Phổ của toán tử laplace

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HẢI PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Nguyễn Thị Hải PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Văn Bằng Hà Nội - 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Vì vậy, mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 09 tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hải Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu cá nhân tôi, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Luận văn tổng hợp kết tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề Phổ toán tử Laplace điều kiện biên Dirichlet Hà Nội, 09 tháng 06 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Hải i Mục lục Mục lục i Danh mục kí hiệu iii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev W m,p ♣Ωq 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Các định lý nhúng 12 1.2 Không gian Sobolev W0m,p ♣Ωq 14 1.2.1 Một số tính chất 14 W01,p ♣Ωq 15 1.2.3 Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số không gian vết 16 1.2.2 Bất đẳng thức Poincaré không gian 1.3 Bài toán biên phương trình Laplace 19 1.3.1 Các loại toán biên phương trình Laplace 19 1.3.2 Nghiệm toán Dirichlet 20 Chương Phổ toán tử Laplace 2.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet 2.1.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet: tập hợp phiếm hàm 24 24 24 2.1.2 Sự tồn sở Hilbert toán tử Laplace với điều kiện biên Dirchlet 31 2.2 Công thức min-max max- Courant–Fisher 37 2.3 Bội tính chất tiệm cận giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet 2.3.1 Các tính chất giá trị riêng thứ 50 50 ii 2.3.2 Dáng điệu tiệm cận giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet 2.4 Sự phân tích phổ toán giá trị biên elliptic 52 59 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 iii Danh mục kí hiệu ∆u ✏ n ➦ ❇ u2 : toán tử Laplace u i✁ ✏ ❇ xi ✠ ∇u ✏ ❇❇xu1 , , ❇❇xun : gradient u C ♣Ωq : không gian hàm liên tục Ω   ✟ C Ω : không gian hàm liên tục Ω C k ♣Ωq ✏ tu € C ♣Ωq ⑤Dα u € C ♣Ωq , ❅ ⑤α⑤ ↕ k ✉   ✟ Ck Ω ✥ ✭ u € C k ♣Ωq ⑤Dα u liên tục Ω ✏ Dα u : đạo hàm suy rộng cấp α u Dα u ✏ với ⑤α⑤ ✏ N ➦ i✏1 C ✽ ♣Ωq ✏ αi ; xα ✽ ➇ ✥k✏0 Lp ♣Ωq ✏ f ❇⑤α⑤u ❇xα1 ❇xα2 ☎ ☎ ☎ ❇xαN ✏ xα1 xα2 ☎ ☎ ☎ xαN C k ♣Ωq; 2 N N   ✟ C✽ Ω ✏ ✽ ➇ k ✏0   ✟ Ck Ω ✭ ✁ đo được, lũy thừa bậc p khả tích Ω với chuẩn ⑥f ⑥ ✏ ⑤f ⑤ ✏ ☎ ➺ ✆ f x ☞1 p ⑤ ♣ q⑤ dx✌ , p ➙ p Ω D ♣Ωq : không gian C ✽ - hàm với giá compact Ω D✶ ♣Ωq : không gian hàm suy rộng Ω S: không gian Schwartz hàm giảm nhanh RN S ✶ : không gian hàm suy rộng tăng chậm RN W m,p ♣Ωq : không gian Sobolev với ↕ p ↕  ✽ H01 ♣Ωq : bao đóng D ♣Ωq H ♣Ωq iv W0m,p ♣Ωq : bao đóng D ♣Ωq W m,p ♣Ωq W m,2 ♣Ωq ✏ H m ♣Ωq; W 0,p ♣Ωq ✏ Lp ♣Ωq; W0m,2 ♣Ωq ✏ H0m ♣Ωq