Theo nghĩa ban đầu Hình học (HH) là một bộ phận toán học nghiên cứu các hình, vị trí tương đối và kích thước các bộ phận của các hình cũng như các phép biến đổi hình (trong không gian xung quanh chúng ta). Theo nghĩa hiện đại, HH bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nhau nghiên cứu những khái niệm, quan hệ tương tự hoặc tổng quát hoá các khái niệm và quan hệ của các hình không gian. Do vậy HH có liên quan chặt chẽ tới nhiều ngành toán học khác và nhiều khi không có ranh giới rạch ròi giữa chúng. Từ HH (geometry) có nguồn gốc từ “Geometria” của Hy Lạp (có nghĩa là đo đất đai). HH phát sinh từ rất lâu, có lẽ trước thế kỉ XVII trước công nguyên ((TCN)). Từ thời cổ đại, HH có nguồn gốc từ thực tế, nó là khoa học về đo đất. Nhiều nền văn minh cổ đại như: Babylon, Ấn Độ giáo, Trung Quốc và Ai Cập đã sở hữu các thông tin về HH. Những yếu tố HH đầu tiên có nguồn gốc trong các quan sát đơn giản, xuất phát từ khả năng của con người để nhận ra và so sánh các hình dạng và kích thước của sự vật. Có rất nhiều trường hợp, người nguyên thủy đã phải đưa ra các chủ đề về HH, mặc dù nó có thể không được công nhận là như vậy. Chẳng hạn, người đàn ông phải học với các tình huống liên quan đến khoảng cách, ranh giới đất đai của họ, xây dựng các bức tường và nhà cửa. Các tình huống có liên quan trực tiếp đến các khái niệm HH về thẳng đứng, song song, vuông góc. Ngoài ra, sự xuất hiện của hình dạng với tư cách là nghệ thuật nguyên sơ qua các kiểu cách đan tết, các mẫu mã dệt thêu và các hình trang trí trên đồ gốm, các công trình kiến trúc,… cũng đã dần dần cho con người các nhận thức về các hình HH. Tuy nhiên, hình học trong thời kì này chỉ được tìm thấy thông qua thử nghiệm, quan sát sự tương tự, dự đoán, và thậm chí là trực giác. Về cơ bản, hình học trong giai đoạn này chỉ cho phép câu trả lời gần đúng, thường phục vụ cho các mục đích thực tế. Chẳng hạn, người Babylon cho rằng số π có giá trị là 3; người Ai Cập cho rằng công thức tính diện tích của một hình chữ nhật có thể được áp dụng cho một tứ giác bất kì. Cùng với những kinh nghiệm về đo đạc đất đai ở Ai Cập, Babylon, Hy Lạp. Bắt đầu khoảng từ thế kỉ VII (TCN) đến thế kỷ V (TCN). Những hiểu biết của con người về các hình dần dần được trình bày một cách hệ thống như là một khoa học, trong đó xuất hiện các khái niệm, mệnh đề, chứng minh. Khoảng thế kỉ III (TCN), Euclide đã hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức HH đương thời trong bộ sách Cơ bản nổi tiếng gồm 13 tập. Về cơ bản, HH trong bộ sách đó của Euclide cũng là HH sơ cấp ngày nay. Bằng việc đưa vào phương pháp toạ độ ở nửa đầu thế kỉ XVII, R. Descartes đã tạo ra một bước tiến quan trọng trong HH. Nhờ đó có thể dùng công cụ đại số và giải tích để nghiên cứu HH. Trên cơ sở đó đã xuất hiện hình học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh và hình học hoạ hình. Sự ra đời của HH Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) ở thế kỉ XIX đã tạo ra một bước ngoặt mới trong sự phát triển của HH. Nó phá vỡ quan niệm cũ về HH (hay gắn với trực giác thông thường) và chứng tỏ khả năng tồn tại các loại HH (phi Euclide) khác nhau. Trong phần này, chúng tôi chỉ nghiên cứu lịch sử của hình học sơ cấp từ thời nguyên thủy đến khoảng đầu thế kỉ XVII, tức là chỉ gồm giai đoạn phát sinh và giai đoạn toán học sơ cấp.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SAU ĐẠI HỌC BÁO CÁO NHĨM LỊCH SỬ CÁC PHÂN MƠN TỐN HỌC CHỦ ĐỀ: LỊCH SỬ HÌNH HỌC SƠ CẤP GVHD: PGS.TS NGUYỄN PHÚ LỘC NHÓM THỰC HIỆN: NHÓM THÀNH VIÊN NHÓM: CẦN THƠ, THÁNG NĂM 2015 Mục lục Lịch sử tổng quát hình học sơ cấp 1.1 Giai đoạn phát sinh 1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 (TCN) - 500 (TCN)) 1.1.2 Hình học Babylon (2000 (TCN) - 500 (TCN)) 1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp 1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp 1.2.2 Hình học Ấn Độ 1.2.3 Hình học Trung Quốc 1.2.4 Hình học Ả Rập Các nhà hình học tiêu biểu 10 2.1 THALES (624 (TCN)- 548 (TCN)) .10 2.2 PYTHAGORAS (khoảng 560 (TCN) - 480 (TCN)) 11 2.3 EUDOXUS (khoảng 408 (TCN) - 355 (TCN)) 14 2.5 PLATON (427 (TCN) 428 (TCN) - 347 (TCN)) 14 2.6 EUCLID (?