Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Biến ngẫu nhiên liên tục tìm hiểu biến ngẫu nhiên liên tục và hàm mật độ xác suất; biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn; biến ngẫu nhiên phân phối khi–bình phương; biến ngẫu nhiên phân phối student.
BÀI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC ThS Hoàng Thị Thanh Tâm ThS Bùi Dương Hải Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014109126 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm điện tử với tuổi thọ sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình 3160 giờ, phương sai 6400 giờ2 Thời gian bảo hành sản phẩm 3000 Khi bán sản phẩm doanh nghiệp lãi triệu đồng, sản phẩm bị dừng hoạt động thời hạn bảo hành doanh nghiệp phải đền bù bị lỗ 10 triệu Làm để doanh nghiệp tính tỷ lệ sản phẩm bị dừng hoạt động thời gian bảo hành? Làm để doanh nghiệp tính tốn lợi nhuận trung bình mức độ phân tán lợi nhuận bán sản phẩm? v1.0014109126 MỤC TIÊU • Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục, đánh giá đồ thị hàm mật độ xác suất • Biết cách tra bảng để tìm xác suất biến phân phối Chuẩn hóa • Biết áp dụng cơng thức tính xác suất biến phân phối Chuẩn tốn thực tế • Biết cách tra bảng để tìm xác giá trị tới hạn v1.0014109126 HƯỚNG DẪN HỌC • Học lịch trình mơn học theo tuần, bắt buộc phải nắm nội dung học trước • Theo dõi chi tiết ví dụ giảng, tự làm tập luyện tập • Đọc giáo trình tài liệu tham khảo • Tự nghiên cứu trao đổi với bạn học cần thiết • Trao đổi với giảng viên qua phương tiện cung cấp v1.0014109126 NỘI DUNG Biến ngẫu nhiên liên tục hàm mật độ xác suất Biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn Biến ngẫu nhiên phân phối Khi–bình phương Biến ngẫu nhiên phân phối Student v1.0014109126 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC VÀ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên liên tục 1.2 Hàm mật độ xác suất 1.3 Tính chất hàm mật độ xác suất v1.0014109126 1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X liên tục giá trị có lấp đầy khoảng trục số • Với biến ngẫu nhiên liên tục X, giá trị nhỏ có xmin, giá trị lớn có xmax, thường viết dạng: X (xmin; xmax) Ví dụ Chiều dài loại sản (X) khoảng 10 đến 12 cm: X (10; 12) (cm) Khối lượng gói gia vị (Y) từ 100 đến 110 gam: Y (100; 110) (gam) • Trong thực tế có nhiều biến ngẫu nhiên chất rời rạc, nhiên số lượng giá trị nhiều nên xét biến ngẫu nhiên liên tục Ví dụ: Thu nhập người lao động: X [0 ; ) v1.0014109126 1.2 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT • Khái niệm: Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X( ký hiệu f(x)), hàm số không âm khoảng giá trị X diện tích tạo hàm số trục hồnh • Hình ảnh hàm f(x) thể phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X f(x) f(x) x v1.0014109126 x • Khoảng giá trị ngắn • Khoảng giá trị dài • Tập trung • Phân tán 1.3 TÍNH CHẤT HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT (1) f(x) ≥ với x f(x) P(0 < X < a) xmax (2) f(x)dx xmin b (3) P(a X b) f(x)dx a x (4) P(X = x0) = với x0 a f(x) P(a < X < b) (5) P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) x a v1.0014109126 b 1.3 TÍNH CHẤT HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT x Hình ảnh ba hàm mật độ xác suất khác nhau: • Với dạng hàm mật độ khác xác suất để X nằm khoảng (0; a) khác • Tại điểm mà hàm mật độ f(x) cao xác suất tập trung quanh nhiều a x a x v1.0014109126 a 10 2.3 BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN HĨA • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên U gọi phân phối theo quy luật Chuẩn hóa, ký hiệu U ~ N(0 ; 1) U phân phối Chuẩn với kỳ vọng phương sai • U ~ N(0 ; 1) gọi biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn hóa • Vậy, U ~ N(0 ; 1) E(U) = V(U) = • Hàm mật độ U ký hiệu φ(u): f(u) = φ(u) 0,39894 u Quả chuông đối xứng qua trục tung Độ cao đỉnh 0,39894 v1.0014109126 