W 0,2 ♣Ωq ✏ L2 ♣Ωq Hs ♣F q : độ đo Hausdorff s-thứ nguyên F u  Hδs ✏ u ❴ 0; ♣F q ✏ inf ✧ Hs ♣F q ✏ limδÑ0 Hδs ♣F q  ✽ ➦ i✏1 ✯ ⑤Ui⑤ : tUi✉i€N δ- phủ F s Mở đầu Lí chọn đề tài Các toán biến phân xuất từ lâu, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học tiếng kỷ XVII – XIX có ảnh hưởng lớn phát triển Giải tích toán học Nhưng phải đến kỷ XX toán biến phân hình thành với tư cách lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác Cho tới ngày nay, nghiên cứu toán biến phân chủ yếu tập trung vào ba vấn đề chính: - Nghiên cứu định tính (điều kiện cần đủ để có nghiệm, định lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, ); - Nghiên cứu định lượng (xây dựng thuật toán tìm nghiệm thỏa mãn tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, ); - Ứng dụng (giải toán kinh tế, bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng, ) Một ứng dụng quan trọng toán biến phân nghiên cứu toán giá trị riêng phổ toán tử, đặc biệt phổ toán tử Laplace Ngay từ đầu kỉ XIX, có nhiều công trình toán học nghiên cứu vấn đề phải kể đến Fourier, Hilbert Từ đến nay, lý thuyết phổ không ngừng mở rộng lý thuyết mà toán ứng dụng vật lí Với mong muốn tìm hiểu sâu phổ toán tử Laplace, hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng, mạnh dạn chọn đề tài “Phổ toán tử Laplace” Luận văn chia thành hai chương: Chương giành để trình bày số khái niệm kết nghiệm yếu phương trình Laplace không gian Sobolev Chương trình bày tổng quan phổ toán tử Laplace Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phổ toán tử Laplace Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu không gian Sobolev, nghiệm suy rộng toán biên Dirichlet toán tử Laplace Tìm hiểu phổ toán tử Laplace Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: phổ toán tử Laplace Phạm vi nghiên cứu: phép phân tích phổ toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu tư liệu sách, báo có liên quan; 51 gian riêng E1 không tỷ lệ với Theo giả thiết tính quy Ω, v1 v2 hàm trơn ta xét giá trị điểm x tìm x0 x1 € Ω cho € Ω Do đó, ta α1 v1 ♣x0 q   α2 v2 ♣x0 q ✏ 0, α1 v1 ♣x1 q   α2 v2 ♣x1 q ✘ 0, € R Đặt ω ✏ ⑤α1 v1   α2 v2 ⑤ Vì v1 , v2 € E1 , ta có α1 v1   α2 v2 € E1 ω ✏ ⑤α1 v1   α2 v2 ⑤ thuộc vào E1 (như trên, theo Hệ với α1 , α2 công thức biến phân Courant–Fisher cho λ1 ) Chúng ta tóm tắt ✩ ✬ ✬ ✬ ω ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ω tính chất ω € E1, ➙ 0, ✬ ✬ ✬ ω ♣x0 q ✏ 0, ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ω ♣x1 q ✘ Vì ✁∆ω ✏ λ1 ω, từ λ1 → ω ➙ 0, ta kết luận ✩ ✬ ✬ ✬ ∆ω ✬ ✬ ✫ ✁ ➙ 0, ✏ ❇Ω, ω ♣x0 q ✏ 0, x0 € Ω ω ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ Nguyên lý cực đại mạnh Hopf kéo theo ω mâu thuẫn với điều kiện ω ♣x1 q ✘ Do đó, E1 có chiều Bằng cách cho hàm ω ✏ Ω, rõ ràng € E1③ t0✉ e1 ✏ ⑤ω⑤ 52 ta có hàm E1 thỏa mãn, cách sử dụng lại Nguyên lý cực đại mạnh, e1 → Ω Hệ 2.3.1 Cho Ω Định lý 2.3.1 cho hàm riêng ei toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet tương ứng với giá trị riêng λi → λ1 Khi dấu ei số Ω Chứng minh Vì λi e1 ✘ λ1, ta có E ♣λiq❑E ♣λ1q ➺ Ω ei ♣xqe1 ♣xqdx ✏ Vì → Ω, từ suy ei phải đổi dấu Ω Điều có nghĩa trạng thái giá trị riêng thứ đặc biệt Đây giá trị riêng có hàm riêng có dấu không đổi Thật vậy, phân tích toán giá trị riêng thứ hai λ2 ♣✁∆q, tập nút hàm riêng thứ hai (tập mà 0) đóng vai trò trung tâm 2.3.2 Dáng điệu tiệm cận giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Vấn đề phân tích rõ ràng phổ toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet thực trường hợp đặc biệt Tuy nhiên, tình tính toán (hoặc phức tạp), ta nhận thông tin xác phổ cách so sánh Để nhấn mạnh phụ thuộc giá trị riêng Ω, ta kí hiệu ♣λn ♣Ωqqn€N dãy giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Ω (với quy ước bội) Khi đó, kết so sánh sau hệ trực tiếp Nguyên lý min–max Courant-Fisher 53 ˜ hai tập mở bị chặn RN với Mệnh đề 2.3.1 Cho Ω Ω ˜ Khi đó, với n ➙ bất kì, Ω ⑨ Ω ˜ q ↕ λn ♣Ωq, λn ♣Ω tức là, λn ♣Ωq hàm giảm Ω € H01♣Ωq, ta kí hiệu v˜ hàm v Ω ˜ ③Ω Theo Mệnh đề 1.2.1, ta có v˜ € H01 ♣Ω ˜ q Ngoài ra, Ω Chứng minh Với v ➺ ➺ ⑤v♣xq⑤ dx ✏ ˜ ⑤v˜♣xq⑤2dx, Ω ➺ Ω Vì thế, H01 ➺ Ω ⑤∇v♣xq⑤2dx ✏ ˜ ⑤∇˜v♣xq⑤2dx Ω ♣Ωq đẳng cự với không gian H01♣Ω˜ q qua ánh xạ v Nếu M € € H01♣Ωqјi v˜ ✏ ˜i♣vq € H01♣Ω˜ q Ln ♣Ωq không gian n-chiều H01 ♣Ωq, ˜ q Bây giờ, ta có ˜ q không gian n-chiều H01 ♣Ω ˜i♣M q € Ln ♣Ω thể áp dụng công thức min–max Courant–Fisher (Định lý 2.2.2) ta có λn ♣Ωq ✏ ✏ ✏ ➙ max R♣v, Ωq ˜q max R♣v˜, Ω M €Ln ♣Ωq v €M, v ✘0 M €Ln ♣Ωq v €M, v ✘0 ˜q max R♣ω, Ω W✏˜i♣M q, M €Ln ♣Ωq ω €W ③t0✉ ˜ q ✏ λn ♣Ω ˜ q max R♣ω, Ω ˜ q ω €W ③t0✉ M €Ln ♣Ω Điều phải chứng minh Để xa sử dụng kết so sánh ta cần tìm hiểu ✁∆ tính rõ ràng Ta bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, là: N ✏ Ω ✏ ♣0, 1q số trường hợp riêng, phổ 54 Mệnh đề 2.3.2 Cho N ✏ Ω ✏ ♣0, 1q Khi đó, giá trị riêng ♣λnqn€N toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet cho λn ✏ n2 π , n ✏ 1, , sở trực chuẩn ♣en qn€N tương ứng hàm riêng L2 ♣Ωq cho en ♣xq ✏ ❄ sin♣nπxq Chứng minh Giải phương trình vi phân thường u✷   λu ✏ 0, ta có ❄ ❄ u♣xq ✏ A sin♣ λxq   Bcos♣ λxq Điều kiện biên u♣0q ✏ cho B ✏ điều kiện biên u♣1q ✏ cho sin λ ✏ tức λ ✏ n2 π với n ➙ Nghiệm tương ứng u♣xq ✏ ❄ A sin♣nπxq Sau chuẩn hóa L2 ta có A ✏ ❄ Trong trường hợp đơn giản này, giá trị riêng có bội Bây nghiên cứu phương trình Laplace với điều kiện biên Dirichlet N - hình lập phương Ω ✏ ♣0, 1qN toán giá trị riêng tương ứng ✏ ♣0, 1qN Với p ✏ ♣p1, p2, , pN q với pi € N③ t0✉ , i ✏ 1, 2, , N (tức