-? khoảng năm 300 (TCN)) 15 2.7 ARCHIMEDES (287 (TCN) - 212 (TCN)) 18 2.8 APOLLONIUS (262 (TCN) - 180 (TCN)) .30 2.9 HERON (10 - 75 sau công nguyên) .32 2.10 MENELAUS (70 - 130 sau công nguyên) 33 2.11 AL KASHI (1380 – 22/06/1429) 36 Trò chơi áp dụng 39 3.1 Tên gọi 39 3.2 Mục đích 39 3.3 Hình thức tổ chức 39 3.4 Thể lệ 39 3.5 Câu hỏi 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Lịch sử tổng quát hình học sơ cấp Theo nghĩa ban đầu Hình học (HH) phận tốn học nghiên cứu hình, vị trí tương đối kích thước phận phép biến đổi hình (trong khơng gian xung quanh chúng ta) Theo nghĩa đại, HH bao gồm nhiều lý thuyết toán học khác nghiên cứu khái niệm, quan hệ tương tự tổng quát hoá khái niệm quan hệ hình khơng gian Do HH có liên quan chặt chẽ tới nhiều ngành tốn học khác nhiều khơng có ranh giới rạch rịi chúng Từ HH (geometry) có nguồn gốc từ “Geometria” Hy Lạp (có nghĩa đo đất đai) HH phát sinh từ lâu, có lẽ trước kỉ XVII trước công nguyên ((TCN)) Từ thời cổ đại, HH có nguồn gốc từ thực tế, khoa học đo đất Nhiều văn minh cổ đại như: Babylon, Ấn Độ giáo, Trung Quốc Ai Cập sở hữu thông tin HH Những yếu tố HH có nguồn gốc quan sát đơn giản, xuất phát từ khả người để nhận so sánh hình dạng kích thước vật Có nhiều trường hợp, người nguyên thủy phải đưa chủ đề HH, khơng công nhận Chẳng hạn, người đàn ông phải học với tình liên quan đến khoảng cách, ranh giới đất đai họ, xây dựng tường nhà cửa Các tình có liên quan trực tiếp đến khái niệm HH thẳng đứng, song song, vng góc Ngồi ra, xuất hình dạng với tư cách nghệ thuật nguyên sơ qua kiểu cách đan tết, mẫu mã dệt thêu hình trang trí đồ gốm, cơng trình kiến trúc,… cho người nhận thức hình HH Tuy nhiên, hình học thời kì tìm thấy thơng qua thử nghiệm, quan sát tương tự, dự đốn, chí trực giác Về bản, hình học giai đoạn cho phép câu trả lời gần đúng, thường phục vụ cho mục đích thực tế Chẳng hạn, người Babylon cho số có giá trị 3; người Ai Cập cho cơng thức tính diện tích hình chữ nhật áp dụng cho tứ giác Cùng với kinh nghiệm đo đạc đất đai Ai Cập, Babylon, Hy Lạp Bắt đầu khoảng từ kỉ VII (TCN) đến kỷ V (TCN) Những hiểu biết người hình trình bày cách hệ thống khoa học, xuất khái niệm, mệnh đề, chứng minh Khoảng kỉ III (TCN), Euclide hệ thống hố tồn kiến thức HH đương thời sách "Cơ bản" tiếng gồm 13 tập Về bản, HH sách Euclide HH sơ cấp ngày Bằng việc đưa vào phương pháp toạ độ nửa đầu kỉ XVII, R Descartes tạo bước tiến quan trọng HH Nhờ dùng cơng cụ đại số giải tích để nghiên cứu HH Trên sở xuất hình học giải tích, hình học vi phân, hình học xạ ảnh hình học hoạ hình Sự đời HH Lobachevsky (Nikolai Ivanovich Lobachevsky) kỉ XIX tạo bước ngoặt phát triển HH Nó phá vỡ quan niệm cũ HH (hay gắn với trực giác thông thường) chứng tỏ khả tồn loại HH (phi Euclide) khác Trong phần này, nghiên cứu lịch sử hình học sơ cấp từ thời nguyên thủy đến khoảng đầu kỉ XVII, tức gồm giai đoạn phát sinh giai đoạn toán học sơ cấp 1.1 Giai đoạn phát sinh Thời gian: từ thời nguyên thủy đến kỉ thứ VII, thứ VI trước cơng ngun Các tốn học tiêu biểu: cổ Ai Cập cổ Babylon 1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 (TCN) - 500 (TCN)) Người Ai cập sử dụng hình học để xác định thể tích kho thóc, tìm diện tích ruộng, tính tốn cơng trình xây dựng Người Ai cập canh tác cánh đồng giàu phù sa sông Nile mang lại, họ thường xuyên phải đối phó với nạn lũ lụt xảy bên bờ sơng Vì vậy, họ phải tính tốn để đốn trước lũ đến đo đạc lại đất đai, xây dựng lại hệ thống tưới tiêu sau lũ qua Chính lý mà hình học người Ai Cập phát triển cao Hình học Ai Cập chủ yếu quy tắc thực nghiệm Họ phát triển quy tắc để ước lượng phân chia diện tích đất, họ sử dụng quy tắc để xây dựng tòa nhà, đặc biệt kim tự tháp Họ có phương pháp (sử dụng dây thừng để đo độ dài) để tính tốn diện tích thể tích hình tam giác, tứ giác, hình trịn, hình chóp cụt �8 � �d� Họ tính diện tích hình trịn cơng thức �9 �với d đường kính đường trịn, tức họ biết đến số