Các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử laplace

Do đó, không ngạc nhiên khi toán tử Laplace là trọng tâm trong bất kỳ quá trình nào mà bản chất vật lý cơ bản độc lập với vị trí và hướng, chẳng hạn như khuếch tán nhiệt và lan truyền s

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS Bùi Kiên Cường, người đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong tổ bộ môn giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn, cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người th ân và các đồng nghiệp trong thời gian làm luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tấ t cả sự nhiệt tình

và năng lực của mình, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 07 năm 2016

Tác giả

Lê Thị Hồng Phấn

LỜI CAM Đ O A N

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2016

Tác giả

Lê Thị Hồng Phấn

1.3 Toán tử tuyến tính trong khống gian Hilbert

1.4 Lý thuyết phố của toán tử compact tự liên hợp

1.5 Không gian Sobolev H 1,p( ũ )

2 G iá trị riêng và hàm riêng của to á n tử Laplace

2.1 Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace trẽn một khoảng2.2 Nghe sợi dây đàn ghi ta

2.3 Giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên phi tuyến2.4 Giá trị riêng mở rộng

242639

39 40

M Ở Đ Ầ U

1 Lý do chọn đề tà i

Giả sử íỉ c ĩlNlà một miền và xét toán tử A tác động trên c°°(íĩ) xác định bởi

Toán tử này được gọi là toán tử Laplace trên Q Toán tử Laplace xuất hiện

trong nhiều hiện tượng vật lý, chẳng hạn trong hiện tượng dòng chất lỏng

có trạng thái ổn định, hay trường tĩnh điện, hay hiện tượng khuếch tán nhiệt và hiện tượng lan truyền sóng, Toán tử Laplace giao hoán với phép

tịnh tiến và phép quay, tức là nếu T là phép tịnh tiến hoặc phép quay thì

A ( i p o T ) = A (T o ípỴ Thực ra, nếu s là một toán tử tùy ý giao hoán với phép tịnh tiến và phép quay thi tồn tại các hằng số sao cho

s = Xìj=i aj A j Do đó, không ngạc nhiên khi toán tử Laplace là trọng tâm

trong bất kỳ quá trình nào mà bản chất vật lý cơ bản độc lập với vị trí và hướng, chẳng hạn như khuếch tán nhiệt và lan truyền sóng trong

Có rất nhiều bài toán chứa toán tử Laplace, nhưng chúng ta sẽ chỉ tập trung những bài toán qua đó để nhấn m ạnh sự quan trọng của bài toán giá trị riêng (còn gọi là phương trình Helmholtz)

Rõ ràng rằng, nếu chúng ta muốn nghiên cứu các hàm điều hòa thì thứ cần thiết là giải phương trình

Vậy, sự cần thiết phải hiểu nghiệm của phương trình Helmholtz cho các bài toán chẳng hạn như trường tĩnh điện hay dòng chất lỏng có trạng thái ổn định là thực tế Để nghiên cứu khuếch tán nhiệt, lan truyền sóng và bài toán Schrödinger được mô tả bên trên, phương pháp tiêu chuẩn là tìm kiếm

nghiệm u ( x : t ) có dạng tách biến u ( x : t ) = Việc làm đó sẽ dẫn đếntìm các giá trị riêng và các véc tơ riêng của phương trình Laplace 1 chiều

A íp = Xíp.

A <p = Xip với A = 0

v ề lý thuyết phổ của toán tử Laplace, đã có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học trên toàn thế giới, chẳng hạn xem [1], [4-7] Được sự quan tâm giúp đỡ của TS Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài: “Các giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace” để thực hiện luận văn tố t nghiệp.

2 M ục đích n gh iên cứu

+ Hệ thống hóa được những kiến thức cơ bản của lý thuyết phổ của toán

tử compact tự liên hợp, toán tử chuẩn, toán tử Unita

+ Hệ thống hóa về các hàm riêng của toán tử Laplace với một số điều kiện khác nhau về biên của miền xác định: hai điểm biên, biên phi tuyến tổng q u á t,

3 N h iệm v ụ n gh iên cứu

Làm một báo cáo tổng quan thể hiện đầy đủ mục đích nghiên cứu, báo cáo có thể là một tài liệu tham khảo tố t cho những người quan tâm về giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace

4 Đ ối tư ợng và ph ạm v i n gh iên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Toán tử tự liên hợp compact, toán tử Laplace, lý thuyết về bài toán trị riêng, hàm riêng của toán tử Laplace

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến các đối tượng nghiên cứu đã được trích dẫn trong Tài liệu tham khảo của luận văn

5 P hư ơng pháp n gh iên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm, phương pháp nghiên cứu lý thuyết để tiếp cận vấn đề

Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 C ấu trú c luận văn

Luận văn gồm hai chương, cụ thể:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

2

• Chương 2: Giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace.