là, p € ♣N✝ qN ), số thực dương Mệnh đề 2.3.3 Cho Ω λp :✏ π ♣p21   p22   ☎ ☎ ☎   p2N q 55 giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Ω ✏ ♣0, 1qN hàm up ♣xq ✏ N ➵ N ④2 i✏1 sin♣πpi xi q hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λp Thực tế là, Λ♣✁∆, Ωq ✏ ✦ ✮ λp : p € ♣N✝ qN , ✁ ∆ Ω ✏ ♣0, 1qN biểu ✦ ✮ N ✝ diễn theo cách này, họ up : p € ♣N q sở trực chuẩn L2 ♣Ωq tức là, tất giá trị riêng Chứng minh Đặt p ✏ ♣p1 , p2 , , pN q, v € D♣Ωq tính ➺ ➺ ➳ N ❇up ♣xq ❇v ♣xqdx ∇up ♣xq ☎ ∇v ♣xqdx ✏ ❇xi Ω Ω i✏1 ❇ xi Hãy ý up ♣xq ✏ Do N ➵ i ✏1 epi ♣xi q với epi ♣xi q ✏ ❇ u ♣xq ✏ ❇ xi p ✓ ➵ j ✘i ❄ sin♣πpi xi q ✛ epj ♣xj q e✶ pi ♣xi q (e✶ pi thay cho đạo hàm hàm số biến epi ♣☎q) Vì vậy, ➺ Ω ∇up ♣xq ☎ ∇v ♣xqdx ✏ ☎ N ➳ i✏1 ➺ ☎ ✆ ➺1 ☞ e✶ pi ♣xi q ➵ ♣0,1qN ✁1 j ✘i ❇v ♣xqdx ✌ i ❇xi epj ♣xj qdx1 dxi✁1 dxi 1 dxN 56 Lấy tích phân phần ta có ➺1 ➺ ❇ v ✶ ♣ xqdxi ✏ ✁ e✷ p ♣xi qv ♣xqdxi e p ♣xi q ❇ xi i i 0 ➺1 ✏ π p2i epi ♣xi qv ♣xqdxi (Từ đẳng thức cuối suy e✷pi   π2p2i ep ✏ 0, ep i i hàm riêng tương ứng với giá trị riêng π p2i toán Laplace với điều kiện biên Dirichlet) Do ➺ Ω ∇up ♣xq ☎ ∇v ♣xqdx ✏π ✄ N ➳ i✏1 ☛➺ p2i Ω up ♣xqv ♣xqdx Nhờ tính trù mật thác triển liên tục, đẳng thức mở rộng cho v € H01♣Ωq tùy ý, ✩➺ ✬ ✬ ✫ ∇up x Ω ✬ ✬ ✪up ♣ q ☎ ∇v♣xqdx ✏ λp € H01♣Ωq ➺ up vdx Ω ❅v € H01♣Ωq, ✏ π2 ➦Ni✏1 p2i giá trị riêng toán tử Laplace với ➧ điều kiện biên Dirichlet ♣0, 1qN , up ♣xq ✏ N i✏1 ep ♣xi q hàm Nghĩa λp i riêng tương ứng ✦ Bây chứng minh họ hàm riêng up : p € ♣N✝ qN ✮ sở trực chuẩn L2 ♣Ωq Trước hết ta ý p ✘ q, tồn i € t1, 2, , N ✉ ✘ qi Từ tính trực giao L2♣0,✦1q hai hàm✮ riêng sin♣pi πxq cos♣qi πxq, trực tiếp suy họ up : p € ♣N✝ qN trực giao L2 ♣Ωq bé cho pi 57 ✦ Để chứng minh họ up : p € ♣N✝ qN ✮ sinh L2 ♣Ωq theo nghĩa tôpô, nghĩa không gian véc tơ sinh họ véc tơ trù mật L2 ♣Ωq, ta cần tới kết sau: Bổ đề 2.3.1 Cho ♣vp qp€N✝ ♣ωq qq€N✝ hai sở Hilbert L2 ♣0, 1q Khi đó, họ hàm: ♣x, yq ÞÑ vp♣xqωq ♣yq sở Hilbert L2 ♣♣0, 1q2 q ✦ ✮ Lặp lại kết số hữu hạn lần ta có họ up : p € ♣N✝ qN ✮ ✦ N ✝ sở trực chuẩn L ♣Ωq Vì cách đặt Λ ✏ λp : p € ♣N q ta có tất giá trị riêng; không tồn v € H01♣Ωq, v ✘ ❘ Λ Theo tính chất trực giao, ✮ ✦ N ✝ điều suy v trực giao L ♣Ωq với tất up : p € ♣N q sở, v ✏ 0, rõ ràng mâu thuẫn Điều hoàn thành hàm riêng tương ứng với giá trị riêng λ chứng minh phép phân tích phổ toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet trường hợp Ω ✏ ♣0, 1qN Mệnh đề 2.3.3 Mệnh đề 2.3.1 (Nguyên lý so sánh) cho phép thu đánh giá sắc bén dáng điệu tiệm cận dãy ♣λn ♣Ωqqn€N✝ giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet tập mở Ω RN Thật vậy, ta chứng minh kết sau: Định lý 2.3.2 Cho ♣λn ♣Ωqqn€N dãy giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet tập bị chặn Ω RN (với