Phổ của toán tử laplace

Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet: tập hợp các phiếm hàm.. Bội và tính chất tiệm cận của các giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet.. Một trong những ứ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẢI

PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Nguyễn Thị Hải

PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Trần Văn Bằng

Hà Nội - 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạychuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ,tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thànhluận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót và hạn chế Vì vậy, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, 09 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Hải

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi,dưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng Luận văn là sự tổng hợpcác kết quả trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề Phổ của toán

tử Laplace đối với điều kiện biên Dirichlet

Hà Nội, 09 tháng 06 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Hải

Mục lục

Mục lục i

Danh mục kí hiệu iii

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian Sobolev Wm,ppΩq 4

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 4

1.1.2 Các định lý nhúng 12

1.2 Không gian Sobolev W0m,ppΩq 14

1.2.1 Một số tính chất cơ bản 14

1.2.2 Bất đẳng thức Poincaré trong không gian W01,ppΩq 15

1.2.3 Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết 16

1.3 Bài toán biên đối với phương trình Laplace 19

1.3.1 Các loại bài toán biên cơ bản của phương trình Laplace 19

1.3.2 Nghiệm của bài toán Dirichlet 20

Chương 2 Phổ của toán tử Laplace 24

2.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet 24

2.1.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet: tập hợp các phiếm hàm 24

2.1.2 Sự tồn tại của một cơ sở Hilbert của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirchlet 31 2.2 Công thức min-max và max- min Courant–Fisher 37

2.3 Bội và tính chất tiệm cận của các giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet 50

2.3.1 Các tính chất của giá trị riêng thứ nhất 50

2.3.2 Dáng điệu tiệm cận của các giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên

Dirichlet 52

2.4 Sự phân tích phổ của bài toán giá trị biên elliptic 59

Kết luận 64

Tài liệu tham khảo 65

CpΩq : không gian các hàm liên tục trên Ω.

, p ¥ 1

DpΩq : không gian các C8- hàm với giá compact trong Ω.

D1pΩq : không gian các hàm suy rộng trên Ω

S: không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trong RN

S1: không gian của các hàm suy rộng tăng chậm trên RN

Wm,ppΩq : không gian Sobolev với 1 ¤ p ¤ 8

H01pΩq : bao đóng của D pΩq trong H1pΩq

W0m,ppΩq : bao đóng của D pΩq trong Wm,ppΩq.

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan

tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trong các thế kỷ XVII – XIX và

có ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học Nhưng

phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách

là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác

nhau Cho tới ngày nay, nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được

tập trung vào ba vấn đề chính:

- Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định

lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, );

- Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa

mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, );

- Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biến

phân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng, )

Một trong những ứng dụng quan trọng của bài toán biến phân là

nghiên cứu các bài toán giá trị riêng cũng như phổ của các toán tử, đặc

biệt là phổ của toán tử Laplace Ngay từ đầu thế kỉ XIX, đã có rất nhiều

các công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này trong đó phải kể đến

Fourier, Hilbert Từ đó đến nay, lý thuyết phổ không ngừng được mở

rộng không những trong lý thuyết mà còn trong toán ứng dụng cũng

như trong vật lí

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phổ của toán tử Laplace, dưới

sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề

tài “Phổ của toán tử Laplace”

Luận văn được chia thành hai chương:

Chương 1 được giành để trình bày một số khái niệm và kết quả cơ

bản về nghiệm yếu của phương trình Laplace và không gian Sobolev

Chương 2 trình bày tổng quan về phổ của toán tử Laplace

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về phổ của toán tử Laplace

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về không gian Sobolev, nghiệm suy rộng của bài toán biên

Dirichlet đối với toán tử Laplace

Tìm hiểu về phổ của toán tử Laplace

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: phổ của toán tử Laplace

Phạm vi nghiên cứu: phép phân tích phổ của toán tử Laplace với điều

kiện biên Dirichlet

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo có liên quan;

Sử dụng các phương pháp của giải tích;

