Các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử laplace (LV01856)

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI Lấ TH HNG PHN CC GI TR RIấNG V HM RIấNG CA TON T LAPLACE Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Bựi Kiờn Cng H NI - 2016 LI CM N Li u tiờn tụi xin c by t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo - TS Bựi Kiờn Cng, ngi ó tn tỡnh hng dn sut quỏ trỡnh lm lun ny Tụi xin chõn thnh cm n ton th cỏc thy cụ t b mụn gii tớch, khoa Toỏn, trng i hc S phm H Ni ó tn tỡnh hng dn, truyn t kin thc sut thi gian theo hc, thc hin v hon thnh lun vn, cm n s giỳp ca bn bố, ngi thõn v cỏc ng nghip thi gian lm lun Mc dự ó cú nhiu c gng hon thin lun bng tt c s nhit tỡnh v nng lc ca mỡnh, nhiờn lun khụng th trỏnh nhng thiu sút, tụi rt mong nhn c nhng úng gúp quý bỏu ca thy cụ v cỏc bn H Ni, thỏng 07 nm 2016 Tỏc gi Lờ Th Hng Phn i LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca Tin s Bựi Kiờn Cng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 07 nm 2016 Tỏc gi Lờ Th Hng Phn ii Mc lc M u 1 Kin thc chun b 1.1 Khụng gian tớch vụ hng 1.2 Khụng gian Hilbert 1.3 Toỏn t tuyn tớnh khụng gian Hilbert 1.4 Lý thuyt ph ca toỏn t compact t liờn hp 1.5 Khụng gian Sobolev H 1,p () Giỏ 2.1 2.2 2.3 2.4 tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace Giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace trờn mt khong Nghe si dõy n ghi ta Giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace vi iu kin biờn phi tuyn Giỏ tr riờng m rng 4 12 14 20 20 24 26 39 Kt lun 39 Ti liu tham kho 40 iii M U Lý chn ti Gi s RN l mt v xột toỏn t tỏc ng trờn C () xỏc nh bi N = i=1 x2i Toỏn t ny c gi l toỏn t Laplace trờn Toỏn t Laplace xut hin nhiu hin tng vt lý, chng hn hin tng dũng cht lng cú trng thỏi n nh, hay trng tnh in, hay hin tng khuch tỏn nhit v hin tng lan truyn súng, Toỏn t Laplace giao hoỏn vi phộp tnh tin v phộp quay, tc l nu T l phộp tnh tin hoc phộp quay thỡ ( T ) = (T ) Thc ra, nu S l mt toỏn t tựy ý giao hoỏn vi phộp tnh tin v phộp quay thi tn ti cỏc hng s a1 , , am cho j S= m j=1 aj Do ú, khụng ngc nhiờn toỏn t Laplace l trng tõm bt k quỏ trỡnh no m bn cht vt lý c bn c lp vi v trớ v hng, chng hn nh khuch tỏn nhit v lan truyn súng RN Cú rt nhiu bi toỏn cha toỏn t Laplace, nhng chỳng ta s ch trung nhng bi toỏn qua ú nhn mnh s quan trng ca bi toỏn giỏ tr riờng (cũn gi l phng trỡnh Helmholtz) = Rừ rng rng, nu chỳng ta mun nghiờn cu cỏc hm iu hũa thỡ th cn thit l gii phng trỡnh = vi = Vy, s cn thit phi hiu nghim ca phng trỡnh Helmholtz cho cỏc bi toỏn chng hn nh trng tnh in hay dũng cht lng cú trng thỏi n nh l thc t nghiờn cu khuch tỏn nhit, lan truyn súng v bi toỏn Schrăodinger c mụ t bờn trờn, phng phỏp tiờu chun l tỡm kim nghim u(x, t) cú dng tỏch bin u(x, t) = (t)(x) Vic lm ú s dn n tỡm cỏc giỏ tr riờng v cỏc vộc t riờng ca phng trỡnh Laplace chiu V lý thuyt ph ca toỏn t Laplace, ó cú nhiu cụng trỡnh nghiờn cu ca cỏc nh toỏn hc trờn ton th gii, chng hn xem [1], [4-7] c s quan tõm giỳp ca TS Bựi Kiờn Cng, tụi la chn ti: Cỏc giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace thc hin lun tt nghip Mc ớch nghiờn cu + H thng húa c nhng kin thc c bn ca lý thuyt ph ca toỏn t compact t liờn hp, toỏn t chun, toỏn t Unita + H thng húa v cỏc hm riờng ca toỏn