Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 1: Biến cố và xác suất biên soạn với các kiến thức phép thử và biến cố; xác suất của biến cố; định nghĩa cổ điển về xác suất; định nghĩa thống kê về xác suất; nguyên lý xác suất nhỏ và xác suất lớn; mối quan hệ giữa các biến cố.
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN • Mục tiêu: Mơn học bao gồm phần lý thuyết xác suất phần thống kê toán Phần thứ nghiên cứu việc xác lập tính quy luật tượng ngẫu nhiên xem xét điều kiện để quy luật bộc lộ tượng cụ thể Việc nắm bắt quy luật cho phép dự báo tượng ngẫu nhiên xảy Phần thứ nghiên cứu việc xây dựng phương pháp thu thập xử lý số liệu thống kê nhằm rút kết luận khoa học thực tiễn • Nội dung nghiên cứu: Bài 1: Biến cố xác suất Bài 2: Các định lý xác suất Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc Bài 4: Biến ngẫu nhiên liên tục Bài 5: Cơ sở lý thuyết mẫu Bài 6: Ước lượng tham số Bài 7: Kiểm định giả thuyết thống kê v1.0014109216 BÀI BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT ThS Hoàng Thị Thanh Tâm Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014109216 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Xác suất để người chơi trúng thưởng Một người tham gia trò chơi “Hãy chọn giá đúng” truyền hình Có hai bàn ký hiệu A B, bàn có hộp giống hệt Người chơi biết số hộp bàn A có hộp bên có phần thưởng; số hộp bàn B có hộp bên có phần thưởng, khơng biết cụ thể hộp Người chơi chọn bàn lấy hộp, nên chọn bàn nào? Khi đó, được/mất người chơi lệ phí chơi 10 nghìn phần thưởng 500 nghìn? Từ bàn A lấy hai hộp, đánh giá khả năng: hai phần thưởng, phần thưởng, không phần thưởng người chơi v1.0014109216 MỤC TIÊU • • • • • Hiểu rõ khái niệm phép thử, biến cố, cách đặt biến cố, phân biệt loại biến cố Hiểu khái niệm xác suất, điều kiện quy ước xác suất Biết tính xác suất theo định nghĩa cổ điển Biết tính số kết cục theo phương pháp: liệt kê, bảng cơng thức giải tích tổ hợp Hiểu khái niệm tần suất biết cách tính xác suất theo thống kê, hiểu nguyên lý xác suất nhỏ nguyên lý xác suất lớn Biết cách biễu diễn biến cố qua tổng tích biến cố khác xác định mối quan hệ biến cố tổng tích v1.0014109216 HƯỚNG DẪN HỌC • Học lịch trình mơn học theo tuần • Hiểu rõ khái niệm, định nghĩa • Theo dõi ví dụ tính tốn lại kết • Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn NXB Đại học KTQD • Sinh viên tự học, làm việc theo nhóm, trao đổi với giảng viên • Tham khảo thơng tin từ trang Web môn học v1.0014109216 NỘI DUNG Phép thử biến cố Xác suất biến cố Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ xác suất lớn Mối quan hệ biến cố v1.0014109216 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1 Khái niệm 1.2 Các loại biến cố v1.0014109216 1.1 KHÁI NIỆM • Phép thử việc thực nhóm điều kiện xác định để quan sát tượng có xảy hay khơng • Hiện tượng xảy khơng xảy kết phép thử gọi biến cố • Khi thực phép thử, trường hợp xảy gọi kết cục, biến cố tập hợp kết cục mà người nghiên cứu quan tâm • Ví dụ 1: Gieo đồng xu cân đối, đồng chất mặt phẳng cứng Việc gieo đồng xu lần thực phép thử Các kiện “xuất mặt sấp”, “xuất mặt ngửa”… biến cố • Ví dụ 2: Gieo xúc xắc cân đối, đồng chất mặt phẳng cứng Việc gieo xúc xắc lần thực phép thử Những kiện “xuất mặt có i chấm”, với i = 1, , biến cố v1.0014109216 1.2 CÁC LOẠI BIẾN CỐ • Biến cố chắn: biến cố định xảy phép thử thực hiện, ký hiệu U Ω • Biến cố khơng thể có: biến cố định khơng xảy phép thử thực hiện, ký hiệu V • Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng xảy phép thử thực hiện, ký hiệu A, B, C, A1, A2,… • Ví dụ 1: Trong phép thử gieo xúc xắc lần, thì: U “xuất mặt có số chấm nhỏ 7” biến cố chắn V “xuất mặt có số chấm lớn 7” biến cố khơng thể có Ai “xuất mặt có i chấm” i = 1, , biến cố ngẫu nhiên • Ví dụ 2: Trong phép thử người thi, U “có nhiều người thi đỗ” biến cố chắn V “có người thi đỗ” biến cố Bi “có i người thi đỗ” i = 0,1, biến cố ngẫu nhiên v1.0014109216 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ • Định nghĩa: Xác xuất biến cố số đặc trưng khả khách quan xuất biến cố thực phép thử • Ký hiệu: xác suất biến cố A P(A) • Quy ước: ≤ P(A) ≤ • Tính chất: A P(U) = P(V) = U < P(A) < (A biến cố ngẫu nhiên) • Ta mô tả khái niệm qua sơ đồ hình học hình vẽ v1.0014109216 10 4.3 ƯU NHƯỢC ĐIỂM CỦA ĐỊNH NGHĨA THỐNG KÊ VỀ XÁC SUẤT • Ưu điểm: Khơng địi hỏi điều kiện áp dụng định nghĩa cổ điển • Nhược điểm: Chỉ áp dụng tượng ngẫu nhiên mà tần suất có tính ổn định Phải thực số đủ lớn phép thử để xác định giá trị tương đối xác xác suất • Trong nhiều trường hợp, số lượng phép thử n thống kê hạn chế khơng có đủ phép thử Khi đó, người ta buộc phải sử dụng số lớn v1.0014109216 23 NGUYÊN LÝ XÁC SUẤT NHỎ VÀ XÁC SUẤT LỚN • Nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu biến cố có xác suất nhỏ (gần 0) thực tế cho rằng, phép thử biến cố khơng xảy • Ngun lý xác suất lớn: Nếu biến có xác suất lớn (gần 1) thực tế cho rằng, phép thử biến cố xảy • Trong thực tế, việc xem xét mức xác suất coi nhỏ lớn tùy thuộc vào tốn cụ thể • Ví dụ: Xác suất để xe buýt đến bến muộn 0,05 coi nhỏ xác suất để xe bị cháy rụi 0,05 lại lớn • Hai nguyên lý xác suất sở cho hai toán thống kê hai giảng cuối v1.0014109216 24 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ 6.1 Tích biến cố 6.2 Tổng biến cố v1.0014109216 25 6.1 TÍCH CÁC BIẾN CỐ • Định nghĩa – Biến cố tích: Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu C = A.B C xảy hai biến cố A B xảy • Ví dụ: Một người đầu tư vào hai dự án Đặt: A “dự án thứ có lãi” B “dự án thứ hai có lãi” C “cả hai dự án có lãi” Thì: C = A.B • Có thể mơ tả tích biến cố hình vẽ • Mở rộng: Biến cố A gọi tích n biến cố A1, A2,…, An A xảy tất biến cố A1, A2,…, An xảy v1.0014109216 A A.B B U 26 6.1 TÍCH CÁC BIẾN CỐ • Định