Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 2: Các định lý xác suất được biên soạn nhằm cung cấp đến người học các kiến thức bao gồm định lý nhân xác suất; định lý cộng xác suất; định lý Bernoulli; công thức xác suất đầy đủ.
BÀI CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT ThS Hoàng Thị Thanh Tâm Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014109216 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Đánh giá thị trường tiềm Một doanh nghiệp định vấn khách hàng sản phẩm trước đưa sản phẩm thị trường Trong số khách hàng vấn ngẫu nhiên có 18% trả lời “sẽ mua”, 48% trả lời “có thể mua” 34% trả lời “không mua” Theo kinh nghiệm, tỉ lệ khách hàng thực mua sản phẩm tương ứng với cách trả lời 45%, 25% 1% Làm để doanh nghiệp đánh giá thị trường tiềm sản phẩm đó? v1.0014109216 MỤC TIÊU • Biết cách biểu diễn biến cố quan tâm qua tổng tích biến cố liên quan • Nắm nội dung định lý nhân xác suất định lý cộng xác suất • Biết vận dụng định lý nhân với tích biến cố định lý cộng với tổng biến cố để tính xác suất biến cố tốn cụ thể • Nhận dạng toán tuân theo lược đồ Bernoulli, biết áp dụng cơng thức tính xác suất tra bảng tốn • Biết xác định nhóm biến cố đầy đủ có ảnh hưởng đến biến cố quan tâm biết áp dụng công thức xác suất đầy đủ để giải toán v1.0014109216 HƯỚNG DẪN HỌC • Học lịch trình môn học theo tuần, làm tập buổi học trước • Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán NXB Đại học KTQD • Theo dõi chi tiết ví dụ, tự tính kết để kiểm tra • Sinh viên tự học, làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên • Tham khảo thơng tin từ trang Web môn học v1.0014109216 NỘI DUNG Định lý nhân xác suất Định lý cộng xác suất Định lý Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ v1.0014109216 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT • Xác suất có điều kiện: Xác suất biến cố B tính với điều kiện biến cố A xảy gọi xác suất B với điều kiện A, ký hiệu P(B | A) • Ví dụ 1: Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm, lấy hai sản phẩm theo phương thức khơng hồn lại Tìm xác suất để: Lần thứ hai lấy phẩm biết lần thứ lấy phẩm Lần thứ hai lấy phẩm biết lần thứ lấy phế phẩm Giải: Đặt A “lần thứ lấy phẩm” B “lần thứ hai lấy phẩm” Cần tìm P(B|A) =? P(B | A) = 5/9 = 0,556 Cần tìm P(B | Ā) =? P(B | Ā) = 6/9 = 0,667 v1.0014109216 0,333 10 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT • Định lý 1: Xác suất tích hai biến cố phụ thuộc tích xác suất hai biến cố với xác suất có điều kiện biến cố cịn lại Nếu A B phụ thuộc thì: • P(A.B) = P(A).P(B|A) Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy sản phẩm theo phương thức khơng hồn lại Tính xác suất để lấy phẩm Giải: Gọi C "Lấy phẩm” A "Lấy phẩm lần thứ nhất” B "Lấy phẩm lần thứ hai" => C = A.B => cần tính P(C)=? Do phương thức lấy khơng hồn lại nên A B phụ thuộc 0,333 => P(C) = P(A.B) = P(A).P(B|A) = 10 • Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An phụ thuộc thì: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2|A1)…P(An|An–1) v1.0014109216 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT (tiếp theo) • Định lý 2: Xác suất tích hai biến cố độc lập tích xác suất thành phần Nếu A B độc lập thì: P(A.B) = P(A).P(B) • Ví dụ 3: Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Người ta lấy sản phẩm theo phương thức có hồn lại Tính xác suất để lấy phẩm Giải: Gọi C "Lấy phẩm” A "Lấy phẩm lần thứ nhất” B "Lấy phẩm lần thứ hai" => C = A.B Do phương thức lấy