t Laplace vi mt s iu kin khỏc v biờn ca xỏc nh: hai im biờn, biờn phi tuyn tng quỏt, Nhim v nghiờn cu Lm mt bỏo cỏo tng quan th hin y mc ớch nghiờn cu, bỏo cỏo cú th l mt ti liu tham kho tt cho nhng ngi quan tõm v giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Toỏn t t liờn hp compact, toỏn t Laplace, lý thuyt v bi toỏn tr riờng, hm riờng ca toỏn t Laplace Phm vi nghiờn cu: Cỏc bi bỏo v cỏc ti liu v ngoi nc liờn quan n cỏc i tng nghiờn cu ó c trớch dn Ti liu tham kho ca lun Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc v phng phỏp ca gii tớch hm, phng phỏp nghiờn cu lý thuyt tip cn Thu thp v nghiờn cu cỏc ti liu cú liờn quan, c bit l cỏc bi bỏo mi v ngoi nc v m lun cp ti Cu trỳc lun Lun gm hai chng, c th: Chng 1: Kin thc chun b Chng 2: Giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace Nhng úng gúp ca ti Lun s l mt bỏo cỏo tng quan cú h thng v giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace mt s khỏc Cỏc kt qu c trỡnh by lun c trớch t cỏc bi bỏo c cụng b nhng nm gn õy trờn cú uy tớn Chng Kin thc chun b 1.1 Khụng gian tớch vụ hng nh ngha 1.1.1 (Khụng gian tớch vụ hng) Cho E l mt khụng gian vộct phc Mt ỏnh x ã, ã : E ì E C c gi l mt tớch vụ hng E nu vi bt k x, y, z E v , C, cỏc iu kin sau c tha (a) x, y = y, x (ký hiu ca s phc liờn hp) (b) x + y, z = x, z + y, z (c) x, x (d) x, x = v ch x = Mt khụng gian vộct vi tớch vụ hng c gi l khụng gian tớch vụ hng Theo nh ngha, tớch vụ hng ca hai vộct l mt s phc Bi theo (a), x, x = x, x cú ngha rng x, x l mt s thc vi mi x E M theo (b) ta cú x, y + z = y + z, x = y, x + z, x = y, x + z, x c bit, x, y = x, y v x, y = x, y T ú, nu = 0, ta cú 0, y = x, = Vớ d 1.1 Khụng gian C[a, b] ca tt c cỏc hm giỏ tr phc liờn tc trờn on [a, b], vi tớch vụ hng b f, g = f (x)g(x)dx a l mt khụng gian tớch vụ hng Vớ d 1.2 Gi s Rn l mt o c Khụng gian L2 () gm cỏc hm f o c trờn vi ly tha bc ca mụun |f |2 kh tớch trờn lm thnh mt khụng gian tớch vụ hng vi tớch vụ hng xỏc nh bi f (x)g(x)dx nh lý 1.1.1 (Bt ng thc Schwarz) Cho hai phn t bt kỡ x v y ca khụng gian tớch vụ hng, ta cú | x, y | x ng thc | x, y | = x tớnh y y ỳng v ch x v y l ph thuc tuyn H qu 1.1.1 (Bt ng thc tam giỏc) Cho hai phn t bt kỡ x v y ca khụng gian tớch vụ hng ta cú x + y x + y nh ngha 1.1.2 (Chun khụng gian tớch vụ hng) Chun khụng gian tớch vụ hng E ta hiu l hm ã : E R xỏc nh bi x = x, x , x E Nh bt ng thc Schwarz v nh ngha tớch vụ hng ã l mt chun thc s trờn khụng gian vộct E , ngha l mi khụng gian tớch vụ hng u l khụng gian nh chun v chun ú c gi l chun sinh bi tớch vụ hng nh lý 1.1.2 (Lut hỡnh bỡnh hnh) Cho hai phn t bt kỡ x v y ca khụng gian tớch vụ hng E Khi ú ta cú x+y + xy = 2( x + y ) nh ngha 1.1.3 (Quan h trc giao) Cho A, B l cỏc khụng gian tớch vụ hng E i) Hai vộc t x v y khụng gian tớch vụ hng E c gi l trc giao, kớ hiu x y nu x, y = ii) Vộc t x c gi l trc giao vi A, nu x trc giao vi mi vộc t y ca A Ký hiu x A Tp hp tt c cỏc vộc t trc giao vi A c ký hiu l A iii) Hai A, B c gi l trc giao vi nhau, nu mi phn t x ca A u trc giao vi B Ký hiu A B Nu A khỏc rng thỡ A l mt khụng gian úng ca E nh lý 1.1.3 (nh lý Pythago) Cho cỏc cp vộc t trc giao bt kỡ, ta cú x + y = x + y 1.2 Khụng gian Hilbert nh ngha 1.2.1 (Khụng gian Hilbert) Mt khụng gian tớch vụ hng y c gi l mt khụng gian