PHÉP NHÂN MA TRẬN – MA TRẬN NGHỊCH đảo ppt _ TOÁN CAO CẤP

BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng pptx mơn ngành Y dược hay có “tài liệu ngành dược hay nhất”; https://123doc.net/users/home/user_home.php? use_id=7046916 Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ma trận phép tốn tuyến tính Định thức Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận Bài PHÉP NHÂN MA TRẬN – MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I Phép nhân ma trận với ma trận Khái niệm phép nhân ma trận với ma trận Các tính chất phép toán II Ma trận nghịch đảo Khái niệm ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vuông Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi ma trận Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận I Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa phép toán Cho hai ma trận: �a11 a12 �a a22 21 A =� � � am1 am2 � b11 b12 a1n � � � b21 b22 a2n � � � B= � � � � bn1 bn2 amn � � mn x b1p � b2p � � � bnp � � np x ma trận A có số cột số dịng ma trận B ĐN: Tích ma trận A ma trận B ma trận cấp mxp , ký hiệu AB xác định sau: đó: �c11 c12 �c c22 21 � AB =C = � � cm1 cm2 � c1p � c2p � � � cmp � � mp cij =ai1b1j +ai2b2j + +ainbnj=AidxBcj x  i=1,2, ,m; j=1,2, ,p I Phép nhân ma trận với ma trận Chú ý: (1) Tích AB có nghĩa (thực được) số cột ma trận đứng trước (A) số dòng ma trận đứng sau (B); (2) Cấp ma trận tích AB (khi có nghĩa): Ma trận AB có số dịng số dịng ma trận đứng trước số cột số cột ma trận đứng sau; (Xem sơ đồ sau) A x B � AB mn np mp x x x (3) Các phần tử AB tính theo quy tắc: Phần tử cij (nằm dòng i, cột j AB) tích vơ hướng dịng i ma trận A (ma trận đứng trước) cột j ma trận B (ma trận đứng sau) d i c ij = A ×B c j I Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa phép tốn Ví dụ 1: Cho hai ma trận -3 2� � A =� ; � �9 -4 2� 2x3 �1 � B =� -2 � � � �5 -1� � � 3x2 Tính AB BA Giải: số cột A = số dòng B = số cột B = số dòng A = Giả sử AB = C = [cij]2x2 ; Ta có: �1 � -2�=-3- 2+10=5 c11 =  -3 2 x � � � �5 � � � Tương tự cho BA = D = [dij]3x3; c12 = -9+3- 2=-8 ta được: c21 = 9+8+10=27 �24 -11 8� c22 = 27-12- 2=13 �33 -14 2� BA = � � � � AB =�5 -8 � � � -24 � � � 2x2 27 13 � Cho ma trận: -2 2� �2 -2 1� � �4 -1 3� �4 -3 4� � � A =� ; B =� �2 3� �5 -3 � � � �3 -1 1� -6 � � � � Phần tử nằm dòng 2, cột ma trận tích A'.B là: 50:50 A: - B: - 23 C: 15 D: - 15 �2 � -2 � A'= �4 �1 � -2 4 -6� � �4 -3 4� � ; B =� -1 � �5 -3 �3 -1 3 5� � � 3 2� 4� � cij � ; � A'B =C =� � �4X5 3� 1� � �4 � � -3� c23 = ( -2 4) � �=-8-15+4- =-23 �1� � � �-1� P/tử dòng cột mtrận A’B là: 50:50 A: - B: - 23 C: 15 D: - 15 I Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa phép toán Ví dụ 2: Cho hai ma trận �2 -4 � A =� 5� ; � � � � -3 � � -2 � � B =� m -1� � � � � � � a) Tính phần tử dòng ma trận AB b) Tính phần tử cột ma trận AB Giải: Ta có AB  C  � cij � � � 3x4 a) Các phần tử dòng ma trận AB là: c31 = 24 + 10 – = 28 c32 = – 16 + 2m –15 = 2m –31 c33 = + – = c34 = 24 – –18 = b) Các phần tử cột ma trận AB là: c12 =-4 - 4m+5 =-4m+1; c22 =-8 +2m+25 =2m+17; c32 =-16 +2m- 15=2m- 31; I Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa phép toán Nhận xét: Nếu A có cấp mxn; B có cấp nxp AB = C Thì  Ai B  Ci ; i  1,2, ,m  ABj  Cj ; j  1,2, ,p d d c c II Ma trận nghịch đảo Khái niệm ma trận nghịch đảo Ví dụ: Cho ma trận 5� � A =� ; � �1 3� �3 -5� B =� -1 � � � Ta có �1 0� =E