Phần mở đầu Ai trải qua thời học sinh cũng đều quen thuộc với tiếng trống trường. Song không phải ai cũng biết âm của trống được quy định bởi rất nhiều yếu tố như chất liệu, kích cỡ, chất lượng sản xuất, môi trường sử dụng,... Trong đó, hình dạng của mặt trống cũng là một yếu tố quyết định đến âm thanh của trống. Như vậy, khi biết hình dạng bề mặt trống ta sẽ xác định được đặc điểm âm cơ bản của trống. Ngược lại, giả sử sự nghe là hoàn hảo và các yếu tố khác là không thay đổi thì có thể xác định được hình dạng mặt trống từ các âm cơ bản của trống hay không? Trong bài báo rất nổi tiếng: “Can one hear the shape of a drum?” (1966), Mark Kac đã đưa ra câu hỏi như sau: Cho Ω ⊂ R2 là miền bị chặn và cho 0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ λ2... là dãy các giá trị riêng của toán tử Laplace không âm ∆Ω với điều kiện biên Dirichlet hoặc điều kiện biên Neumann. Có thể xác định được Ω từ dãy giá trị riêng (λk) tính cả bội hay không? Câu hỏi tương tự được đặt ra với miền bị chặn trong Rn. Thực chất, sự xác định các vật thể ở rất xa chính là động cơ để đưa ra bài toán, chẳng hạn như xác định những vì sao hoặc những nguyên tử, từ ánh sáng hoặc âm thanh mà chúng phát ra. Những bài toán ngược về phổ có nhiều ứng dụng như việc xác định hình dạng vật thể, phân tích hình ảnh y tế,... Từ đó, tổng quát, chúng ta có thể “nghe” được gì từ “tập phổ”? Ví dụ như có thể “nghe” được diện tích (thể tích) hoặc chu vi của miền hay không
B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH NGN KHAI TRIN VT NHIT V LUT WEYL CHO CC GI TR RIấNG CA TON T LAPLACE - BELTRAMI LUN VN THC S KHOA HC TON HC H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH NGN KHAI TRIN VT NHIT V LUT WEYL CHO CC GI TR RIấNG CA TON T LAPLACE - BELTRAMI Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch (Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn) Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S KHOA HC TON HC Cỏn b hng dn khoa hc: TS Nguyn Nh Thng H NI, 2015 Li cm n Li u tiờn, em xin gi li cm n ti Trng i hc S phm H Ni ó to mi iu kin thun li em hon thnh khoỏ hc ca mỡnh Qua õy em xin by t lũng bit n ti ton th cỏc thy cụ nh trng ó dy d, ch bo tn tỡnh quỏ trỡnh em hc ti trng Em xin gi li cm n ti ton th cỏc thy cụ B mụn Toỏn Gii tớch, Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni ó to mi iu kin thun li em hon thnh lun ca mỡnh c bit, em xin by t lũng bit n sõu sc nht ti thy giỏo TS Nguyn Nh Thng, ngi ó trc tip ch bo v hng dn tn tỡnh em sut quỏ trỡnh thc hin lun Cui cựng, xin c cm n gia ỡnh, bn bố v cỏc ng nghip, nhng ngi ó luụn bờn giỳp v chia s nhng khú khn vi em sut thi gian hc v hon thnh lun ca mỡnh H Ni, thỏng 10 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Ngõn Mc lc Trang Phn m u Chng Kin thc c s 1.1 Gii thiu 1.2 Toỏn t gi vi phõn 1.2.1 Biu trng 1.2.2 Khụng gian Sobolev 1.2.3 Toỏn t 11 1.2.4 Toỏn t gi vi phõn trờn a 13 Chng Khai trin vt nhit v lut Weyl cho cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace - Beltrami 18 2.1 Gii thiu chung v lu tha phc v toỏn t nhit 18 2.1.1 Lu tha phc 19 2.1.2 Toỏn t nhit 21 2.1.3 M rng cc i v m rng cc tiu ca toỏn t 22 2.1.4 Lc 24 2.2 Cụng c c bn nghiờn cu lu tha phc v toỏn t nhit 24 2.2.1 Kớ hiu v kt qu s b 24 2.2.2 Xõy dng parametrix ph thuc tham s 25 2.3 Cỏc tớnh cht ca lu tha phc v toỏn t nhit 29 2.3.1 Cỏc tớnh cht ca lu tha phc 29 