048 đề thi vào 10 chuyên toán bình thuận 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN Mơn thi:Tốn (hệ số – chun tốn)  x  xy  y  x  y  185  Bài (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:   x  xy  y  x  y  65 (1) (2) Bài (2,0 điểm) a) Chứng minh số M   n  1  n4  1chia hết cho số phương khác với số n nguyên dương b) Tìm tất số tự nhiên n để phương trình : x2  n2 x  n   (ẩn số x) có nghiệm số nguyên Bài (2,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa xyz  yz xz xy Chứng minh:    xy  yz  xz x  y  z y x  z z x  y   Bài (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A A  900 nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm cung AB không chứa C( D khác A, B) Hai dây cung AD BC kéo dài E Đường thẳng qua E song song với CD cắt AB F Vẽ tiếp tuyến FG với đường tròn  O  (G tiếp điểm) a) Chứng minh : FG  FE b) Từ trung điểm I BC vẽ IJ  AC  J  AC  Gọi H trung điểm IJ Chứng minh AH  BJ Bài (1,0 điểm) Trong buổi tổ chức lễ tun dương học sinh có thành tích học tập xuất sắc huyện, ngoại trừ bạn An, hai người bắt tay An bắt tay với người quen Biết cặp (hai người) bắt tay không lần có tổng cộng 420 bắt tay Hỏi bạn An có người quen buổi lễ tuyên dương ĐÁP ÁN Bài Cộng phương trình vế theo vế ta có:  x  y  x  y  250   x2  y   125  x  y   x  y  25 Thay vào (1) ta có:  25  xy  x  y  185   25  xy .5  185  xy  12 Như hệ cho : 12  12  12  y   x  y  25  y  y  x x     x 144 xy  12  x   25  x  25 x  144   x  16  x     x 12   x   x  3  x   x  4 y  x      y  y   y      y  3  x  3 x   x   x     2 Kết luận: Nghiệm hệ phương trình  x; y    3;4  ;  3; 4  ;  4;3;  4; 3 Bài a) Ta có: M   n  1  n    n  2n  1  n    n  2n  1  n    n  n  1 n  3n  1   n  n  1 n  n  1   n  n  1 2n  2n     n  n  1 (*) Vì n * nên  n2  n  1 số phương khác Do đó, từ * suy M   n  1  n4  1chia hết cho số phương khác 1với số n nguyên dương (đpcm) b) Xét phương trình: x2  n2 x  n   (ẩn số x) (1) Để phương trinh (1) có nghiệm    n4  4n    n 0;1 (do n  ) Gọi x1; x2 hai nghiệm cuẩ phương trình (1)  x1  x2  n Áp dụng hệ thức Vi-et ta được:   x1 x2  n   x1  x2  x1 x2  n  n   x1 1  x2   1  x2   n  n    x1  11  x2    n   n  1   x1  1 x2  1    n  n  1  x1  x2  n  Với n  , n 0;1   x1 x2  n   Do x1  1; x2    x1  1 x2  1     n  n  1    n  (do n   0, n  )  n  Mà n  , n 0;1  n  Khi phương trình (1) trở thành:  x  1(tm) x2  x      x  3(tm) Vậy với n , đê phương trình cho có nghiệm lầ số nguyên n  Bài 1 1 2 2 yz xz xy y  x  x ; yz   ;  z Ta có: VT  x  y  z y  z  y x  z  z x  y  yz y z x z x y 1  a;  b;  c  a, b, c  0  abc  x y z Theo bất đẳng thức Cơ si ta có: Đặt a2 bc a2 b2 ac c2 ab  2  a;   b;  c bc 4 ac ab Cộng vế lại với ta có: a2 b2 c2 abc    abc bc ac ab a2 b2 c2 abc abc 1          xy  yz  zx bc ac ab abc ab bc ca yz xz xy     xy  yz  xz  dfcm  x  y  z y  x  z z x  y Bài A D O E H B I F J Q C G a) Ta có FG / /CD  FEB  DCB (cặp góc so le trong) Và DCB  DAB (cùng chắn cung AD) nên FE FB FEB  FAE  FBE FEA( g.g )    FE  FA.FB FA FE Do FG tiếp tuyến G đường tròn (O)  FGB  FAG (cùng chắn cung GB) FG FA   FG  FA.FB FB FG Do FG  FE  FG  FB b) Ta gọi Q trung điểm CJ IQ đường trung bình BJC  IQ / / BJ  FGB FAG( g.g )  Ta chứng minh AH  IQ Do HQ / / IC (HQ đường trung bình tam giác JIC ) AI  BC  AI  IC (do tam giác ABC cân A có AI đường trung tuyến )  HQ / / IA Kết hợp với IH  AQ H trực tâm AIQ  AH  IQ  AH  BJ Bài Giả sử ngồi bạn An có n bạn An quen m bạn, điều kiện m  n; m, n  * n  n  1 m Theo ta có phương trình: n  n  1  m  420  n  n  1  2m  840 (1) Mặt khác 2m  2n, kết hợp với 1 ta suy n  n  1  2n  840  n2  n  840  n  29 Số bắt tay Và 2m  , kết hợp với 1 ta suy n2  n  838   n  29 , từ suy n  29 Thay n  29 vào (1) ta có 2m  29.28  840  m  14 Vậy An quen 14 người ... phương trình vế theo vế ta có:  x  y  x  y  250   x2  y   125  x  y   x  y  25 Thay vào (1) ta có:  25  xy  x  y  185   25  xy .5  185  xy  12 Như hệ cho : 12  12  12... Số bắt tay Và 2m  , kết hợp với 1 ta suy n2  n  838   n  29 , từ suy n  29 Thay n  29 vào (1) ta có 2m  29.28  840  m  14 Vậy An quen 14 người