xấp xỉ gần 3,1605 Họ tính diện tích tứ giác có cạnh với a b; c d hai cặp cạnh đối theo �a b � �c d � � � � � � � công thức: � � Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao Trong bảng Rhind Papyrus (còn gọi "Ahmes Papyrus") chứa quy tắc phân chia có 87 tốn bao gồm cách giải phương trình, chuỗi, diện tích miền hình học, thể tích kho thóc,… Bảng Rhind Papyrus Trong bảng Moscow Papyrus có 25 tốn với cách giải, số hình học Bài tốn 14, mơ tả cách tính thể tích hình chóp cụt đáy hình vng mà theo cách ghi ngày V h a ab b Ngồi họ cịn biết tính diện tích mặt cong, chẳng hạn tốn: Tính diện tích xung quanh hình bán trụ có đường cao đường kính đáy 1.1.2 Hình học Babylon (2000 (TCN) - 500 (TCN)) Hình học Babylon thường có liên quan đến xây dựng đất đai, chẳng hạn: diện tích thể tích vật thể hình chữ nhật Nhiều hình mẫu cụ thể cho thấy người Babylon (từ năm 2000 đến 1600 (TCN)) quen thuộc với quy tắc chung về: Diện tích tam giác vng, tam giác cầu, diện tích hình chữ nhật, diện tích hình thang vng Thể tích hình hộp chữ nhật, thể tích hình lăng trụ đứng có đáy hình thang đặc biệt Chu vi đường tròn ba lần đường kính diện tích hình trịn 12 bình phương chu vi 25 Số họ cho Trong số phiên bản, họ gắn Hai cạnh tương ứng hai tam giác vuông đồng dạng tỉ lệ với nhau, đường thẳng góc vẽ từ đỉnh tam giác cân chia cạnh đáy, góc nội tiếp nửa đường trịn góc vng Định lý Pythagoras Chia chu vi đường tròn thành 360 phần Người ta tìm thấy bốn bảng đặc biệt có niên đại khoảng năm 1900 (TCN) - 1600 (TCN) chứng tỏ kiến thức hình học người Babylon: Yale table YBC 7289: cho thấy cách tính đường chéo hình vng Plimpton 322: cho thấy ba Pythagoras Susa table: cách tìm bán kính đường trịn qua ba đỉnh tam giác cân Tell Dhibayi table: cách tìm cạnh hình chữ nhật với diện tích đường chéo cho 1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp Thời gian: khoảng từ kỉ thứ VI (TCN) đến khoảng đầu kỉ thứ XVII Các toán học tiêu biểu: cổ Hy Lạp, Ấn Độ Trung Hoa, Ả Rập, Tây Âu,… 1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp Người Hy Lạp nhấn mạnh rằng: “hình học thực thành lập cách lý luận suy diễn" Họ tin hình học tìm thấy cách nghiên cứu khơng phải thử nghiệm Họ chuyển đổi kiến thức hình học có từ quan sát, thử nghiệm, qui tắc sử dụng trường hợp đặc biệt,…thành kiến thức hình học có hệ thống Theo thảo, từ kỉ thứ VII - VI (TCN), người Hy Lạp, Thales, có ý niệm chứng minh mệnh đề toán học, từ khía cạnh suy diễn tốn học xuất Các nhà toán học Hy Lạp đưa phương pháp tiên đề trình bày lý thuyết tốn học, điển hình “Cơ bản” Euclide Phương pháp tiên đề Euclide phát đưa toán học trở thành khoa học độc lập Trong thời kì xuất nhiều nhà tốn học tài Thales, Pythagoras, Eudoxus, Euclide, Archimedes, Apollonius, … hệ thống kiến thức hình học sơ cấp, chẳng hạn: Thales phát số kết như: đường trịn phân đơi đường kính bất kì; “Hai đường thẳng cắt tạo cặp góc đối đỉnh nhau”; “Các cạnh tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với nhau”; góc đáy tam giác cân nhau; góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng; Pythagoras đưa cách dựng ba khối đa diện đều: lập phương, tứ diện đều, thập nhị diện đều; thành viên trường phái Pythagoras phát triển tính chất song song để chứng minh tổng góc tam giác hai góc vng,… Archimedes tìm thấy cơng thức tính diện tích thể tích nhiều vật thể Trên mộ ông kết ơng nhận thấy thể tích hình cầu hai phần ba thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu đó,… Một số thuật ngữ như: "hình elip", "parabol," "hyperbol" mà sử dụng ngày có nguồn gốc từ hình học cổ Hy Lạp, chúng xuất tác phẩm “ Các thiết diện conic” Apollonius Đối với toán học cổ Hy Lạp, hình học đóng vai trị quan trọng việc giải toán đại số Chẳng hạn, phép toán cộng, trừ, nhân, chia định nghĩa nhờ đoạn thẳng: Phép cộng hiểu đặt liền đoạn thẳng Phép trừ diễn tả cách bớt đoạn thẳng từ đoạn thẳng Phép nhân đoạn thẳng dẫn đến phép dựng hình hai chiều, tích hai đoạn thẳng a đoạn thẳng b xem hình chữ nhật với hai cạnh a, b Trong hình học Hy Lạp có mệnh đề hình học