2.3.2 Cỏc tớnh cht ca toỏn t nhit 35 2.4 Mi liờn h gia lu tha phc v toỏn t nhit 37 2.5 Tim cn Weyl 37 2.5.1 nh lớ Tauberian 38 2.5.2 Khai trin vt nhit 43 2.5.3 Lut Weyl cho toỏn t Laplace - Beltrami 45 2.5.4 Vớ d 48 Kt lun chung 53 Ti liu tham kho 54 Phn m u Ai tri qua thi hc sinh cng u quen thuc vi ting trng trng Song khụng phi cng bit õm ca trng c quy nh bi rt nhiu yu t nh cht liu, kớch c, cht lng sn xut, mụi trng s dng, Trong ú, hỡnh dng ca mt trng cng l mt yu t quyt nh n õm ca trng Nh vy, bit hỡnh dng b mt trng ta s xỏc nh c c im õm c bn ca trng Ngc li, gi s s nghe l hon ho v cỏc yu t khỏc l khụng thay i thỡ cú th xỏc nh c hỡnh dng mt trng t cỏc õm c bn ca trng hay khụng? Trong bi bỏo rt ni ting: Can one hear the shape of a drum? (1966), Mark Kac ó a cõu hi nh sau: Cho R2 l b chn v cho l dóy cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace khụng õm vi iu kin biờn Dirichlet hoc iu kin biờn Neumann Cú th xỏc nh c t dóy giỏ tr riờng (k ) tớnh c bi hay khụng? Cõu hi tng t c t vi b chn Rn Thc cht, s xỏc nh cỏc vt th rt xa chớnh l ng c a bi toỏn, chng hn nh xỏc nh nhng vỡ hoc nhng nguyờn t, t ỏnh sỏng hoc õm m chỳng phỏt Nhng bi toỏn ngc v ph cú nhiu ng dng nh vic xỏc nh hỡnh dng vt th, phõn tớch hỡnh nh y t, T ú, tng quỏt, chỳng ta cú th nghe c gỡ t ph? Vớ d nh cú th nghe c din tớch (th tớch) hoc chu vi ca hay khụng? Bi toỏn ngc v ph ó v ang thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii Vỡ vy, chỳng tụi chn ny lm ti nghiờn cu ca lun Ni dung lun "Khai trin vt nhit v lut Weyl cho cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace - Beltrami" gm hai chng: Chng Kin thc c s Ni dung chng ny trỡnh by nhng kin thc c s cn thit nghiờn cu ni dung chng sau Chng Khai trin vt nhit v lut Weyl cho cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace - Beltrami Ni dung chng ny gii thiu toỏn t nhit suy rng v lu tha phc da trờn parametrix ph thuc tham s Tip theo s trỡnh by cỏc nh lớ chng t toỏn t nhit l toỏn t thuc lp vt, vt ca lu tha phc cú khai trin tim cn T ú ta s phỏt biu lut Weyl cho cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplce - Beltrami Cỏc kt qu c trỡnh by lun da ch yu vo ti liu [14] E Schrohe (2014), Heat trace expansions and Weyls law on the asymptotics of eigenvalues, Notes for the summer school, Spectral geometry, Găottingen, September 912 Bờn cnh ú, tỏc gi cng ó tham kho mt s ti liu khỏc c lit kờ mc Ti liu tham kho Tuy vy, cỏc kt qu c trỡnh by lun cha hn ó phn ỏnh ht tm quan trng ca bi toỏn ngc v hỡnh hc ph Vỡ vy, tỏc gi rt mong nhn c nhng úng gúp ca cỏc thy, cụ v bn c cho lun vn, lun ny cú th tr thnh mt ti liu tham kho cú ý ngha H Ni, thỏng 10 nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Ngõn Danh mc kớ hiu C (X) Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn trờn X Cc (X) Khụng gian cỏc hm kh vi vụ hn cú giỏ compact X D (X ì Y ) Khụng gian cỏc hm suy rng trờn X ì Y H s (Rn ) Khụng gian Sobolev c s L2 trờn Rn Rn Khụng gian Euclid n chiu Sà Lp cỏc biu trng bc trờn Rn ì Rn S S = àS l khụng gian tt c cỏc biu trng chớnh quy hoỏ trờn Rn ì Rn S (Rn ) Khụng gian Schwartz cỏc hm gim nhanh trờn Rn Tx X Khụng gian tip xỳc vi X ti x Tx X Khụng gian i tip xỳc ca X ti x volg (X) Th tớch ca a X theo metric Riemann g tng ng (s) Hm Gamma (s) c nh ngha nh mt tớch phõn xỏc nh: (s) = ts1 et dt (X) Khụng gian cỏc toỏn t gi vi phõn bc trờn X Chng