7 N h ữ n g đón g góp của đề tà i

Luận văn sẽ là một báo cáo tổng quan có hệ thống về giá trị riêng và hàm riêng của toán tử Laplace trong một số miền khác nhau Các kết quả được trình bày trong luận văn được trích từ các bài báo được công bố trong những năm gần đây trên tạp chí có uy tín

Chương 1

K iến thức chuẩn bị

1.1 K h ông gian tích vô hướng

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 (Không gian tích vô hướng) Cho E là một không gian véctơ phức Một ánh xạ (•, •) : E X E —> c được gọi là một tích vô hướng trong E nếu với bất kỳ X, y ,z G E vầ a , ậ G c, các điều kiện sau được thỏa mãn

(a) ( x ,y ) = ( y ,x ) (ký hiệu của số phức liên hợp).

V í dụ 1.1 Không gian C[a, b] của tấ t cả các hàm giá trị phức liên tục trên

đoạn [a, b], với tích vô hướng

là một không gian tích vô hướng

V í dụ 1.2 Giả sử fỉ c K" là một tập đo được Không gian L 2(íì) gồm các hàm / đo được trên Q với lũy thừa bậc 2 của môđun | / | 2 khả tích trên

làm thành một không gian tích vô hướng với tích vô hướng xác định bởi

Đ ịn h lý 1.1.1 (Bất đẳng thức Schwarz) Cho hai phần tử bất kì X v à y của không gian tích vô hướng, ta có

Đẳng thức |( x ,y ) | = \\x\\\\y\\ đúng khi và chỉ khi X và y là phụ thuộc tuyến tính.

H ệ q u ả 1.1.1 (Bất đẳng thức tam giác) Cho hai phần tử bất kì X và y của không gian tích vô hướng ta có \\x + y II < ||x|| + IIyII

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.2 (Chuẩn trong không gian tích vô hướng) Chuẩn trong

không gian tích vô hướng E ta hiểu là hàm II • II : E —> M xác định bởi

||:r|| = (X, x ), X e E

Nhờ bất đẳng thức Schwarz và định nghĩa tích vô hướng ỊỊ • II là một chuẩn

thực sự trên không gian véctơ E , nghĩa là mọi không gian tích vô hướng đều

là không gian định chuẩn và chuẩn khi đó được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

Đ ịn h lý 1.1.2 (Luật hình bình hành) Cho hai phần tử bất kì X và y của không gian tích vô hướng E Khi đó ta có

a

Í2

\\x + y r + \ \ x - y r = 2(\\x\\2 + \\y \\2).

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3 (Quan hệ trực giao) Cho A , B là các tập con trong không gian tích vô hướng E

i) Hai véc tơ X và y trong không gian tích vô hướng E được gọi là trực giao, kí hiệu X _L y nếu (x : y ) = 0.

ii) Véc tơ X được gọi là trực giao với tập A , nếu X trực giao với mọi véc tơ

y của A Ký hiệu X 1 A Tập hợp tấ t cả các véc tơ trực giao với tập A

được ký hiệu là A L

iii) Hai tập A , B được gọi là trực giao với nhau, nếu mọi phần tử X của Ả đều trực giao với B Ký hiệu A _L B

Nếu tập A khác rỗng thì A 1 là một không gian con đóng của E

Đ ịn h lý 1.1.3 (Định lý Pythago) Cho các cặp véc tơ trực giao bất kì, ta có

\\x + y\\l = \\x\\l + \\y\\l.