16 2.3 BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI CHUẨN HĨA • Lưu ý: Giá trị P(U < u) tra bảng Phụ lục Còn P(U > u) = 1– P(U < u) • Ví dụ: P(U < 0,52) = 0,6985 (là vị trí giao dịng u = 0,5 cột u = 0,02) Tương tự: P(U < 0,61 ) = 0,7291 v1.0014109126 u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 … φ(u) u 0,52 P(U < 0,52) = 0,6985 17 2.4 CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT U= X -μ ~ N(0;1) σ • Nếu X ~ N(μ ; σ2) thì: • Cơng thức tính xác suất để X ~ N(μ ; σ2) nhận giá trị (a, b) ( tính qua bảng số U ~ N(0 ; 1) ) (1) ã ổ b - ửữ ç P(X < b) = P çU < ÷ çè σ ÷ø (2) ỉ a - μ ư÷ P(a < X) = - P(X < a) = - P ỗỗU < ữ ỗố ữứ (3) ổ b - ửữ ỗổ a - ữử P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) = P ỗỗU < P U < ữ ỗ ữ ốỗ ữứ ỗố ữứ Thay s v tra Phụ lục để tính v1.0014109126 18 VÍ DỤ Thời gian khách chờ đợi quầy dịch vụ công (đơn vị: phút) biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn với trung bình 15 phút phương sai 16 phút2 (a) Tính xác suất khách đến quầy chờ 17 phút (b) Tính tỷ lệ khách đến quầy phải chờ từ 10 đến 16 phút (c) Tính tỷ lệ khách phải chờ 12 phút (d) Xác định mức thời gian mà 15% số khách phải chờ lâu mức thời gian Giải: Đặt X thời gian chờ (phút) => X ~ N(μ ; σ2) với μ = 15 σ2 = 16 suy σ = 17 - μ 17 - 15 (a) P(X < 17) = P U < = P U < = P U < 0,5 = 0,6915 σ (b) P(10 < X < 16) = P X < 16 - P(X < 10) 16 - 15 10 - 15 = PU < P U < = P U < 0,25 - P(U < -1,25) = 0,5987 - 0,1056 = 0,4931 v1.0014109126 19 VÍ DỤ 12 - 15 (c) P(X > 12) = - P(X < 12) = 1- P U < = 1- P U < -0,75 = - 0,2266 = 0,7734 (d) Gọi a mức thời gian cần xác định => Cần tìm a để P(X > a) = 0,15 (1) ỉ a - 15 ư÷ ç Mà: P(X > a) = - P(X < a) = 1- P ỗU < ữ ỗố ữứ (2) Từ (1) (2) ta có: ỉ a - 15 ửữ 1- P ỗỗU < ữữ = 0,15 ỗố ø => ỉ a - 15 ÷ư P ççU < ÷÷ = 0,85 = P(U < 1,04) çè ø a - 15 = 1,04 a = 15 + 4´1,04 = 19,15 • Suy ra: • Vậy 15% khách phải chờ lâu 19,15 (phút) v1.0014109126 20 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Một doanh nghiệp sản xuất sản phẩm điện tử với tuổi thọ sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn với trung bình 3160 giờ, phương sai 6400 giờ2 Thời gian bảo hành sản phẩm 3000 Khi bán sản phẩm doanh nghiệp lãi triệu đồng, sản phẩm bị dừng hoạt động thời hạn bảo hành doanh nghiệp phải đền bù lỗ 10 triệu (a) Tính tỷ lệ sản phẩm bị dừng hoạt động thời hạn bảo hành (b) Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn lợi nhuận bán sản phẩm Giải: Đặt X tuổi thọ sản phẩm (giờ) X ~ N(μ ; σ2) với μ = 3200 σ2 = 6400 suy σ = 80 (a) 3000 3160 P(X 3000) P U P(U 2) = 0,0228 80 (Y) 3,2 1,79 v1.0014109126 21 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG (b) Đặt Y lợi nhuận bán sản phẩm (triệu đồng) => Cần tính E(Y) V(Y) • Ta có Y = –10; P(Y = –10) = P(X < 3000) = 0,0228 P(Y = 2) = – 0,0228 = 0,9772 • Ta có bảng phân phối xác suất Y: Y –10 P(y) 0,0228 0,9772 E(Y) = –10 0,0228 + 0,9772 = 1,7264 E(Y2) = (–10)2 0,0228 + 22 0,9772 = 6,1888 V(Y) = E(Y2) – (E(Y))2 = 6,1888 – 1,72642 3,2 => v1.0014109126 22 2.5 GIÁ TRỊ TỚI HẠN CHUẨN • Định nghĩa: Giá trị tới hạn Chuẩn mức α số, ký hiệu uα, cho với U phân phối Chuẩn hóa xác suất để U lớn uα α Nghĩa là: P(U > uα) = α với α • Ví dụ: Tra bảng phụ lục ta có: P(U < 0,52) = 0,6985 => P(U > 0,52) = 0,3015 => u0,3015 = 0,52 • Các giá trị tới hạn Chuẩn uα tra Dịng cuối Phụ lục • Một số giá trị tới hạn quan trọng: u0,05 = 1,645 ; u0,025 = 1,96 v1.0014109126 23 2.5 GIÁ TRỊ TỚI HẠN CHUẨN • Tính chất: φ(u) α tăng uα giảm u1–α = – uα đồ thị đối xứng u –1,645 P(U > –1,645) = 0,95 Suy ra: u0,95 = –1,645 v1.0014109126 1,645 P(U > 1,645) = 0,05 Suy ra: u0,05 = 1,645 24 2.6 SỰ HỘI TỤ VỀ QUY LUẬT CHUẨN • Tổ hợp bậc biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn • Tổng số lớn (> 30) biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn v1.0014109126 25 BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI KHI–BÌNH PHƯƠNG • U1, U2 ,…, Un độc lập Ui ~ N(0;1), với i = 1,2,…,n • Biến ngẫu nhiên V = U12 + U22 +…+ Un2 phân phối theo quy luật Khi – bình phương (phân phối Khi bình phương) với n bậc tự do, ký hiệu: V ~ χ2(n) • Giá trị tới hạn Khi bình phương mức α bậc n, ký hiệu là: χ2α(n) • χ2α(n): Tra bảng Phụ lục tài liệu Text (hoặc Phụ lục Giáo trình) • Ví dụ: χ20,05(10) = 18,31 (là vị trí giao dịng n = 10 cột α = 0,05) Tương tự χ20,975(24) = 12,4 v1.0014109126 0.1 0.05 0.025 0.01 13.36 15.51 17.53 20.09 14.68 16.92 19.02 10 15.99 18.31 11 17.28 19.68 0.995 0.99 0.975 0.95 23 9.260 10.20 11.69 13.09 21.67 24 9.886 10.86 12.40 13.85 20.48 23.21 25 10.52 11.52 13.12 14.61 21.92 24.72 26 11.16 12.20 13.84 15.38 26 BIẾN NGẪU NHIÊN PHÂN PHỐI STUDENT • Cho hai biến ngẫu nhiên U, V độc lập U ~ N(0;1) V ~ χ2(n) U Xét: T = T phân phối theo quy luật Student (phân phối Student) với n bậc V/n tự do, ký hiệu T ~ T(n) • Giá trị tới hạn Student mức α bậc n, ký hiệu là: tα(n) • tα(n) Tra bảng Phụ lục tài liệu Text (hoặc Phụ lục Giáo trình) • Ví dụ: t0,025(8) = 2,306 (là vị trí giao dịng n = cột α = 0,025) • Chú ý: Với n > 30 tα(n) uα (Dịng cuối bảng phụ lục 4) • Ví dụ: t0,025(99) = u0,025 = 1,96 • v1.0014109126 0.1 0.05 0.025 0.01 1.397 1.860 2.306 2.896 1.383 1.833 2.262 2.821 10 1.372 1.812 2.228 2.764 11 1.363 1.796 2.201 2.718 27 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho hàm mật độ xác suất thu nhập người (đường liền nét) thu nhập người (đường đứt nét) Câu mơ tả tình trạng thu nhập hai người? A Thu nhập Người có trung bình cao ổn định người B Thu nhập Người có trung bình cao biến động người C Thu nhập Người có trung bình thấp ổn định người D Thu nhập Người có trung bình thấp biến động người f Thu nhập người Thu nhập người Trả lời: Đáp án là: Thu nhập Người có trung bình thấp ổn định người Vì: chng liền nét có đỉnh nằm bên trái nhiều => thu nhập trung bình người thấp Mặt khác, đỉnh chuông liền nét lại cao tức phương sai bé hay thu nhập người ổn định v1.0014109126 28 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho giá biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn với trung bình 20 (nghìn) phương sai (nghìn2) Xác suất để giá 24 (nghìn) xấp xỉ: A 0,0228 B 0,1587 C 0,8413 D 0,9744 Trả lời: Đáp án là: 0,0228 Vì: Đặt X giá (nghìn) Ta có X ~ N(μ ; σ2) với μ = 20 σ2 = suy σ = Áp dụng cơng thức tính xác suất quy luật chuẩn ta có: => P(X > 24) = 1– P(X < 24) = 1– P(U < 2) = 0,0228 v1.0014109126 29 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Biến ngẫu nhiên liên tục có giá trị lấp đầy khoảng, có phân phối xác suất thể qua hàm mật độ xác suất Hàm mật độ xác suất cao xác suất tập trung quanh nhiều • Biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn có hàm mật độ dạng chng, hai tham số kỳ vọng phương sai Kỳ vọng tăng chng dịch sang phải, phương sai tăng chng thấp xuống bẹt • Để tính xác suất biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn, cần tính qua biến ngẫu nhiên phân phối Chuẩn hóa với giá trị xác suất tra bảng phụ lục • Giá trị tới hạn Chuẩn, giá trị tới hạn Khi – bình phương giá trị tới hạn Student cho bảng phụ lục, sử dụng cho toán phần sau v1.0014109126 30 ... P U < 0,25 - P(U < -1 ,25) = 0,5987 - 0,1056 = 0 ,49 31 v1.00 141 09126 19 VÍ DỤ 12 - 15 (c) P(X > 12) = - P(X < 12) = 1- P U < = 1- P U < -0 ,75 = - 0,2266 = 0,77 34 (d) Gọi a mức... tính xác suất quy luật chuẩn ta có: => P(X > 24) = 1– P(X < 24) = 1– P(U < 2) = 0,0228 v1.00 141 09126 29 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Biến ngẫu nhiên liên tục có giá trị lấp đầy khoảng, có phân phối xác suất. .. ỉ a - μ ư÷ P(a < X) = - P(X < a) = - P ỗỗU < ữ ỗố ữứ (3) ổ b - ửữ ỗổ a - ữử P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) = P ỗỗU < P U < ữ ç ÷ èç σ ÷ø çè σ ÷ø Thay số tra Phụ lục để tính v1.00 141 09126