Hilbert Thng ký hiu khụng gian Hilbert bi E, H, K, nh ngha 1.2.2 (Hi t mnh) Mt dóy (xn ) cỏc vộct mt khụng gian tớch vụ hng E c gi l hi t mnh ti mt vộct x E nu xn x n T mnh c thờm vo phõn bit hi t mnh vi hi t yu nh ngha 1.2.3 (Hi t yu) Mt dóy (xn ) cỏc vộct khụng gian tớch vụ hng E c gi l hi t yu ti mt vộct x E nu xn , y x, y n vi mi y E iu kin nh ngha trờn cú th thay bng xn x, y n , vi mi y E w thun tin hn kớ hiu xn x i vi hi t mnh v dựng xn x kớ hiu hi t yu Sau õy, n gin, chỳng ta ch xột trng hp (r) = r+ , vi > l hng s, cũn r+ = max{r, 0} vi mi r R Khi ú, bi toỏn (2.5) tr thnh u = u (2.6) u = u+ trờn v Khụng gian Sobolev H () l khụng gian t nhiờn nghiờn cu nghim ca bi toỏn (2.5) Nhc li rng, nu u H () thỡ u+ , u H () v nu u u+ = u = u nu u > nu u > u nu u < 0, ú, u (x) = max{u(x, 0)} vi h.k x Ta núi rng R l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) nu tn ti u H () \ {0} cho udu + u+ d(x) = udx, (2.7) vi mi H () Nhng hm u nh vy gi l cỏc hm riờng ng vi giỏ tr riờng Chỳ ý 2.3.1 Ngi ta chng minh c hm u chớnh quy hn, tc l, vi toỏn u (u) h.k x v l mt toỏn t n iu cc i L2 (), ú tn ti hng s C1 , C2 > u H ()| t A = cú xỏc nh D(A) = cho v H () C1 v v L2 () + C2 , v D(A) Do ú, nu u l mt hm riờng ca (2.6) tng ng vi tr riờng thỡ d dng thy rng nghim nht ca phng trỡnh v Av = f ú f = (1 + )v l v = u Nh vy, u H () v u H () C1 |1 + | u 27 L2 () + C2 (2.8) Chỳ ý rng, u tha bi toỏn (2.6) theo ngha c in t |v|2 dx + = inf v+2 d(x) vH ()\{0} vdx0 (2.9) v dx nh lý 2.3.1 Cỏc s = v biu din hai giỏ tr riờng u tiờn ca Bi toỏn (2.6), l > nh Chỳng b cụ lp hp cỏc giỏ tr riờng ca Bi toỏn (2.6) Hn na, hp cỏc hm riờng tng ng vi v , to thnh cỏc nún dng H () (rừ hn, cỏc na mt phng chiu H ()) Vic chng minh nh lý 2.3.1 chia thnh nhiu bc, s dng cỏc b sau B 2.3.1 Mi < khụng th l giỏ tr riờng ca Bi toỏn (2.6) Chng minh Gi s R l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) v hm riờng tng ng l u H () \ {0} Ly = u (2.7), ta c |u|2 dx + u2+ d(x) = u dx B 2.3.2 = l mt giỏ tr riờng ca Bi toỏn (2.6) v hp cỏc hm riờng tng ng l tt c cỏc hng s khụng õm Chng minh Hin nhiờn = l mt giỏ tr riờng ca (2.6), vi hm riờng u = const > bt k Ngc li, gi s u H () \ {0} l mt hm riờng tng ng vi giỏ tr riờng = Ly = u, t (2.7) ta suy |u|2 dx + u2+ d(x) = Vỡ th |u|2 dx = u2+ d(x) = Do ú, u phi l mt s thc khụng õm 28 B 2.3.3 l mt im cụ lp ca hp cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Chng minh Gi s ngc li rng khụng b cụ lp Khi ú, tn ti mt dóy cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6), ký hiu (n ) cho n Vi mi n, ký hiu un l hm riờng tg ng vi giỏ tr riờng n Vỡ chỳng ta ang bn õy l bi toỏn thun nht nờn cú th giỏ thit un L2 () = 1, n H thc (2.7) cho ta un du + (un )+ d(x) = n un dx, (2.10) mi H () v mi u Ly = un t (2.10), ta cú |un |2 dx + (un )2+ d(x) = n u2n dx = n (2.11) Suy (un ) b chn H () Thc ra, nh (2.8) vi = n v u = un , ta suy (un ) b chn H () Do ú, tn ti u H () cho cú mt dóy ca (un ) hi t mnh ti u H () v L2 () Hn na, (un )+ hi t mnh ti u+ L2 () T ú, |u|2 dx + u2+ d(x) = lim |un |2 dx + n (un )2+ d(x) = lim n = n |u|2 dx = Nh vy, u2+ d(x) = 0, suy u l hng s õm tha u2 dx = 1, chớnh xỏc l u = 1 || T (2.10) vi = u, ta suy un dx = n ||1/2 (un )+ d(x) 0, suy un dx 0, n udx 0, mõu thun vi u l hng s õm Do ú, 29 n, Nhn xột 