Infimum của phổ của toán tử Laplace Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman

Infimum của phổ của toán tử Laplace Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman Infimum của phổ của toán tử Laplace Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman Infimum của phổ của toán tử Laplace Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Nguyễn Thạc Dũng - Người thầy bên động viên, dạy giúp đỡ tận tình để tơi hồn thành tốt luận văn Thật khó nói hết quan tâm lớn lao mà thầy dành cho suốt thời gian qua Thầy không quản ngại không gian, thời gian vật chất, dành hết tâm huyết cho cơng việc, khơng ngừng mong mỏi học trị lĩnh hội nhiều kiến thức Thầy người thầy mẫu mực, gương sáng để lớp lớp hệ học trị chúng tơi noi theo Qua đây, xin phép gửi lời cảm ơn tới tập thể thầy Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập Tơi cảm ơn gia đình, cảm ơn bạn bè, cảm ơn tất người ln quan tâm, góp ý, giúp đỡ cho tơi Trong trình làm luận văn, cố gắng thực tế sức khỏe không tốt, kiến thức cịn hạn chế lại thêm hồn cảnh đặc biệt nên luận văn khó tránh khỏi có thiếu sót Tơi kính mong q thầy bạn bổ sung, góp ý ý kiến quý báu để luận văn hồn chỉnh Cuối cùng, tơi xin kính chúc q thầy bạn sức khỏe, hạnh phúc thành đạt! Chúc năm an khang, thịnh vượng! Hà Nội, tháng 12 năm 2015 i Mục lục Phần mở đầu 1 Một số kiến thức giải tích phức nhiều biến 1.1 1.2 Hàm đa điều hòa miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.2 Miền giả lồi Toán tử Laplace-Beltrami đa tạp Kăahler Cận nhỏ phổ toán tử Laplace-Beltrami miền giả lồi bị chặn 11 2.1 Ước lượng cận λ1 11 2.2 Ước lượng cận λ1 23 2.3 Giá trị cực đại λ1 vài miền đặc biệt 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 ii Phần mở đầu Cho (M n , g) đa Kăahler n chiu vi metric Kăahler n gij dzi ⊗ dz j g= i,j=1 Giả sử n ∂2 ∆g = −4 g ∂zi ∂z j i,j=1 ij toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric g Ở ta dùng ký hiệu g ij t = gij −1 Khi đó, cận nhỏ phổ toán tử Laplace-Beltrami xác định  n  ∂f ∂f λ1 (∆g , M ) = inf dVg : f ∈ C0∞ (M ), f g ij  M ∂zi ∂z j i,j=1 L2   =1  dVg dạng thể tích M tng ng vi metric Kăahler g Bi toỏn đặt tính giá trị λ1 cho đánh giá λ1 Tất nhiên việc đánh giá phụ thuộc vào đa tạp M metric Kăahler g Ngi ta ó chng minh c rng M đa tạp compact ∆g toán tử elliptic λ1 (∆g ) giá trị riêng dương ∆g với điều kiện biên Dirichlet Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng tốn hình học vật lý Chẳng hạn, với giả thiết độ cong phù hợp giả thiết λ1 có cận phù hợp, Li-Wang-Munteanu-KongZhou đa tạp phải có dạng hình học đặc biệt (xem [6, 10, 11, 12, 17]) Trước hết ta ý λ1 (∆g ) khơng phải giá trị riêng ∆g Ví dụ, M khơng gian hyperbolic phức λ1 (∆g ) khơng phải giá trị riêng ∆g Tuy nhiên, cận phổ dương ∆g Tổng quát M l a Kăahler khụng compact thỡ (∆g ) khơng cịn giá trị riêng ∆g dù đa tạp đa tạp đầy Khi M đa tạp đầy không compact, có nhiều người nghiên cứu tốn đánh giá cho λ1 (∆g ) mà điển hình cơng trình Li Wang ([10]) Với giả thiết độ cong song nhát cắt chỉnh hình M bị chặn −1, họ chứng minh λ1 (∆g ) ≤ n2 Đánh giá họ chặt đẳng thức đạt M không gian hyperbolic phức Sau Munteanu ([17]) chứng minh cách tốt λ1 (∆g ) ≤ n2 