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài

6 Đóng góp của đề tài

Trình bày một cách hệ thống các kết quả có liên quan về phổ của

toán tử Laplace, làm rõ các chứng minh, lấy ví dụ minh họa cho một số

khái niệm, kết quả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này được dùng để trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản

cần thiết cho việc trình bày các kết quả của Chương 2 Các kết quả về

không gian Sobolev được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2],[5]-[8]

Các khái niệm về bài toán biên và nghiệm của bài toán biên được tham

khảo từ các tài liệu [3]-[6],[8]

1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất quan trọng của

không gian Sobolev – cần thiết để nghiên cứu phương trình đạo hàm

riêng ở chương sau Từ nay trở về sau ta quy ước Ω là một tập mở trong

2dx

Khi đó theo định nghĩa, BxBv

i  gi theo nghĩa suy rộng

Định nghĩa trên có thể được mở rộng khi thay thế không gian L2pΩqbằng không gian tổng quát LppΩq, 1 ¤ p ¤ 8

Định nghĩa 1.1.2 Với bất kì 1 ¤ p ¤ 8, không gian Sobolev W1,ppΩqđược xác định bởi

Khi p 2, không gian W1,2pΩq thường được kí hiệu bởi H1pΩq

Định nghĩa 1.1.3 Cho m ¡ 0 là một số nguyên và 1 ¤ p ¤ 8.Không gian Sobolev Wm,ppΩq được định nghĩa bởi

Wm,ppΩq  tu P LppΩq | Dαu P LppΩq , @ |α| ¤ mu , (1.1.1)với Dαu là đạo hàm suy rộng cấp α của u:

Sau này ta sẽ không phân biệt giữa hai chuẩn này mặc dù chúng chỉ

tương đương và không bằng nhau Ta sẽ sử dụng ký hiệu giống nhau cho

cả hai và để ý trong bất kỳ tính toán nào ta sẽ chỉ dùng một trong hai

công thức

Ký hiệu

i, Trường hợp p  2 :

và với u P HmpΩq, ta ký hiệu chuẩn của nó bởi }u}H m pΩq, tức là

|.|W 0,p pΩq (vì trong trường hợp này nửa chuẩn và chuẩn giống nhau).

Không gian HmpΩq có tích vô hướng được định nghĩa bởi

Dαu P L2 RN

, @ |α| ¤ m và vì vậy u P Hm RN

Sử dụng bổ đề đại

số sau ta có thể biểu thị điều này dưới dạng tốt hơn

Bổ đề 1.1.1 Tồn tại hằng số dương M1 và M2 chỉ phụ thuộc vào m saocho

nếu ta trang bị không

gian cuối với chuẩn

với u  puiq P pLppΩqqn 1

, tùy thuộc vào việc ta sử dụng công thức

(1.1.2) hoặc (1.1.3) cho chuẩn trên W1,ppΩq

Định lý 1.1.1 Với 1 ¤ p ¤ 8, W1,ppΩq là không gian Banach

W1,ppΩq là phản xạ nếu 1   p   8, và tách được nếu 1 ¤ p   8.Đặc biệt, H1pΩq là không gian Hilbert tách được

Nhận xét 1.1.2 i, Các kết quả của Định lý 1.1.1 cũng đúng đối với

Wm,ppΩq với mọi số nguyên m ¥ 2 Sau này, trừ khi thực sự cần thiết,

ta sẽ chỉ thiết lập các định lý cho không gian W1,ppΩq Mở rộng đếnkhông gian cấp cao hơn sẽ là hiển nhiên

ii, Nếu um Ñ u trong LppΩq và Bum

Bx i Ñ vi trong LppΩq với 1 ¤ i ¤ N,thì u P W1,ppΩq và Bu

Bx i  vi.Định lý 1.1.2 Cho I € R là một khoảng mở và u P W1,ppIq Khi đó,

u liên tục tuyệt đối

Ta có thể kết luận một tính chất quan trọng của W1,ppIq từ Định lýtrước, khi I là một khoảng mở bị chặn Chẳng hạn, I  p0, 1q Khi đónếu u P W1,ppIq, ta có thể viết

upxq  u p0q

»x 0

Theo Bất đẳng thức H¨older, nếu q là số mũ liên hợp của p, tức là p
1

q
1  1 thì ta có

|u p0q| ¤ |u pxq| |u1|W0,p pIq|x|1 {q .