diễn tả đẳng thức đại số Chẳng hạn: hình sau cho ta cách biểu diễn đẳng thức a b a 2ab b : Từ kỉ thứ V (TCN), người Hy Lạp đặt ba toán dựng hình cổ tiếng khơng thể giải thước compa Đó là: Tăng đơi khối lập phương; chia ba góc cầu phương hình trịn Việc giải tốn làm nảy sinh lý thuyết toán học cổ Hy Lạp: lý thuyết thiết diện cơníc, lý thuyết đường cong bậc 3, bậc 4, phát đường cong siêu việt 1.2.2 Hình học Ấn Độ Hình học Ấn Độ hồn tồn mang tính chất thực dụng (trực giác nghiệm đúng) Thường có vẽ hình, có nêu khơng nêu định lý, quy tắc, khơng chứng minh mà ghi hình vẽ “Hãy xem đây!” Brahmagupta dùng số với hai giá trị gần Bên cạnh đó, ơng cịn mở rộng công thức Hêrông trường hợp tứ giác nội tiếp công thức: với a, b, c, d cạnh p abcd Đối với tứ giác mở rộng cơng thức Hêrơng A2 � p a p b p c p d � abcd cos � � cho ta: , với tổng hai góc đối tứ giác Manava nêu cách dựng hình trịn xấp xỉ với hình chữ nhật, cách dựng hình trịn xấp xỉ với hình vng lấy giá trị xấp xỉ 25 3,125 Apastamba xem xét tốn cầu phương hình trịn, chia đoạn thành phần lấy giá trị xấp xỉ 2 577 1, 414215686 408 xác đến chữ số thập phân Katyayana phát biểu trường hợp tổng quát định lý Pythagore cho đường chéo hình chữ nhật Một phận đặc biệt quan trọng toán học cổ Ấn Độ tam giác lượng, xem cơng thức tính toán để nghiên cứu thiên văn Điều đáng ý tốn học Ấn Độ độc đáo khơng mang dấu ấn Trung Quốc, Hy Lạp hay Babylon Lượng giác Hylap Ptôlêmê vào quan hệ hàm dây cung đường trịn với góc tâm tương ứng Người Ấn Độ cấu tạo bảng lượng giác dây cung thay dây Nhìn chung, ta thấy Ấn Độ, phương pháp tính tốn thuật tốn có ưu Việc xây dựng hệ thống lý luận suy diễn thấy, hình học có tính chất nghiệm Những đặc điểm bắt nguồn từ điều kiện kinh tế đời sống xã hội 1.2.3 Hình học Trung Quốc Nền toán học Trung Quốc đạt thành tựu cao Khoảng 3000 năm (TCN), người Trung Hoa biết dùng compa eke để vẽ hình hình học Vào kỉ thứ IV trước công nguyên, Mặc Địch (tức Mặc Tử) định nghĩa đường trịn hình mà từ Vào khoảng năm 152 trước công nguyên, Trần Sanh viết “Cửu chương toán thuật” Trong kỉ VII- X, “Cửu chương toán thuật” dùng làm sách giáo khoa trở thành tác phẩm kinh điển nhà toán học Trung Quốc Tác phẩm có chương, đó, chương I có tên phương điền, nêu lên quy tắc tính diện tích hình vng, hình chữ nhật Khi tính diện tích hình trịn, hình vành khăn người ta lấy = Chương V có nội dung “ước tính cơng trình” đo thể tích, kích thước cần thiết xây dựng tường thành, đào hào hố, đắp đê đập, xây pháo đài,… với nhiều hình thù khác nhau, có cơng thức tính thể tích khối khác Chương IX gồm toán xác định khoảng cách chiều cao không tới nhờ định lý Cao Thương (định lý Pythagoras) tính chất tam giác đồng dạng Thế kỉ thứ I trước cơng ngun, Lưu Hâm tính gần 3,1547 Vào kỉ thứ II sau cơng ngun, Trương Hồnh tìm gần 10 ơng dùng giá trị để tích thể tích hình cầu 1.2.4 Hình học Ả Rập Hình học Ả Rập có số đặc điểm: Lưu giữ nhiều khám phá, bền bỉ nổ lực dịch thuật thỏa đáng kinh điển lớn Hy Lạp Abul Wefa có cơng trình nghiên cứu, ơng cho biết cách đặt đỉnh đa diện lên hình cầu ngoại tiếp chúng mà dùng compa có độ mở cố định Omar Khayyam nói tới phép giải tích hình học cho phương trình bậc Nasired-din nghiên cứu định đề song song Eucid đưa phép chứng minh độc đáo định lý Pythagoras Al-Haitam vào khoảng 965-1039, có tốn hình học dẫn tới phương trình bậc 4, giải phương pháp Hy Lap cho Hypebol đường tròn giao 27 ngày nắng tháng tư, ông đốt cháy to làm nóng chảy chì cách xa 45 mét Đừng làm hỏng hình vẽ tơi – chết Archimedes Sau lần thất bại, mùa thu 212 (TCN) kẻ địch xin đình chiến trao đổi tù binh Nhân dân Syracuse vốn u chuộng hịa bình nên chấp thuận lời đề nghị họ Archimedes lương thiện cho kết thúc chiến tranh, ông lại suy nghĩ hình vẽ vấn đề bãi biển ông Nhân dân Syracuse cho trao đổi tù binh đồng nghĩa với tuyên bố chiến tranh kết thúc, họ chuẩn bị ăn mừng thắng lợi Ngày ăn mừng thắng lợi đến, người múa hát, uống rượu mừng, thành phố chìm hạnh phúc Mãi đến đêm khuya người đa rượu say kéo nhà nghỉ, binh sỹ đứng gác rượu say lơ mơ dựa vào tường thành, ngủ gà ngủ gật Nhưng vào lúc này, thuyền nhỏ lặng lẽ rẽ sóng biển, cập bến luồn vào thành, gần không binh sỹ biết, chúng chia ngả trấn giữ Ngày thứ hai, trời vừa sáng người dân Syracuse chưa tỉnh giấc mộng tiếng kèn lệnh quân thù vang lên khắp nơi thành “Hỏng rồi! Kẻ thù vào thành”;“Đất nước bị kẻ thù chiếm rồi” Mọi người kinh hồng, chạy tốn loạn, chốc khơng có huy, khơng có tổ chức, khơng có chuẩn bị, họ biến thành hạt cát rời, sức chiến đấu Kẻ địch vào thành thừa mở cửa thành, dễ dàng kéo vào thành Archimedes đâu? Ông miệt mài với cơng việc bãi cát, qn địch tiến vào thành ơng khơng để ý thấy Ơng khơng nghe thấy tiếng hị hét kẻ thù không nghe thấy tiếng kêu cứu đồng bào ông 28 Bỗng có bóng đen chắn phía trước mặt Archimedes, lấy chân đạp lên hình vẽ cát ơng Archimedes tỏ bực đất nước ơng khơng có người lại lịch với ông “Này ông giẫm hỏng hết hình vẽ tơi rồi, tránh ra!” Nhưng tên lýnh xâm lược đâu có biết ơng ai, chúng nghe thấy có người dám mắng chúng, liền gầm lên giết ơng Lúc Archimedes biết đứng trước mặt ông quân thù Ông trầm giọng nói với tên lýnh rằng: “Xin lỗi, xin ơng đợi cho chút có khơng? Đừng làm hỏng hình vẽ tơi, tơi phải giải xong đã” Những cơng trình khác Archimedes tìm Archimedes tìm giá trị gần số Pi cách dùng đa giác có 96 cạnh nội tiếp đường trịn Năm 250 (TCN), ông chứng minh số Pi nằm 22/7 23/7 Phương pháp tính gần chu vi vịng trịn từ hình lục giác nội tiếp vịng trịn Những tính chất tiêu cự Parabole Phát minh đòn bẩy, đinh vít Archimedes (có thể Archytas de Tarente), bánh xe cưa Chế máy chiến tranh Cyracuse bị quân La Mã vây Chế vòng xoắn ốc khơng ngừng Archimedes (có thể Conon de Samos) Tính diện tích parabole cách chia thành tam giác vô tận Nguyên lý Thủy tĩnh (hydrostatique), sức đẩy Archimedes, Trọng tâm Barycentre Những khối Archimedes (Solides Archimedes) Những dạng tích phân Tác phẩm Archimedes Sự cân vật Sự cân mặt phẳng ký thuyết học Phép cầu phương hình Parabole Hình cầu khối cầu cho Tốn Tác phẩm xác định diện tích hình cầu theo bán kính, diện tích bề mặt hình nón từ diện tích mặt đáy Ngồi ra, ơng cịn viết sách về: Hình xoắn ốc (đó hình xoắn ốc Archimedes, có nhiều loại xoắn ốc) 29 Hình nón hình cầu (thể tích tạo thành xoay tròn mặt phẳng quanh trục (surface de révolution), parabole quay quanh đường thẳng hay hyperbole Tính chu vi đường trịn (Ơng cho cách tính gần số Pi mà Euclide khám phá ra) Sách chuyên luận phương pháp để khám phá Toán học Sách khám phá vào năm 1889 Jérusalem Về trọng tâm mặt phẳng: sách viết trọng tâm barycentre (ý nghĩa văn chương “tâm nặng”) Một số câu nói Archimedes 1.“Cho tơi điểm tựa, tơi làm cho Trái Đất dịch chuyển” Khi phát quy tắc biểu diễn số bất kỳ, Archimedes hơ lên “tơi đếm tất hạt cát vũ trụ” Khi Archimedes phát định luật vật Archimedes kêu to “Eureka” (tìm rồi) “Xin lỗi, xin ơng đợi cho chút có khơng? Đừng làm hỏng hình vẽ tơi, tơi phải giải xong đã” Một số toán cổ Archimedes Chứng minh hình trịn ngoại tiếp hình vng có diên tích gấp đơi hình trịn nội tiếp hình vng Archimedes chứng minh rằng: a) Diện tích hình trịn diện tích tam giác vng có cạnh góc vng bán kính hình trịn, cịn cạnh góc vng độ dài đường trịn 11 b) Diện tích hình trịn tỉ lệ với bình phương đường kính theo tỉ số 14 Hãy chứng tỏ hai mệnh đề Archimedes tương đương với quy tắc tính 22 r diện tích hình trịn Diện tích chỏm cầu diện tích hình trịn có bán kính đoạn thằng nối từ đỉnh chỏm cầu tới đường tròn đáy chỏm cầu 30 Hãy tìm hình cầu tích thể tích hình nón hay hình trụ cho trước Chứng tỏ hình trụ có đáy đường trịn lớn hình cầu chiều cao đường kính hình cầu tích thể tích hình cầu diện tích xung quanh diện tích mặt cầu Hãy nêu số thể số hạt cát chứa bình to Trái Đất, số hạt cát chứa bình to vũ trụ, ta coi vũ trụ hình cầu có tâm nằm tâm Trái Đất cịn bán kính khoảng cách Trái đất Mặt Trời Hãy dựng gần đa giác cạnh thước compa Hãy dựng hình vng có diện tích diện tích hình trịn cho trước Hãy giải toán cách gần nhờ tam giác Bing 2.8 APOLLONIUS (262 (TCN) - 180 (TCN)) Tiểu sử Apollonius