quy ước bội) Khi đó, tồn hai số dương cΩ dΩ phụ 58 thuộc vào Ω, cho, với n ➙ cΩ n2④N ↕ λn♣Ωq ↕ dΩn2④N Tóm tắt chứng minh Chứng minh kĩ thuật ý tưởng chứng minh đơn giản Ý tưởng chứng minh bao gồm so sánh Ω với hai N - hình lập phương Qa Qb cho Qa Qa ✏ ♣✁a④2 , a④2 qN , Qb ✏ ♣✁b④2 , b④2 qN ⑨ Ω ⑨ Qb , Khi đó, áp dụng Mệnh đề 2.3.1 ta có λn ♣Qa q ↕ λn ♣Ωq ↕ λn ♣Qb q Khi toán quy việc tính giá trị λn ♣Qa q λn ♣Qb q Rõ ràng λn ♣Qa q ✏ λn♣Qq④a2 λn♣Qbq ✏ λn♣Qq④b2 với Q ✏ ♣0, 1qN Theo Mệnh đề 2.3.3 số λn ♣Qq④π số nguyên dương có dạng ✮ ✦➦ ➦N N ✝ i✏1 pi với pi € N③ t0✉ Do đó, ta phải xếp số i✏1 pi : pi € N ✥ ✭ thành dãy tăng để thu dãy λn ♣Qq④π : n € N✝ : toán tổ hợp Cuối cùng, gọi νN ♣tq, với t → lực lượng tập tất phần tử p € ♣N✝ qN cho p ✏ ♣p1 , p2 , , pN q với ➦N i✏1 pi ↕ t Khi đó, vấn đề mấu chốt chứng minh đánh giá sau: νN ♣tq ✒ CN tN ④2 với CN → Nhận xét 2.3.1 Từ Mệnh đề 2.3.1, ta thu mô tả đầy đủ dãy ♣λn qn€N giá trị riêng toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Ω ✏ ♣0, 1qN Chẳng hạn ♣aq N ✏ Khi λ1 ♣Ωq ✏ 2π với bội = (hiển nhiên), λ2 ♣Ωq ✏ 5π với bội = 2, 59 λ3 ♣Ωq ✏ 8π với bội = 1, λ4 ♣Ωq ✏ 10π với bội = 2, ✏ Khi λ1 ♣Ωq ✏ 3π với bội = (hiển nhiên), λ2 ♣Ωq ✏ 6π với bội = 3, λ3 ♣Ωq ✏ 9π với bội = 3, (b) N Thực tế, ví dụ ta gặp phải, bội giá trị riêng thứ hai toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet không tuân theo quy tắc đơn giản: 1, 2, 3, Điều khác hẳn với giá trị riêng thứ λ1 ♣✁∆q, luôn có bội 1, làm cho việc nghiên cứu giá trị riêng thứ hai phức tạp 2.4 Sự phân tích phổ toán giá trị biên elliptic Chúng ta phân tích phổ toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Để mở rộng phân tích tương tự với toán tử elliptic tuyến tính tổng quát với loại điều kiện biên khác (như Neumann, hỗn hợp, ), giới thiệu cách xây dựng tổng quát sau: (i) Cho V H hai không gian Hilbert thực (không gian vô hạn chiều) cho V Ñ H; giả thiết i • V nhúng H theo phép nhúng i : tuyến tính liên tục ✁ 60 • V trù mật H (tức i♣V q H ✏ H), • V nhúng compac H (tức là, i compac) (chẳng hạn, V ✏ H01♣Ωq H ✏ L2♣Ωq với cấu trúc Hilbert thông thường chúng) (ii) Cho ✂ V Ñ R, ♣u, vq ÞÑ a♣u, vq, dạng song tuyến tính V ✂ V, đối xứng liên tục a:V ❅α → cho ❅v € V a♣v, vq ➙ α⑥v⑥2 Ở ⑥☎⑥ chuẩn V Chuẩn tích vô hướng H kí hiệu tương ứng ⑤☎⑤H (hay đơn giản ⑤☎⑤) ①☎, ☎②H (hay đơn giản ①☎, ☎②) Chú ý rằng, theo Định lý Lax–Milgram, Định lý 2.1.2, với L € V ✝ bất kỳ, tồn u € V thỏa mãn a♣u, v q ✏ L♣v q ❅v € V Chú ý với h € H dạng tuyến tính v € V ÞÑ ①h, v②H liên tục V , nên theo Định lý Lax–Milgram tồn nghiệm u ✏ T h toán sau ✩ ✬ ✫a T h, v ♣ ✬ ✪T h € V q ✏ ①h, v②H , 61 Bằng cách sử dụng phương pháp tương tự Mệnh đề 2.1.1, ta dễ dàng chứng minh T : H Ñ H toán tử tuyến tính liên tục, tự liên