Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - ThS. Hoàng Thị Thanh Tâm

Mời các bạn cùng tham khảo Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc để nắm chi tiết các nội dung khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên; bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc; các tham số đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn; biến ngẫu nhiên phân phối không – một; biến ngẫu nhiên phân phối nhị thức; khái niệm và các tham số của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc.

BÀI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC ThS Hoàng Thị Thanh Tâm ThS Mai Cẩm Tú Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014109216 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Lựa chọn vị trí làm việc Một người lựa chọn hai vị trí làm việc Vị trí thứ văn phòng nhận mức lương tháng cố định triệu đồng Vị trí thứ hai đơn vị kinh doanh nhận lương tháng theo số hợp đồng ký Mỗi hợp đồng ký nhận triệu đồng Biết rằng, số hợp đồng ký tháng 0, 1, hợp đồng với khả xảy tương ứng 10%, 30%, 40% 20% Làm để so sánh, đánh giá mức lương hai vị trí để từ đưa lựa chọn? v1.0014109216 MỤC TIÊU • Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên phân biệt hai loại biến ngẫu nhiên • Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc • Tính tham số: kỳ vọng tốn, phương sai, độ lệch chuẩn áp dụng phân tích kinh tế • Biết sử dụng quy luật Khơng – Một quy luật Nhị thức để tính xác suất tham số đặc trưng • Hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên chiều rời rạc tính số tham số đặc trưng v1.0014109216 HƯỚNG DẪN HỌC • Học lịch trình mơn học theo tuần, làm tập buổi học trước • Đọc tài liệu: Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn NXB Đại học KTQD • Theo dõi chi tiết ví dụ, tự tính kết để kiểm tra • Sinh viên làm việc theo nhóm trao đổi với giảng viên • Tham khảo thông tin từ trang Web môn học v1.0014109216 NỘI DUNG Khái niệm phân loại biến ngẫu nhiên Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Các tham số đặc trưng: kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn Biến ngẫu nhiên phân phối Không – Biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức Khái niệm tham số biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc v1.0014109216 KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN 1.1 Khái niệm 1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 1.3 Biến ngẫu nhiên biến cố v1.0014109216 1.1 KHÁI NIỆM • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên biến số mà kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên Ký hiệu biến ngẫu nhiên: X, Y, Z đặt tên theo ý nghĩa biến • Ví dụ 1: Đặt Y số chấm xuất gieo xúc sắc lần thì:  Y biến số, nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5,  Sau gieo xúc sắc Y nhận giá trị Vậy Y biến ngẫu nhiên, viết Y = {1; 2; 3; 4; 5; 6} • Ví dụ 2: Đặt T thời gian hành khách phải chờ xe buýt bến, biết 15 phút lại có chuyến xe  T biến số, nhận giá trị thuộc nửa đoạn [0;15) phút  Với hành khách đến bến T nhận giá trị khoảng  Vậy: T biến ngẫu nhiên, viết T  [0;15) v1.0014109216 1.2 PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN • Biến ngẫu nhiên rời rạc: biến ngẫu nhiên mà giá trị có lập thành tập hợp hữu hạn đếm Nói cách khác, ta liệt kê tất giá trị biến ngẫu nhiên  Biến ngẫu nhiên Ví dụ thuộc loại rời rạc  Nếu biến rời rạc X có n giá trị có x1, x2,…, xn, ta viết: X = {x1, x2,…, xn} • Biến ngẫu nhiên liên tục: biến ngẫu nhiên mà tập giá trị có lấp đầy khoảng trục số Biến ngẫu nhiên ví dụ thuộc loại liên tục v1.0014109216 1.3 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ BIẾN CỐ • Với X = {x1, x2,…, xn} thì:  Việc (X = xi) với i = 1,2,…, n biến cố ngẫu nhiên  Các quan hệ X với số tạo thành biến cố • Ví dụ: Biến ngẫu nhiên X số chấm xuất gieo xúc sắc lần X = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  (X = 2) biến cố “được mặt có chấm” biến cố ngẫu nhiên  (X = 2,5) biến cố khơng thể có  (X > 0) biến cố chắn  Biến cố (X  2) tổng hai biến cố (X = 1) + (X = 2) v1.0014109216 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1 Lập bảng phân phối xác suất 2.2 Tính chất bảng phân phối xác suất v1.0014109216 