có hồn lại nên A B độc lập 6 36 0,36 => P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) = 10 10 100 • Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An độc lập tồn phần thì: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2)…P(An) v1.0014109216 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT (tiếp theo) • Từ định lý ta suy ra: Nếu P(A) > P(B) > thì: P(A|B) = P(A.B) P(A.B) P(B|A) = P(B) P(A) Nếu P(B) = P(A) = P(A | B) P( B | A) không xác định Nếu A B độc lập P(A) > ; P(B) > thì: P(A) • P(A.B) P(A.B) P(B) P(A) P(B) Chú ý: A B độc lập khi: P(A.B) = P(A).P(B) Hoặc P(B | A) = P(B) P(A | B) = P(A) Nếu A B độc lập A B, Ā B, Ā B độc lập v1.0014109216 ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT • Định lý 1: Xác suất tổng hai biến cố không xung khắc tổng xác suất biến cố trừ xác suất tích hai biến cố Nếu A, B khơng xung khắc thì: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) • Ví dụ 1: Một người chào hàng hai nơi độc lập Xác suất nơi thứ đặt hàng 0,3 xác suất nơi thứ hai đặt hàng 0,4 Tính xác suất để người có nhận đơn đặt hàng • Giải: Gọi: C “người có nhận đơn đặt hàng” A “nơi thứ đặt hàng” P(A) = 0,3 B “nơi thứ hai đặt hàng” P(B) = 0,4 C = A + B Cần tính P(A + B) = ? Ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A.B) Mà P(A.B) = P(A).P(B) (vì A B khơng xung khắc) (vì A B độc lập) Thay số P(C) = P(A + B) = 0,3 + 0,4 – 0,3 × 0,4 = 0,58 v1.0014109216 10 ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT (tiếp theo) • Định lý 2: Xác suất tổng hai biến cố xung khắc tổng hai xác suất hai biến cố thành phần Nếu A B xung khắc thì: P(A + B) = P(A) + P(B) • Ví dụ 2: Gieo xúc xắc cân đối đồng chất lần Tính xác suất để xuất nhiều chấm Giải: Gọi A "xuất nhiều hai chấm” A1 "xuất mặt chấm"=> P(A1) = 1/6 A2 "xuất mặt hai chấm"=> P(A2) = 1/6 => A = A1 + A2 => Cần tính P(A) = ? Ta có: P(A) = P(A1 + A2) • = P(A1) + P(A2) (do A1 ,A2 xung khắc) 1 = 6 Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An xung khắc đơi thì: P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An) v1.0014109216 11 ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT (tiếp theo) • Định lý 3: Tổng xác suất nhóm biến cố đầy đủ Nếu A1, A2,…, An tạo thành nhóm đầy đủ thì: P(A1) + P(A2) +…+ P(An) = • Định lý 4: Nếu A Ā biến cố đối lập P(A) + P(Ā) = hay P(A) = – P(Ā) • Ví dụ 3: Một người chào hàng hai nơi độc lập Xác suất nơi thứ đặt hàng 0,3 xác suất nơi thứ hai đặt hàng 0,4 Tính xác suất để người khơng nhận đơn đặt hàng Giải: Gọi A ‘‘người khơng nhận đơn đặt hàng’’ Ā ‘‘người có nhận đơn đặt hàng’’ Ta thấy Ā = C (Theo ví dụ phần định lý 1) => P(Ā) = P(C) = 0,58 => P(A) = – P(Ā) = – 0,58 = 0,42 v1.0014109216 12 VÍ DỤ VỀ ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT Ví dụ 1: Doanh nghiệp M tham gia đấu thầu hai dự án cách độc lập Xác suất để trúng thầu dự án thứ 0,6 Xác suất trúng thầu dự án thứ hai 0,7 Tính xác suất để doanh nghiệp M: (a) Trúng thầu hai dự án (b) Chỉ trúng thầu dự án (c) Trúng thầu dự án Giải: (a) Đặt A “trúng thầu dự án" A1 “trúng thầu dự án thứ nhất"=> P(A1 ) = 0,6 A2 “trúng thầu dự án thứ hai"=> P(A2) = 0,7 => A = A1 A2 => P(A) = P(A1) P(A2) = 0,6.0,7 = 0,42 (do A1, A2 độc lập) (b) Đặt B "chỉ trúng thầu dự án"=> B = A1.Ā2 + Ā1.A2 Do nhóm biến cố xung khắc nhóm biến cố độc lập nên: => P(B) = P(A1.Ā2) + P(Ā1.A2) = P(A1).P(Ā2) + P(Ā1).P(A2) = 0,6.