2.3.1 Ta gi s > l mt giỏ tr riờng ca Bi toỏn (2.6) vi hm riờng tng ng l u Ly (2.7), dn n u+ d(x) = udx, suy udx Do ú, cỏc giỏ tr riờng khỏc ca bi toỏn (2.6) cú cỏc hm riờng tng ng nún C = w H (); wdx Rừ rng, nh ngha c cho (2.9) l ht sc t nhiờn (ta s chng minh v sau vi > nh vi l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6)) B 2.3.4 Tn ti u C \ {0} cho |u|2 dx + = u2+ d(x) u dx Chng minh Cho (un ) C \ {0} l dóy ti thiu i vi , tc l |un |2 dx + (un )2+ d(x) , u2n dx n Ta cú th gi s un L2 () = vi mi n Cựng vi gi thit gii hn bờn trờn, ta suy rng un b chn H () Do ú, tn ti u H () cho cú mt dóy ca un (ta cng ký hiu l un ) hi t yu ti u H () v hi t mnh L2 () v L2 () iu ny dn n u L2 () udx Do vy, u C \ {0} Kt hp cỏc = 1, tc l u = v thụng tin t bờn trờn vi tớnh na liờn tc di yu ca chun L2 suy |u|2 dx + u2+ d(x) lim |un |2 dx + n (un )2+ d(x) = Vỡ u L2 () = 1, bt ng thc trờn v nh ngha ch khng nh B 2.3.4 30 B 2.3.5 Vi xỏc nh bi (2.9), ta cú > Chng minh Dựng phn chng, gi thit ngc li rng = 0, ú theo B 2.3.4, tn ti u C \ {0} cho |u|2 dx + u2+ d(x) = udx l vụ lý Do ú, iu ny suy u l hng s õm phi tha = < Hn th na, hin nhiờn rng khụng th tn ti (0, ) l giỏ tr riờng ca Bi toỏn (2.6) Sau õy, ta s chng minh vi > nh, l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Ta xột ( , ) vi > nh, t |u|2 dx + u2+ d(x) () = inf uC\{0} , u dx v |u|2 dx + à1 () = inf uC\{0}, u2+ d(x) udx=0 u dx Rừ rng vi mi > 0, ta cú à1 () () nhng khụng d dng thy c hoc à1 () > () hoc à1 () = () Tuy nhiờn, ta cú kt qu d chng minh sau õy B 2.3.6 Vi mi > nh, ta cú à1 () > () Chng minh D thy vi mi 0, c () v à1 () u hu hn Tớnh cht ny m rng i vi ( , 0) vi > nh Tht vy, vi u H () m u L2 () = 1, ta cú (theo tớnh liờn tc ca toỏn t vt) u2+ d(x) u2 d(x) C |u|2 dx + , ú C l mt hng s dng Do ú, |u|2 dx + |u|2 dx + C C, u2+ d(x) (1 + C) 31 vi mi ( , 0), u H () m u L2 () = l > tha C Do ú, c () v à1 () c xỏc nh tt vi ( , ) Bõy gi, ta chỳ ý rng cỏc hm (), à1 () : ( , ) R l cỏc hm lừm Rừ rng, vi mi C \ {0}, hm s ||2 dx + ( , ) 2+ d(x) , dx l hm affine, dn n l hm lừm Vỡ infimum ca h cỏc hm lừm l mt hm lừm, iu ny cho thy () l lừm Tng t, à1 () cng lừm Do ú, ta suy () v à1 () l cỏc hm liờn tc vi ( , ) Mt mt khỏc, (0) = v à1 (0) = 1,N , ú v 1,N l hai giỏ tr riờng u tiờn ca bi ton Neumann, tc l u = u (2.12) u =0 trờn Ta bit rng 1,N > (xem [1]) Do ú, ta cú (0) < à1 (0) Bt ng thc ny v khng nh () v à1 () l cỏc hm liờn tc vi ( , ) suy () < à1 () vi mi > nh B 2.3.6 c chng minh B 2.3.7 Gi s u C \ {0} l giỏ tr cc tiu i vi infimum cho bi udx > Khi ú, l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) v (2.9), vi u l hm riờng tng ng vi Chng minh Cho H () c nh Khi ú, vi mi nm lõn cn (u + )dx > 0, tc l u + C nh ngha hm nh ca 0, ta cú |(u + )|2 dx + f( ) = (u + )2+ d(x) (u + ) dx Rừ rng, f xỏc nh lõn cn ca v cú cc tiu = Dn n, f (0) = 0, 32 hoc bng mt vi tớnh toỏn n gin, ta cú udx + u+ d(x) = udx Rừ rng, ng thc trờn ỳng vi mi H () Ta suy u l hm riờng tng ng vi giỏ tr riờng B 2.3.7 c chng minh Mnh 2.3.1 Giỏ tr c nh ngha (2.9) l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6), l > nh Chng minh Kt lun ca Mnh 2.3.1 l mt h qu n gin suy t cỏc B 2.3.4, 2.3.6 v 2.3.7 B 2.3.8 Nu l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) v u H () \ {0} l mt hm riờng tng ng thỡ u (do ú udx > 0) Chng minh T (2.7) thy rng udx + u+ d(x) = udx, (2.13) vi mi H () u tiờn, ta khng nh rng u+ = Tht vy, gi ngc li, ta suy rng u dx = u dx, (2.14) vi mi H () Ly = 1, ta tớnh toỏn c u dx = 0, tc l u = v ú u = 0, iu ny l mõu thun vi u l hm riờng Vy u+ = Khi ú, ly = u+ (2.13), ta cú |u+ |2 dx + = u2+ d(x) u2+ dx T B 2.3.7, ta thy u+ l mt hm riờng tng ng , hay u+ dx + u+ d(x) = u+ dx, 33 (2.15) vi mi H () T (2.13) v (2.15) suy h thc (2.14) c tha Ly = mt ln na (2.14), ta tớnh toỏn mt ln na u dx = 0, dn n u = , tc l u = u+ T ú B 2.3.8 c chng minh Nhn xột 2.3.2 Theo B 2.3.8, nu l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) thỡ ú l giỏ tr riờng th nht ca bi toỏn Robin sau õy u = u (2.16) u = u trờn Thc vy, ó bit l giỏ tr |v|2 dx + = inf v d(x) vH ()\{0} , v dx c bit n l t s Rayleigh, l mt s dng v biu din giỏ tr riờng u tiờn ca bi toỏn (2.16) Hn na, l n, tc l tt c cỏc hm riờng tng ng vi ch l bi ca cỏc hm riờng khỏc Ngi ta cng ch rng cỏc hm riờng ny thuc vo C() C () Hn th na, hm riờng ca cú th c chn n du, c th l du dng Cỏc nh ngha ca v cho thy Thc ra, t B 2.3.8, ta cú = , tc l l giỏ tr riờng u tiờn ca bi toỏn (2.16) Do ú, cỏc hm riờng tng ng l nún dng H () Chớnh xỏc hn, nu u l hm riờng dng ca bi ton Robin, tng ng vi , thỡ cỏc hm riờng ca bi toỏn (2.6), tng ng (= ) l na mt mt chiu {tu; t > 0} Do vy, l n Cui cựng, ta chng minh l im cụ lp Ta s s dng k thut c s dng c mụ t sau õy B 2.3.9 Gi s > l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) v u H () \ {0} l mt hm riờng tng ng nh ngha = {x ; u(x) < 0} Nu | | > thỡ tn ti hng s dng C (ph thuc v u) cho (( + 1)C N/2 | | 34 Chng minh Nhc li rng t (2.7), ta cú udx + u+ d(x) = udx, vi mi H () Ly = u , ta tỡm |u |2 dx = u2 dx, hoc bng cỏch xem xột L2 () l c nhỳng liờn tc vo L2 (), ú = 2N/(N 2) l s m Sobolev ti hn, t bt ng thc Hăolder, ta suy |u |2 dx + u2 dx = ( + 1) u2 dx ( + 1) u 12/2 Lp () | | Tip theo, vỡ H () c nhỳng liờn tc vo L2 (), ta suy tn ti hng s dng C cho u L2 () |v|2 dx + C v dx , vi mi v H () Hai bt ng thc cui suy ( + 1)C| |2/N Phộp chng minh B 2.3.9 kt thỳc B 2.3.10 l im cụ lp nm cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Chng minh Theo Nhn xột 2.3.5, rừ rng l b cụ lp t bờn trỏi Ta s ch nú b cụ lp t bờn phi Gi thit ngc li rng nú khụng b cụ lp phi Khi ú, tn ti dóy cỏc giỏ tr riờng dng ca bi toỏn (2.6), chng hn l (n ) cho n Vi mi n, ký hiu un l hm riờng tng ng vi n Vỡ ta xột bi toỏn thun nht nờn ta cú th gi thit rng vi mi n, ta cú un L2 () = T (2.7) suy vi mn n, ta cú un dx + un dx, (un )+ d(x) = n 35 (2.17) vi mi H () Chng minh tng t nh B 2.3.3, ta cú (un ) b chn H () Do ú tn ti u H () cho un hi t trờn mt dóy ti u H () v L2 () Hn th na, ta cng cú (un )+ hi t mnh ti u+ L2 () Qua gii hn n (2.17), ta nhn c udx + udx, (u)+ d(x) = (2.18) vi mi H () Vỡ u L2 () = nờn u = v ú, nú l mt hm riờng tng ng Theo B 2.3.8 ta suy u Thc t, theo Nhn xột 2.3.2, u C() C () v u(x) > vi mi x Bõy gi, cho > bt k nhng c nh v cho K compact cho | \ K| < /2 Hin nhiờn tn ti > (ph thuc K ) cho u(x) > vi mi x K Mt mt khỏc, d thy un hi t ti u hu khp nờn K cng vy Do ú, theo nh lý Egorov, ta suy rng vi > c nh, tn ti o c K vi || < /2 cho un hi t u ti u K \ Vỡ u > K nờn vi n ln cú un trờn K \ Vi mi n ta nh ngha (n ) = {x ; un (x) < 0} Ta cú th gi thit