Như vậy nhờ lấy tích phân hai vế ta có

|u p0q| ¤ C
|u|W 0,p pIq |u1|W 0,p pIq

 C}u}W 1,p pIq (1.1.15)

trong đó C ¡ 0 là hằng số không phụ thuộc vào u Lúc này sử dụng(1.1.14) và (1.1.15) ta cũng kết luận rằng: với bất kỳ x P I,

|u pxq| ¤ C}u}W 1,p pIq, C ¡ 0, độc lập với u (1.1.16)

Gọi B là hình cầu đơn vị trong W1,ppIq Khi đó

B  !u P W1,ppIq }u}

W 1,p pIq ¤ 1) (1.1.17)Nếu i : W1,ppIq Ñ C I là phép nhúng (được thiết lập trong Định lý1.1.2 và liên tục theo (1.1.16)) thì B  i pBq là tập bị chặn đều trong

C I

Hơn nữa, nếu x, y P I thì từ (1.1.14), ta có

|u pxq
u pyq| ¤ |u1|W 0,p pIq|x
y|1 {q ¤ }u}W 1,p pIq|x
y|1 {q. (1.1.18)

Từ đây suy ra rằng B là liên tục đồng bậc trong C I

vpxq  ˜vpxq với hầu hết x P pa, bq,

˜

vpxq
˜vpyq  ³x

y v1ptqdt @x, y P ra, bs

Trong trường hợp này ta thừa nhận v là một biểu diễn liên tục của ˜v Thật

vậy ˜v là duy nhất, và khi p ¡ 1 thì ˜v P C0,αpra, bsq với α  1

p 1,1p p11  1,

gptqdt x, y P pa, bq.

Khi đó v P W1,ppa, bq và v1  g theo nghĩa hàm suy rộng

Định lý 1.1.4 Cho Ω là một tập mở tùy ý trong RN và cho 1 ¤ p   8.Khi đó với bất kì v P W1,ppΩq thì v P W1,ppΩq và

1.1.2 Các định lý nhúng

Trong Mục 1.1.1 ta đã thấy rằng không gian W1,ppIq có thể đượcnhúng trong không gian các hàm liên tục tuyệt đối, khi I là khoảng mở

trong R Trong mục này ta sẽ nghiên cứu các tính chất của phép nhúng

như vậy của không gian W1,ppΩq, Ω là tập mở trong RN

Định lý 1.1.6 (Bất đẳng thức Sobolev) Giả sử Ω là một tập con

mở, bị chặn của RN với biên BΩ Cho 1 ¤ p ¤ 8 và xét không gianSobolev W1,ppΩq Khi đó, ta có các phép nhúng liên tục sau:

pΩq và tồntại hằng số C chỉ phụ thuộc vào p, N, Ω sao cho với mọi v P W1,ppΩq,

}v}L p pΩq ¤ C}v}W 1,p pΩq.

ii) Nếu p  N, khi đó W1,ppΩq ãÑ LqpΩq với mọi 1 ¤ p   8

iii) Nếu p ¡ N, khi đó W1,ppΩq ãÑ Cp¯Ωq Một cách chính xác hơn, ta

có W1,ppΩq ãÑ C0,αpΩq với α  1
N

p, tức là mỗi phần tử v P W1,ppΩq

là liên tục H¨older với số mũ α và tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào

p, N, Ω sao cho với mọi v P W1,ppΩq,

Ví dụ 1.1.1 Cho I  p0, 1q € R và Ij  pj, j 1q Lấy f P C1 với giátrong I Ta định nghĩa fj là hàm f nhưng xác định trên Ij nhờ phéptịnh tiến Ta có thể chuẩn hóa f một cách thích hợp sao cho

piiiq Nếu p ¡ N thì W1,ppΩq ãÑ C Ω

Định lý 1.1.8 Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong RN của lớp C1.Với 1 ¤ p ¤ 8, phép nhúng chính tắc W1,ppΩq Ñ LppΩq là compact