hợp dương Do đó, ta áp dụng Định lý chéo hóa tổng quát T , Định lý 2.1.1 với toán tử tự liên hợp, dương kết luận tồn sở Hilbert ♣en qn€N H gồm véc tơ riêng, T en ✏ µn en , với ♣µn qn€N dãy giảm giá trị riêng dương (với điều kiện bội), tiến dần đến n Ñ  ✽ Chú ý họ ♣enqn€N sở Hilbert V , V trang bị tích vô hướng ①①u, v②② :✏ a ♣u, vq (điều tương đương với tích vô hướng ban đầu) Ta đưa mô tả xác nghiệm toán phổ tổng quát: tìm λ € R cho tồn u € V, u ✘ thỏa mãn a ♣u, v q ✏ λ①u, v ②H , (Khi tồn u ❅v € V ✘ 0, gọi véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ) Định lý 2.4.1 Giả thiết đơn ánh tắc V lên H trù mật compac dạng song tuyến tính a : V V ✂V ✂ V Ñ R đối xứng (V -elliptic) Khi đó, giá trị riêng λ toán biến phân tổng quát ✩ ✬ ✫tìm λ € R cho tồn u € V, u ✘ 0, ✬ ✪a ♣u, v q ✏ λ①u, v ② ❅v € V , H 62 viết thành dãy tăng số dương ♣λn qn€N tiến đến n Ñ  ✽ ➔ λ1  ✽ ↕ λ2 ↕ λ3 ↕ ☎ ☎ ☎ ↕ λn ↕ ☎ ☎ ☎ (Một lần sử dụng qui ước bội: giá trị riêng nhắc lại số lần bội nó, bội hữu hạn) Tồn sở trực chuẩn (cơ sở Hilbert) ♣en qn€N H cho với n € N, en véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λn ✩ ✬ ✫a en , v ♣ ✬ ✪e   ❄ n Ngoài ra, dãy en ④ λn q ✏ λn①en, v②H ❅v € V, € V ✟ n€ N sở Hilbert V không gian trang bị tích vô hướng (tương đương) a♣☎, ☎q Bây xét đến số ứng dụng kết ♣1q BÀI TOÁN NEUMANN Trong trường hợp V ✏ ✧ v € H 1♣Ωq : ✯ ➺ Ω v ♣xqdx ✏ a♣u, v q ✏ ➺ Ω ∇u♣xq ☎ ∇v ♣xqdx Tính a V ✂V suy từ Bất đẳng thức Poincaré–Wirtinger (Hệ 1.1.2) phép nhúng compac V Ñ H ✏ L2♣Ωq suy từ Định lý Rellich–Kondrakov, Định lý 1.1.8 (Ω giả thiết trơn bị chặn) Từ Định lý 2.4.1, ta kết luận tồn sở Hilbert ♣enqn€N L2♣Ωq cho ✩ ✬ ✫ ∆en ✁ ✏ λnen ✬ ✪ ❇ en ✏ ❇ν Ω, ❇ Ω, 63 ❇ đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến đơn vị biên ❇Ω ❇ν ♣2q BÀI TOÁN DIRICHLET–NEUMANN ✥ ✭ Bằng cách đặt V ✏ v € H ♣Ωq : γ0 ♣v q ✏ Γ0 với HN ✁1 ♣Γ0 q → 0, ta có tồn sở Hilbert L2 ♣Ωq, ♣en qn€N cho với ✩ ✬ ✬ ∆en ✬ ✬ ✬ ✫ ✁ ✏ λnen ✏ ❇ ✏0 ❇ν en ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ en Ω, Γ0 , Γ1 ✏ Γ③Γ0 ♣3q Ta thu kết tương tự thay ✁∆ toán tử elliptic tuyến tính A có dạng ✏✁ Av ➳ i,j ❇ ✂a ❇ v ✡   a u ❇xi i,j ❇xj hay tổng quát Nhận xét 2.4.1 Phương pháp biến phân Courant–Fisher nghiên cứu mà khó khăn đặc biệt cách xây dựng tổng quát Chúng ta giới thiệu tỉ số Rayleigh tổng quát R♣v q ✏ a♣v, v q④⑤v ⑤2H λ1 λn ✏ ✏ ✏ tR♣v q : v € V, v ✘ 0✉ max R♣v q M €L v €M, v ✘0 max R♣v q M €L ✁ v €M ❑ , v ✘0 n n 64 Kết luận Trong luận văn trình bày tổng quan lý thuyết phổ toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Đó sở để ta mở rộng nghiên cứu phổ toán tử Laplace với điều kiện biên Neumann, điều kiện biên hỗn hợp; mở rộng nghiên cứu phổ toán tử elliptic nói chung Để thực đề tài tìm hiểu không gian Sobolev-một