1.2 K h ông gian H ilb ert

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 (Không gian H ilbert) Một không gian tích vô hướng đầy

đủ được gọi là một không gian Hilbert Thường ký hiệu không gian Hilbert

bởi E , H , K ,

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2 (Hội tụ m ạnh) Một dãy (x„) các véctơ trong một không

gian tích vô hướng E được gọi là hội tụ m ạnh tới một véctơ X trong E nếu

I I — a;|| —> 0 khi n —> oo Từ “m ạnh” được thêm vào để phân biệt hội tụ

m ạnh với hội tụ yếu

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3 (Hội tụ yếu) Một dãy (£„) các véctơ trong không gian

tích vô hướng E được gọi là hội tụ yếu tới một véctơ X trong E nếu (x n,y ) —>

(X, y ) khi n -ỳ- oo với mọi y e E

Điều kiện trong định nghĩa trên có thể thay bằng (x n — X, y) —¥ 0 khi

n —> oo, với mỗi y e E

Để thuận tiện hơn kí hiệu ux n —>• x ” đối với hội tụ m ạnh và dùng “x n —ì X”

để kí hiệu hội tụ yếu

6

Đ ịn h lý 1.2.1 Một dãy hội tụ mạnh thì hội tụ yếu, nghĩa là x n —> X suy ra

x n ^ x

Đ ịn h lý 1.2.2 Trong không gian tích vô hướng E ,

(i) Nếu x n -)■ X và yn -» y thì (x n, y n) -> ( x , y )

(ii) Nếu x n —¥ X và ||a;„|| —¥ ||a;|| thì x n X.

Đ ịn h lý 1.2.3 Các dãy hội tụ yếu trong không gian Hilbert là bị chặn, nghĩa

là nếu ( x n) là một dẫy hội tụ yếu thì tồn tại một số M sao cho ||x n|| < M với mọi n e N*.

Đ ịn h lý 1.2.4 Cho s là một tập con trong không gian tích vô hướng E

sao cho spanS là trù mật trong E Nếu ( x n) là một dãy bị chặn trong E và {xn,y ) —»■ {x, y) với mỗi y € s thì x n X.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4 (Tính trực giao và hệ trực chuẩn) Một họ s các véctơ khác 0 trong không gian tích vô hướng E được gọi là một hệ trực giao hai phần tử riêng biệt bất kỳ của s đều trực giao với nhau.

Nếu thêm vào đó điều kiện ||x|| = 1 với mọi X E s thì s được gọi là một

hệ trực chuẩn

Chú ý rằng các hệ trực chuẩn là độc lập tuyến tính

V í d ụ 1.3 Xét không gian ỉ 2 các dãy số phức X = (x n) thỏa mãn X^neN* l^nỊ2

< 4-0 0 Với tích vô hướng cho bởi ( x , y ) = X]„eN* Xnũni là một không gian Hilbert phức Khi đó tập hợp các véc tơ s = {ei, e2, ■ ■., en, với

en = ( 0 , , 0 ,1 , 0 , ) với 1 nằm ở vị trí thứ n, là một cơ sở trực chuẩn

Đ ịn h lý 1.2.5 (Công thức Pythago) Nếu x 1, , x n là các véctơ trực giao

trong không gian tích vô hướng thì

của £2.

2

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5 (Dãy trực chuẩn đầy đủ) Một dãy trực chuẩn (x n) trong

không gian Hilbert H được gọi là đầy đủ nếu với mỗi X G H ta có

00

x = J 2 ( x :x n )xn.

71=1

Một dãy trực chuẩn đầy đủ còn được gọi là một cơ sở trực chuẩn

Đ ịn h lý 1.2.8 Một dãy trực chuẩn (x n) trong không gian Hilbert H là đầy

đ ủ k h i v à c h ỉ k h i n ế u ( X, x n ) = 0 v ớ i m ọ i n £ w t h ì X = 0

Đ ịn h lý 1.2.9 (Công thức Parseval) Một dẫy trực chuẩn (x n) trong không

gian Hilbert H là đầy đủ nếu và chỉ nếu

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.7 (Đẳng cấu không gian H ilbert) Một không gian Hilbert

Hi được nói là đẳng cấu với không gian Hilbert H 2 nếu tồn tại một song ánh

tuyến tính T từ H 1 lên H 2 sao cho ( T ( x ) , T ( y ) ) = (X, y ) với mọi y ẽ H ị.

Chú ý rằng, ( T ( x ) , T ( y ) } = {x ,y} dẫn đến ||T || = 1 vì ||T(a;)|| = \\x\\, với mọi X e Hị.