nghĩa – Tính độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố không làm thay đổi xác suất xảy biến cố ngược lại • Trong trường hợp việc biến cố xảy hay không xảy làm thay đổi xác suất xảy biến cố hai biến cố gọi phụ thuộc • Ví dụ: Một hộp đựng 10 sản phẩm có phẩm phế phẩm Lấy sản phẩm theo hai phương thức: Có hồn lại khơng hồn lại • Đặt: A biến cố “Lấy phẩm lần thứ nhất”; B biến cố “Lấy phẩm lần thứ hai” • Khi đó: Nếu lấy có hồn lại A B độc lập với Nếu lấy không hồn lại A B phụ thuộc • Mở rộng: Các biến cố A1, A2,…, An gọi độc lập toàn phần với biến cố n biến cố độc lập với tổ hợp biến cố cịn lại v1.0014109216 27 6.2 TỔNG CÁC BIẾN CỐ • Định nghĩa – Biến cố tổng: Biến cố C gọi tổng hai biến cố A B, ký hiệu C = A + B, C xảy có hai biến cố A B xảy • Ví dụ: Một người chào hàng hai nơi Đặt A biến cố “nơi thứ đặt hàng” B biến cố “nơi thứ hai đặt hàng” C biến cố “có đơn đặt hàng” Thì: A B C=A+B • Có thể minh họa biến cố tổng hình vẽ • Mở rộng: Biến cố A gọi tổng n biến cố A1, A2,…, An, ký hiệu A+B U A = A1 + A2 +…+ An A xảy có n biến cố xảy v1.0014109216 28 6.2 TỔNG CÁC BIẾN CỐ (tiếp theo) • • • Định nghĩa – Tính xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc với chúng xảy phép thử Trong trường hợp chúng xảy phép thử gọi hai biến cố khơng xung khắc A B U Có thể mơ tả hai biến cố xung khắc hình vẽ v1.0014109216 29 6.2 TỔNG CÁC BIẾN CỐ (tiếp theo) • Ví dụ: Gieo xúc sắc lần Đặt: A biến cố “xuất mặt chấm” B biến cố “xuất mặt hai chấm” A B Thì A B xung khắc với Một người chào hàng hai nơi Đặt: A biến cố “nơi thứ đặt hàng” U B biến cố “nơi thứ hai đặt hàng” Thì A B khơng xung khắc với • Mở rộng: Nhóm biến cố A1, A2,…, An gọi xung khắc đôi hai biến cố n biến cố xung khắc với v1.0014109216 30 6.2 TỔNG CÁC BIẾN CỐ (tiếp theo) • Định nghĩa – Nhóm đầy đủ: Các biến cố A1, A2,…, An gọi nhóm đầy đủ biến cố kết phép thử xảy biến cố • Các biến cố A1, A2,…, An tạo nên nhóm đầy đủ chúng xung khắc đôi tổng chúng biến cố chắn • Có thể minh họa nhóm đầy đủ biến cố hình vẽ v1.0014109216 A1 A2 A3 … An 31 6.2 TỔNG CÁC BIẾN CỐ (tiếp theo) • Ví dụ 1: Với kết cuối lợi nhuận dự án đầu tư: Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn”, “bị lỗ” tạo thành nhóm đầy đủ Các biến cố: “có lãi”, “khơng có lãi” tạo thành nhóm đầy đủ Các biến cố: “có lãi”, “hịa vốn” khơng tạo thành nhóm đầy đủ • Ví dụ 2: Gieo xúc sắc cân đối đồng chất Đặt Ai biến cố “xuất mặt i chấm”, với i = 1, 2, , Nhóm biến cố A1, A2,…, A6 tạo thành nhóm đầy đủ • Định nghĩa – Biến cố đối lập: Hai biến cố gọi đối lập với chúng tạo nên nhóm đầy đủ biến cố • Biến cố đối lập A ký hiệu Ā • Ví dụ: Phép thử người thi, biến cố đối lập “thi đỗ” biến cố “ thi trượt” Phép thử ba người thi: v1.0014109216 Biến cố “có người thi đỗ” đối lập “ba người thi trượt”; Biến cố “tất trượt” đối lập “tất đỗ” 32 6.2 TỔNG CÁC BIẾN CỐ (tiếp theo) Có thể minh họa hai biến cố đối lập qua hình vẽ A Ā U v1.0014109216 33 VÍ DỤ VỀ BIẾN CỐ TỔNG VÀ TÍCH Ví dụ: Một doanh nghiệp tham gia đấu thầu hai dự án A1 “trúng thầu dự án thứ nhất” => Ā1 “trượt thầu dự án 1” A2 “trúng thầu dự án thứ hai” => Ā2 “trượt thầu dự án 2” • A “trúng thầu dự án” => A = A1.A2 • B “trượt thầu dự án” => B = Ā1.