với giả thiết độ cong Ricci M bị chặn −2(n + 1) Ước lượng Munteanu chặt dấu đẳng thức đạt khơng gian hyperbolic phức Luận văn trình bày cách chi tiết kết báo Song-Ying Li My-An Tran ([16]) Nội dung luận văn đưa ví dụ a Kăahler y m i vi chỳng giỏ trị xác λ1 tính tốn Nói cách cụ thể, ta ước lượng xác λ1 (∆u ) miền D miền giả lồi bị chặn Cn với ∂ 2u metric Kăahler uij dzi dz j , ú uij = với u hàm đa điều ∂zi ∂z j hòa chặt, vét cạn miền D Trong trường hợp tổng quát, D miền giả lồi bị chặn việc tính xác giá trị λ1 (∆u ) phức tạp Vì thế, cần phải đưa vào điều kiện phụ khác hàm u vét cạn D Nhờ điều kiện đó, xấp xỉ cận cận λ1 cách xây dựng hàm đặc biệt tiến hành phân tích miền D Luận văn bao gồm hai chương Trong chương mở đầu, nhắc lại vài kiến thức hàm đa điều hòa dưới, miền gi li v toỏn t Laplace-Beltrami trờn a Kăahler Trong chương hai, xét ước lượng cận cận cận nhỏ phổ toán tử LaplaceBeltrami Ước lượng cận xét mục 2.1, ước lượng cận trình bày mục 2.2 Đặc biệt, mục 2.2 đưa cách chứng minh khác cho Định lý 2.2 Chứng minh đơn giản so với chứng minh báo gốc Trong mục 2.3, đưa ước lượng cận nhỏ phổ miền giả lồi đặc biệt với metric Kăahler-Einstein v metric Bergman Chng Mt s kiến thức giải tích phức nhiều biến 1.1 1.1.1 Hàm đa điều hòa miền giả lồi Hàm đa điều hòa Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω miền Cn , u : Ω → R hàm thuộc lớp C Khi u gọi hàm đa điều hịa n ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , , ξn ) ∈ Cn ∂zi ∂z j i,j=1 Do uij = ∂ 2u = uij + i uij , đặt ξj = xj + iyj , ∀j = 1, n, ta có dzi dz j uij ξi ξ j = ( uij + = ( uij + √ √ −1 uij )(xi + √ −1yi )(xj − −1 uij )(xi xj + yi yj + √ √ −1yj ) −1(yi xj − xi yj )) = uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj + √ −1( uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj )) Vì vậy, u hàm đa điều hịa thuộc lớp C n uij (xi xj + yi yj ) + uij (yi xj − xi yj ) ≥ i,j=1 n uij (yi xj − xi yj ) + uij (xi xj + yi yj ) = ∀ xi , yi ∈ R i,j=1 Định nghĩa 1.2 Một hàm u thuộc lớp C gọi hàm đa điều hòa chặt tồn số > cho u − |z|2 hàm đa điều hịa Vì vậy, u hàm đa điều hịa (chặt) ma trận Hessian phức (uij )của ma trận Hermit xác định dương (chặt) Chú ý u hàm đa điều hịa chặt (uij ) khả nghịch u−1 = (uij )t ma trận Hermit xác định dương chặt Ví dụ Xét không gian phức C2 , cho u(z, w) = |z|2 + |w|2 v(z, w) = |z|2 + |w|2 với (z, w) ∈ C2 Khi đó, u hàm đa điều hòa chặt v hàm đa điều hòa Thật vậy, dễ thấy u, v hàm trơn, nữa, ma trận Hessian phức u v   1 0   Hu (z, w) =   = I2 ,     1    Hv (z, w) =     |w|2 Cả hai ma trận Hermite Ma trận Hu xác định dương chặt Hv xác định dương 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Rn tập mở Ta nói Ω có biên lớp C k , k ≥ tồn lân cận U ∂Ω hàm r lớp C k xác định U cho Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0} dr = ∂Ω với z ∈ ∂Ω n dr(z) = j=1 ∂r (z)dxj ∂xj Định nghĩa 1.3 Giả sử Ω miền bị chặn Cn , n ≥ r hàm xác định D D gọi miền giả lồi hay miền giả lồi Levi p ∈ ∂Ω dạng Levi n ∂ 2r Lp (r, ξ) = (p)ξi ξ j ≥ ∂z ∂z i j i,j=1 ∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω) Ω gọi miền giả lồi chặt p dạng Levi xác định dương chặt ∀ξ = Ω miền giả lồi chặt Ω miền giả lồi chặt điểm