Đ ịn h lý 1.2.10 Cho H là một không gian Hilbert tách Khi đó

(a) Nếu H là vô hạn chiều, thì nó là đẳng cấu với l2.

(b) Nếu dim H = N , thì nó đẳng cấu với CN

1.3 Toán tử tu y ến tín h tron g không gian H ilb ert

Sau đây, để đơn giản ta luôn giả thiết toán tử là tuyến tính Một toán tử

Ả xác định trên không gian định chuẩn E được gọi là bị chặn, nếu nó ánh

xạ mỗi tập bị chặn th àn h một tập bị chặn, nói cách khác, nếu tồn tại hằng

số M sao cho ||^4a;|| < M ||x ||,V a: e E

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 Cho Ả là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert

H Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử A* : H —> H xác định bởi

Do vậy, toán tử Ả là tự liên hợp khi và chỉ khi ữj j = ũjị Một ma trận thỏa

mãn điều này gọi là Hermitian

Đ ịn h lý 1.3.2 Cho (p là một hàm song tuyến tính phức bị chặn và cho A

là một toán tử bị chặn trên H sao cho ip (x,y ) = (x , A y ) với mọi x , y G H Khi đó Ả là tự liên hợp khi và chỉ khi <p là đối xứng, nghĩa là ip(xì y) =

Đ ịn h lý 1.3.4 Với mỗi toán tử bị chặn T trên một không gian Hilbert H ,

có tồn tại duy nhất các toán tử tự liên hợp A , B sao cho

Đ ịn h lý 1.3.6.

(a) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính.

10

(b) Một toán tử Ả là khả nghịch nếu và chỉ nếu A x = 0 dẫn tới X = 0 (c) Nếu toán tử A là khả nghịch và vectơ X í , , x n là độc lập tuyến tính thì A x i , , A x „ là độc lập tuyến tính.

(d) Nếu toán tử A và B là khả nghịch, thì toán tử A B là khả nghịch và ta có

{ A B ) - 1 = B ~ 1A ~ 1.

Đ ịn h lý 1.3.7 Cho Ả là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho

R ( A ) = H Nếu có nghịch đảo bị chặn thì toán tử liên hợp A* là khả nghịch

và (A * )-1 = (A - 1)*.

Như vậy, nếu toán tự tử liên hợp bị chặn A có nghịch đảo bị chặn A ~ x thì

A _1 là tự liên hợp.

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.3 (Toán tử chuẩn) Một toán tử bị chặn T được gọi là toán

tử chuẩn nếu nó giao hoán với liên hợp, tức là TT * — T*T.

Đ ịn h lý 1.3.8 Một toán tử T là chuẩn khi và chỉ hi ||T x || = ||T*x|| với

m ọ i X G H

Tiếp theo ta sẽ trình bày một số khái niệm liên quan đến toán tử dương, toán tử compact

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.4 (Toán tử dương) Một toán tử A được gọi là dương nếu

nó là tự liên hợp và (A x , x) > 0 với mọi X E H

Đ ịn h lý 1.3.9.

(i) Nếu toán tử Ả bị chặn trên H , thì các toán tử A*A và A*A là dương (ii) Nếu A là toán tử khả nghịch dương thì nghịch đảo của nó là A ~ l cũng dương.

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.5 (Toán tử compact) Một toán tử A trên không gian Hilbert H được gọi là toán tử compact nếu với mỗi dãy bị chặn (xn) trong

H , dãy (A x n) chứa một dãy con hội tụ.

Đ ịn h lý 1.3.10 Giới hạn của một dẫy hội tụ đều các toán tử compact là

một toán tử compact, nghĩa là nếu Ti, T2, là một dẫy toán tử compact trong không gian Hilbert H và IIT„ — T\\ 0 khi n —> oo với một toán tử T nào

đó trên H thì T là toán tử compact.