AB = � � 1� � �1 0� =E BA = � � 1� � � � � � � � AB =BA =E � � � Suy ra, ma trận A có ma trận nghịch đảo – ma trận B: �3 -5� A =� =B; � -1 � � -1 5� � B =� �=A � � -1 II Ma trận nghịch đảo Các tính chất ma trận nghịch đảo Tính chất 1: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo  A-1 =A -1 Ta có A.A -1 =E � A -1 = A A.A -1 =E � -1 A A -1 =1 � A -1 = A -1 Tính chất 2: Nếu hai ma trận vng cấp A, B có ma nghịch đảo ma trận tích AB có ma trận nghịch đảo và: Ta có  AB B -1 =B-1A -1 A -1  AB =B-1  A -1A  B =B-1  E  B =B-1B =E -1  AB  B-1A -1 =A  BB-1 A -1 =A  E  A -1 =AA -1 =E �  AB  B-1A -1 = B-1A -1  AB  =E II Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vuông ĐN: Cho A ma trận vuông cấp n: A = aij  nxn Xét ma trận vuông cấp n ký hiệu xác định sau: �A11 A 21 An1 � �A � A A 22 n2 � A * =� 12 � � Aij phần bù đại số aij �A � � 1n A 2n Ann � nxn det(A) Ma trận A* gọi MA TRẬN PHỤ HỢP ma trận A Chú ý:  P/tử nằm dòng i cột j mtrận A* A ji (phần bù đại số aji)  Việc lập ma trận A* thực sau:  Các phần bù đại số dòng A viết cột A*;  Các phần bù đại số dòng A viết cột A*;  Các phần bù đại số dòng n A viết cột n A*; II Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vng Ví dụ 1: Lập ma trận phụ hợp ma trận A �A11 A 21 A 31 � -4� � ; Ta có A * = �A12 A 22 A 32 � A =� -5 � � � � � � � � � A A A 23 33 � � 13 � � -4 -4 -5 =-18 A11 = A 31 = =-17; A 21 =- =-25; -5 -4 2 -4 =14; A = =3; =-16 A12 = A 32 = 22 3 A13 = -5 =33; A 23 =3 =-9; -17 -25 -18� � � A * =�3 14 -16� � � �33 -9 -13� � � A 33 = -5 =-13 II Ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vng �2 -2 Ví dụ 2: Cho ma trận A : �4 -1 A =� �2 � -3 � Phần tử nằm dòng cột ma trận phụ hợp A* là: 1� 3� � 0� 5� � -2 A23 =- -3 =-41 Định lý: Cho A ma trận vuông cấp n, ta có: �d �0 AA * =A *A =d.En =� � �0 � � d � � ; � d � �  d= A  NX: Với A ma trận vng cấp n det(A)det(A*) = [det(A)]n II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Định lý: Điều kiện cần đủ để ma trận vng A có ma trận nghịch đảo là: d = A � Khi A có ma trận nghịch đảo ma trận nghịch đảo xác định theo công thức: A -1 = A * d Chứng minh: * � �1 * � � AA =A A =d.E � A � A �=� A � A =E d d � � � 14 43� 43 * * A -1 A -1 ĐN: Ma trận vng có định thức khác gọi ma trận khơng suy biến Ma trận có ma trận nghịch đảo gọi ma trận khả nghịch II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Các bước tìm ma trận nghịch đảo ma trận phụ hợp Bước 1: Tính định thức ma trận A Bước 2: ● Nếu d= A =0 A khơng có ma trận nghịch đảo; ● Nếu d= A �0 A có ma trận nghịch đảo;  Lập ma trận phụ hợp A* * -1  Trả lời : A = A d Ví dụ 1: Xét ma trận �3 -5 � 5� * -1 � � A ; ta có A = � ; A =1 � � A =� � -1 � � �1 3� 1�3 -5� �3 -5� -1 � A = � =� � -1 � � -1 � 1� � II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Kết tổng quát: Với A ma trận vuông cấp 2: a b� � A� � c d � � �d -b� Nếu ad – bc ≠ A có mt nghịch đảo A = � ad - bc � -c a � � -1 Ví dụ 2: Tìm ma trận nghịch đảo ma trận: -3� � A =�1 � � � � � -1 � � Giải: -3  Ta có: A = =64 +30+3-(-60-12+8) =161�0 -1 II Ma trận nghịch đảo thức -3tìm Điều kiện tồn công � � ma trận nghịch đảo �*1 � A =  Lập ma trận phụ hợp A �của A: � � � -1 � � A11 = A12 =- -1 =19; =11; A13 = =-21; -1 A 21 =A 22 = -3 -1 4 -3 =-5; -3 =18 A 31 = =31; -3 =-15 A 32 = =14; A 23 = -1 �19 -5 18 � � A * =�11 31 -15� � � � � -21 14 14 � �  M/trận nghịch đảo A là: A 33 = 4 =14 �19 -5 