Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho tơi để hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Bộ mơn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 11 năm 2014 Vũ Đức Thắng Mục lục BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 Những khái niệm chung 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ -trường 1.1.5 Xác suất có điều kiện 1.1.6 Martingale 1.2 Quá trình Gauss 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lý 1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.3.1 Các định nghĩa 1.3.2 Vài tính chất quan trọng 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown 1.3.4 Đặc trưng Lévy chuyển động Brown 1.4 Quá trình Poisson 1.4.1 Quá trình đếm 1.4.2 Quá trình Poisson 1.4.3 Đặc trưng Watanabe trình Poisson 1.5 Quá trình Markov 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 8 10 10 12 13 17 17 17 18 18 19 19 20 20 20 20 21 21 21 22 MỤC LỤC 1.5.3 Chú ý 22 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 2.1 Tích phân Ito 2.1.1 Mục đích 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itơ 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itô 2.1.4 Các thí dụ 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 2.2.1 Khái niệm định nghĩa 2.2.2 Biến phân bậc hai hai trình ngẫu nhiên Phần II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 2.3 Định nghĩa phương trình lời giải 2.4 Định lý tồn 2.4.1 Sự 2.4.2 Sự tồn 2.5 Tính Markov lời giải VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Phần I QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 3.1 Phương án đầu tư 3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua bán 3.1.2 Cân đối lại phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá nguyên lý AAO 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Nguyên lý AAO 3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu Châu Mỹ 3.3 Nguyên lý đáp ứng thị trường đầy đủ 3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) 3.3.2 Phái sinh đạt thị trường M 3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market) 3.4 Định giá phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) 3.4.1 Đáp ứng trình sở hữu 23 23 23 23 24 26 28 29 29 30 32 32 33 33 35 39 41 41 41 42 42 44 44 45 45 45 45 46 46 46 46 MỤC LỤC 3.4.2 Ý tưởng việc định giá phương pháp độ chênh thị giá 3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale 3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) Phần II MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES 3.6 Mơ hình Black-Scholes 3.6.1 Định nghĩa mơ hình 3.6.2 Giá cổ phiếu mô hình Black-Scholes 3.6.3 Các giả thiết mơ hình Black-Scholes 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua 3.7 Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 3.7.1 Cách xây dựng 3.7.2 Công thức Black-Scholes 3.8 Những mơ hình quyền chọn liên quan 47 49 50 51 51 52 52 52 53 53 54 55 55 56 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực R+ Tập số thực không âm R Tập số thực −∞, ∞ Z Tập số nguyên C Tập số phức R⋉ Không gian n− chiều ∅ Tập rỗng (xn ) = {xn } Dãy số (hoặc dãy phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối x x Chuẩn x f := g Định nghĩa f g lim = lim sup Giới hạn n→∞ n→∞ lim = lim inf Giới hạn n→∞ Ω t n→∞ f (ω) dµ Tích phân Lebesgue f (s, ω) dWs Tích phân Wiener MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu kỷ XX Đầu tiên phải kể đến đời khái niệm toán học chuyển động Brown hay trình Wiener đưa Louis Bachelier (1900) Albert Einstein (1905) Đặc biệt sáng tạo tích phân ngẫu nhiên Itơ (1944) giúp giải nhiều tốn ngẫu nhiên kinh tế, vật lý, mà Giải tích tất định cổ điển khơng sử lý Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba phận : Lý thuyết trình ngẫu