ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI

ĐÁP ÁN Câu 1: ( ) 2 a b a b a b b a P : a b 2 a b b ab ab a −   + + = − + −  ÷ − + − +   ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b b a : 2 a b a b a b b a b a a b   − + +  ÷ = − + −  ÷ + − + − − +  ÷   ( ) ( ) ( ) a b a b a ab b ab ab b ab a ab ab : 2 a b a b ab a b 2 ab a b a b : 2 a b a b ab a b a b 2 2 − + + + + + − = − + − − + + = − + − − − = − Nếu: a b 0− > a b a b P 0 2 2 − − ⇔ = − = Nếu a b 0 a b P a b− < ⇔ < ⇔ = − 2. ( ) 2 a b 1 a a 1 1− = − ⇔ − + = − ( vì b = (a+1) 2 ( ) a a 1 1 a 1 a 0 ⇔ − − = − ⇔ − = Mà a>0 1 a 0 a 1 b 4⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy a = 1 và b = 4 thì p = -1; Câu 2: 1) 2 2 x (m 1)x m 2 0+ + + − = Xét ( ) ( ) 2 2 2 4 2 b 4ac m 1 4 m 2 m 2m 1 4m 8 ∆ = − = + − − = + + − + ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 m 2m 1 4m 4m 1 7 m 1 2m 1 7 0 = − + + − + + = − − + ≥ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x;x Theo đầu bài 1 2 x .x 0 m 2 0 m 2≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ 2) Từ (*) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2x 1 x 2x 1 x x x 55 2x x 2x x x x 55 0 2 x x 4x x x x xx 55 0 (2) ⇒ − + − = + ⇔ − + − − − = ⇔ + − − + − − = Áp dụng hệ thức viet ta có: ( ) 2 1 2 b x x m 1 a − + = = − + 1 2 c x x m 2 a = = − ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 4 2 (2) 2 x x 4xx x x x x 55 0 2m 4m 2 8 1 4 55 4m 4m 0 2m 4m 48 0 ⇔ + − − + − − = ⇔ + + + + − − − = = ⇔ + − = Đặt : 2 t m t 0= ⇒ > 2 2t 4t 48 0+ − = ' 100 0∆ = > 1 2 10 t 4 2 − + = = 2 2 10 t 6 0 2 − − = = − < ( loại) Thay t = 4 · · · COA 2CBA 2CBM= = Xét với điều kiện m 2⇒ = − Câu 3: a) Ta có · · · · ( ) 1 2 MOC MOC 2 CAB CBA+ = + · · ( ) CAB CBA+ = 90 0 ( Tổng 3 góc trong một tam giác) · · 0 1 2 MOC MOC 180 ⇒ + = ⇔ tứ giác MO 1 CO 2 nội tiếp ( tổng hai góc đối bằng 180 0 ) ⇒ C, O 1 , M, O 2 cùng nằm trên một đường tròn (C) b) Trong (O): · · · COA 2CBA 2CBM= = Trong (O 2 ): · · 2 CO M 2CBM= · · 2 COM CO M ⇒ = ⇒ tứ giác COO 2 M nội tiếp mà MO 1 CO 2 nội tiếp (chứng minh trên) ⇒ 5 điểm C, O 1 , M, O 2 , O cùng thuộc đường tròn (C) ⇒ O ∈ (C) c) Xác định vị trí của M để đường tròn (C) có bán kính nhỉ nhất. Đường tròn (O1) và (O2) có dây cung chung AC ⇒ đường nối tâm 1 OO AC⊥ tại K ⇒ K là trung điểm AC Tương tự I là trung điểm của BC Ta có O 1 C = O 1 M = bán kính đường tròn O 1 O 2 C = O 2 M = bán kính đường tròn O 2 O 1 O 2 chung Suy ra 1 2 1 2 OCO= OMO∆ ∆ · · 1 1 2 2 OCO=O MO Do tứ giác MO 1 CO 2 nội tiếp ⇒ · 0 1 2 OCO 90 = Vậy đường tròn (C) có đường kính O 1 O 2 = 2R Do 2 2 0 2 2 2 2 1 2 1 2 AC BC OCO 90 OC O C CK CI 4 4 = ⇒ + ≥ + = + 2 2 2 2 AC BC AB 4R 4 4 16 ⇔ ≥ + = Vậy 2 2 2 2 AC BC AB MIN R R = 4 4 16 ⇔ + = Đẳng thức xảy ra khi M trùng với chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB tại K Câu 4: Từ: 2 i)ac a c b 2b− − = − 2 ac a c 1 b 2b 1⇔ − − + = − + 2 a(c 1) (c 1) (b 1)⇔ − − − = − 2 (a 1)(c 1) (b 1)− − = − a(d 1) b(c 1) c 1 d 1 0⇔ − − − + − − + = a(d 1) (d 1) b(c 1) (c 1) 0⇔ − − − − − + − = 2 ii) bd b d 1 c 2c 1− − + = − + 2 b(d 1) (d 1) (c 1)⇔ − − − = − 2 (b 1)(d 1) (c 1)⇔ − − = − Ta cần chứng minh ad + b + c = bc + a + d Thật vậy ad b c bc a d + + = + + ad b c bc a d 0⇔ + + − − − = a(d 1) b(c 1) c 1 d 1 0⇔ − − − + − − + = a(d 1) (d 1) b(c 1) (c 1) 0⇔ − − − − − + − = (a 1)(d 1) (b 1)(c 1) 0⇔ − − − − − = 2 2 2 2 (b 1) (c 1) . (b 1)(c 1) 0 (c 1) (b 1) − − ⇔ − − − = − − (b 1)(c 1) (c 1)(b 1) 0⇒ − − − − − = (đpcm) Câu 5: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 M x y z x z y = + + + + + ( ) 2 2 1 1 1 2 z x z y (z x)(z y) x y   = + − +  ÷ + + + + +   2 2 z y z x 1 2 (x y) (z x)(z y) (z x)(z y)   + − − = + +  ÷ − + + + +   ( vì (x+z)(y+z) = 1) Có 2 2 2 2 (x y) 1 (x y) 2 1 (x y) (x y) − + − ≥ = − − Vậy M 4≥ . + + + + − − − = = ⇔ + − = Đặt : 2 t m t 0= ⇒ > 2 2t 4t 48 0+ − = ' 100 0∆ = > 1 2 10 t 4 2 − + = = 2 2 10 t 6 0 2 − − = = − < ( loại) Thay t = 4 · · · COA 2CBA 2CBM= = Xét với. giác COO 2 M nội tiếp mà MO 1 CO 2 nội tiếp (chứng minh trên) ⇒ 5 điểm C, O 1 , M, O 2 , O cùng thuộc đường tròn (C) ⇒ O ∈ (C) c) Xác định vị trí của M để đường tròn (C) có bán kính nhỉ nhất. Đường. có O 1 C = O 1 M = bán kính đường tròn O 1 O 2 C = O 2 M = bán kính đường tròn O 2 O 1 O 2 chung Suy ra 1 2 1 2 OCO= OMO∆ ∆ · · 1 1 2 2 OCO=O MO Do tứ giác MO 1 CO 2 nội tiếp ⇒ · 0 1 2 OCO