Định lý 1.1.9 Cho Ω € RN là một tập mở, liên thông, bị chặn và thuộc

C1 Cho V € W1,ppΩq là không gian con tuyến tính, đóng của W1,ppΩqsao cho mọi hàm hằng chỉ thuộc vào V đều đồng nhất bằng 0 Khi đó,

tồn tại một hằng số C sao cho

Hệ quả 1.1.2 (Bất đẳng thức Poincaré-Wirtinger) Cho Ω € RN

là một tập mở, liên thông và bị chặn của lớp C1 Khi đó, tồn tại mộthằng số Cp ¡ 0 sao cho

@v P W1,ppΩq, 

v
|Ω|1 »Ωvpxqdx



L p pΩq ¤ Cp}Dv}Lp pΩq.

Bên cạnh đó, ta phải nhắc đến không gian con quan trọng của Wm,ppΩq

hàm với giá compact Nói chung đây là một không gian con thực sự của

Wm,ppΩq, ngoại trừ khi Ω  RN như được chỉ ra dưới đây

Định lý 1.2.1 Cho 1 ¤ p   8 Khi đó với m ¥ 0 nguyên bất kỳ,

Wm,ppRNq Ánh xạ tuyến tính p xác định bởi ppuq  ˜u là một phép đẳng

cự từ W0m,ppΩq vào Wm,ppRNq

Định lý 1.2.2 (Rellich-Kondrakov ) Cho Ω là một tập con mở, bị

chặn trong RN Khi đó phép nhúng chính tắc: W01,ppΩq ãÑ LppΩq làcompact Nói cách khác, mọi tập con bị chặn của W01,ppΩq là compacttương đối trong LppΩq

1.2.2 Bất đẳng thức Poincaré trong không gian W01,ppΩq

Bất đẳng thức Poincaré là một thành phần cơ bản của phương pháp

biến phân cho bài toán Dirichlet Nó cung cấp các hệ số của tích phân

-,tương đương với

-.

Ví dụ 1.2.1 (BĐT Poincaré không đúng trong miền không bị chặn

theo mọi hướng) Cho Ω  RN và xét ζ P D RN

sao cho ζ  1 trên

Trong mục này ta sẽ định nghĩa không gian Sobolev đối với các tham

số thực s thay cho số tự nhiên n

Định nghĩa 1.2.2 Cho 1 ¤ p   8, p1 là số mũ liên hợp của p Không

gian dối ngẫu của không gian W0m,ppΩq được ký hiệu W
m,p 1

ngoại trừ khi m  0, tức là trong trường hợp của L2pΩq, ta không thểđồng nhất H0mpΩq với đối ngẫu của nó Ta có phép nhúng liên tục vàtrù mật sau:

H01pΩq Ñ L2pΩq Ñ H
1pΩq Không gian Sobolev Ws,ppΩq với s không nguyên cũng có thể đượcđịnh nghĩa theo một số cách Sau đây là một cách: cho 1 ¤ p   8 và

Đặt s  m σ, m ¥ 0, m - nguyên, 0   σ   1,

Ws,ppΩq  tu P Wm,ppΩq | Dαu P Wσ,ppΩq , @ |α|  mu (1.2.5)

Ký hiệu W0s,ppΩq là bao đóng của D pΩq trong Ws,ppΩq và W
s,p 1

pΩq làđối ngẫu của W0s,ppΩq

Nếu p  2 ta có không gian HspΩq Nếu Ω  RN, ta đã gặp địnhnghĩa của không gian Hs RN

Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa không gian vết HspΓq, trong

đó Γ  BΩ - biên của tập con mở bị chặn của RN, n ¥ 2 Giả thiết Ω

thuộc lớp C8 và theo nghĩa địa phương nó nằm về 1 phía của biên của

nó, tức là, ta bỏ qua các miền mà nằm về cả 2 phía của biên như được

0 pΩq

Nhận xét 1.2.2 Định lý trên nói rằng các hàm liên tục trên Ω, nếu

thuộc W1,ppΩq và triệt tiêu trên biên thì thuộc W1,p

0 pΩq Kết quả đó làphần quan trọng của Định lý vết rằng: W01,ppΩq chính là tập các hàmtrong W1,ppΩq có “giá trị biên”, tức là vết bằng 0

