044 đề thi vào 10 chuyên toán phú yên 2019 2020

3 D B N E C A M a) Ta thấy M , N trung điểm AC, AD nên MN đường trung bình tam giác ACD  MN / /CD hay ANE  ADB Vì BA  BD  ABD cân B  BN  AB, BDA  BAD Vì BE / / AD  BNA  NBE  900 , ANE  NEB  BEAN tứ giác nội tiếp  NEA  1800  900  900 Vì NAE  BNA  NBE  900 (dfcm) b) Dễ thấy MAE  DAB (cùng phụ với BAE )  MAE  MNA Lại có AME góc chung nên MAE Mà MA  MC  MNA( g.g )  MA MN  ME MA MC MN  ME MC Do EMC góc chung  MEC MCN (c.g.c)  ECM  MNC Lại có MN / /CD (đường trung bình)  MNC  DCN  ACE  DCN (dfcm) Câu a) Giả sử tồn số thực  a, b, c  thỏa mãn yêu cầu đề Rõ ràng ĐK a, b, c là: a  bc, b2  ca, c  ab Nếu a  b  c a2  bc  a2  a2   a2  bc (vô lý) Vậy nên số a, b, c phải có số khác Khi đó:  a  b  b  c    c  a  2 0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c abc     b  ca c  ab a  bc  a  b  b  c  c  a  2019       2  a  b  c  Khi đó, tồn số nhau, giả sử a  b thì: a b   b  ca  c  ab  b  ca c  ab   a  b  c  b  c    b  c  a  b  c (vô lý) Từ dãy tỉ số nhau, ta có: a b bc ca    2 2 b  ca  c  ab c  ab  a  bc a  ab  b  ca 2019 a b bc a b      b  c  a  b  c   c  a  a  b  c   a  b  a  b  c  2019  x  yz  Đặt :  y  zx  x  y  z  xy  yz  zx  z  xy    x  y   y  z    z  x   x  y  z 2 a  b  2c a  b  2c a  b  2c      c  b  a  c  b  a  c  b  a  a  b  c a  c  2b a  b  2b  2a 3 a  b       Kết cho thấy vô lý Vậy không tồn số thỏa mãn theo yêu cầu b) Vì x, y   x  y, x  y   x  y 85  x y 13  85  x  y   13 x  y    x  y  Áp dụng BĐT: x  y 2  x  y  Ta có : 85  x  y   13 x  y     x  y   (luôn đúng) 13 170  x  y   x  y   x  y  13 13 x  y  Mà :   x  y  13  x  y  85  x  y 13  x  (TM )   y  13  x y   x  y  13     2  x  y  85  x  13  x   85   x  (TM )    y  Vậy nghiệm phương trình  x; y   6;7  ;  7;6  Câu M K H O' O B A I N P Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB Gọi H , K theo thứ tự giao điểm OO ' với MN MI Rõ ràng OO '  MN HM  HN Ta thấy IM  IP nên NP  NM nên OI đường trung trực đoạn MA  MA  OI  OI / / MO ' (vì MA  MO ') Tương tự O ' I / / MO  OIMO ' hình bình hành, K trung điểm MI  HK đường trung bình MNI  NI / / HK hay NI / /OO ' Mà MN  MO '  MN  IN  IN  MP  PN  MN (dfcm) Câu Bình phương vế, ta cần chứng minh tương đương a  b  1  b  c  1  c  a  1  2ab 2bc c  1 a  1  2ca b b  1 c  1  1 a  1  (*) Áp dụng BĐT Cauchy ta có: a  1 b2  1  a 2b2  a  b2   a 2b2  2ab   ab  Gọi vế trái (*) S Áp dụng BĐT Cauchy ta có: S  a 2b  b 2c  c 2a  a  b  c  2ab  bc  1 2bc  ca  1  2ca  ab  1   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca   3. ab  bc  ca   2 a  b  c   Dấu "  " xảy  ab   bc   ca   a  b  c  ab  bc  ca  