Kin thc c s Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by nhng kin thc c s cn thit nghiờn cu ni dung chng sau, ú trng tõm l kin thc c bn v lớ thuyt toỏn t gi vi phõn, c th l toỏn t gi vi phõn trờn a 1.1 Gii thiu Trong bi bỏo rt ni ting Can one hear the shape of a drum?, Mark Kac ó a bi toỏn sau: Xột mt mng hai chiu c biu din bi mt b chn mt phng vi biờn trn Nu mng ú c c nh biờn v t chuyn ng bi mt cỏi dựi trng, ú dch chuyn U theo phng trc giao vi mt phng tho phng trỡnh súng t2 U c2 U = 0, U | = ú, c l hng s ph thuc vo cht liu ca mng Khụng mt tớnh tng quỏt ta cho c = Núi riờng, iu thỳ v trng hp ny ú l nghim iu ho (súng ng) ca phng trỡnh trờn cú dng U (t, x) = u(x)eit vi hm u xỏc nh trờn v R Nghim iu ho ú xỏc nh õm c bn ca mng c ch to bi nh sn xut Th hm U vo phng trỡnh súng, ta thy nghim u tho phng trỡnh u + u = 0, u | = Núi cỏch khỏc, = l mt giỏ tr riờng ca bi toỏn Dirichlet v u l mt hm riờng tng ng Nh chỳng ta ó bit, cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn Dirichlet lp thnh mt dóy > tin ti Mt cõu hi c Mark Kac t ú l cú th xỏc nh c t dóy cỏc giỏ tr riờng (k ) bao gm c bi hay khụng, vớ d nh cú th nghe c hỡnh dng ca mt cỏi trng hay khụng Bõy gi chỳng ta bit rng iu ú l khụng th, c chỳng ta xột b chn bi ng cong trn tng khỳc Tuy nhiờn, chỳng ta cú th bit c nhiu thụng tin hn v t dóy cỏc giỏ tr riờng (k ) Mt kt qu c bn ú l t dóy cỏc giỏ tr riờng ca bi toỏn Dirichlet ta cú th xỏc nh c th tớch ca iu ú khụng ch gii hn trng hp hai chiu, m cũn c xột trờn cỏc Rn Mark Kac ó nhc li bi toỏn nghe c hỡnh dng ca trng vi cõu hi c t bi nh vt lớ ngi c H.A Lorentz dp ging bi Găottingen Sau õy l trớch dn ca Kac: Lorentz ó a nm bi ging vi nhan Alte und neue Fragen der Physik - c v mi Vt lớ, v kt thỳc bn bi ging ca mỡnh, Lorentz ó kt lun nh sau: Trờn õy l nhng toỏn hc cú l s thu hỳt rt nhiu s chỳ ý ca cỏc nh toỏn hc hin ti Ngun gc ca nú l t lớ thuyt bc x ca Jeans Trong mt vi mt b mt phn x tt, cú th cú dng súng in t ng tng t nh õm c bn ca mt cỏi n organ; chỳng ta s ch t theo gii hn di A (x)dx B (x)dx + lim inf b(h) ex (x)dx Th (x) bi (x) ta c lim inf b(h) A h nh lớ c chng minh Trờn õy l phỏt biu nh lớ Tauberian trng hp cc im l s = Tng quỏt, ta cú nh lớ mnh hn cú ni dung nh sau: nh lớ 2.31 Cho N (t) l mt hm khụng gim, bng t 1, v tho tớch phõn tz dN (t) (z) = hi t Re z < k0 , ú k0 > v hm (z) + A z + k0 cú th m rng liờn tc n na mt phng úng Re z k0 Gi s A = Khi ú N (t) A k0 t , t k0 Chng minh chi tit bn c cú th xem [15] Sau õy l lc chng minh nh lớ u tiờn, thay vỡ xột hm (z) ta s xột hm f (z) = (z) Khi ú ta cú tz dN (t) f (z) = 41 ú tớch phõn hi t Re z > k0 v hm f (z) A liờn tc vi Re z k0 z k0 Tip theo ta xột k0 = Khi ú, t f1 (z) = f (k0 z), ta cú z dN1 (t) tk0 z dN (t) = f1 (z) = 1 ú = tk0 , N1 ( ) = N ( 1/k0 ) T f (k0 z) A A A A = f1 (z) v N (t) tk0 suy N1 ( ) Khi k0 z k0 k0 z k0 k0 ú ni dung nh lớ c phỏt biu li nh sau: Cho N (t) l hm khụng gim v tớch phõn tz dN (t) f (z) = hi t vi Re z > 1, ú f (z) A liờn tc vi Re z Khi ú z1 N (t) At, t A vi Re z v f (z) vi mi s z1 thc z ta suy A > Thay N (t) bi A1 N (t) thỡ f (z) thay bi A1 f (z), Chỳ ý rng t tớnh liờn tc ca f (z) ta thy rng iu ú chng t rng nh lớ ỳng vi A = i bin t = ex , t N (ex ) = (x), ta thu c bin i Laplace tng ng t bin i Mellin Ta thy rng (z) l hm khụng gim, bng x < v tớch phõn ezx d(x) f (z) = hi t vi Re z > v f (z) liờn tc vi Re z