vi mi n, |(n ) | > Tht vy, nu ngc li thỡ tn ti s n no o cho un (v un = 0) Ly = u (2.17) v = un (2.18), ta suy n un udx = uun dx uun dx > nờn ng thc trờn dn n n = , iu ny mõu thun Vỡ vi n > Do ú, ta cú |(n ) | > vi mi n T ú suy vi n ln, ta cú (n ) ( \ K) S dng khng nh trờn v B 2.3.9, ta cú bt ng thc sau õy ((n + 1)C)N/2 |(n ) | || + | \ K| < , vi n ln Do ú ((1 + 1)C)N/2 , vi mi > l iu khụng th Do ú, B 2.3.10 c chng minh 36 Tip theo ta trỡnh by mt s khng nh l h qu trc tip ca cỏc kt qu phn trc Nhn xột 2.3.3 1) u tiờn, ta c bit quan tõm n khng nh rng vi mi > 0, s = (), c gii thiu Nhn xột 2.3.2 v l biu din giỏ tr riờng u tiờn ca bi toỏn Robin (ú l bi toỏn (2.16)) l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Nhn xột trờn l mt h qu ca khng nh tn ti u H () \ {0} vi u hu khp cho udx + ud(x) = udx, vi mi H () Vỡ u hu khp nờn dn n phng trỡnh (2.7) ỳng vi = Cỏch xỏc nh ca () v () suy rng vi mi > 0, ta cú () () Tuy nhiờn, ta khụng th kt lun vi mi > ta cú () = () 2) Th hai, ta trung vo cỏc s () v à1 () c nh ngha sau Nhn xột 2.3.5 Rừ rng rng vi mi > 0, ta cú à1 () () Hn na, vi > nh, theo B 2.3.6, ta cú à1 () > () v () l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) (xem B 2.3.7) Mt khỏc, khụng cú gỡ m bo bt ng thc ú nu > xa gc ta Ti thiu v mt lý thuyt, nú cú th xy vi > ln, à1 () = () Trong trng hp B 2.3.7 khụng tha v ta khụng th kt lun c () l giỏ tr riờng hay khụng Tuy nhiờn, ta cú th ch cỏc kt qu sau õy m khụng h liờn qua n cỏc tho lun bờn trờn Mnh 2.3.2 Nu tn ti > cho vi mi cc tiu u C \ {0} ca () tha udx = thỡ () khụng l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Chng minh Gi thit ngc li rng () l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Khi ú, mi hm riờng u tng ng () l cc tiu vi udx = 37 udx > 0, mõu thun Mt khỏc, theo B 2.3.8, ta cú Mnh 2.3.2 c chng minh Ký hiu V = {u H (); udx = 0} Nhn xột 2.3.4 1) Rừ rng, vi vic xỏc nh V nh bờn trờn, ta cú H () = V R v V C Khi ú, t Mnh 2.3.2 thỡ dng nh l vi > ln, () c cha V , tc l () = à1 () v1 () khụng l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) Vỡ núi chung nờn ta cú trng hp ny () < () 2) Chng minh mt cỏch tng t nh B 2.3.4 ch rng vi mi > 0, tn ti v V \ {0} l cc tiu ca à1 () Hn na, nh B 2.3.7, cú th chng minh c rng vi v cho trc, ta cú v dx + (v )+ d(x) = à1 () v dx, (2.19) vi mi V Tuy nhiờn, ng thc trờn khụng phỏt biu rng à1 () l giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.6) nh ngha cho trc bi (2.7) Chỳ ý 2.3.2 Bi toỏn (2.6) cú iu kin biờn phi tuyờn nờn vic nghiờn cu s tn ti ca cỏc giỏ tr riờng khỏc (khỏc v ()) tr nờn khú khn hn trng hp bi toỏn iu kin biờn tuyn tớnh Cỏc phng phng phỏp thng c s dng s khụng ỳng trng hp ny Trong bi toỏn ny, ta chỳ ý rng ta khụng th ỏp dng lý thuyt Ljusternik - Schnirelman vo trng hp ny vỡ phim hm nng lng Euler - Lagrange tng ng bi toỏn (2.6) khụng chn, mt iu kin quyt nh ng dng phng phỏp ỏnh giỏ Tuy nhiờn, trng hp mt chiu, s tn ti ca vụ hn cỏc giỏ tr riờng ca th d dng thy c Chỳ ý rng bi toỏn (2.6) vi 38 = (0, l) tr thnh u (t) = u(t) vi t (0, l), u (0) = u+ (0), (2.20) u (l) = u+ (l) Tuy nhiờn, mt bi toỏn khỏc c bit n l bi toỏn Neumann mt chiu u (t) = u(t) vi t (0, l), (2.21) u (0) = u (l) = 0, (k)2 , k = 0, 1, vi hm riờng tng ng l2 uk (t) = cos( kl t) Bng tớnh toỏn n gin thy rng vi