1.3 Bài toán biên đối với phương trình Laplace

1.3.1 Các loại bài toán biên cơ bản của phương trình Laplace

Với f : Ω Ñ R là hàm đã cho, chúng ta xét ba bài toán biên cơ bảnsau đây đối với phương trình Laplace (trong chương này, ta chỉ xét các

bài toán thuần nhất)

1 Bài toán biên thứ nhất (bài toán biên Dirichlet): là bài toán đi tìm

nghiệm u : ¯Ω Ñ R thỏa mãn

$''

∆u  f trên Ω,Bu

tìm nghiệm u của bài toán biên sau:

$''''''

∆u  f trên Ω,

u  0 trên Γ0,Bu

Bν  0 trên Γ1

(1.3.3)

Chú ý rằng trên Γ0 nó là điều kiện Dirichlet, trong khi Γ1  ΓzΓ0 là điềukiện biên Neumann

1.3.2 Nghiệm của bài toán Dirichlet

Xét bài toán (1.3.1) việc chứng minh sự tồn tại nghiệm cổ điển của

bài toán này gặp rất nhiều khó khăn Nếu u là một nghiệm cổ điển thì

nó liên tục trên ¯Ω và thuộc lớp C2 trên Ω Vì vậy, ta sẽ làm giảm tínhchính quy của u và biểu diễn ∆u theo nghĩa yếu hay nói cách khác là

theo nghĩa suy rộng Cho hàm kiểm tra v P DpΩq, khi đó (1.3.1) tươngđương với

x
∆u, vypD1 pΩq,DpΩqq 

»

Ω

f vdx @v P DpΩq

Định nghĩa của đạo hàm suy rộng được dựa trên công thức tích phân

từng phần và cho phép chúng ta chuyển phép lấy đạo hàm của u vào

hàm kiểm tra v P DpΩq Do đó, ta có hai đẳng thức tương ứng

cho ta công thức nghiệm yếu của bài toán ban đầu Nếu ta biết u có đạo

hàm suy rộng cấp một khả tích khi đó từ (1.3.4) ta có

$''''

toán Dirichlet

Định nghĩa 1.3.1 Nghiệm yếu của bài toán Dirichlet (1.3.1) là một

nghiệm của hệ sau:

$''''

Công thức (1.3.7) có thể được viết dưới dạng tổng quát như sau: tìm

u P V sao cho apu, vq  Lpvq @v P V , với a : V  V ÝÑ R là dạng songtuyến tính đối xứng và dương (apv, vq ¥ 0 @v P V ) và L là dạng tuyếntính trên V

Định lý 1.3.1 Phương pháp biến phân đối với bài toán Dirichlet được

mô tả trong các phát biểu sau:

a) Với mọi f P L2pΩq, tồn tại duy nhất u P H1

0pΩq thỏa mãn

$''''

∆u  f trong D1pΩq (đẳng thức suy rộng),

γ0puq  0 trên BΩ pγ0 là toán tử vết)

-.

Đây là nguyên lí biến phân Dirichlet Chúng ta cũng gọi u là nghiệm

biến phân của bài toán Dirichlet

Tiếp theo chúng ta sẽ thể hiện mối quan hệ giữa khái niệm nghiệm

cổ điển của bài toán Dirichlet với khái niệm nghiệm yếu đã được giới

thiệu trong Định lý trên Trước tiên chúng ta đưa ra khái niệm nghiệm

cổ điển

Định nghĩa 1.3.2 Một hàm u : ¯Ω Ñ R được gọi là nghiệm cổ điển củabài toán Dirichlet nếu u P C2p¯Ωq thỏa mãn

$''

∆upxq  fpxq @x P Ω,

upxq  0 @x P BΩ

theo nghĩa thông thường

Mệnh đề 1.3.1 a) Nếu u P C2p¯Ωq là nghiệm cổ điển của bài toán (1.3.1)thì nó bằng với nghiệm yếu của (1.3.8) Như là một hệ quả, nghiệm cổ