Khi ú z1 lim ex (x) = x õy chớnh l ni dung nh lớ 2.30 42 2.5.2 Khai trin vt nhit nh lớ 2.32 Toỏn t nhit etP vi t > l toỏn t gi vi phõn chớnh quy hoỏ v l toỏn t thuc lp vt Vt Tr(etP ) cú khai trin tim cn t 0+ nh sau Tr(etP ) cj t(jn)/à + cj t(jn)/à ln t + jN0 , jn N /N jN0 , jn cj tk kN B 2.33 ( [12, p.7]) Gi s f (z) gii tớch na mt phng trỏi, a bờn ngoi cỏc cc im z = am , m = 0, 1, 2, ; gi s phn chớnh khai trin Laurent ti z = am l N (m) Amn n0 (1)n n! (z + am )n+1 Gi s rng |f ( + i )| | | , a a, v |f ( + i )| kh tớch vi mi | | < Khi ú, nu cú th chn a cho Re(aM +1 ) < a < Re(aM ) vi M no ú thỡ f (x) cú khai trin tim cn M N (m) Amn xam (log x)n , x 0+ f (x) m=0 n=0 Chng minh nh lớ 2.32 S dng cụng thc bin i Mellin v mi liờn h gia lu tha phc v toỏn t nhit Mc 2.4 ta suy cu trỳc cc im ca nh ca Tr(etP ) bi bin i Mellin Tr(etP )(s) = (s)Tr(P s ) ú, cc im ca (s) l s = k, k N, cc im ca Tr(P s ) l s = jn nj Vỡ vy, Tr(etP )(s) ch cú cc im ti s = k, k N v ti jn s= , j N hay s = nj nj = k N, Tr(etP )(s) cú cc im bc ti s = p à dng B 2.33 suy khai trin tim cn ca Tr(etP ) cú s hng dng * Khi s = t(jn)/à ln t v s hng tk 43 nj nj / N, Tr(etP )(s) cú cc im n ti s = , s hng à khai trin tim cn cú s m l t(jn)/à * Khi s = Nh vy, vt Tr(etP ) cú khai trin tim cn t 0+ nh sau Tr(etP ) cj t(jn)/à + cj t(jn)/à ln t + jN0 , jn N /N jN0 , jn cj tk kN H qu 2.34 Cho P l toỏn t vi phõn bc N Khi ú, vt Tr(etP ) cú khai trin tim cn Tr(etP ) tn/à (a0 + a1 t1/à + a2 t2/à + ), t 0+ Nu P l toỏn t Laplace - Beltrami trờn X thỡ a0 c tớnh theo cụng thc a0 = (4)n/2 vol(X) Chng minh Khi P l mt toỏn t vi phõn, theo nh lớ 2.27(e), thng d ca Tr(P s ) trit tiờu ti cỏc im cc l s nguyờn Khi ú, nh nh lớ 2.32, nj tt c cỏc im s = N ch l cc im n ca hm phõn hỡnh Tr(etP )(s) nj , j N vỡ N Ngoi ra, cỏc cc im n ca hm Tr(etP )(s) l Do vy, khai trin tim cn ca Tr(etP ) t 0+ cú dng Tr(etP ) aj t(jn)/à , jN0 hay Tr(etP ) tn/à (a0 + a1 t1/à + a2 t2/à + ), t 0+ Hn na, h s c0 ng vi h s khai trin Laurent ti cc im n s = n/à v ta cú th tớnh c theo biu trng ca toỏn t P Khi P l toỏn t Laplace - Beltrami, nh phn cui chng minh nh lớ 2.36, ta thu c cụng thc ca h s a0 44 2.5.3 Lut Weyl cho toỏn t Laplace - Beltrami Cho X l mt a vi mt metric Riemann, ngha l mt khụng gian tip xỳc Tx X cú mt dng song tuyn tớnh ã, ã l mt dng ton phng xỏc nh dng Nu x1 , , xn l cỏc to a phng mt m U X , ú , , x1 xn l mt c s ca khụng gian tip xỳc vi mi im nm U t xi gij (x) = , x xn x n j j=1 v xj ta c ma trn xỏc nh dng gij (x) Nu v = Tx X thỡ n gij (x)v i v j v, v = i,j=1 Khụng gian i tip xỳc Tx X c nh ngha l khụng gian i ngu ca Tx X Mt c s ca Tx X(x U ) gm cú cỏc 1-dng dxj , c nh ngha bi xj dxi , = ji Mt metric trờn mt khụng gian vect E cho ta mt ng cu t E vo E Vi ng cu ny, chỳng ta cú th chuyn metric t E vo E C nh x U , ta tớnh c dxi , dxj ti x Vect tip xỳc tng ng ca dxj c nh ngha to a phng l aik , k = 1, , n Khi ú ta cú ji = dx , j x = {a }, j x i ik n gkj aik = k=1 T aik = g ik , vi g ik l phn t ca (g ij ) l ma trn nghch o ca (gij ) Bõy gi ta cú n i j dx , dx g ik = k=1 ngha l vi vect tip xỳc bt kỡ a = a, a = , dxj k x n i i=1 dx n g ij aj i,j=1 45 = g ij Tx X , nh ngha 2.35 Cho (X, g) l mt a Riemann compact khụng biờn vi a X v metric Riemann g Khi ú, g = divg gradg c gi l toỏn t Laplace - Beltrami khụng õm trờn X , v cú th gi tt l Laplacian khụng õm Trong ú, * Divergence ca mt trng