Ā2 • C “chỉ trúng thầu dự án 1” => C = A1.Ā2 • D “chỉ trúng thầu dự án 2” => D = Ā1.A2 • E “chỉ trúng thầu dự án” => E = A1.Ā2 + Ā1.A2 • F “trúng thầu dự án” => F = A1 + A2 = E + A = A1.Ā2 + Ā1.A2 + A1.A2 • G “trượt thầu dự án” => G = Ā1 + Ā2 = E + B = A1.Ā2 + Ā1.A2 + Ā1.Ā2 => Ta thấy B F đối lập, A G đối lập chúng tạo nên nhóm đầy đủ v1.0014109216 34 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Một người quan tâm đến biến động giá vàng thị trường Biến cố “giá vàng tăng” biến cố “giá vàng không đổi” hai biến cố: A Độc lập B Xung khắc C Đối lập D Tạo thành nhóm đầy đủ Trả lời: Đáp án là: Xung khắc Vì biến động giá vàng biến cố khơng thể xảy lúc nên chúng xung khắc biến cố xung khắc chúng khơng độc lập Mặt khác, biến cố không tạo nên nhóm đầy đủ nên khơng đối lập v1.0014109216 35 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Một nhân viên phải chăm sóc khách hàng, có khách hàng lâu năm Nhân viên gọi điện ngẫu nhiên đến khách hàng Xác suất để người khơng có khách hàng lâu năm là: A 0,556 B 0,444 C 0,278 D 0,167 Trả lời: Đáp án là: 0,278 Vì gọi A biến cố “trong người khơng có khách hàng lâu năm” thì: n c 92 36 m c 52 10 P(A) 0,278 v1.0014109216 36 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Để quan sát tượng có xảy hay không, ta cần thực phép thử Hiện tượng xảy khơng xảy kết phép thử gọi biến cố • Khả xảy biến cố phép thử gọi xác suất biến cố • Đối với biến cố giản đơn tìm xác suất định nghĩa cổ điển với điều kiện kết cục phép thử phải hữu hạn đồng khả • Khi kết cục phép thử không đồng khả không hữu hạn dùng định nghĩa thống kê xác suất tiến hành số lớn phép thử • Một biến cố phức hợp thường biễu diễn thơng qua tích tổng biến cố giản đơn Khi biến cố biểu diễn qua tích biến khác cần xem xét tính độc lập phụ thuộc biến cố Khi biến cố biểu diễn qua tổng biến cố khác cần xem xét tính xung khắc, khơng xung khắc biến cố v1.0014109216 37 ... biến cố Xác suất biến cố Định nghĩa cổ điển xác suất Định nghĩa thống kê xác suất Nguyên lý xác suất nhỏ xác suất lớn Mối quan hệ biến cố v1.0 014 109 216 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1. 1 Khái niệm 1. 2 Các... đó: n! n(n 1) (n 2) 2 .1 • Ví dụ: C102 Tính tắt: C102 10 ! 1. 2.3.4.5.6.7.8.9 .10 9 .10 45 2! (10 2)! 1. 2. (1. 2.3.4.5.6.7.8) 1. 2 10 .9 45 1. 2 C123 12 .11 .10 220 1. 2.3 Một số... vẽ v1.0 014 109 216 10 ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT 3 .1 Định nghĩa cổ điển 3.2 Các ví dụ tính xác suất định nghĩa cổ điển 3.3 Ưu điểm hạn chế định nghĩa cổ điển xác suất v1.0 014 109 216 11 3 .1 ĐỊNH