SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2019-2020 Mơn: TỐN CHUN Câu (2,0 điểm) 1 Tính giá trị biểu thức P x3 x x 1 1 x 1 x 1 a) Cho số thực x thỏa mãn x b) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) a b 4a b c ac b) Có 15 bạn học sinh nam 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh bàn tròn Chứng minh tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh bạn nữ a) Cho a, b, c số thực dương, chứng minh Câu (2,0 điểm) Với số thực x , kí hiệu x số nguyên lớn khơng 3 vượt q x Ví dụ 1; 2 2 a) Chứng minh x x x x x 1 với x b) Có số nguyên dương n 840 thỏa mãn n ước n ? Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông B, đường cao BH H AC Goi đường tròn tâm C bán kính CB Gọi F điểm đoạn thẳng BH ( F khác B H) AF cắt hai điểm D, E ( D nằm A E ) Gọi K trung điểm DE a) Chứng minh FKCH tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AD AE AH AC AF AK c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp BFK tiếp xúc với B Câu (1,0 điểm) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho n 2019 n 2020 ĐÁP ÁN Câu 1 a) Từ giả thiết có x 33 hay x 1 x3 3 x 27 x3 3.3 27 x x x P x3 27 18 x x b) Điều kiện xác định x Phương trình cho tương đương với Đặt x 1 x x 1 x 1 x t t 0; t 1 ta có : t 2t t t Khi x 3 2 Phương trình cho có nghiệm x Câu a) a b 4a ac b2 a c 4abc b c ac Theo Cô si ac b ab 2c a c ac ac b a c 4abc b) Giả sử tồn cách xếp 30 bạn lên bàn tròn cho khơng có bận ngồi hai bạn nữ Gọi bạn theo thứ tự A1; A2 ; ; A30 Chúng ta chia 30 bạn sang bàn tròn gồm A1; A3 ; ; A29 A2 ; A4 ; ; A30 giữ nguyên thứ tự Khi hai bàn mới, khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh 15 Suy tổng số bạn nữ cẩ hai bàn nhỏ 15 (trái giả thiết) Vậy tồn học sinh mà bạn ngồi cạnh nữ Số bạn nữ bàn khơng vượt q Câu a) Ta có x x (theo định nghĩa) Giả sử x x x 1là số nguyên mà x x ; Mà theo định nghĩa x số nguyên lớn không vượt x (mâu thuẫn x x Do x x x x x x 1 x x 1 Lại có x x Vậy x x x x x 1 b) Giả sử n số nguyên dương thỏa mãn Đặt k n k 28 k n k 1 hay k n k 2k n k r với r 2k Mặt khác n k hay k r k nên r 0; k ;2k với k 28 Lại có 840 282 2.28 Mà n có dạng k ; k k ; k 2k thỏa mãn yêu cầu toán Số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu toán 3.28 84 Câu B E K D A F H C a) FKC FHC 900 FKCH tứ giác nội tiếp b) Xét hai tam giác ADB ABE có A chung; ABD AEB AD AB AD AE AB Do ADB ABE ( g.g ) AB AE Mặt khác AB AH AC AD AE AH AC Ta có AFH ACK ( g.g ) AF AK AH AC AD.AE AH AC AF.AK c) Ta có AH AC AB2 nên AF AK AB2 Ta có AFB ABK c.g.c ABF AKB hay AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BFK AB tiếp tuyến chung Đường tròn ngoại tiếp tam giác BFK tiếp xúc với B Câu Ta chứng minh n 100000000 thỏa mãn 10 Thật 2019 2100000000 109.2019 24.9.2019 1 100000000 100000000 100000000 999927316 2 2 2020 9.2019 Tiếp theo ta chứng minh nhận xét Nếu n a 1000000000 thỏa mãn, n 2a thỏa mãn Thật vậy, n2019 2a 2n 22 a 2019 22019 a 2019 22019 a 2019 a 2019 a a 1000000000 a a 2 2 2020 Từ nhận xét kết hợp với quy nạp, ta thấy n 2k.109 thỏa mãn toán với k Vậy tồn vô số số nguyên dương n ... n 100 000000 thỏa mãn 10 Thật 2019 2100 000000 109 .2019 24.9 .2019 1 100 000000 100 000000 100 000000 999927316 2 2 2020 9 .2019 Tiếp theo ta chứng minh nhận xét Nếu n a 100 0000000... thỏa mãn Thật vậy, n2019 2a 2n 22 a 2019 22019 a 2019 22019 a 2019 a 2019 a a 100 0000000 a a 2 2 2020 Từ nhận xét kết hợp với quy nạp, ta thấy n 2k .109 thỏa mãn toán với k Vậy... 28 Lại có 840 282 2.28 Mà n có dạng k ; k k ; k 2k thỏa mãn yêu cầu toán Số nguyên dương n thỏa mãn yêu cầu toán 3.28 84 Câu B E K D A F H C a) FKC FHC 900 FKCH tứ giác nội tiếp