vect Y trờn a (X, g), kớ hiu divg (Y ), c nh ngha nh mt hm vụ hng Trong to a phng (x1 , , xn ), divg (Y ) cú biu din divg (Y ) = n |g| i=1 ( xi |g|) ú, |g| := | det(gij )| Trong khụng gian Rn , (div) c nh ngha bi n div(Y ) = i=1 Yi xi * Gradient ca mt hm vụ hng f l mt trng vect gradg (f ), kớ hiu g f , tho g f (x), Yx g = df (x)(Yx ) ú, f C (X), Yx Tx X , df l vi phõn ngoi ca hm f Trong to a phng (x1 , , xn ), trng vect gradient cú biu din n g ij g f = i,j=1 f xi xj Trong khụng gian Euclid Rn , gradient c nh ngha bi f = f f , , , f C (X) xi xi Kớ hiu vol(X) := volg (X) l th tớch ca a X theo metric Riemann g tng ng Trong to a phng (x1 , , xn ), vol(X) c tớnh bi vol(X) := ú, dx = dx1 dxn 46 |g|dx nh lớ 2.36 (Lut Weyl cho giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace - Beltrami) N () vol(S n1 ) vol(X) n/2 vol(B n ) vol(X) n/2 = , n(2)n (2)n ú, B l hỡnh cu n v Rn Trc chng minh nh lớ, ta i chng minh b sau B 2.37 Cho P l toỏn t dng v t liờn hp trờn khụng gian Hilbert Gi s rng Tr(P s ) chnh hỡnh trờn na mt phng {Re s < a < 0} v tn ti mt hng s A tho Tr(P s ) A sa cú mt m rng liờn tc n {Re s = a} Khi ú, chỳng ta cú N () = A a (1 + o(1)), a Chng minh p dng chng minh nh lớ 2.31 cho trng hp f (z) c thay bi Tr(P s ), i bin t = suy dN (t) c thay bi dN () Trong trng hp ny, cc im c xột l s = a thay vỡ s = k0 T ú ta suy N () hay N () = A a (1 + o(1)), a A a , a Chng minh nh lớ 2.36 Xột trng hp toỏn t P c thay bi toỏn t g , chỳng ta cú th tớnh toỏn c thng d t cụng thc nh lớ 2.27(c) vi j = t biu trng chớnh ca P , hoc t phng trỡnh (2.23) vi j = 0, chỳ ý rng 1 = às + n s (n/à) D thy g l toỏn t dng v t liờn hp khụng gian Hilbert L2 (X) p dng H qu 2.28 chỳng ta cú Tr(sg ) l hm chnh hỡnh trờn Re s < n/à, 47 v nú cú m rng phõn hỡnh lờn ton b C vi cc im (n/à) p dng b trờn, t Tr(sg ) = ks (x, x)dx, chỳng ta cú X N () n c0 (x, ; n/à)dS()dx X S Xột trờn a Riemann compact khụng biờn X , g l toỏn t vi phõn elliptic cp cú biu trng l (g ) = n i=1 (ii ) = n i=1 (i ) = ||2 Chỳng ta cú th ly tia trờn trc thc õm, ú qà (x, , ) = ||2 vi R v c0 (x, ; s) = ||2s Giỏ tr trờn mt cu n v T X l hng s T cụng thc (2.23) ta s tớnh c thng d l (2)n vol(S n1 ) Thng d ca Tr(P s ) c tớnh bi tớch phõn trờn X , v nú cú giỏ tr A = (2)n vol(S n1 ) vol(X) Cui cựng, t a = /à = n/2, chỳng ta cú lut Weyl: vol(S n1 ) vol(X) n/2 vol(B n ) vol(X) n/2 N () = , n(2)n (2)n (2.29) ú, B l hỡnh cu n v Rn Trng hp P l toỏn t dng v t liờn hp, chỳng ta cú lut Weyl tng quỏt vi ni dung nh sau: nh lớ 2.38 N () cpà n/à vi h s tớnh c tng minh t biu trng chớnh pà ca P 2.5.4 Vớ d Vớ d 2.39 Ta xột trng hp n gin nht X = S1 l ng trũn n v mt phng Oxy Chuyn sang h to cc (r, ), cỏc hm trn trờn X ng nht vi cỏc hm trn trờn R, tun hon chu kỡ D thy S1 := c gi l toỏn t Laplace - Beltrami trờn ng trũn sinh bi metric tm 48 thng Ta ó bit toỏn t S1 l toỏn t dng, t liờn hp trờn khụng gian L2 (S1 ) L2 (0; 2), vi cỏc giỏ tr riờng (bi 2) k = k , k N tng ng vi cỏc hm riờng sin k; cos k hoc giỏ tr riờng (bi 1) = ng vi hm riờng l hm hng Ta ó bit f L2 (S1 ) v ch f = a0 /2 + kN ak cos k + bk sin k ek t (ak cos k + bk sin k), (2.30) T cụng thc gii tớch hm ta c toỏn t nhit: etS1 f := a0 /2 + kN ú, f cú dng biu din nh trờn Vỡ vy, ta thu c Tr(etS1 ) = ek t = + (S ) ek t (2.31) kN Khụng quỏ khú khn cú th kim tra c ek t = t1/2 ( + O(t)), t 0+ 1+2 (2.32) kN S cỏc giỏ tr riờng N () ca toỏn t S1 khụng vt quỏ chớnh l + 2[ ] N () + , ú [x] l phn nguyờn ca s thc x Do ú, ta c N () = 1/2 lim Kt qu ny chớnh l lut Weyl (2.29) trng hp n = 1, vol(X) = Vớ d 2.40 Bi toỏn biờn Dirichlet hỡnh ch nht Cho X = U = {(x, y) R2 |0 < x < l, < y < } tỡm nghim ca bi toỏn Laplacian vi iu kin biờn Dirichlet, ta tỡm tt c cỏc s thc cho 49 tn ti hm u tho u = u, u|(U ) = (*) Vỡ vy, ta phi xỏc nh t phng trỡnh vi phõn uxx uyy = u, (**) cho phng trỡnh trờn cú nghim khỏc tm thng tho cỏc iu kin biờn B 2.41 Giỏ tr riờng ca bi toỏn (**) vi iu kin biờn Dirichlet trờn hỡnh ch nht U c cho bi = m2 n2 + , ú m, n N l Chng minh tỡm cỏc giỏ tr riờng chỳng ta s s dng phng phỏp tỏch bin Gi s rng u(x, y) = a(x)b(y) Th vo phng trỡnh (**) ta c a (x)b(y) a(x)b (y) = a(x)b(y) Suy a(x) + a (x) b (y) = = R, a(x)b(y) = b(y) a(x) Chỳng ta cú th tỏch thnh hai phng trỡnh vi phõn Xột phng trỡnh b b = 0, b(0) = b() = Xột ba trng hp: < 0, = hoc > Nu > 0, = thỡ b Nghim b ch < Nu < ta cú b(y) = c1 cos( y) + c2 sin( y), c1 , c2 C Vi iu kin biờn Dirichlet ta cú: b(0) = c1 + c2 = 0, suy c1 = 0, vy b(y) = c2 sin( y) = Hn na, b() = c2 sin( ) = vi c2 C Suy n2 Z hay = , n Z Nu n = thỡ b Do vy ta gi s n N Chỳ ý rng nu b thỡ u = ab 0, õy l nghim tm thng ca bi toỏn nờn khụng xột Bõy gi ta xột phng trỡnh a + ( + )a = 0, a(0) = a(l) = Tng t nh i vi b(y), ta cú nghim 50 a(x) + > Khi ú ta cú + l = m, m Z Nu a thỡ u = ab 0, trng hp ny ta khụng xột Nh vy, giỏ tr riờng ca bi toỏn Dirichlet hỡnh ch nht l = m2 n2 + , vi (m, n) N ì N l2 nh lớ 2.42 N () l hm m cỏc giỏ tr riờng khụng vt quỏ ca bi toỏn biờn Dirichlet (**) trờn hỡnh ch nht U Khi ú l N () = lim N () l hm tng v b chn Ta cú, N () l hm m cỏc giỏ tr riờng khụng vt quỏ , ngha l Chng minh D thy N () = (m, n) N ì N : = (m, n) N ì N : m2 n2 + < 2 l n2 m2 + 0, y > (2.34) t E = x2 y2 + l2 To mt li cỏc hỡnh vuụng n v gúc phn t th nht ca elip (2.33), ú s cỏc hỡnh vuụng n v gúc phn t th nht ny chớnh l s cỏc giỏ tr riờng khụng vt quỏ , hay chớnh l N () 51 x2 y + l2 Area(E ), bng T = , suy y = l 2 x Khi ú, din tớch ca E , kớ hiu l Area(E ) = 2 x dx = l l 2 x dx l2 l du i bin u = x, ú du = dx, suy dx = l l l x = u = 0, x = u = Khi ú l Area(E ) = u2 du = T ú suy lim l l = 4 N () l = Kt lun chng Trong chng 2, chỳng tụi ó lm rừ chng minh ca mt s nh lớ nh nh lớ 2.3 v nh lớ 2.5, tỡm hiu v phỏt biu nh lớ Tauberian Ngoi ra, chỳng tụi ó b sung chng minh chi tit nh lớ 2.32 v khai trin vt nhit v phỏt biu H qu 2.34 cho trng hp toỏn t vi phõn v toỏn t Laplace - Beltrami Cui cựng, chỳng tụi trỡnh by li chng minh lut Weyl cho cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace - Beltrami, v a hai vớ d minh ho trng hp a l ng trũn n v v a l hỡnh ch nht trỡnh by ni dung chng 2, chỳng tụi ó tham kho ti liu [14], ngoi cũn cú cỏc ti liu [1, 2, 5, 6, 12] 52 Kt lun chung Lun trỡnh by mt s kt qu chớnh nh sau: Trỡnh by cỏc tớnh cht ca lu tha phc v toỏn t nhit; Phỏt biu mi liờn h gia lu tha phc v toỏn t nhit Trỡnh by chng minh chi tit khai trin vt nhit Phỏt biu lut Weyl cho cỏc giỏ tr riờng ca toỏn t Laplace - Beltrami a vớ d c th minh ho lut Weyl Hng phỏt trin ca lun vn: Cỏc kt qu lun cú th m rng cho trng hp a X cú biờn hoc a cú im kỡ d dng hỡnh hc (im nún hoc im cnh) trờn biờn 53 Ti liu tham kho [1] J Aramaki (1998), On an extension of the Ikehara Tauberian theorem, Pacific J Math 133(1), 1330 [2] W Donoghue (1969), Distributions and Fourier Transforms, Academic Press, NewYork and London [3] K Datchev, H Hezari (2012), Inverse problems in spectral geometry, Inverse Problems and Applications: Inside Out II Mathematical Sciences Research Institute Publications, No 60, pp.455486 [4] B Gramsch (1984), Relative Inversion in der Stăorungstheorie von Operatoren und -Algebren, Math Ann 269, 2771 [5] D Grieser (2014), Note on heat kernel asymptotics, Notes for the summer school, Spectral geometry, Găottingen, September 912 [6] G Grubb (1996), Functional calculus of pseudodifferential boundary problems, Second Eddition, Birkhăauser, Boston [7] L Hăomander (1994), The analysis of linear partial differential operators III Pseudo-differential operators, Corrected reprint of the 1985 original, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 274, Springer-Verlag, Berlin 54 [8] I Hwang (1987), The L2 -boundedness of pseudodifferential operators, Trans Amer Math Soc., 302:5576 [9] M Kac (1966), Can one hear the shape of a drum? , The American Mathematical Monthly 73, No.4, Part 2: Papers in Analysis (Apr.), pp 123 [10] H Kohn, L Nirenberg (1965),An algebra of pseudo-differential operators, Comm Pure Appl Math 18, 269305 [11] H Kumano-go (1982), Pseudo-differential operators, MIT-Press, Cambridge, Mass [12] F Oberhettinger (1974), Tables of Mellin transforms, Springer [13] E Schrohe (1990), Boundedness and spectral invariance for standard pseudodifferential operators on anisotropically weighted Lp -Sobolev spaces, Integral Equations Operator Theory 13, 271284 [14] E Schrohe (2014), Heat trace expansions and Weyls law on the asymptotics of eigenvalues, Notes for the summer school, Spectral geometry, Găottingen, September 912 [15] M.A Shubin (2001), Pseudodifferential operators and spectral theory, Translated from the 1978 Russian original by Stig I Andersson, Second edition, Springer-Verlag, Berlin [16] M Taylor (1981), Pseudodifferential operators, Princeton Mathematical Series, 34 Princeton University Press, Princeton, N.J 55 [...]... bày các định lí chứng tỏ toán tử nhiệt là toán tử lớp vết, vết của luỹ thừa phức có khai triển tiệm cận Để chứng minh khai triển tiệm cận của toán tử nhiệt, chúng tôi phát biểu mối liên hệ giữa luỹ thừa phức và toán tử nhiệt Cuối cùng chúng tôi phát biểu luật Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami và đưa ra hai ví dụ minh hoạ cho luật Weyl 2.1 Giới thiệu chung về luỹ thừa phức và toán. .. s và e−tP Chúng ta thấy rằng, P s là toán tử giả vi phân bậc µ Re s, ở đó µ là bậc của P và e−tP là toán tử trơn Theo Định lí 1.16, ta có thể lấy được vết của toán tử e−tP và toán tử As với Re s < −n/µ Từ khai triển tiệm cận của biểu trưng parametrix, chúng ta có thể suy ra cấu trúc phân hình của vết của P s và khai triển tiệm cận của vết của e−tP (dưới những giả thiết, điều kiện phù hợp trên P và. .. kiến thức cơ bản về lí thuyết toán tử giả vi phân, cụ thể là toán tử giả vi phân trên đa tạp Để trình bày nội dung chương 1, chúng tôi đã tham khảo tài liệu [14], ngoài ra còn có các tài liệu [3, 7, 10, 11, 15, 16] 17 Chương 2 Khai triển vết nhiệt và luật Weyl cho các giá trị riêng của toán tử Laplace - Beltrami Trong chương này, chúng tôi giới thiệu toán tử nhiệt suy rộng và luỹ thừa phức dựa trên parametrix... và chứng tỏ rằng hàm đếm giá trị riêng thoả mãn luật Weyl