sinh Perga, miền nam tiểu Á Thuở nhỏ ơng sang Alexandria học tốn với học trò Euclide Một ý ta khơng nên nhầm lẫn nhà tốn học Apollonius sinh Perga với học giả khác Hy lạp có tên gọi Apollonius cho tên chung Chẳng hạn : 31 Apollonius Rhodes , sinh khoảng 295 (TCN), nhà thơ nhà văn phạm học người Hy lạp, ơng học trị Callimachus thầy Eratosthenes Apollonius Tralles, sống khoảng kỷ thứ hai (TCN), nhà điêu khắc Hy Lạp Apollonius Athena, sống khoảng kỷ thứ (TCN), nhà điêu khắc Hy lạp, … Apollonius nhà thiên văn tiếng , ông lập nên lý thuyết chuyển động mặt trăng để lại bảng tính tốn giúp tính vị trí mặt trời mặt trăng thời gian nhật thực nguyệt thực Ngồi thiên văn học ơng cịn có nhiều cơng trình lớn tốn học Nhưng cơng trình danh tiếng ông tác phẩm “các thiết diện conic” cơng trình mà người đương thời gọi ơng nhà “hình học vĩ đại” Các cơng trình tiêu biểu ông là: Tác phẩm “ Các thiết diện conic”; Đường trịn Apollonius; Định lý Apollonius Đóng góp cho hình học sơ cấp Tác phẩm “ thiết diện conic” gồm , khoảng 400 mệnh đề , cơng trình nghiên cứu chun đường conic hồn tồn vượt trội cơng trình trước nghiên cứu Trong I, Apollonius nghiên cứu tất hình conic ngày từ hình nón trịn kép thẳng xiên Tên gọi ellip, parabol, hyperbol ông đưa dựa vào thuật ngữ Pythagoras áp dụng vào diện tích Ơng tìm phương trình parabol , ngày ta gọi phương trình tắc parabol, p tham số tiêu Trong cơng trình thiết diện conic, ơng sử dụng đại số hình học nghiên cứu tính chất thiết diện conic, đường kính, tiêu cự, pháp tuyến tiếp tuyến chúng Chính kết ơng mà nhiều nhà nghiên cứu cho rằng, hình học giải tích xuất cổ Hy Lạp 32 Đường tròn Apollonius: cho hai điểm A B cố định mặt phẳng số AP =k thực ; Khi quỹ tích điểm P cho BP đường tròn Định lý Apollonius (định lý đường trung tuyến): Trong tam giác D 2 2 trung điểm BC AB +AC =2( BD +AD ) Ông sử dụng phương pháp hình học xạ ảnh Ơng xem người có ảnh hưởng lớn đến phát triển hình học, thiên văn học học Ngồi cơng trình để lại ơng cịn có đóng góp khác tầm ảnh hưởng tích cực ơng việc phát triển hình học, thiên văn học học Ơng nhà tốn học lớn phương châm sống hay giai thoại ông không nghe kể đến 2.9 HERON (10 - 75 sau cơng ngun) 33 Heron nhà tốn học vật lý vùng Alexandria, ngày sinh ngày Các cơng trình ơng chủ đề tốn học vật lý học q phong phú nội dung nhiều số lượng tới mức mà người ta thường xem ông tác gia bách khoa lĩnh vực Có lý giả định ông người Ai Cập huấn luyện theo kiểu Hy Lạp Trong luận văn ơng thường nhắm đến tính hữu dụng thực tiễn tính hồn chỉnh lý thuyết, điều cho thấy có pha trộn Hy Lạp phương Đơng Ơng quan tâm đến việc xây dựng móng khoa học cho kỹ thuật cho trắc địa Các cơng trình Heron chia thành hai lớp: hình học (cơng trình Metrica) học Các cơng trình hình học nói đến vấn đề đo lường cịn cơng trình học mơ tả thiết bị học khéo léo (cơng trình Pneumatica, Dioptra Catotrica) Cơng trình quan trọng Heron "Metrica" hình học gồm ba tìm thấy Constantinple R.Schone vào năm 1896 Quyển I nói việc đo diện tích hình vng, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, tứ giác đặc biệt khác nhau, đa giác đều, vòng tròn cung trịn, ellip, diện tích hình trụ, hình nón, hình cầu đới cầu Trong tác phẩm này, Heron rút công thức tiếng để tính diện tích tam giác theo ba cạnh: S p ( p a )( p b )( p c ) p abc Quyển II Metrica nói cách tính thể tích hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón cụt, hình cầu, đới cầu Quyển III nói cách chia số diện tích thể tích thành phần theo tỉ số cho trước 2.10 MENELAUS (70 - 130 sau công nguyên) 34 Menelaus sống thời đại đế chế Alexandria Tương truyền ông sinh vào khoảng năm 70 thời đại Alexandria, Ai Cập vào khoảng năm 130 Mặc dù biết đời Menelaus, qua Ptolemy, biết quan sát thiên văn Menelaus Roma vào ngày 14 tháng năm 98 Những quan sát bao gồm tượng mặt trăng che khuất ngơi Beta Scorpii Ơng ta nói Plutarch, người mơ tả nói chuyện Menelaus Luccius, Lucius xin lỗi Menelaus nghi ngờ kiện ánh sáng phản xạ, tuân theo luật góc tới góc phản xạ Lucius nói: "Thưa ngài Menelaus, lấy làm