nhiên Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong kỷ qua , nội dung phát triển mạnh mẽ công cụ thiếu nghiên cứu tài Lý thân giá chứng khốn giá tài sản tài biến động cách ngẫu nhiên nên xem chúng q trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên làm sở cho việc mơ hình hóa biến động giá thị trường tài Một số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu thị trường tài Các mơ hình định giá , chẳng hạn mơ hình Black – Scholes, dựa kiến thức Giải tích ngẫu nhiên Luận văn gồm chương : Chương I Quá trình ngẫu nhiên Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên dùng MỤC LỤC MỤC LỤC nghiên cứu tài Ngồi khái niệm chung, trình Gauss, trình Markov, chuyển động Brown trình Poisson đề cập Chương II Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành mơn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên lời giải, định lý tồn lời giải vài ví dụ minh họa Chương III Vài ứng dụng thị trường tài Chương trình bày q trình giá tài sản tài q trình ngẫu nhiên, khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ phương pháp định giá phương pháp độ chênh thị giá, hợp đồng tài đặc biệt đề cập đến mơ hình quyền chọn Black - Scholes Chương QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên dùng nghiên cứu tài Ngồi khái niệm chung, q trình Gauss, trình Markov, chuyển động Brown trình Poisson đề cập 1.1 Những khái niệm chung Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, tức ba gồm • Ω tập hợp sở mà phần tử ω ∈ Ω đại diện cho yếu tố ngẫu nhiên Mỗi tập Ω gồm số yếu tố ngẫu nhiên • F họ tập Ω, chứa Ω đóng phép hợp đếm phép lấy phần bù; nói cách khác F σ -trường tập Ω Mỗi tập hợp A ∈ F gọi biến cố ngẫu nhiên • P độ đo xác suất xác định không gian đo (Ω, F) 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Một trình ngẫu nhiên X họ biến ngẫu nhiên X = (Xt (ω), t ∈ T ) T tập số thực, T ⊆ R T hữu hạn, đếm vô hạn không đếm Đơi ta kí hiệu Xt (ω) = X(t, ω) Vậy với (a) CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH phải lựa chọn để giá trị cuối phải đáp ứng điều kiện (R) Điều kiện (R) gọi nguyên lý đáp ứng 3.3.2 Phái sinh đạt thị trường M Một tài sản phái sinh X gọi đạt thị trường M có phương án đáp ứng cho Điều có nghĩa ΦX = 3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market) Một thị trường M gọi đầy đủ tài sản phái sinh X đạt M, hay nói cách tương đương, với biến ngẫu nhiên X đo FT tồn phương án đầu tư tự tài trợ φ ∈ Φ cho VT (φ) = XT Nhận xét: Nói chung, tính đầy đủ địi hỏi cao thị trường Với địi hỏi này, tài sản phái sinh kiểu châu Âu định giá phương pháp độ chênh thị giá trình giá xây dựng tương tự xây dựng phương án tự tài trợ 3.4 Định giá phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) Trong mục ta giả thiết X phái sinh thực thi thời điểm đáo hạn T 3.4.1 Đáp ứng q trình sở hữu Ta nói phái sinh X đáp ứng cách thị trường M tồn trình đáp ứng X , tức ta có hệ thức Vt (φ) = Vt (ψ) ∀t ≤ T (3.4.1) với hai phương án đầu tư φ ψ thuộc ΦX Trong trường hợp trình Vt (φ) gọi trình sở hữu X M 46 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Sau khẳng định nói lên tương quan ngun lý khơng có độ chênh thị giá (AAO) nguyên lý đáp ứng Định lý 3.4.1.1 Giả sử M thị trường khơng có độ chênh thị giá Khi tài sản phái sinh đạt X đáp ứng M Vậy nguyên lý AAO kéo theo tính đáp ứng phái sinh đạt 3.4.2 Ý tưởng việc định giá phương pháp độ chênh thị giá Gọi định giá phương pháp độ chênh thị giá thực chất dựa vào nguyên lý AAO (khơng có độ chênh thị giá) ngun lý đáp ứng để tính giá tài sản phái sinh thời điểm t trước lúc đáo hạn T, đặc biệt tính giá ban đầu V0 (tức giá) phương án cần đầu tư để dạt giá trị đáo hạn X đặt trước hợp đồng Công cụ để thực phương án độ đo xác suất mà ta gọi xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale mà ta giải thích kỹ mục 3.5 Vì phương pháp gọi phương pháp trung hòa rủi ro Giả sử Vt giá phương án đầu tư thời điểm t nhằm thực hợp đồng phái sinh có giá đáo hạn X Đó q trình ngẫu nhiên xét khơng gian có lọc (Ω, F , (Ft ) , P ), (Ft ) luồng thơng tin thị trường với F0 = {Ω, ∅} P xác suất ban đầu’ Nói chung, độ đo ban đầu P (Vt ) khơng phải martingale Ft Người ta tìm độ đo xác suất Q hệ số tất định k(t) cho (a) Q tương đương với độ đo xác suất cũ P Dưới độ đo Q trình Vt = k (t) Vt martingale luồng thông tin thị trường Ft , tức (b) EQ Vt |Fs = Vs với s≤t (3.4.2) EQ ký hiệu kỳ vọng lấy theo độ đo xác suất Q Đặc biệt, ta lấy s = (thời điểm ban đầu) t = T (thời điểm đáo hạn), hệ thức 47 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH cho ta: EQ VT |F0 = V0 (3.4.3) F0 = {Ω, ∅} nên E (.|F0 ) = EQ (.), tức kỳ vọng có điều kiện F0 khơng điều kiện Vậy ta có EQ VT = V0 (3.4.4) hay EQ (k (T ) VT ) = k (0) V0 (3.4.5) Vì k(t) hàm tất định nên ta rút V0 = k (T ) EQ (VT ) k (0) (3.4.6) Vì ta giả thiết có nguyên lý đáp ứng AAO nên theo định lý 3.4.1.1, tồn phương án đáp ứng φ với giá Vt = Vt (φ) cho VT = XT (XT giá trị đáo hạn định trước hợp đồng) Cuối ta có V0 = k (T ) EQ (XT ) k (0) (3.4.7) Hệ thức cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu V0 để đạt giá trị hợp đồng XT mong muốn, V0 giá hợp đồng Ngoài ra, ta biết giá hợp đồng phái sinh thời điểm t bất kỳ, ≤ t ≤ T : Vt = k (T ) EQ (XT ) k (t) (3.4.8) theo cách suy diễn tương tự Hệ số k(t) gọi hệ số chiết khấu hay hệ số tính lùi (discounted coefficient) nhờ ta tính lùi giá tài sản từ thời điểm đáo hạn T giá thời điểm trước Trong trường hợp tổng qt, k(t) cịn q trình ngẫu nhiên Khi giá tính lùi Vt cho công thức Vt = EQ k (T, ω) XT |Ft k (t, ω) (3.4.9) Trên ý tưởng phương pháp độ chênh thị giá để định giá tài sản (tức hợp đồng) phái sinh kiểu châu Âu Phương pháp gọi phương pháp trung hòa rủi ro Chi tiết phương pháp trình bày mục 3.4.3 48 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 3.4.3 Xác suất trung hịa rủi ro hay độ đo martingale Xét tài sản phái sinh kiểu châu Âu (X) có giá đáo hạn XT viết tài sản sở S S = (St , ≤ t ≤ T ), có thời gian đáo hạn T Để đơn giản, giả thiết S 1-chiều (tức tài sản sở, chẳng hạn cổ phiếu) Giả thiết giá S trình ngẫu nhiên không gian xác suất lọc (Ω, F , (Ft ) , P ) ,, (Ft ) lọc mang thông tin thị trường Giả sử hệ số chiết khấu k(t) = , β(t) nói chung β(t) q trình ngẫu nhiên xác định khơng gian xác suất lọc nói Thơng thường người ta hay chọn β(t) = er(T −t), hệ số chiết khấu e−r(T −t); lãi suất rủi ro r tất định hệ số chiết khấu tất định Định nghĩa Một độ đo xác suất Q (Ω, |F ) gọi xác suất trung hòa rủi ro Q tương đương với P, có nghĩa Q(A) = P (A) = 0, với A ∈ F (a) (b) Hầu chắn ta có EQ St |Fs β (t) = Ss β (s) với ≤ s ≤ t ≤ T, (3.4.10) EQ kí hiệu kỳ vọng lấy theo xác suất Q, cịn EQ (.|Fs ) kỳ vọng có điều kiện Fs theo xác suất Q 49 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chú ý Tính chất (b) tính chất martingale q trình giá chiết khấu Do xác suất Q gọi độ đo martingale (i) Giả thử Q độ đo martingale Gọi Vt trình giá chiến lược đầu tư tự tài trợ xây dựng tài sản sở S Người ta chứng minh q trình giá chiết khấu (ii) Vt = Vt β(t) (3.4.11) martingale đối vơi Q, Ft Nói riêng, ta có V0 VT = EQ |F0 β (0) β (T ) (3.4.12) Nếu thị trường đầy đủ giá hợp đồng phái sinh (X) đáp ứng chiến lược tự tài trợ cho VT = XT V0 = β (0) EQ VT |F0 β (T ) (3.4.13) Vì σ− trường F0 gồm có hai tập ∅ Φ kỳ vọng có điều kiện lấy F0 kỳ vọng thường không điều kiện V0 = β (0) EQ VT β (T ) (3.4.14) Vậy nhờ có xác suất Q mà giá V0 biểu diễn qua lượng tất định (khơng cịn ngẫu nhiên hay rủi ro nữa) xác suất Q gọi xác suất trung hòa rủi ro Cũng nhờ độ đo Q mà giá tài sản