Đ ịn h lý 1.3.11 Tập tất cả các toán tử compact trên không gian Hilbert H

là một không gian véc tơ con đóng của không gian B ( H )

Đ ịn h n gh ĩa 1.3.6 (Toán tử hữu hạn chiều) Một toán tử được gọi là hữu

hạn chiều nếu miền giá trị của nó hữu hạn chiều

1.4 Lý th u y ết phổ của to á n tử com p act tự liên hợp

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 (Giá trị riêng) Cho A là toán tử trên không gian véc tơ phức E Một số phức A được gọi là giá trị riêng của Ả nếu có véc tơ u E E khác véctơ 0 sao cho A u — Xu Mỗi véc tơ u thỏa mãn A u — Xu được gọi là một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng À Nếu E là không gian

hàm, các véc tơ riêng thường được gọi là các hàm riêng

Tập các véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng của một toán tử là một không gian véc tơ

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.2 (Không gian riêng) Tập các véc tơ riêng tương ứng với một giá trị riêng À được gọi là không gian riêng của A Số chiều của không gian đó được gọi là bội số của À Một giá trị riêng có bội một được gọi là là đơn hay không suy biến Một giá trị riêng bội lớn hơn một được gọi là bội hay suy biến Trong trường hợp này số chiều của không gian riêng được gọi

là là bậc của suy biến

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.3 (Giải thức và phổ) Cho A là một toán tử trong không gian định chuẩn E Toán tử

A X = ( A - X I ) - 1

được gọi là giải thức của A Các giá trị của A sao cho A x được xác định và bị chặn trên không gian E được gọi là giá trị chính quy của A Tập tấ t cả các giá trị chính quy của A được gọi là tập giải được và ký hiệu là p(j4) Phần

12

bù của p ( A ) trong c được gọi là phổ của A và ký hiệu là ơ (A ) Bán kính phổ của A ký hiệu bởi r ( A ), được định nghĩa bởi

Đ ịn h lý 1.4.1 Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian

Banach E và ||i4|| < IAI thì Ax = (A — X/ ) _1 là toán tử bị chặn

Từ đây dễ thấy, nếu A là toán tử bị chặn trong không gian Banach thì

Đ ịn h lý 1.4.2 Cho T là toán tử khả nghịch trên không gian véc tơ E và cho

Ả là toán tử trên E Khi đó các toán tử A và T A T ~ X có cùng giá trị riêng.

Đ ịn h lý 1.4.3 Tất cả các giá trị riêng của toán tử tự liên hợp trên không

gian Hilbert đều là thực.

Đ ịn h lý 1.4.4 Nếu A là toán tử tự liên hợp bị chặn trên không gian Hilbert

Dưới đây là một số tính chất của các giá trị riêng

Đ ịn h lý 1.4.6 Các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng phân biệt của

toán tử tự liên hợp hoặc unita trên không gian Hilbert là trực giao.

Đ ịn h lý 1.4.7 Nếu A là compact, toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert,

thì có ít nhất một trong các số ||i4|| hoặc — \\A\\ là một giá trị riêng của A

H ệ q u ả 1.4.1 Nếu Ả là compact, toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert

H thì có một véc tơ Lủ G H sao cho ||cj|| = 1 và

|(A ư ,u ;)| = sup \{ A x ,x ) \.

IMI<!

Đ ịn h lý 1.4.8 Không gian riêng tương ứng với các giá trị riêng khác 0 của

toán tử compact tự liên hợp là hữu hạn chiều.

Tập các giá trị riêng khác 0 phân biệt (An) của toán tử compact tự liên hợp

là hữu hạn hoặc đếm được với lim A„ = 0.

n—^ 00

Đ ịn h lý 1.4.9 Cho (Pn) là dãy các toán tử chiếu đôi một trực giao trên

không gian Hilbert H và cho (A„) là một dãy các số sao cho A„ —¥ 0 khi

(d) Nếu phép chiếu (Pn) là hữu hạn chiều thì A là compact.

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.4 (Giá trị riêng gần đúng) Cho T là toán tử trên không gian Hilbert H Một giá trị A vô hướng được gọi là giá trị riêng gần đúng của

T nếu tồn tại một dãy cá véctơ x n G H sao cho ||x n|| = 1 với mọi 77, G N và

IIT x n — Ax„|| —> 0 khi n —> 0 0

Đ ịn h lý 1.4.10 Nếu T là toán tử compact thì mỗi giá trị riêng xấp xỉ khác

0 của T là một giá trị riêng.