Ví dụ Xét khơng gian phức C2 hình cầu đơn vị B2 = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 < 1} Khi B2 miền giả lồi chặt Thật vậy, ta chọn hàm xác định ∂B2 hàm r(z, w) = |z|2 + |w|2 − Hàm hàm đa điều hòa chặt điểm (z, w) ∈ ∂B2    r ∂r    J(r) = −det     (∂r)∗ H(r)    −e−u u1 e−u     u e−u u e−u − u u e−u 1  11 = −det        un e−u un1 e−u − un u1 e−u   −e−u u1 e−u     u e−u (u − u u )e−u 1  11 = −det        un e−u (un1 − un u1 )e−u  1 −u1    u u − u u 1  11 = (e−u )n+1 det        un un1 − un u1    u11 u1n         = e−(n+1)u det          un1 unn 24 un e−u     u1n e−u − u1 un e−u          −u −u unn e − un un e  un e−u     (u1n − u1 un )e−u          (unn − un un )e−u  −un     u1n − u1 un          unn − un un Ở đây, dấu cuối cùng, ta thực nhân hàng với −ui cộng vào hàng i + với i = 2, n, sau khai triển định thức theo cột Đặt    u11 u1n         H(u) :=          un1 unn e−u Khi J(r) = e−(n+1)u detH(u) Một cách tương đương, ta có detH(u) = J(r) e−(n+1)u = J(r) (e−u )n+1 = J(r) (−1)n+1 [(−1)n+1 (e−u )n+1 ] = J(r) (−1)n+1 [(−e−u )n+1 ] = J(r) (−1)n+1 rn+1 Vậy, từ ta kết luận detH(u) = J(r) −r n+1 Từ khẳng định trên, ta dễ dàng nhận dVu = detH(u)dv = Ta chứng minh định lý sau 25 J(r) dv (−r)n+1 Định lý 2.1 Nếu |∂u|2u ≤ β D r ∈ C (D) ∩ C 0,1 (D) với J(r) bị chặn D λ1 (D) ≤ βn2 (2.8) Chứng minh Ta ước lượng cận λ1 thông qua đặc trưng biến phân λ1 cách xây dựng hàm thử phù hợp f thay vào định n nghĩa λ1 Để làm vậy, trước hết, ta chọn α = + với > nhỏ f (z) = (−r(z))α Khi đó, |f (z)|2 dVu = D (−r(z))2α dVu D D J(r) dv (−r(z))n+1 D J(r)(z) dv(z) < +∞ (−r(z))1−2 (−r(z))n+2 = = (−r(z)) ≈ dist(z, ∂D) z gần ∂D J(r) bị chặn D Do đó, theo đặc trưng biến phân λ1 , ta có ( f, f )u = λ1 ≤ (f, f )u D n ij i,j=1 u ∂i f ∂j f dVu (f, f )u Với cách chọn hàm f trên, ta thấy ∂i f = ∂f = [(−r(z))α ]zi = α(−r(z))α−1 (−r(z))zi = −α(−r)α−1 ri ∂zi −α(−r)α ri ∂u = = −α(−r)α = −α(−r)α ∂i u r ∂zi Ở đây, ta sử dụng (−r(z))zi ∂u ri = [− log(−r(z))]zi = = ∂zi r(z) r 26 Tương tự ∂j f = ∂f = [(−r(z))α ]z j = α(−r(z))α−1 (−r(z))z j ∂z j α−1 = −α(−r) −α(−r)α rj ∂u = −α(−r)α rj = = −α(−r)α ∂j u r ∂z j Ở ta sử dụng (−r(z))z j rj ∂u = ∂j u = [− log(−r(z))]z j = = ∂z j r(z) r Vì vậy, n 2α ij i,j=1 u α (−r) ∂i u∂j udVu λ1 ≤ D ≤ D 4α2 (−r)2α |∂u|2u dVu (f, f )u ≤ D 4α2 |f (z)|2 |∂u|2u dVu (f, f )u (f, f )u ≤ 4α2 β D |f (z)|2 dVu = 4α2 β (f, f )u n n+ n Khi α = + → λ1 ≤ 2 Định lý chứng minh xong Với β = n2 β > 0, đặt D := {z ∈ D : r(z) < − } Chú ý ∂D ∈ C , D ↑ D (2.9) → 0+ Khi ta có ước lượng cận λ1 sau Định lý 2.2 Nếu lim |∂u|2u = β z→∂D 27 ∂Dt J(r)(z)dσ(z) hàm liên tục theo t [0, 1], λ1 (D) ≤ n2 β Chứng minh Với α := f (z) = (2.10) n + s (s > 0, nhỏ) γ > 0, ta đặt       [−r(z)]s {[−r(z)]γ − γ } z ∈ D\D      0 z ∈ / D\D Trước hết, ta thấy |f (z)|2 dVu (f, f )u = D D\D (−r)n+2s [(−r)γ − (−r)n+1 D\D [(−r)γ − γ ]2 J(r) dv < +∞ (−r)1−2s = = γ ] J(r) dv −r(z) ≈ dist(z, ∂D) z gần ∂D J(r) bị chặn D\D Tiếp theo, ta đặt C := J(r)(z)dσ(z) ∂D Do lim z→∂D |∂u|2u = β lim t→0 J(r)(z)dσ(z) = ∂Dt J(r)(z)dσ(z) = C ∂D nên tồn δ( ) > cho |∂u|2u ≤ β(1 + δ( )) D\D J(r)(z)dσ(z) − ∂Dt J(r)(z)dσ(z) ≤ Cδ( ) ∀0 u > đủ nhỏ, ta nhận λ1 (D\D ) ≤ 4β Cho γ → 0+ α → D\D (α + γ)2 e−2(α+γ)u dVu −2(α+γ)u dV u D\D e = 4(α + γ)2 β + n , kết n2 λ1 (D\D ) ≤ β + = βn2 + Do tính chất đơn điệu theo miền giá trị riêng nên với λ1 (D) ≤ λ1 (D\D ) Vì λ1 (D) ≤ βn2 + Vì >0 bé tùy ý, ta có điều phải chứng minh 2.3 Giá trị cực đại λ1 vài miền đặc biệt Trong phần này, sử dụng ước lượng cận cận λ1 để chứng minh định lý sau Định lý 2.3 Giả sử D miền giả lồi bị chặn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) Giả thiết u(z) = − log(−r(z)) hàm 30 đa điều hòa chặt D với β(z) = ∂D Khi ký hiệu λ1 (D) = λ1 (∆u , D), ta có: (a) λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 với tập compact K D (b) Nếu bổ sung thêm điều kiện r(z) hàm đa điều hòa D λ1 (D) = n2 Chứng minh a) Từ kết hai định lý ta có λ1 (D) ≤ λ1 (D\K) ≤ n2 ∀ Kcp ⊂ D b) Do r(z) hàm đa điều hòa D, khơng tính tổng qt, ta giả sử H(r)(z) xác định dương với z ∈ D sử dụng r1 (z) = r(z) + (|z|2 − d) thay cho r(z), với d đường kính D Từ Bổ đề 2.1 phần (ii), ta có |∂u|2u |∂r|2r = ≤1 −r + |∂r|2r nên theo Mệnh đề 2.1, suy λ1 (D) ≥ n2 Mặt khác, theo Định lý 2.1, ta lại có λ1 (D) ≤ n2 Do với r(z) hàm đa điều hịa D λ1 (D) = n2 Từ định lý ta dẫn tới hệ quan trọng sau Hệ 2.1 Giả sử D miền giả lồi chặt, bị chặn trơn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) u(z) = − log(−r(z) Khi (i) Nếu n α,β=1 uαβ dzα ⊗ dz β metric Kăahler-Einstein trờn D thỡ (1 , D) n2 , u nghiệm đa điều hịa chặt phương 31 trình Monge-Ampère: det H(u) = e(n+1)u D u = ∞ ∂D (ii) Nếu n α,β=1 uαβ dzα (2.11) ⊗ dz β metric Bergman D, ∂ log K(z, z) uij = n+1 ∂zi ∂z j K(z, w) hàm nhân Bergman miền D λ1 (∆u , D) ≤ n2 Chứng minh (i) Trước hết ta quan tâm đến toán tử Laplace-Beltrami trng hp metric Kăahler-Einstein Gi s u l hm đa điều hòa chặt D cho       det H(u) = e(n+1)u D (2.12)      u = +∞ ∂D r(z) = −e−u(z) (2.13) Khi det H(u) = J(r) −r n+1 Do giả thiết nghiệm u phương trình Monge-Ampère (2.12), ta có (n+1)u e = J(r) e−u n+1 Dễ dàng thấy rằng, từ phương trình này, ta nhận J(r) = e(n+1)u e−(n+1)u = e0 = 32 Bởi định lý quy nghiệm phương trình Monge-Ampère phức Cheng Yau ([2]), Lee Melrose ([7]), ta có r(z) ∈ C n+2− (D) với > Vì vậy, ∂r = ∂D det H(r) = eu − |∂u|2u D Do det H(r)(z) bị chặn D u(z) → +∞ z → ∂D nên lim |∂u|2u = z→∂D Áp dụng Định lý 2.1 với β = ta có kết λ1 (D) ≤ n2 logK(z, z) n+1 (ii) Giả sử K hàm nhân Bergman Đặt u(z) = u(z) hàm đa điều hòa chặt D Đặt r(z) = −e−u(z) r ∈ C n+2− (D) hàm xác định D theo kết Fefferman ([4]) Giả sử ρ ∈ C ∞ (D) hàm xác định đa điều hòa chặt D Theo Fefferman ([4]), ta có u(z) = −log(−ρ(z)) + b(z), b ∈ C n+2− (D) Do [uij ] = [(−log(−ρ))ij ](In + ρB), (2.14) B ma trận vuông cấp n với tất phần tử bị chặn gần ∂D Đặt u0 = −log(−ρ) từ (2.9) ta có lim |∂u0 |2u0 = Từ z→∂D phương trình (2.14), chứng minh |∂u0 |2u0 (1 + Cρ) ≤ |∂u|2u ≤ |∂u0 |2u0 (1 − Cρ) với C z gần ∂D Vì vậy, lim |∂u|2u = z→∂D Áp dụng Định lý 2.2 với β = 1, ta có λ1 (D) ≤ n2 toán tử 33 Laplace-Beltrami metric Bergman Đó điều phải chứng minh 34 Kết luận Luận văn chứng minh cách chi tiết kết báo Song-Ying Li My-An Tran([16]) Các kết bao gồm, chứng minh ước lượng cận cận cho phổ toán tử Laplace–Beltrami miền giả lồi đặc biệt Từ đưa áp dụng để đánh giá cận giá trị phổ miền gi li vi metric Kăahler-Einstein v metric Bergman Lun văn đưa cách chứng minh cho Định lý 2.2 Chứng minh đơn giản ngắn gọn so với báo gốc 35 Tài liệu tham khảo [1] S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Zeits., 143 (1975), 289-297 [2] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex Kă ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl Math., 33 (1980), 507-544 [3] C Fefferman, Monge-Amp`ere equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann of Math., 103 (1976), 395416 [4] C Fefferman, The Bergman kernel and biholomorphic mappings of pseudoconvex domains, Invent Math., 65 (1974), 1-65 [5] L Ji, P Li and J Wang, Ends of locally symmetric spaces with maximal bottom spectrum, J Reine Angew Math., 632 (2009), 1-35 58Jxx(22Exx) [6] S Kong, P Li and D Zhou, Spectrum of the Laplacian on quaternionic Kă ahler manifolds, J Differential Geom., 78 (2008), 295-332 36 [7] J M Lee and R Melrose, Boundary behavior of the complex MongeAmp`ere equations, Acta Math., 148 (1982), 159-192 [8] P Li, Lecture notes on geometric analysis, Lecture Notes Series, 6, Research Institute of Mathematics and Global Analysis Research Center, Seoul National University, Korea, 1993 [9] P Li, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Handbook of Geometric Analysis, No 1, Advanced Lectu Maths., 7, International press, 2008 [10] P Li and J Wang, Comparion theorem for Kă ahler manifolds and positivity of spectrum, J Differential Geom., 69 (2005), 43-74 [11] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum II, J Differential Geom., 62 (2002), 143-162 [12] P Li and J Wang, Complete manifolds with positive spectrum, J Differential Geom., 58 (2001), 501-534 [13] S Y Li, Characterization for balls by potential function of Kă ahlerEinstein metrics for domains in Cn , Comm Anal Geom., 13(2) (2005), 461-478 [14] S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Amp`ere equations on weakly pseudoconvex domains, Calc Var Partial Differential Equations, 20 (2004), 119-132 37 [15] S Y Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose boundaries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm Anal Geom., 17 (2009), 17-35 [16] S Y Li and M A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace–Beltrami operator on a bounded pseudoconvex domain with a Kăahler metric of Bergman type, Comm Anal Geom., 18(2) (2010), 375–395 [17] O Munteanu, A sharp estimate for the bottom of the spectrum of the Laplacian on Kă ahler manifolds, J Differential Geom., 83 (2009), 163-187 [18] S Udagawa, Compact Kă ahler manifolds and the eigenvalues of the Laplacian, Colloq Math., 56(2) (1988), 341-349 38 ... - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE- BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ... ) = n2 Bn (xem [16]) 10 Chương Cận nhỏ phổ toán tử Laplace- Beltrami miền giả lồi bị chặn 2.1 Ước lượng cận λ1 Nhắc lại, giả sử D miền giả lồi bị chặn Cn với hàm xác định r(z) ∈ C (Cn ) u(z) =... λ1 (∆u ) miền D miền giả lồi bị chặn Cn với ∂ 2u metric Kăahler uij dzi dz j , ú uij = với u hàm đa điều ∂zi ∂z j hòa chặt, vét cạn miền D Trong trường hợp tổng quát, D miền giả lồi bị chặn việc