mi k Z+ , à2k l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn (2.20) vi hm riờng tng ng l u2k cú cỏc giỏ tr riờng àk = 2.4 Giỏ tr riờng m rng tip ni cỏc nghiờn cu bờn trờn, ta a nh ngha v giỏ tr riờng m rng sau õy, nh ngha 2.4.1 Ta núi rng > l mt giỏ tr riờng m rng ca bi toỏn (2.6) nu tn ti u C \ {0} cho u( u)dx + u+ ( u)d(x) u( u)dx, (2.22) vi mi C Mnh 2.4.1 Mi giỏ tr riờng c in ca bi toỏn (2.6) (cho bi (2.7)) cng l giỏ tr riờng m rng Nhn xột 2.4.1 S à1 () cng l mt giỏ tr riờng m rng ca bi toỏn (2.6), vi mi > Do ú, quan h (2.22) a s liờn h gia () v à1 () Thc ra, nu u C \ {0} l mt hm riờng m rng tng ng vi giỏ tr riờng m rng > no ú ca bi toỏn (2.6) thỡ hoc u l im ca C (tc l u = u1 + c, vi u1 V v c > 0) nờn l mt giỏ tr riờng c in hoc u V \ {0} v v = u tha (2.19) 39 Kt lun Qua mt thi gian hc v nghiờn cu, di s hng dn ca TS Bựi Kiờn Cng, lun c hon thnh v t nhng ni dung sau: Trỡnh by cú h thng v cỏc kin thc chun b cho lun nh: lý thuyt khụng gian Hilbert, toỏn t tuyn tớnh b chn khụng gian Hilbert; khụng gian Sobolev W 1,p (), Cỏc ni dung ny c trớch dn t cỏc ti liu tham kho s [2] v [3] Trỡnh by tng quan v theo cỏc ti liu tham kho s [1], [4-7] v bi toỏn giỏ tr riờng v vộc t riờng ca toỏn t Laplace chiu v vi iu kin biờn phi tuyn Vi kh nng v thi gian cú hn, chc chn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Kớnh mong quý thy cụ v cỏc bn gúp ý lun c hon thin hn Xin chõn thnh cm n ! 40 Ti liu tham kho [1] V Barbu (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Noordhoff, Leyden [2] Haim Brezis (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [3] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski (2005), Hilbert Spaces with Applications, Third Edition, Elsevier Academic Press, London [4] J R Kuttler and V G Sigillito (1984), "Eigenvalues of the Laplacian in two dimensions", Siam Review, Vol 26, No 2, pp 163-193 [5] Emanuel Laude (2013), Eigenfunctions of the Laplace operator , Department of Informatics - Technische Universităat Muă unchen [6] Tsogtgerel Gantumur (2013), Spectral properties of the Laplacian on bounded domains, http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f13/laplacian.pdf [7] Mihai Mihailescu, Gheorghe Morosanu (2011), "Eigenvalues of the Laplace operator with nonlinear boundary conditions", Taiwanese Journal Of Mathematics Vol 15, No 3, pp 1115-1128 41 [...]... cả các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert đều là thực Định lý 1.4.4 Nếu A là toán tử tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert thì r(A) = A Dưới đây là một số tính chất của các giá trị riêng Định lý 1.4.5 (a) Tất cả các giá trị riêng của toán tử dương là không âm Tất cả các giá trị riêng của toán tử dương thực sự là dương (b) Mọi các giá trị riêng của toán tử unita trên... thể lấy f0 = 0 19 p Chương 2 Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace 2.1 Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace trên một khoảng Bài toán 2.1.1 Tìm các hàm riêng và giá trị riêng của Bài toán Dirichlet cho toán tử Laplace trên khoảng Ω = [0, l]:     −u (x) = λu(x), 0≤x≤l (2.1)    u(0) = u(l) = 0 Lời giải: Xét phương trình đầu tiên của (2.1.1), tức là phương trình vi phân tuyến... sin λx Để thỏa mãn điều kiện biên trong (2.1) thì C1 = 0 và √ sin λl = 0, hay tương đương kπ λ= l 2 , k ∈ N∗ 21 Như vậy, các giá trị riêng của bài toán (2.1.1) là 2 kπ λk = l , k ∈ N∗ và các hàm riêng ứng với giá trị riêng đó là uk (x) = sin kπx , k ∈ N∗ l Bài toán 2.1.2 Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của của Bài toán Neumann cho toán tử Laplace     −u (x) = λu(x), 0 ≤ x ≤ l, (2.2)   ... được gọi là giá trị riêng của A nếu có véc tơ u ∈ E khác véctơ 0 sao cho Au = λu Mỗi véc tơ u thỏa mãn Au = λu được gọi là một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ Nếu E là không gian hàm, các véc tơ riêng thường được gọi là các hàm riêng Tập các véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng của một toán tử là một không gian véc tơ Định nghĩa 1.4.2 (Không gian riêng) Tập các véc tơ riêng tương... B(H) và xác định một toán tử bị chặn (a) n=1 ∞ (b) Với mỗi n ∈ N, λn là một giá trị riêng của toán tử A = λn Pn và n=1 các giá trị riêng khác của A chỉ có thể bằng 0 (c) Nếu tất cả các λn là thực thì A tự liên hợp (d) Nếu phép chiếu (Pn ) là hữu hạn chiều thì A là compact Định nghĩa 1.4.4 (Giá trị riêng gần đúng) Cho T là toán tử trên không gian Hilbert H Một giá trị λ vô hướng được gọi là giá trị riêng. .. Chứng minh Giả sử λ ∈ R là một giá trị riêng của bài toán (2.6) và hàm riêng tương ứng là u ∈ H 1 (Ω) \ {0} Lấy ϕ = u trong (2.7), ta được |∇u|2 dx + α u2+ dσ(x) Ω λ= ∂Ω ≥ 0 2 u dx Ω Bổ đề 2.3.2 λ = 0 là một giá trị riêng của Bài toán (2.6) và tập hợp các hàm riêng tương ứng là tất cả các hằng số không âm Chứng minh Hiển nhiên λ0 = 0 là một giá trị riêng của (2.6), với hàm riêng u = const > 0 bất kỳ Ngược... giá a2 d2 , vì vậy λ ≈ (a−2 ) Chúng ta cũng chú ý trị riêng λ phải cân bằng với 2 dx rằng có khai triển tiệm cận λk ∼ ck 2 , trong đó c > 0 độc lập với k Với λ > 0, ta xét hàm đếm các giá trị riêng N (λ) = # {các giá trị riêng ≤ λ} Mệnh đề 2.1.1 (Luật Weyl đối với các khoảng) Ký hiệu λj là các giá trị riêng của bài toán Dirichlet và Neumann của toán tử Laplace trên khoảng Ω = [0, l] Khi đó l√ N (λ) ∼... một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach E và A < |λ| thì Aλ = (A − λI)−1 là toán tử bị chặn ∞ Aλ = − n=0 và A ≤ An , λn+1 1 |λ| − A Từ đây dễ thấy, nếu A là toán tử bị chặn trong không gian Banach thì r(A) ≤ A Định lý 1.4.2 Cho T là toán tử khả nghịch trên không gian véc tơ E và cho A là toán tử trên E Khi đó các toán tử A và T AT −1 có cùng giá trị riêng Định lý 1.4.3 Tất cả các giá. .. trị riêng đầu tiên của Bài toán (2.6), miễn là α > 0 đủ nhỏ Chúng bị cô lập trong tập hợp các giá trị riêng của Bài toán (2.6) Hơn nữa, tập hợp các hàm riêng tương ứng với λ0 và λ, tạo thành các nón dương trong H 1 (Ω) (rõ hơn, các nửa mặt phẳng 1 chiều trong H 1 (Ω)) Việc chứng minh Định lý 2.3.1 chia thành nhiều bước, sử dụng các bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Mọi λ < 0 không thể là giá trị riêng của Bài toán. .. ω = 1 và | Aω, ω | = sup | Ax, x | x ≤1 Định lý 1.4.8 Không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0 của toán tử compact tự liên hợp là hữu hạn chiều Tập các giá trị riêng khác 0 phân biệt (λn ) của toán tử compact tự liên hợp là hữu hạn hoặc đếm được với lim λn = 0 n→∞ Định lý 1.4.9 Cho (Pn ) là dãy các toán tử chiếu đôi một trực giao trên không gian Hilbert H và cho (λn ) là một dãy các số