tương ứng Sử dụng phương pháp giả vi phân, đầu tiên ta sẽ trình bày phương pháp xây dựng giải thức phụ thuộc tham số của toán tử Bước tiếp theo sẽ trình bày về 6 luỹ thừa phức P s và phân tích dáng điệu của Tr(P s ) Một cách tương tự, ta cũng định nghĩa toán tử nhiệt tổng quát e−tP và sau đó trình bày vết của toán tử nhiệt Với những giả thiết... nguyên Đối với toán tử nhiệt, ta có định lí sau Định lí Toán tử nhiệt e−tP với t > 0 là toán tử giả vi phân chính quy hoá và là toán tử thuộc lớp vết Vết Tr(e−tP ) có khai triển tiệm cận khi t → 0+ như sau Tr(e−tP ) ∼ cj t(j−n)/µ + cj t(j−n)/µ ln t + j∈N0 , j−n ∈ /N µ j∈N0 , j−n ∈N µ cj tk k∈N Nếu P được giả thiết thêm là toán tử dương và tự liên hợp, từ định lí Tauberian ta sẽ suy ra luật Weyl Định lí... 1.17 Đầu tiên nó được định nghĩa cho |ξ| đủ lớn và sẽ được mở rộng bởi tính thuần nhất cho ξ = 0 (b) Toán tử giả vi phân tác động trên các thớ của phân thớ vectơ có thể được định nghĩa một cách tương tự Về địa phương, các toán tử đó được cho bởi ma trận của các biểu trưng; và được gọi là cổ điển nếu tất cả các phần tử là biểu trưng cổ điển Biểu trưng chính của một toán tử giả vi phân cổ điển P : C ∞... tích phân kì dị Việc nghiên cứu 7 toán tử giả vi phân được bắt đầu từ giữa những năm 1960 và có lẽ những bài báo đầu tiên mà các phép toán trên toán tử giả vi phân được hoàn thiện và phát triển là của Kohn và Nirenberg [10] Có thể nghiên cứu và tham khảo về toán tử giả vi phân trong các tài liệu và các sách chuyên khảo của H¨ormander [7], Kumano-go [11], Shubin [15] và Taylor [16] 1.2.1 Biểu trưng Một... biểu trưng trong S µ P được gọi là toán tử giả vi phân cổ điển nếu tất cả các biểu trưng địa phương của P đều là cổ điển Kí hiệu Ψµ (X) là không gian các toán tử giả vi phân bậc µ trên X và Ψµcl (X) là không gian con các toán tử cổ điển Cho φ, ψ ≡ 1 trong một lân cận của điểm x ∈ X Khi đó, P được gọi là elliptic gần x nếu biểu trưng bất kì của toán tử kéo lùi của φP ψ theo κ thoả mãn điều kiện elliptic... tường minh từ biểu trưng chính pµ của P 1.2 Toán tử giả vi phân Toán tử giả vi phân là một công cụ quan trọng của giải tích hiện đại Hiểu những kiến thức cơ bản về lí thuyết toán tử giả vi phân là điều cần thiết Toán tử giả vi phân được sử dụng nhiều trong lí thuyết phương trình đạo hàm riêng và lí thuyết trường; toán tử giả vi phân là mở rộng của khái niệm toán tử vi phân, xuất phát từ việc nghiên... (pseudolocal) Định lí 1.22 Cho P là một toán tử giả vi phân cổ điển bậc µ trên một đa tạp đóng (a) Với mọi s ∈ R, toán tử P mở rộng lên một toán tử bị chặn P : H s (X) → H s−µ (X) (1.3) (b) Nếu P trong (1.3) là một toán tử Fredholm với s nào đó thì P là toán tử Fredholm với mọi s, và khi đó tồn tại toán tử Fredholm nghịch đảo là một toán tử giả vi phân bậc −µ Cụ thể, nếu biểu trưng chính của P khả nghịch với ... trng ca toỏn t P Khi P l toỏn t Laplace - Beltrami, nh phn cui chng minh nh lớ 2.36, ta thu c cụng thc ca h s a0 44 2.5.3 Lut Weyl cho toỏn t Laplace - Beltrami Cho X l mt a vi mt metric Riemann,... 2.5 Tim cn Weyl 37 2.5.1 nh lớ Tauberian 38 2.5.2 Khai trin vt nhit 43 2.5.3 Lut Weyl cho toỏn t Laplace - Beltrami. ..B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI NGUYN TH NGN KHAI TRIN VT NHIT V LUT WEYL CHO CC GI TR RIấNG CA TON T LAPLACE - BELTRAMI Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch (Phng trỡnh vi phõn v tớch