Vt biến thành Vt martingale Q gọi độ đo martingale 3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) Như ta biết , tài sản phái sinh gói gồm số tài sản sở (cổ phiếu loại, trái phiếu loại số đối tượng tài giá trị lãi suất, tỷ gia hối đoái, ) ghi nhận hợp đồng tài với điều khoản thực thi sở hữu gói tài sản Người giữ hợp đồng người 50 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH có quyền sở hữu gói tài sản Quyền mua bán lại thị trường, ta nói hợp đồng giấy tờ có mệnh giá Các phái sinh gồm có: Các hợp đồng quyền chọn (options) hợp đồng ký kết trước (forwards), hợp đồng tương lai (futures) 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) Đó hợp đồng ghi rõ sở hữu có quyền mua gói chứng khốn sở (cổ phiếu, trái phiếu, ) tương lai với giá xác định trước gọi giá thực thi Cái quyền cho phép mua mà khơng bắt buộc phải mua Các điều kiện hợp đồng là: Đến ngày đáo hạn hợp đồng người giữ hợp đồng trả cho người thảo hợp đồng số tiền giá thực thi định trước ghi hợp đồng (a) Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền bắt buộc phải giao gói tài sản ghi hợp đồng (b) Chú ý Nếu đến ngày đáo hạn, gói tài sản có giá trị thị trường cao giá thực thi người giữ hợp đồng định thực thi (để sau bán kiếm lời); giá thị trường lúc thấp giá thực thi ghi hợp đồng, người giữ hợp đồng định khơng thực thi (i) Nếu việc thực thi quy định hợp đồng phải thực vào thời điểm đáo hạn T hợp đồng Quyền chọn gọi quyền chọn mua kiểu châu Âu Nếu thực thi hợp đồng thời điểm t trước lúc đáo hạn (t ≤ T ) ta có quyền chọn kiểu Mỹ (ii) 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) Cái quyền mua hội phép bán gói tài sản tương lai với giá đảm bảo cố định trước (ngay mà người ta 51 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH khơng sở hữu cổ phiếu cả), nội dung hợp đồng có quyền chọn bán Các điều kiện hợp đồng quyền chọn bán sau: Đén ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng (tức người mua hợp đồng) đưa cho người viết hợp đồng (tức người bán hợp đồng) gói chứng khốn số tiền tương đương theo giá thị trường lúc (a) Nếu người viết hợp đồng nhận gói chứng khốn số tiền tương đương người giữ hợp đồng giao cho bắt buộc phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn hợp đồng (b) Phần II MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES 3.6 Mơ hình Black-Scholes Ta bắt đầu việc giải thích mơ hình Black-Scholes dùng để giải vấn đề 3.6.1 Định nghĩa mơ hình Mơ hình Fischer Black Myron Scholes đưa năm 1973 nhằm để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, giả thiết quyền chọn xây dựng hai tài sản sở cổ phiếu S có giá thời điểm t St trái phiếu B có giá Bt thỏa mãn phương trình vi phân sau: dSt = µSt dt + σSt dWt (3.6.1) dBt = rBt dt (3.6.2) ≤ t ≤ T, T thời điểm đáo hạn µ, σ r số dương 52 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Vấn đề dặt là, số tính chất quyền chọn thị trường, tính giá trị Vt quyền chọn, ≤ t ≤ T đặ biệt tính giá V = V0 thời điểm ban đầu cho quyền chọn đáp ứng Vậy mơ hình Black-Scholes gồm có yếu tố sau: (i) (ii) (iii) 3.6.2 Tài sản sở S B thỏa mãn phương trình (3.6.1)-(3.6.2) Các giả thiết chứng khốn thị trường (sẽ nói sau) Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn Giá cổ phiếu mơ hình Black-Scholes Ta nhân thấy q trình ngẫu nhiên St thỏa mãn phương trình (3.6.1) chuyển động Brown hình học mà biểu thức hiển là: St = S0 exp µ− σ2 t + σWt (3.6.3) (3.6.3) phiếm hàm chuyển động Brown Ta ý ln St − ln S0 = σ2 µ− tức ln St − ln S0 có phân phối chuẩn N µ− t + σWt σ2 (3.6.4) , σ2t Vậy St có phân phối lơga-chuẩn Phân phối đóng vai trị quan trọng diễn biến giá cổ phiếu theo mơ hình Black-Scholes 3.6.3 Các giả thiết mơ hình Black-Scholes Các giả thiết (1) Thị trường hoạt động liên tục (2) Lãi