18 � 1 � -1 A = A*= 11 31 -15� � A 161� � � -21 14 14 � � II Ma trận nghịch đảo Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo Chú ý: Ví dụ 3: Cho ma trận vng cấp �A11 A 21 A 31 A 41 � �4 -2 � �3 -5 � * �A12 A 22 A 32 A 42 � � � A =�A A =� � 13 A 23 A 33 A 43 � -5 -4� � �A � �2 -1 k � � 14 A 24 A 34 A 44 � � � Với giá trị k A có ma trận nghịch đảo? Khi tìm phần tử dịng cột ma trận nghịch đảo A-1 Lời giải tóm tắt:  (Tính định thức A để có kết quả): A = =-5k+15 A có ma trận nghịch đảo  A ≠  -5k + 15 ≠  k ≠ *  Ta lại có: A = A A -1 Phần tử nằm dòng cột ma trận nghịch đảo A-1 là: - -5 -2 -4 A 41 = A -5k+15 = -5k+15 II Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi ma trận Giả sử ta cần tìm ma trận nghịch đảo A: C = A E  nx2n Bước 1: Lập ma trận Bước 2: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng, đưa C dạng  E B nx2n Khi B ma trận nghịch đảo A: B =A -1 Ví dụ: Tìm nghịch đảo �2 5� A =� � -3 � � 0��17 �2 0��(3) �  A E  =� ��2 � � � � (-5) -3 1 17 � � � � �34 �1 1/17 -5/17� 34 -10� � �� �� � � 1 3/17 2/17 � 17 � �1 -5� � � 17 � 42 � A -1 = 2� 17 � � � A -1 II Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi ma trận Chú ý: Phương pháp dùng ma trận phụ hợp phù hợp với ma trận cấp thấp (n =1, 2,3), phương pháp biến đổi phù hợp với ma trận cấp lớn thuận lợi với ma trận có dạng gần ma trận E Khi thực phương pháp biến đổi việc tính tốn dài dịng dễ nhầm lẫn (do phải làm việc với nhiều số thập phân) Do đó, cấp thấp, ta nên dùng phương pháp MA TRẬN PHỤ HỢP Đặc biệt với phương pháp ma trận phụ hợp ta tìm cách nhanh chóng số phần tử ma trận nghịch đảo theo "địa chỉ" II Ma trận nghịch đảo Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận Xét phương trình ma trận: AX =B Trong A ma trận vuông không suy biến AX =B � �  A -1  A �0 A -1  AX  =A -1B X =A -1B Tương tự, với phương trình YA =B với A ma trận vng khơng suy biến Thì nghiệm Y =BA -1  A �0 II Ma trận nghịch đảo Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận Ví dụ 1: Giải phương trình ma trận Đặt �2 -4� �2 -1 3� �3 �X =�-4 2� � �44 43 � 14 43 � A -4 Ta có A = = 22 �0 � B A -1 = �5 4� � -3 22 � � � Phương trình có nghiệm là: �2 -1 3� �-6 23� �5 4� � X =A B = � = � � � � -3 2� -4 2� 22 � -14 -5 � 22 � � � -1 II Ma trận nghịch đảo Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận Ví dụ 2: Giải phương trình ma trận �3 -6 1� �3 4� �4 2� X =�2 5� � � � � � � � � -3 -3 � � � � A Đáp số: B 119 75 � � �12 13 -19��3 4� � � � � � � = -18 -15 X= -14 -2 � � �� � 145 145 � �-30 265� �25 15 45 �� � -3 � � � �� � A1 Chú ý: Khi gặp phương trình ma trận AX = B, A khơng vng A vng lại khơng có ma trận nghịch đảo ta phải đưa phương trình hệ phương trình tuyến tính với ẩn phần tử X để giải ...Chương MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Ma trận phép tốn tuyến tính Định thức Phương pháp tính định thức Nhân ma trận - Ma trận nghịch đảo Hạng ma trận Bài PHÉP NHÂN MA TRẬN – MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I Phép nhân ma. .. ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi ma trận Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận I Phép nhân ma trận với ma trận Định nghĩa phép toán Cho hai ma trận: ... ma trận với ma trận Khái niệm phép nhân ma trận với ma trận Các tính chất phép tốn II Ma trận nghịch đảo Khái niệm ma trận nghịch đảo Ma trận phụ hợp ma trận vuông Điều kiện tồn cơng thức tìm ma