Dap an de thi vào thpt chuyên toan chung 2015

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2015 MÔN THI: TOÁN (cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút Câu I (3 điểm) 1) Giả sử a, b hai số thực phân biệt thỏa mãn a  3a  b2  3b  a) Chứng minh a  b  3 b) Chứng minh a3  b3  45 2) Giải hệ phương trình 2 x  y  xy  2 4 x  y  xy Câu II (3 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y không nhỏ cho xy  chia hết cho  x  1 y  1 2) Với x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x2 y  y   0, tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức xy P 3y 1 Câu III (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi E , F điểm đối xứng D qua IC , IB 1) Chứng minh EF song song với BC 2) Gọi M , N , J trung điểm đoạn thẳng DE, DF , EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M , P, N , J thuộc đường tròn 3) Chứng minh ba điểm A, J , P thẳng hàng Câu IV (1 điểm) 1) Cho bảng ô vuông 2015  2015 Kí hiệu ô  i, j  ô hàng thứ i, cột thứ j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau: i) Số viết vào ô 1,1 , ii) Nếu số k viết vào ô  i, j  ,  i  1 , số k  viết vào ô  i  1, j  1 , iii) Nếu số k viết vào ô 1, j  số k  viết vào ô  j  1,1 (Xem hình 1.) Khi đó, số 2015 viết vào ô  m, n  Hãy xác định m n 10 … … … … … Hình 2) Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  abc  Chứng minh a  b2  c2  a  b  c   ab  bc  ca  ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM Câu I (3 điểm) 1) (1,5 điểm)  b) Ta có  a   b   3 a  b    a a) Ta có a  b2  3 a  b    a  b  3  a  b  2  b2    a  b   13   a  b   2ab  13  ab  2  a3  b3   a  b   a  ab  b   45 Chú ý: Học sinh giải định lý Vi - ét 2) (1,5 điểm) 2  2 xy  y  xy Từ hệ phương trình cho ta có  2  4 x  y  xy  xy  y  x  y  x2  y  xy    x  y  y  x   x  y x  y   5x  5x2    Giải  (thỏa mãn) 2 x  y  xy x  y  x  y   y  2 x  4 x  10 x    Giải  (thỏa mãn) x  , y   x  y  xy  5  2 4 Vậy hệ có nghiệm  x; y  là:  0;0  ; 1;1 ;  ;   5 5 Câu II (3 điểm) 1) (1,5 điểm) Ta có a   x  1 y  1  x  y     xy   x 1 y 1  x  1 y  1  x  1 y  1 Ta có x   x    1  1, y   y    1 x 1 y 1 1  a  a  (theo giả thiết)    a   a   Với a  ta có  1   x  1 y  1   x  1   y  1   x 1 y 1 x   x    x   y       y     y   Với a  ta có  1   x  1 y  1   x  1   y  1   x 1 y 1 2 x    x    xy  3x  y     x  3 y  3    2 y    y  2) (1,5 điểm) Vì x2 y  y    y  chia hai vế cho y đẳng thức điều kiện ta thu 1  1 được: x     x    1  Đặt u   ta thu x2  u  y y y y  Ta có P  x y 3  x   x  Pu   P u2  4P   x  Pu   1  P  x  u    P   1 P 3  Với x  1 , y   P  Vậy Pmax  3  Với x   1 1 , y   P  Vậy Pmin  3 Câu III (3 điểm) A J F E I M N P B C D 1) (1 điểm) Theo tính chất phân giác ta thấy E , F thuộc đoạn CA, AB Từ theo tính chất đường phân giác ta có BF BD CD CE EF BC    BA BA CA CA 2) (1 điểm) Ta có MPN  MPA  NPA  MEC  NFB  MDC  NDB  180  MDN  180  MJN Suy tứ giác MPNJ nội tiếp 3) (1 điểm) Từ tứ giác MPNJ nội tiếp nên suy MPJ  MNJ  MEJ  EDC  DEC  MPA Suy A, J , P thẳng hàng Câu IV (1 điểm) 1) (0,5 điểm) Theo quy tắc trên, số hàng cột j    Ta có  j j  j  1 63.64  2016 Vậy số 2016 hàng cột 63 suy số 2015 hàng cột 62 Do m  2, n  62 2) (0,5 điểm) Ta có ab  bc  ca  abc   12   ab  bc  ca    a  b  c     a  b  c    ab  bc  ca   abc    a   b     b   c     c   a     a   b   c   Ta có 1    2a 2b 2c a  b2  c2 a  b2  c2   ,  a  a   1  a  b  c   a  b  c 2 b  a2  c2 c  a  b2  ,  tương tự ta có  b  a  b  c 2  c  a  b  c 2 Cộng bất đẳng thức ta suy  a  b2  c   a  b  c   a  b  c   a  b2  c  a  b  c   ab  bc  ca  ... MEJ  EDC  DEC  MPA Suy A, J , P thẳng hàng Câu IV (1 điểm) 1) (0,5 điểm) Theo quy tắc trên, số hàng cột j    Ta có  j j  j  1 63.64  2016 Vậy số 2016 hàng cột 63 suy số 2015 hàng cột...  x  1 y  1 Ta có x   x    1  1, y   y    1 x 1 y 1 1  a  a  (theo giả thi t)    a   a   Với a  ta có  1   x  1 y  1   x  1   y  1   x 1 y...ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM Câu I (3 điểm) 1) (1,5 điểm)  b) Ta có  a   b   3 a  b    a a) Ta có a  b2