suất không đổi (3) Không chia cổ tức suốt thời kỳ hữu hiệu hợp đồng quyền chọn mua 53 CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH (4) Khơng có chi phí giao dịch (5) Khơng có độ chênh thị giá Hai tài sản S B có giá thay đổi theo phương trình (3.6.1) (3.6.2) (6) 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua Ta nhận xét trái phiếu Bt = B0 ert thực chất xem tất định, nên yếu tố ngẫu nhiên nằm giá cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.6.1) Ta quy đổi giá cổ phiếu tính theo giá trị giá trái phiếu (tức coi giá trái phiếu đơn vị tiền, ta gọi trái phiếu bối cảnh kim), ta ký hiệu giá cổ phiếu tính theo đơn vị St , với mặc định xét St tức xét hai chứng khốn S B Gọi V giá thu hoạch quyền chọn thời điểm ban đầu t = 0, ST giá chứng khoán thời điểm T X giá thực thi ghi trước hợp đồng quyền chọn mua Nếu ST ≥ X lợi nhuận ST − X ≥ 0, nhà đầu tư thực thi để kiếm lời Nếu ST < X nhà đầu tư khơng cần thực thi hợp đồng không bắt buộc phải mua, thực thi bị lỗ Cho nên lợi nhuận ST − X nếu ST − X ≥ ST − X < (3.6.5) Để chô gọn đại lượng ký hiệu (ST − X)+ gọi phần dương (ST − X) Đại lượng biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị trung bình kỳ vọng E (ST − X)+ gọi giá quyền chọn mua thời điểm đáo hạn VT = E (ST − X)+ Thực chất giá trung bình lợi nhuận quyền chọn mang lại Muốn tính giá V0 thời điểm t = 0, ta phải nhân với hệ số tính lùi e−rT ≈ 1r T (1+ T ) (cũng gọi hệ số chiết khấu) với r lãi suất luồng tiền trái phiếu V0 = e−rT VT = e−rT E (ST − X)+ 54 (3.6.6) CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH ST có biểu thức theo (3.6.3) ST = S0 exp 3.7 µ− σ2 T + σWT (3.6.7) Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 3.7.1 Cách xây dựng Việc xây dựng tiến hành theo hai cách sau đây: Cách 1: Xuất phát từ hệ thức (3.6.6) (3.6.7) cách tính tốn ngẫu nhiên ta có cơng thức (a) V0 = S0 N (d1 ) − e−rT N (d2 ) , (3.7.1) √ ln SX0 + r + σ2 T , σ T √ d2 = d1 − σ T , σ độ biến động giá chứng khoán d1 = N(x) ký hiệu hàm phân phối chuẩn N(0, 1): N (x) = √1 2π (3.7.2) x e −u2 du −∞ Cách 2: Giải phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi phương trình Black-Scholes sau (b) ∂V ∂2V ∂V + σ S + rS − rV = 0, ∂t ∂S ∂S (3.7.3) V = V (S, t) giá quyền chọn thời điểm t giá chứng khoán S = St , với điều kiện cuối V (S, T ) = (S − T )+ = max (ST − X) ≥ Khi ta cơng thức: Vt = St N (d1 ) − Xe−r(T −t) N (d2 ) , (3.7.4) √1 σ T −t ln SXt + r + σ2 (T − t) , √ d2 = d1 − σ T − t, N(x) hàm phân phối chuẩn N(0,1) d1 = 55 (3.7.5) CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Đó cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua thời điểm t, ≤ t ≤ T Khi t = cơng thức (3.7.4) trở thành (3.7.1) Xét quyền chọn mua với thời gian đáo hạn tháng, giá chứng khoán ban đầu 60 triệu đo la, giá thực thi 65 triệu đo la, lãi suất không rủi ro 8% năm độ biến động chứng khoán 30% năm Vậy S0 = 60, X = 65, T = tháng = 0.25 tính theo năm, r = 0.08, σ = 0.30 Do đó: Thí dụ: d1 = ln 60 + 65 0.08+ 0.30 √ 0.30 0.25 √ 0.25 = −0.3253 d2 = d1 − 0.30 0.25 = −0.4753 Theo bảng gí trị phân phối chuẩn N(0, 1) ta có N (d1 ) = N (−0.3253) = 0.378383 N (d2 ) = N (−0.4753) = 0.356332 Do gí quyền chọn V0 thời điểm ban đầu (hiện giá quyền chọn) V0 = S0 N (d1 ) − e−rT N (d2 ) = 2.1334 Vậy, với dự án mua quyền chọn mua sau tháng kết thúc hợp đồng nhà đầu tư định thực thi, có khoản lợi nhuận mà tính lùi theo hệ giá 2,133,400 USD (tức triệu 133 nghìn 400 la Mỹ) 3.7.2 Cơng thức Black-Scholes Đói với quyền chọn bán, lợi nhuận thu hoạch St − X nếu ST − X ≥ ST − X < Giá quyền chọn bán thời điểm đáo hạn VT = E (X − ST )+ Giá quyền chọn bán thời điểm ban đầu t = (hiện giá) V0 = e−rt E (X − ST )+ công thức cụ thể V0 = e−rt XN(−d2 ) − S0 N(−d1 ) 56 (3.7.6) CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH d1 d2 xác định (3.7.2) Tổng quát hơn, giá quyền chọn bán thời điểm t ≤ T Vt = e−r(T −t) E (X − ST )+ Vt = e−r(T −t)XN(−d2 ) − St N(−d1 ) (3.7.7) d1 d2 tính theo (3.7.5) 3.8 Những mơ hình quyền chọn liên quan Từ mơ hình Black-Scholes ban đầu để định giá quyền chọn mua bán kiểu châu Âu hai tài sản sở cổ phiếu trái phiếu, người ta xét tới quyền chọn khác với đói tượng tài khác chọn làm tài sản sở như: số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai, quyền chọn tiền tệ, Ngoài ra, quyền chọn mua bán theo mô hình Black-Scholes mà thực thi thời điểm trước đáo hạn, người ta gọi quyền chọn kiểu châu Mỹ Quyền chọn xây dựng số chứng khoán Năm 1973, Merton mở rộng mơ hình Black-Scholes để định giá quyền chọn mua châu Âu số chứng khoán có trả hoa lợi cổ tức q Gọi C0 giá quyền chọn mua ta có cơng thức C0 = S0 e−qT N(d1 ) − Xe−rT N(d2 ) (3.8.1) √ σ T ln SX0 + r − q + σ2 T , √ d2 = d1 − σ T , S0 số chứng khoán ban đầu d1 = Quyền chọn xây dựng hợp đồng tương lai hợp đồng ký kết trước Năm 1976,Black đưa công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âu hợp đồng ký kết trước (Forwards) hợp đồng tương lai (Futures) chọn làm tài sản sở, với giá ban đầu F0 : C0 = e−rT [F0 N(d1 ) − XN(d2 )] 57 (3.8.2) CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH √ σ T ln FX0 + √ d2 = d1 − σ T d1 = 58 σ2 T , KẾT LUẬN Trong luận văn tơi cố gắng hệ thống hóa số yếu tố Giải tích ngẫu nhiên, gồm trình ngẫu nhiên (đặc biệt chuyển động Brown q trình Poisson, lý thuyết martingale), tích phân Itơ, tích phân Stratonovich, nội dung tổng quát Phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng cụ thể Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng Tài Trong nhiều ứng dụng phong phú Giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu Tài chính, tơi nêu ví dụ điển hình mơ hình Black - Scholes định giá quyền chọn kiểu châu Âu Ngoài ra, khái niệm quan trọng định giá phương pháp độ chênh thị giá chủ yếu dựa Giải tích ngẫu nhiên trình bày đầy đủ Do trình độ thời gian tác giả có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo thầy để tác giả tiến việc nghiên cứu lĩnh vực thú vị 59 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Dung (2014), Một Số Tìm hiểu Bổ túc Xác Suất, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hữu Vương Qn Hồng (2007), Các phương pháp Tốn học Tài chính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Trọng Nguyên (2011), Cơ sở tốn Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [4] Trần Hùng Thao (2013), Toán tài bản, Nhà Xuất Bản Văn Hóa Thơng Tin, Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên & Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn Tốn học Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [7] Hoàng Thị Phương Thảo (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jump Processes", East-West J of Mathematics, 15(2), PP.101-106 [8] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác Suất Nâng Cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [9] Martin Baxter and Andrew Renie (2000), Financial Calculus- An introduction to derivative pricing, Cambridge University Press [10] Alison Etheridge (2002), A Course in Financial Calculus, Cambridge University Press [11] Helmut Strasser (2006), Introduction to Probability Theory and Stochastic Processes (STATS), Vienna Graduate School Of Finance (VGSF) 60 ... Chương TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành mơn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích. .. II Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích. .. Markov lời giải VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Phần I Q TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH