Các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử laplace

B G IO D C V O TO TR N G I HC s PH M H N I Lấ T H H N G P H N CC GI TR RIấNG V HM RIấNG CA TON T LAPLACE Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch M ó s: 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N HC N gi hng dn khoa hc: T S B ự i K iờn Cng H N I - 2016 LI CM N Li u tiờn tụi xin c by t lũng bit n sõu sc ti thy giỏo - TS Bựi Kiờn Cng, ngi ó tn tỡnh hng dn sut quỏ trỡnh lm lun ny Tụi xin chõn thnh cm n ton th cỏc thy cụ t b mụn gii tớch, khoa Toỏn, trng i hc S phm H Ni ó tn tỡnh hng dn, truyn t kin thc sut thi gian theo hc, thc hin v hon thnh lun vn, cm n s giỳp ca bn bố, ngi thõn v cỏc ng nghip thi gian lm lun Mc dự ó cú nhiu c gng hon thin lun bng t t c s nhit tỡnh v nng lc ca mỡnh, nhiờn lun khụng th trỏnh nhng thiu sút, tụi rt mong nhn c nhng úng gúp quý bỏu ca thy cụ v cỏc bn H Ni, thỏng 07 nm 2016 Tỏc gi Lờ Th Hng Phn LI CAM O AN Tụi xin cam oan lun ny l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca Tin s Bựi Kiờn Cng Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 07 nm 2016 Tỏc gi Lờ Th Hng Phn M c lc M u 1 K in th c chun b 1.1 Khụng gian tớch v h n g 1.2 Khng gian H ilb e rt 1.3 Toỏn t tuyn tớnh khng gian Hilbert 1.4 Lý thuyt ph ca toỏn t compact t liờn hp 12 1.5 Khụng gian Sobolev H 1,p( ) 14 G iỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace 20 2.1 Giỏ tr riờng v hm riờng ca toỏn t Laplace trn mt khong 20 2.2 Nghe si dõy n ghi ta 24 2.3 Giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace vi iu kin biờn phi tuyn 26 2.4 Giỏ tr riờng m rng 39 K t lun 39 Ti liu tham kho 40 M U Lý chn ti Gi s c lN l mt v xột toỏn t A tỏc ng trờn c (ớ) xỏc nh bi Toỏn t ny c gi l toỏn t Laplace trờn Q Toỏn t Laplace xut hin nhiu hin tng vt lý, chng hn hin tng dũng cht lng cú trng thỏi n nh, hay trng tnh in, hay hin tng khuch tỏn nhit v hin tng lan truyn súng, Toỏn t Laplace giao hoỏn vi phộp tnh tin v phộp quay, tc l nu T l phộp tnh tin hoc phộp quay thỡ A ( i p o T ) = A (T o ớp Thc ra, nu s l mt toỏn t tựy ý giao hoỏn vi phộp tnh tin v phộp quay thi tn ti cỏc hng s s = Xỡj=i aj A j Do ú, cho khụng ngc nhiờn toỏn t Laplace l trng tõm bt k quỏ trỡnh no m bn cht vt lý c bn c lp vi v trớ v hng, chng hn nh khuch tỏn nhit v lan truyn súng Cú rt nhiu bi toỏn cha toỏn t Laplace, nhng chỳng ta s ch trung nhng bi toỏn qua ú nhn mnh s quan trng ca bi toỏn giỏ tr riờng (cũn gi l phng trỡnh Helmholtz) A ớp = Xớp Rừ rng rng, nu chỳng ta mun nghiờn cu cỏc hm iu hũa thỡ th cn thit l gii phng trỡnh A

c c gi l mt tớch vụ hng E nu vi bt k X, y ,z G E v a , G c, cỏc iu kin sau c tha (a) ( x ,y ) = ( y ,x ) (ký hiu ca s phc liờn hp) (b) ( a x + Py, z) = a ( x , z) + P{y, z) (c) (X, X) > (d) (X, x) = v ch X = Mt khụng gian vộct vi tớch vụ hng c gi l khụng gian tớch vụ hng Theo nh ngha, tớch vụ hng ca hai vộct l mt s phc Bi theo (a), (x , x ) = { x ,x ) cú ngha rng (x , x ) l mt s thc vi mi X E E M theo (b) ta cú (x, a y + 3z) = (a y + Pz, X) = a{y, X) + P(z, X) = ó ( y , X} + P (z, X) c bit, (a x , y } = a ( x , y ) v ( x ,a y ) = ó ( x , y ) T ú, nu a = 0, ta cú