xấu hổ nghi ngờ mệnh đề toán học, sở phản xạ học Chưa có mệnh đề vậy." Cuộc đàm thoại cho diễn Roma vào thời gian sau năm 75 sau cơng ngun, thế, đốn Menelaus sinh vào năm 70 sau công nguyên gần diễn vào nhiều năm sau năm 75 Ngồi ra, biết đời Menelaus ít, ngoại trừ ơng Pappus Proclus gọi Menelaus thời Alexandria Tất chúng tơi viết đốn dựa vào khoảng thời gian ơng ta sống Roma Alexandria, điều suy đoán hợp lý ông ta sinh Alexandria sống thời trẻ, sau đó, chuyển đến Roma Một toán Ả rập viết vào khoảng kỷ X ghi lại Menelaus sau: Ông ta sinh trước Ptolemy Ông viết "Sách mệnh đề khối cầu", "Kiến thức lực phân phối vật thể", sách "Hình học bản" Thabit Ibn Qurra chỉnh sửa, "Sách tam giác" Một số dịch sang tiếng Ả rập 35 Các sách Menelaus lại Sphaerica Nó liên quan tới tam giác cầu ứng dụng tam giác cầu thiên văn Đầu tiên, ông ta định nghĩa tam giác cầu để định nghĩa 1: "Một tam giác cầu phần không gian bị giới hạn cung đường tròn lớn mặt cầu, cung nhỏ nửa đường trịn." Trong Sphaerica, ơng thiết lập tương quan cho tam giác cầu giống Euclid thiết lập cho tam giác phẳng Ơng dùng cung đường trịn lớn thay dùng cung đường trịn song song mặt cầu Đây bước ngoặc phát triển môn lượng giác cầu Tuy nhiên, Menelaus khơng vừa ý với phương pháp chứng minh quy nạp thông thường mà Euclid hay dùng Menelaus không dùng cách để chứng minh định lý, ông ta chứng minh số định lý hình học Euclid tương ứng cho trường hợp tam giác cầu cách dễ dàng phương pháp khác Trong số trường hợp, tương quan Menelaus hoàn thiện tương quan tương tự hình học Euclid Quyển áp dụng hình học cầu vào nghiên cứu thiên văn Những kết áp dụng rộng rãi mệnh đề Theodosius tác phẩm Sphaerica, Menelaus đưa phương pháp chứng minh tốt Quyển liên quan tới lượng giác cầu bao gồm định lý Menelaus Các định lý đến tam giác phẳng "Nếu đường thẳng cắt cạnh bên tam giác (một cạnh bên kéo dài từ cạnh tam giác), tích đoạn thẳng tạo thành tích cạnh tam giác" Menelaus giải thích định lý tam giác cầu (ngày gọi định lý Menelaus) đưa vào mệnh đề Các đường thẳng hiểu giao đường tròn lớn mặt cầu Có nhiều cơng trình khác Menelaus tác giả Ả rập đề cập bị tiếng Hy Lạp lẫn tiếng Ả rập Chúng tơi đưa trích dẫn từ sách Ả rập vào kỷ X, ghi lại sách gọi "Hình học bản", gồm Thabit Ibn Qurra dịch sang tiếng Ả rập Nó ghi lại cơng trình khác Menelaus có tên "Sách viết tam giác" cơng trình bị nhiều mảnh dịch tiếng Ả rập tìm thấy 36 Proclus nói đến hình học Menelaus, khơng có cơng trình cịn sót lại Người ta nghĩ loại hình học đề cập nguyên Sau chứng minh định lý tác phẩm "cơ bản" Euclide Menelaus chứng minh lại, không dùng phương pháp quy nạp thông thường, chứng minh nằm cơng trình cịn sót lại, ông ta, định lý hiển nhiên Chứng minh mà Proclus cho Menelaus chứng minh dịch dịch tác phẩm Euclide "Nếu tam giác có cặp cạnh tương ứng tam giác có đáy lớn đáy tam giác kia, góc xen cạnh tam giác lớn góc xen cạnh tam giác kia." Bản mục tiếng Ả rập khác gợi tác phẩm "Hình học bản" chứa giải Archytas tốn "phân đơi khối lập phương" Paul Tarinery phát biểu kết tương tự cho đường cong bất kỳ, vấn đề Pappus đưa Menelaus xét đến đường cong Viviani Một số tác giả Ả rập tác phẩm học, tin giả thuyết Menelaus Nó dùng để nghiên cứu cân Archimedes Menelaus nghĩ Đặc biệt, Menelaus cịn thích nghiên cứu trọng lực phân tích hợp kim 2.11 AL KASHI (1380 – 22/06/1429) Tiểu sử Al Kashi nhà toán học trung Á, nhà toán học lớn nhà tốn học hồi giáo, ơng sinh 1380 Kashan miền trung Iran Một khu vực mà thời kỳ chịu cai trị Tamurlane hay cịn gọi Timur, người mà ln có tư tưởng 37 xâm chiếm khu vực khác chăm sóc người dân vùng Do suốt thời thơ ấu năm đầu tuổi trưởng thành Al Kashi sống nghèo đói Hoàn cảnh trở nên tốt Timur qua đời 1405 trai ông Shah Rokh lên nắm quyền Shah Rokh vợ ông ta Goharshad, công chúa Ba Tư người quan tâm khoa học, họ khuyến khích người triều đình họ nghiên cứu sâu rộng lĩnh vực khác khoa học.Trong trai Shah Rokh Goharshad Ulugh Beg người say mê khoa học có đóng góp lớn tốn học thiên văn học Do đó, thời gian trị gia đình họ trở thành thành tựu nghiên cứu khoa học uyên bác Đây môi trường hoàn hảo cho Al-Kashi để bắt đầu nghiệp nhà tốn học vĩ đại giới Tám năm sau Goharshad lên nắm quyền trai ông Ulugh Beg thành lập viện nghiên cứu Samarkand nhanh chóng trở thành trường đại học tiếng Trường đại học thu hút sinh viên từ khắp Trung Đông, khu vực khác đến học.Năm 1414, Al-Kashi đến học viên để dạy học ông trở nên tiếng Ở học viện Al-Kashi làm việc sách mình, gọi "Risala alwatar wa'l-jaib" có nghĩa "Những nghiên cứu dây cung Sin", ông qua đời năm 1429 Về chết ơng cịn tranh cãi , só người cho mâu thuẫn nên Ulugh Beg lệnh giết Al Kashi, số người khác nói ơng chết bệnh tật Các cơng trình Về tốn học Gồm cơng trình lớn : Law of cosines (còn gọi Định lý cosin) 38 Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c Ta có: a =b2 +c - 2bc.cos A b =a +c - 2ac.cos B c =a +b - 2ab.cos C The Treatise on the Chord and Sine (bài luận dây cung sin) The Key to Arithmetic (chìa khóa số học) + Computation of π ( ước tính số π) + Decimal fractions (phân số thập phân) + Khayyam's triangle (Tam giác Khayyam) tam giác Pascal Giai thoại châm ngơn Ngồi cơng trình khoa học tìm thấy người ta biết đời sống ông nên châm ngôn giai thoại ơng khơng tìm thấy Ơng người tính số Pi tới 10 chữ số, phá kỷ lục nhà toán học Trung Quốc Tổ Xung Chi Với số Pi chứa 17 chữ số, nhà toán học người Ba Tư lập nên kỷ lục mới, phá vỡ độc tôn số Pi Tổ Xung Chi tồn suốt 1000 lịch sử toán học Để làm điều này, al-Kāshī xét đa giác có 3×1028 cạnh nối tiếp ngoại tiếp đường trịn Đây cách mà Archimedes sử dụng khác hồn tồn với phương pháp tơ điểm Tổ Xung Chi Ngồi al-Kāshī cịn dự báo số Pi số vô tỉ, tức biểu diễn dạng tỉ lệ nào, điều nhà toán học người Thụy Sỹ Johann Heinrich Lambert chứng minh vào 200 năm sau 39 Trò chơi áp dụng 3.1 Tên gọi Trò chơi mang tên: AI THẾ NHỈ? 3.2 Mục đích Tạo trò chơi lành mạnh giúp học sinh thư giản sau học mệt mỏi Đồng thời thông qua trị chơi giúp em tìm hiểu lịch sử Toán học nhà Toán học tiếng Từ giúp em u thích học tập mơn Tốn 3.3 Hình thức tổ chức + Có thể tổ chức dạng “Hái hoa dân chủ”, trình chiếu cho lớp xem câu hỏi gọi em đứng lên trả lời Trả lời có thưởng, trả lời sai cho thêm tối đa em khác trả lời tiếp Nếu sau học sinh mà không trả lời giáo viên cho đáp án để khơng nhiều thời gian + Cũng tổ chức theo hình thức chia lớp thành nhiều đội Mỗi câu trả lời điểm Sau số câu hỏi định, đội nhiều điểm thắng 3.4 Thể lệ + Mỗi câu hỏi nhà toán học tiếng + Ứng với câu có hình gợi ý liên quan đến nhà tốn học + Thời gian câu 20 giây Sau giây hình ảnh gợi ý thay đổi, sau hình gợi ý thứ tư xuất có 10 giây để suy nghĩ trả lời (Trong trình chiếu hình ảnh gợi ý, giáo viên thuyết minh giải thích hình ảnh khó cho học sinh) 3.5 Câu hỏi Câu 1: Trình chiếu hình ảnh sau: (GV gợi ý cho ảnh là: Quê hương ông – Năm sinh năm ông – Định lý tiểng ông – Chân dung ơng) Đáp án: Al-Kashi 40 Câu 2: Trình chiếu hình ảnh sau: (GV gợi ý cho ảnh là: Quê hương ông – Cơng trình giai thoại ơng – Câu nói tiếng ơng – Chân dung ơng) Đáp án: Archimedes Câu 3: Trình chiếu hình ảnh sau: (GV gợi ý cho ảnh là: Quê hương ông – Một giai thoại ông – Định lý tiểng ông – Chân dung ông) Đáp án: Pythagoras Câu 4: Trình chiếu hình ảnh sau: (GV gợi ý cho ảnh là: Quê hương ơng – Ơng tiếng việc – Một định lý ông – Chân dung ơng) Đáp án: Thales Câu 5: Trình chiếu hình ảnh sau: (GV gợi ý cho ảnh là: Câu nói tiếng ơng – Bìa sách tiếng ơng – Những tiên đề mang tên ông – Chân dung ông) Đáp án: Euclid 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ... 1.2 Giai đoạn toán học sơ cấp 1.2.1 Hình học cổ Hy Lạp 1.2.2 Hình học Ấn Độ 1.2.3 Hình học Trung Quốc 1.2.4 Hình học Ả Rập Các nhà hình học tiêu biểu... (phi Euclide) khác Trong phần này, chúng tơi nghiên cứu lịch sử hình học sơ cấp từ thời nguyên thủy đến khoảng đầu kỉ XVII, tức gồm giai đoạn phát sinh giai đoạn toán học sơ cấp 1.1 Giai đoạn phát...1 Mục lục Lịch sử tổng quát hình học sơ cấp 1.1 Giai đoạn phát sinh 1.1.1 Hình học Ai Cập (3000 (TCN) - 500 (TCN)) 1.1.2 Hình học Babylon (2000 (TCN) - 500