điển nếu tồn tại là duy nhất

b) Nếu nghiệm yếu của (1.3.8) là chính quy, nghĩa là u P C2p¯Ωq và Ωthuộc lớp C1, thì u là nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet (1.3.1)

CHƯƠNG 2

PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE

Nội dung của chương này chủ yếu tham khảo từ [1], [4] và [5]

2.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet

2.1.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet: tập hợp các

phiếm hàm

Mục tiêu của chúng ta là nghiên cứu bài toán giá trị riêng của phương

trình Laplace trên Ω với điều kiện biên Dirichlet trên BΩ Ta tìm λ P R

''

∆u  λu trên Ω,

(2.1.1)

Trong cả chương này, Ω được giả thiết là một tập mở, bị chặn trong RN.Chúng ta hãy đưa ra một định nghĩa chính xác về khái niệm này và

viết công thức biến phân của nó

Định nghĩa 2.1.1 Ta nói rằng λ P R là một giá trị riêng của toán tửLaplace với điều kiện biên Dirichlet nếu tồn tại u P H1

0pΩq, u  0 saocho

Nếu u như trên tồn tại thì nó được gọi là hàm riêng tương ứng với giá

trị riêng λ

Nhận xét 2.1.1 Chúng ta hãy đưa ra vài nhận xét về định nghĩa trên:paq Nếu (2.1.2) được thỏa mãn, khi đó

$''

∆u  λu theo nghĩa hàm suy rộng,

u  0 theo nghĩa vết,nghĩa là, (2.1.1) thỏa mãn theo nghĩa yếu Bước tiếp theo bao gồm việc

chứng minh rằng u là nghiệm cổ điển của (2.1.1)

pbq Yêu cầu “λ P R” không phải là một hạn chế, và thay vào đó là

nó có nghĩa là tất cả các giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện

biên Dirichlet là các số thực dương

Lý thuyết cổ điển về phép phân tích phổ của toán tử trong không

gian vô hạn chiều nghiên cứu các toán tử

T : H Ñ H,với H là một không gian Hilbert và T P LpHq là toán tử tuyến tính, liêntục, và compact từ H vào H

Ta không thể viết
∆ theo cách trên, vì nó làm mất tính chuẩn mựckhi thay u thành
∆u Thực tế thì
∆ là một toán tử tuyến tính liên

Định nghĩa 2.1.2 Toán tử nghịch đảo của toán tử Laplace với điều

kiện biên Dirichlet là toán tử T : L2pΩq Ñ L2pΩq được xác định với mọi

Để xét T như là một toán tử tuyến tính liên tục từ không gian H vào

chính nó có hai khả năng như sau: hoặc

T : L2pΩq Ñ L2pΩq,

nghĩa là, T là nghịch đảo phải của
∆.

Bổ đề 2.1.1 Số thực λ là một giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện

biên Dirichlet khi và chỉ khi 1{λ là một giá trị riêng của T  p
∆q
1.Chứng minh Giả sử rằng λ là một giá trị riêng của toán tử Laplace với

điều kiện biên Dirichlet, nghĩa là tồn tại u P H1

Theo tính chất tuyến tính của T (điều này được chứng minh trong mệnh

đề tiếp sau) và sử dụng điều kiện λ  0, ta kết luận

Tpuq  1

λu,

tức là, 1{λ là giá trị riêng của T

Các tính chất sau của toán tử T sẽ đóng vai trò trung tâm trong phép

phân tích phổ của chính nó

Mệnh đề 2.1.1 Toán tử T thỏa mãn các tính chất sau:

piq T : L2pΩq Ñ L2pΩq là một toán tử tuyến tính liên tục

piiq T là toán tử tự liên hợp trong L2pΩq

piiiq T là toán tử compac từ L2pΩq vào L2pΩq

pivq T là toán tử dương

Chứng minh piq1 T là toán tử tuyến tính

Cho h1, h2 P L2pΩq và α1, α2 P R Theo định nghĩa của T