lớp không gian quan trọng ta xây dựng khái niệm nghiệm yếu toán biên phương trình Laplace, Hướng nghiên cứu tìm hiểu phổ toán tử Laplace miền phức tạp điều kiện biên khác, ứng dụng kết đạt toán khoa học kỹ thuật 65 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy(2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] R A Adams (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [3] S Agmon (1965), Lectures on elliptic boundary value problems, Van Nostrand Math Studies, D.Van Nostrand Publ Co., Princeton [4] W Arveson (2001), A short course on spectral theory, Springer – Verlag, New York [5] H Attouch, G Buttazzo and G Michaille (2006), Variational analysis in Sobolev and BV spaces: applications to PDEs and optimization, SIAM, Philadelphia [6] H Brezis (2011), Funtional analysics, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, New York [7] S Kesavan (2003), Topics in functional analysis and applications, School of mathematics tata institute of fundamental research banglore, India [8] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), An Introduction to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [...]... thuộc lớp C1 , thì u là nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet (1.3.1) 24 CHƯƠNG 2 PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE Nội dung của chương này chủ yếu tham khảo từ [1], [4] và [5] 2.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet 2.1.1 Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet: tập hợp các phiếm hàm Mục tiêu của chúng ta là nghiên cứu bài toán giá trị riêng của phương trình Laplace trên Ω với điều kiện biên Dirichlet... là, 1④λ là giá trị riêng của T Các tính chất sau của toán tử T sẽ đóng vai trò trung tâm trong phép phân tích phổ của chính nó 28 Mệnh đề 2.1.1 Toán tử T thỏa mãn các tính chất sau: ♣iq T : L2♣Ωq Ñ L2♣Ωq là một toán tử tuyến tính liên tục ♣iiq T là toán tử tự liên hợp trong L2♣Ωq ♣iiiq T là toán tử compac từ L2♣Ωq vào L2♣Ωq ♣ivq T là toán tử dương Chứng minh ♣iq1 T là toán tử tuyến tính Cho h1 , h2... Laplace Dirichlet như sau: Định nghĩa 2.1.2 Toán tử nghịch đảo của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet là toán tử T : L2 ♣Ωq Ñ L2 ♣Ωq được xác định với mọi h € L2♣Ωq như sau: T h € H01♣Ωq ⑨ L2♣Ωq là nghiệm duy nhất của bài toán biến phân ✩➺ ✬ ✬ ✫ ∇ Th x Ω ✬ ✬ ✪T h ♣ q♣ q ☎ ∇v♣xqdx ✏ € H01♣Ωq ➺ Ω h♣xqv ♣xqdx ❅v € H01♣Ωq, Một cách tương đương, T h là nghiệm biến phân của bài toán Dirichlet (xem Định lý 1.3.1)... L♣H q là toán tử tuyến tính, liên tục, và compact từ H vào H ✁∆ theo cách trên, vì nó làm mất tính chuẩn mực khi thay u thành ✁∆u Thực tế thì ✁∆ là một toán tử tuyến tính liên Ta không thể viết 26 tục ✁∆ : H01♣Ωq Ñ H ✁1♣Ωq Nói cách khác xét ✁∆ là