10 5.1 ĐỊNH NGHĨA • Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi phân phối theo qui luật nhị thức với tham số n p, ký hiệu X ~ B(n, p), X nhận giá trị 0, 1, 2,…, n với xác suất tương ứng cho công thức Bernoulli P(X  x)  Cnxpx (1  p)n  x , x  0,1,2, , n • X ~ B(n, p) gọi biến ngẫu nhiên phân phối Nhị thức • Nếu toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n phép thử độc lập P(A) = p phép thử:  Đặt X số lần xuất biến cố A n phép thử  X phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n p, ký hiệu X ~ B(n, p) v1.0014109216 32 5.2 THAM SỐ ĐẶC TRƯNG • Nếu X ~ B(n, p) thì:  E(X) = np  V(X) = np(1 – p) • Ví dụ: Một người chào hàng nơi độc lập nhau, xác suất để nơi đặt hàng 0,6 Đặt X tổng số đơn hàng, tính kỳ vọng, phương sai X • Giải:  Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = p = 0,6 = P(đặt hàng)  Đặt X tổng số đơn hàng X ~ B(n = 5; p = 0,6)  E(X) = np =  0,6 = (đơn hàng) V(X) = np(1 – p) =  0,6  (1 – 0,6) = 1,2 (đơn hàng)2 v1.0014109216 33 BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU RỜI RẠC 6.1 Khái niệm 6.2 Bảng phân phối xác suất hai chiều 6.3 Bảng phân phối xác suất biên 6.4 Hệ số tương quan v1.0014109216 34 6.1 KHÁI NIỆM Khái niệm: Khi xét lúc hai biến ngẫu nhiên rời rạc X Y đối tượng, ta có hệ hai biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, ký hiệu (X,Y) • X, Y hai thành phần (X, Y) • Nếu X có n giá trị có: X = {x1, x2,…, xn} Y có m giá trị có: Y = {y1, y2,…, ym}  Thì (X,Y) có n  m cặp giá trị có: (X, Y) = {(xi, yj), i = 1, 2,…, n; j = 1, 2,…, m}  Khi viết cặp giá trị biến hai chiều rời rạc phải viết có thứ tự Ví dụ: Với (X,Y) cặp giá trị (1,2) hiểu (X = 1, Y = 2) cặp giá trị (2,1) hiểu (X = 2, Y = 1) v1.0014109216 35 6.2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT HAI CHIỀU • Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc có phân phối xác suất thể dạng bảng hai chiều (bảng phân phối xác suất đồng thời):  Một thành phần dòng, thành phần cột  Trong ô bảng xác suất xảy cặp giá trị tương ứng  Điều kiện bảng phân phối xác suất tổng ô xác suất phải • Ví dụ: Xét bảng phân phối xác suất số người lớn (X) số trẻ em (Y) hộ gia đình (để đơn giản biến có ba giá trị có): X • Y 0,05 0,1 0,05 0,1 0,2 0,15 0,05 0,2 0,1 Trong đó: giá trị có X 1,2,3 cịn giá trị có Y 0,1,2 => (X,Y) có cặp giá trị có: (1,0), (1,1),… v1.0014109216 36 6.2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT HAI CHIỀU • Các cịn lại xác suất xảy cặp giá trị tương ứng: • Chẳng hạn: P(X = 1; Y = 0) = 0,05 xác suất để hộ gia đình có người lớn khơng có trẻ em Hay tỉ lệ hộ gia đình có người lớn khơng có trẻ em % • Tổng xác suất phải Tổng quát: Nếu X có n giá trị: X = {x1, x2,…, xn}, Y có m giá trị: Y = {y1, y2,…, ym } bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) có n dịng m cột, ô pij = P(X = xi; Y = yj) với i = 1,2,…, n; j = 1,2,…, m Điều kiện bảng là:  pij  n v1.0014109216 m  p  i1 j 1 ij 37 6.3 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BIÊN Từ bảng phân phối xác suất hai chiều, lập bảng phân phối xác suất thành phần (bảng phân phối xác suất biên) cách tính tổng xác suất theo dịng theo cột Với bảng phân phối xác suất biên, ta tính tham số đặc trưng thành phần v1.0014109216 38 VÍ DỤ – BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BIÊN • Ví dụ (tiếp): Từ bảng phân phối xác suất hai chiều (X ,Y), lập bảng phân phối xác suất biên X Y • Từ bảng phân phối xác suất hai chiều (X ,Y), ta cộng ngang theo dòng cộng dọc theo cột, bảng sau: Tổng PX 0,05 0,1 0,05 0,2 0,1 0,2 0,15 0,45 0,05 0,2 0,1 0,35 Tổng: PY 0,2 0,5 0,3 Tổng = X • Y Từ bảng này, ta lập hai bảng phân phối xác suất biên X Y: v1.0014109216 39 6.4 HỆ SỐ TƯƠNG QUAN • Khi xét biến ngẫu nhiên hai chiều, để đánh giá hai biến thành phần có liên quan với chặt chẽ hay không, người ta sử dụng tham số gọi hệ số tương quan Nhưng, để tính hệ số tương quan, cần tính tham số hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên thành phần • Nếu phương sai đo độ phân tán, dao động biến ngẫu nhiên thành phần, hiệp phương sai dùng để đo độ phân tán, dao động kết hợp hai biến ngẫu nhiên với • Định nghĩa – Hiệp phương sai: Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu Cov(X,Y), kỳ vọng toán tích sai lệch biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán chúng Cov(X, Y) = [(X – E(X))(Y – E(Y))] • Khi tính tốn thường dùng: Cov(X, Y) = E(XY) – E(X)E(Y) • Trong đó: v1.0014109216 n m E(XY)    x i y jpij i1 j1 40 HỆ SỐ TƯƠNG QUAN • Định nghĩa – Hệ số tương quan: Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X Y tỉ số hiệp phương sai tích độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên Hệ số tương quan ký hiệu tính sau  XY  • Cov(X, Y) XY Hệ số tương quan đo mức độ tương quan hai biến ngẫu nhiên  –1  XY   XY > 0: X Y có tương quan chiều  XY < 0: X Y có tương quan ngược chiều  XY = 0: X Y không tương quan v1.0014109216 41 VÍ DỤ – TÍNH HỆ SỐ TƯƠNG QUAN Ví dụ (tiếp): Tính hệ số tương quan số người lớn (X) số trẻ em (Y) • Để tính XY => cần tính Cov(X,Y) => cần tính E(XY) • Ta tính lần lượt: n m E(XY)    x i y jpij i1 j1 => E(XY) =   0,05 +   0,1 +   0,05 +   0,1 +   0,2 +   0,15 +   0,05 +   0,2 +   0,1 = 2,4 Mà E(X) = 2,15; E(Y) = 1,1 => Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 2,4 – 2,15  1,1 = 0,035 => •  XY  Cov(X,Y) 0,035   0,07 XY 0,73  0,7 Như số người lớn số trẻ em có tương quan chiều, lỏng v1.0014109216 42 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Thu nhập hộ gia đình vùng thứ biến ngẫu nhiên ký hiệu X, vùng thứ hai biến ngẫu nhiên ký hiệu Y Câu nói “thu nhập vùng thứ không cao ổn định vùng thứ hai” viết dạng kỳ vọng phương sai nào? A E(X) ≥ E(Y) V(X) < V(Y) B E(X) ≥ E(Y) V(X) > V(Y) C E(X)  E(Y) V(X) < V(Y) D E(X)  E(Y) V(X) > V(Y) Trả lời: • Đáp án: E(X)  E(Y) V(X) < V(Y) • Vì:  Thu nhập vùng thứ không cao vùng thứ hai tức E(X)  E(Y)  Thu nhập vùng thứ ổn định vùng thứ hai tức V(X) < V(Y) v1.0014109216 43 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho bảng phân phối xác suất số người đến cửa hàng sau: X P 0.2 0.3 0.5 Kỳ vọng phương sai X là: A E(X) = V(X) = 77 B E(X) = V(X) = 28,7 C E(X) = 5,3 V(X) = 28,7 D E(X) = 5,3 V(X) = 0,61 Trả lời: • Đáp án: E(X) = 5,3 V(X) = 0,61 • Vì:  E(X) = 4.0,2 + 5.0,3 + 6.0,5 = 5,3  E(X2) = 42.0,2 + 52.0,3 + 62.0,5 = 28,7  V(X) = 28,7 – 5,32 = 0,61 v1.0014109216 44 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Biến ngẫu nhiên biến số mà kết phép thử nhận giá trị có tùy thuộc vào tác động nhân tố ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên mà giá trị có lập thành tập hợp hữu hạn đếm Còn biến ngẫu nhiên mà tập giá trị có lấp đầy khoảng trục số gọi biến ngẫu nhiên liên tục • Bảng phân phối xác suất dùng để mơ tả tương ứng giá trị có biến ngẫu nhiên rời rạc xác suất tương ứng với giá trị • Từ bảng phân phối xác suất ta tính tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn • Kỳ vọng tốn đặc trưng cho trung bình biến ngẫu nhiên • Phương sai độ lệch chuẩn đặc trưng cho độ phân tán biến ngẫu nhiên có đơn vị khác v1.0014109216 45 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Biến ngẫu nhiên rời rạc gọi biến phân phối Khơng – nhận hai giá trị có với xác suất nhận giá trị p • Biến ngẫu nhiên rời rạc gọi biến phân phối nhị thức nhận giá trị: 0, 1, 2,…, n với xác suất tương ứng tính cơng thức Bernoulli • Khi xét lúc hai biến ngẫu nhiên rời rạc X Y đối tượng, ta có biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc, ký hiệu (X,Y) • Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc có phân phối dạng bảng phân phối xác suất đồng thời Từ bảng tính kỳ vọng, phương sai thành phần, hiệp phương sai hệ số tương quan hai thành phần • Hệ số tương quan đo mức độ tương quan hai biến ngẫu nhiên v1.0014109216 46 ... PHỐI XÁC SUẤT BIÊN Từ bảng phân phối xác suất hai chiều, lập bảng phân phối xác suất thành phần (bảng phân phối xác suất biên) cách tính tổng xác suất theo dịng theo cột Với bảng phân phối xác suất. .. phân phối xác suất X: Số hợp đồng (X) Xác suất 0,1 0 ,3 0,4 0,2 E(X) =  0,1 +  0 ,3 +  0,4 +  0,2 = 1,7 (hợp đồng) E(X2) = 02  0,1 + 12  0 ,3 + 22  0,4 + 32  0,2 = 3, 7 V(X) = 3, 7 – 1,72... v1.0014109216 38 VÍ DỤ – BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BIÊN • Ví dụ (tiếp): Từ bảng phân phối xác suất hai chiều (X ,Y), lập bảng phân phối xác suất biên X Y • Từ bảng phân phối xác suất hai chiều