OBNC nội tiếp
b) Gọi E là hình chiếu của N trên đoạn AD Chứng minh rằng ba điểm N,O,E thẳng hàng và NE AD. 2R
ND .
c) Chứng minh rằng CA CN CO CD
d) Xác định vị trí của điểm M để 2AM AN đạt giá trị nhỏ nhất
Bài giải a) Bạn đọc tự chứng minh
b) O là trực tâm của AND nên ba điểm N,O,E thẳng hàng
ANB
NB AB NB R
ABD
BD AB BD R
2
NE AD
R ND
2
NE AD
R ND
c) Chứng minh CAOCDN CA CN CO CD
d) Ta cóABNvuông tại B có MB là đường cao nên theo hệ
thức lượng, ta được:
AM AN AB R R
Theo BDT Cô- Si, ta có:
2
2AM AN 2 2AM AN 2 8R 4 2R(không đổi)
Vậy Min 2AM AN 4 2R
2
AN
AM M là điểm chính giữa cung AB
Chú ý : Đây là lời giải của cá nhân, nếu có gì sai sót mong các bạn thông cảm
Trần Nguyễn Đắc Lãm, lớp 9 / 2 THCS Tân Lợi Thạnh, Giồng Trôm, Bến Tre
E
D
C
N
B
O A
M