xét nó như một toán tử từ L2♣Ωq vào L2♣Ωq nhưng có miền xác định dom♣✁∆q ✏ H 2 ♣Ωq ❳ H01 ♣Ωq Đồng thời ta xét toán tử ngược T ✏ ♣✁∆q✁1 của toán tử Laplace Dirichlet... nghiệm cổ điển của (2.1.1) ♣bq Yêu cầu “λ € R” không phải là một hạn chế, và thay vào đó là “λ € C” Thật vậy, bằng cách đặt v ✏ u trong (2.1.2) ta có ➺ λ ✏ ➺Ω Ω ⑤∇u⑤2dx u ♣xqdx , 2 nó có nghĩa là tất cả các giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet là các số thực dương Lý thuyết cổ điển về phép phân tích phổ của toán tử trong không gian vô hạn chiều nghiên cứu các toán tử T :H Ñ H,... nhau Nghiệm u của (1.3.8) được gọi là nghiệm yếu của bài toán Dirichlet (1.3.1) c) Nghiệm u của (1.3.1) là nghiệm duy nhất của bài toán cực tiểu hóa ✩ ✫ ➺ min 1 ✪2 Ω ⑤∇v⑤2dx ✁ ✱ ✳ ➺ f vdx : v Ω € H01♣Ωq✲ 23 Đây là nguyên lí biến phân Dirichlet Chúng ta cũng gọi u là nghiệm biến phân của bài toán Dirichlet Tiếp theo chúng ta sẽ thể hiện mối quan hệ giữa khái niệm nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet... quan trọng của Định lý vết rằng: W01,p ♣Ωq chính là tập các hàm trong W 1,p ♣Ωq có “giá trị biên”, tức là vết bằng 0 19 1.3 Bài toán biên đối với phương trình Laplace 1.3.1 Các loại bài toán biên cơ bản của phương trình Laplace Với f : Ω Ñ R là hàm đã cho, chúng ta xét ba bài toán biên cơ bản sau đây đối với phương trình Laplace (trong chương này, ta chỉ xét các bài toán thuần nhất) 1 Bài toán biên... phương pháp của giải tích; Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài 6 Đóng góp của đề tài Trình bày một cách hệ thống các kết quả có liên quan về phổ của toán tử Laplace, làm rõ các chứng minh, lấy ví dụ minh họa cho một số khái niệm, kết quả 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này được dùng để trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản cần thiết cho việc trình bày các kết quả của Chương... thứ nhất (bài toán biên Dirichlet): là bài toán đi tìm ¯ Ñ R thỏa mãn nghiệm u : Ω ✩ ✬ ✫ ✬ ✪ ✁∆u ✏ f trên Ω, u ✏ 0 trên ❇ Ω (1.3.1) 2 Bài toán biên thứ hai (bài toán biên Neumann): là bài toán đi tìm ¯ Ñ R thỏa mãn nghiệm u : Ω ✩ ✬ ✫ ✬ ✪ ✁∆u ✏ f trên Ω, ❇u ✏ 0 trên ❇Ω, ❇ν (1.3.2) ❇u ✏ Du ☎ ν là đạo hàm theo véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị của u ❇ν trên ❇ Ω với 3 Bài toán biên thứ ba (bài toán hỗn hợp)... là hợp của hai tập rời nhau Γ0 và Γ1 Cho f € L2 ♣Ωq và f € L2 ♣Γ1 q ta 20 tìm nghiệm u của bài toán biên sau: ✩ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✫ ✬ ✬ ✬ ✬ ✬ ✪ ✁∆u ✏ f trên Ω, u ✏ 0 trên Γ0 , ❇u ✏ 0 trên Γ 1 ❇ν Chú ý rằng trên Γ0 nó là điều kiện Dirichlet, trong khi Γ1 (1.3.3) ✏ Γ③Γ0 là điều kiện biên Neumann 1.3.2 Nghiệm của bài toán Dirichlet Xét bài toán (1.3.1) việc chứng minh sự tồn tại nghiệm cổ điển của bài toán này