BTVN buổi 8+9

KHƠNG GIAN EUCLIDE Hãy chứng tỏ khơng gian tuyến tính thực hàm thực, liên tục đoạn [a, b] Euclide với tích vơ hướng cho b f (x), g(x) = f (x)g(x)dx a (a) Tìm độ dài vectơ f (x) = x (b) Tìm tích vơ hướng hai vectơ f (x) = x, g(x) = ex (c) Tìm góc vectơ f (x) = 1, g(x) = x Trong không gian tuyến tính thực ma trận cấp × n cặp vectơ     x1 y1  x2   u=  . ,  y2   v=   xn yn đặt tương ứng với số x1 y1 + + xn yn Hãy cho biết có tích vơ hướng V khơng? Trong khơng gian Euclide ma trận cấp × dựng sở trực chuẩn theo sở cho sau         1       1  , u2 = 0 , u3 = 0 , u4 =   (a) u1 =  1 1 0 0     −1     0 −1 1 0 0 0        (b) u1 =  0 , u2 = −1 , u3 = 2 , u4 = 1 1 Phép biến đổi f không gian Euclide biến đổi vectơ u thành f (u) = u, a a, a vectơ cố định khơng gian này, có tuyến tính khơng? Hãy tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương dạng tắc viết dạng tắc (a) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 5x21 + 9x22 + 9x23 − 12x1 x2 − 6x1 x3 (b) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 3x22 − 2x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 Tìm phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương sau dạng tắc viết dạng tắc √ (a) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + x22 + 3x23 − 2x24 (b) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 3x22 − 2x1 x2 + 4x! x3 + 4x2 x3 Trong mặt phẳng tọa độ, đưa phương trình sau dạng tắc (a) 25x2 − 14xy + 25y − 64x + 64y − 512 = (b) 3x2 + 10xy + 3y + 2x + 14y − 13 = a) Cho dạng song tuyến tính R3 xác định (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = ax1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 3x2 y2 − x2 y3 − x3 y2 + x3 y3 (a tham số) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở tắc R3 tìm điều kiện a để dạng song tuyến tính tích vơ hướng R3 b) Đưa dạng tồn phương dạng tắc phương pháp trực giao h = 3x21 + 3x22 + 3x23 − 4x1 x2 − 4x1 x3 − 4x2 x3 a) Cho dạng song tuyến tính R3 xác định (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + y2 − 2x2 y3 − 2x3 y3 + 3x3 y3 (a tham số) Tìm ma trận dạng song tuyến tính sở tắc R3 tìm điều kiện a để dạng song tuyến tính tích vơ hướng R3 b) Cho sở B = {(1, 1, −2), (2, 0, 1), (1, 2, 3)} khơng gian R3 với tích vơ hướng tắc Trực giao hóa Gram Schmidt sở B để thu sở trực chuẩn B tìm tọa độ vectơ u = {5, 8, 6} sở B 10 Xét khơng gian R3 với tích vô hướng thông thường a) Cho hai vectơ u1 = (1, −1, 2), u2 = (1, −2, 5) Tìm vectơ u thỏa mãn u, u1 = 25; u, u2 = 56 b) Đưa dạng toàn phương ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 2x22 + 5x23 − 2x1 x2 − 4x1 x3 + 4x2 x3 (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 dạng tắc phương pháp trực giao 11 Xét không gian R3 với tích vơ hướng thơng thường a) Cho hai vectơ u1 = (−1, 2, 1), u2 = (2, −5, 1) Tìm vectơ u thỏa mãn u, u1 = 29; u, u2 = −63 b) Đưa dạng toàn phương ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 3x22 + 3x23 − 2x1 x2 − 2x1 x3 − 2x2 x3 (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 dạng tắc phương pháp trực giao 12 Chéo hóa trực giao ma trận sau   0 a) A = 0 1 b) B = 1   −7 24 24  −1 c) C = −1 0 0  −2 d) D = −2 2 13 Đưa dạng tồn phương dạng tắc phương pháp trực giao (a) x21 + x22 + x23 + 2x1 x2 (b) 7x21 − 7x22 + 48x1 x2 (c) 2x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1 x2 − 2x1 x3 : 14 Giả sử T tốn tử tuyến tính √ T V −→ V thỏa mãn T v ≤ v với v ∈ V Chứng minh T − I ánh xạ khả nghịch, biết I ánh xạ đơn vị 15 Giả sử u, v ∈ V u ≤ v ≤ Chứng minh 1− u 1− v ≤ − u, v 16 Giả sử p > Chứng minh tồn tích vơ hướng R2 cho có chuẩn tương ứng (x, y) = (xp + y p ) p với (x, y) ∈ R2 p = 17 Tìm đa thức q bậc khả tích hệ số thực thỏa mãn p = p(x)q(x) dx với đa thức p bậc khả tích hệ số thực 18 Tìm đa thức q khả tích hệ số thực thỏa mãn 1 p(x)(cos πx) dx = p(x)q(x) dx với đa thức p khả tích hệ số thực 19 Trong R4 , gọi U = span{(1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 2)} Tìm u ∈ U cho u − (1, 2, 3, 4) đạt giá trị nhỏ nhất%bài 11 20 Tìm đa thức p bậc khả tích hệ số thực thỏa mãn p(0) = 0, p (0) = cho 2 + 3x − p(x) dx đạt giá trị nhỏ