1.5 K h ông gian S o b o lev H l,p(Ó)

Cho Í2 c là một tập mở và cho p G M với 1 < p < 0 0

14

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.1 Cho íì là một tập mở trong và p là số thực thỏa mãn

1 < p < oo Không gian Sobolev w 1,p(fỉ) được định nghĩa bởi

trong đó C™ (Í2) là không gian các hàm th ử gồm các hàm khả vi vô hạn có

giá compact trong íỉ

Không gian VF1,P(ÍỈ) có chuẩn được trang bị bởi

Ta đặt H 1^ ) = w 1,2(n ) Khi đó trên H 1^ ) có tích vô hướng trang bị

M ệ n h đ ề 1.5.1 Cho w 1,p(fi) là một không gian Banach với mỗi 1 < p <

oo, Ị y 1,p(fĩ) là phản xạ với 1 < p < oo và nó là tách với 1 < p < 00, H 1(íĩ)

là không gian Hilbert tách.

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.2 Cho íĩ c Ĩ&N là tập mở Ta nói rằng tập mở U) trong MN

là bao hàm thực sự trong Í2 và ta viết ÜJ c c rỉ nếu ÕJ c rỉ và ŨJ là compact.

Đ ịn h lý 1.5.1 (Friedrichs) Cho u € với 1 < p < oo Khi đó tồn tại một dãy (u n) từ C™(№N) sao cho

(1) u n|n ->• u trong L p(ũ )

W'lj’(fì) = < u G L p(íì) I 3 gu g2ì • , g N sao cho e L p(íì),

bởi

và chuẩn tương ứng là

(2) Vm„|w—> 'Vuịu trong L p(uj)n với mọi Lú c c íỉ.

Trong trường hợp D = và u & VK1,ĩ’(]RiV) IIỚĨ 1 < p < oo, tồn tại một dẫy (un) từ c™ (R N) sao cho

u n —^ u trong Ư { R n ) và

ÍI ƠXị < c I M U n ) , e c ? ( n ) , \ t i = 1,2 (Ui) Tồn tại hằng số c sao cho với mọi LO c c Í2, và mọi h ẽ với

M ệ n h đ ề 1.5.4 (Đạo hàm hàm hợp) Cho G G Ơ 1(M) sao cho ơ ( 0 ) = 0

và |G '(s)| < M , Vs Ẽ R rà với hằng số M nào đó Cho u G w 1,p(fỉ) với

1 < p < oo Khi đó G o u ẽ VF1,P(ÍỈ) và

M ệ n h đ ề 1.5.5 (Công thức đổi biến) Giả sử Í2 và ÍỈ' là hai tập mở trong

WtN và cho H íì' —¥ Q là một song ánh, X = H ( y ) sao cho H € ơ 1(íỉ/),

H -1 E ơ 1( íỉ ) và m a trận Jacobi G L ° ° { ũ ') , m a trận nghịch đảo của

ma trận Jacobi thuộc L°°(fỉ) Cho u G VF1,p(ii) với 1 < p < oo Khi đó,

Sau đây, ta trình bày vài nét về không gian Wo1,p(f2)

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.4 Cho 1 < p < 0 0 Không gian được định nghĩa

là bao đầy của không gian ơ g (íỉ) trong W lj,(f2)

Đặt

Hì{íl) = wỉ*{íì).

Không gian w ỵ trang bị chuẩn của w 1,p, là không gian Banach tách, phản xạ nếu 1 < p < 00 H ị được trang bị tích vô hướng của H 1 và là

không gian Hilbert

B ổ đ ề 1.5.2 Cho u e với 1 < p < oo và giả sử rằng supp u là một tập con compact của Q Khi đó, u ẽ VF01,p(f2).

Đ ịn h lý 1.5.2 Giả sử rằng íỉ là một lớp c l , cho u £ VF1,P(ÍỈ) n ơ ( í ỉ ) với

1 < p < 0 0 Khi đó, tác tính chất sau là tương đương

( i ) u = 0 t r ê n d ũ

Ta ký hiệu VF_1,Ỉ,(ÍỈ) là không gian đối ngẫu của không gian W01,p(^ )j

1 < p < oo và i7 _1(íỉ) là không gian đối ngẫu H q ( í ì ) Đối ngẫu của L 2(íì)

đồng nhất với L 2(íì) Ta có bao hàm thức

H ị ( n ) c L 2( n) c

với các phép nhúng liên tục và trù m ật

18