(1 – 0,7) + (1– 0,6).0,7 = 0,46 v1.0014109216 13 VÍ DỤ VỀ ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT Ví dụ 1: Doanh nghiệp M tham gia đấu thầu hai dự án cách độc lập Xác suất để trúng thầu dự án thứ 0,6 Xác suất trúng thầu dự án thứ hai 0,7 Tính xác suất để C doanh nghiệp M: (a) TrúngCthầu hai dự án (b) Chỉ trúng C thầu dự án (c) Trúng thầu dự án Giải: C (a) Đặt A “trúng thầu dự án" A1 “trúng thầu dự án thứ nhất"=> P(A1 ) = 0,6 A2 “trúng thầu dự án thứ hai"=> P(A2) = 0,7 => A = A1 A2 => P(A) = P(A1) P(A2) = 0,6.0,7 = 0,42 (do A1, A2 độc lập) (b) Đặt B "chỉ trúng thầu dự án"=> B = A1.Ā2 + Ā1.A2 Do nhóm biến cố xung khắc nhóm biến cố độc lập nên: => P(B) = P(A1.Ā2) + P(Ā1.A2) = P(A1).P(Ā2) + P(Ā1).P(A2) = 0,6.(1 – 0,7) + (1– 0,6).0,7 = 0,46 v1.0014109216 14 VÍ DỤ VỀ ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT (c) Gọi C ‘‘trúng thầu dự án’’ Cách 1: Gọi C ‘‘không trúng thầu dự án nào’’ C = Ā1Ā2 => P(C) = P(Ā1).P(Ā2) (do Ā1,Ā2 độc lập) = (1 – 0,6).(1 – 0,7) = 0,12 => P(C) = – P(C) = – 0,12 = 0,88 Cách 2: C=A+B => P(C) = P(A) + P(B) (do A B xung khắc) = 0,42 + 0.46 = 0,88 Cách 3: C = A1 + A2 => P(C) = P(A1) + P(A2) – P(A1.A2) (do A1, A2 không xung khắc độc lập) = 0,6 + 0,7 – 0,6.0,7 = 0,88 v1.0014109216 15 VÍ DỤ VỀ ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT Ví dụ 2: Doanh nghiệp Q tham gia đấu thầu hai dự án Xác suất để trúng thầu dự án thứ 0,6 Nếu trúng thầu dự án thứ khả trúng thầu dự án thứ hai 0,8 Tuy nhiên trượt thầu dự án thứ khả trúng thầu dự án thứ hai cịn 0,4 Tính xác suất để doanh nghiệp Q: (a) Trúng thầu hai dự án (b) Chỉ trúng thầu dự án (c) Trúng thầu dự án Giải: (a) Đặt A “trúng thầu dự án " A1 “trúng thầu dự án thứ nhất"=> P(A1 ) = 0,6 A2 “trúng thầu dự án thứ hai"=> P(A2|A1) = 0,8 ; P(A2|Ā1) = 0,4 => A = A1 A2 => P(A) = P(A1) P(A2|A1) (do A1, A2 phụ thuộc) = 0,6.0,8 = 0,48 v1.0014109216 16 VÍ DỤ VỀ ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT (b) Đặt B "chỉ trúng thầu dự án"=> B = A1.Ā2 + Ā1.A2 => P(B) = P(A1.Ā2) + P(Ā1.A2) (do nhóm biến cố xung khắc) = P(A1).P(Ā2|A1) + P(Ā1).P(A2|Ā1) (do nhóm biến cố phụ thuộc) = 0,6.(1–0,8) + (1–0,6).0,4 = 0,28 (c) Đặt C "trúng thầu dự án” Cách 1: Gọi C ‘‘không trúng thầu dự án nào’’ C = Ā1Ā2 => P(C ) = P(Ā1) P(Ā2|Ā1) (do Ā1,Ā2 phụ thuộc) = (1 – 0,6).(1 – 0,4) = 0,24 => P(C) = – P( C ) = – 0,24 = 0,76 Cách 2: C=A+B => P(C) = P(A) + P(B) (do A B xung khắc) = 0,48 + 0,28 = 0,76 v1.0014109216 17 ĐỊNH LÝ BERNOULLI • Lược đồ Bernoulli: Thực n phép thử độc lập, xác suất để biến cố A xảy phép thử p Khi ta có lược đồ Bernoulli với hai tham số n p • Định lý Bernoulli: Với lược đồ Bernoulli, xác suất để biến cố A xảy x lần n phép thử, ký hiệu P(x | n, p), tính theo cơng thức • Ví dụ: Một người chào hàng nơi độc lập nhau, xác suất nơi đặt hàng 0,4 Tính xác suất để Có nơi đặt hàng Có nơi đặt hàng Có nơi đặt hàng • Giải Coi việc chào hàng nơi phép thử => n = Gọi A “đặt hàng“ P(A) = 0,4 phép thử => Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = p = P(A) = 0,4 v1.0014109216 18 ĐỊNH LÝ BERNOULLI Xác suất để có nơi đặt hàng là: P(x 1| n 5;p 0,4) C15 (0,4)1 (1 0,4)4 0,4 0,1296 0,2592 Xác suất để có nơi đặt hàng là: P(x | n 5;p 0,4) C52 (0,4)2 (1 0,4)3 10 0,16 0,216 0,3456 Đặt C ‘‘có nơi đặt hàng’’ => C ‘‘không nơi đặt hàng’’ P(C ) = P(x = | n = ; p = 0,4) = 0,0778 P(C) = 1– P(C) = 0,9222 Chú ý: Bên cạnh việc sử dụng máy tính bấm tay để tính xác suất, với tốn có n đến 12 p giá trị lẻ đến 0,5 sử dụng bảng Phụ lục để tra xác suất v1.0014109216 19 CƠNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ • Định lý: Với A1, A2,…, An nhóm đầy đủ biến cố, biến cố B xảy đồng thời với biến cố đó, xác suất B tính bởi: n P(B) P(A )P(B | A ) P(A n )P(B | A n ) P(A i )P(B | A i ) i 1 • Ví dụ: Trong số khách vào cửa hàng tỷ lệ nam 60%, nữ 40% Tỷ lệ nam mua hàng 30% tỷ lệ nữ mua hàng 35% Hãy tính tỷ lệ khách mua hàng số khách vào cửa hàng • Giải: Đặt B “khách mua hàng” A1 “khách nam"=> P(A1) = 0,6 P(B | A1) = 0,3 A2 “khách nữ" => P(A2) = 0,4 P(B | A2) = 0,35 Mà {A1; A2} nhóm đầy đủ: => P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) = 0,6 0,3 + 0,4 0,35 = 0,32 Vậy: tỷ lệ khách mua hàng 32% v1.0014109216 20 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Thị trường tiềm sản phẩm tỉ lệ khách hàng thực mua sản phẩm • Đặt B “khách hàng thực mua sản phẩm” A1 biến cố khách trả lời ‘‘sẽ mua” => P(A1) = 0,18 P(B | A1) = 0,45 A2 biến cố khách trả lời ‘‘có thể mua” => P(A2) = 0,48 P(B | A2) = 0,25 A3 biến cố khách trả lời ‘‘không mua” => P(A3) = 0,34 P(B | A3) = 0,01 • Mà {A1; A2 ; A3} nhóm đầy đủ: => P(B) = P(A1)P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + P(A3)P(B | A3) = 0,18 0,45 + 0,48 0,25 + 0,34 0,01 = 0,204 v1.0014109216 21 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xác suất M.N tích xác suất M nhân với xác suất N hai biến cố là: A Xung khắc B Đối lập C Độc lập D Phụ thuộc Trả lời: Đáp án là: Độc lập Vì điều kiện cần đủ để biến cố M N độc lập là: P(M.N) = P(M).P(N) v1.0014109216 22 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xác suất để ký hợp đồng thứ 0,4; xác suất để ký hợp đồng thứ hai 0,5 xác suất để ký hai hợp đồng 0,3 Khi xác suất để không ký hợp đồng là: A 0,2 B 0,4 C 0,6 D 0,9 Trả lời: Đáp án là: 0,4 Vì gọi A “khơng ký hợp đồng nào” Ā "ký hợp đồng” A1 ‘‘ký hợp đồng thứ nhất” => P(A1) = 0,4 A2 “ký hợp đồng thứ hai” => P(A2) = 0,5 P(A1.A2) = 0,3 Ta có: Ā = A1 + A2 A1 ,A2 không xung khắc nên: P(Ā) = P(A1 )+ P(A2 ) – P(A1.A2) = 0,4 + 0,5 – 0,3 = 0,6 => P(A) = – P(Ā) = 1– 0,6 = 0,4 v1.0014109216 23 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Khi biến cố xem tích biến cố khác để tính xác suất biến cố ta áp dụng định lý nhân xác suất • Để áp dụng định lý nhân xác suất cần xác định mối quan hệ biến cố tích độc lập hay phụ thuộc • Khi biến cố xem tổng biến cố khác để tính xác suất biến cố ta áp dụng định lý cộng xác suất • Để áp dụng định lý cộng xác suất cần xác định mối quan hệ biến cố tổng xung khắc hay khơng xung khắc • Trong tốn tn theo lược đồ Bernoulli để tính xác suất biến cố quan tâm xuất lần tổng số phép thử ta áp dụng cơng thức Bernoulli • Cơng thức xác suất đầy đủ dùng để tính xác suất biến cố mà xảy đồng thời với biến cố nhóm đầy đủ phép thử v1.0014109216 24 ... học v1.001410 921 6 NỘI DUNG Định lý nhân xác suất Định lý cộng xác suất Định lý Bernoulli Công thức xác suất đầy đủ v1.001410 921 6 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT • Xác suất có điều kiện: Xác suất biến cố... biến cố A1, A2,…, An phụ thuộc thì: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2|A1)…P(An|An–1) v1.001410 921 6 ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT (tiếp theo) • Định lý 2: Xác suất tích hai biến cố độc lập tích xác suất thành phần... P(A1)P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + P(A3)P(B | A3) = 0,18 0,45 + 0,48 0 ,25 + 0,34 0,01 = 0 ,20 4 v1.001410 921 6 21 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xác suất M.N tích xác suất M nhân với xác suất N hai biến